传热学-导热数值计算共46页
传热学导热问题的数值解法
导热问题的数值解法1 、重点内容：① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。
2 、掌握内容：数值解法的实质。
3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。
由前述3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。
但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。
随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（１）有限差分法（ 2 ）有限元方法（ 3 ）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。
如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。
分析解法与数值解法的异同点：相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z) ；②。
不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。
§4-1 导热问题数值求解的基本思想及内节点离散方程的建立实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
2 、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1 表示。
由此可见：1 ）物理模型简化成数学模型是基础；2 ）建立节点离散方程是关键；3 ）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
一数值求解的步骤如图4-2 （a ），二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：1 建立控制方程及定解条件控制方程：是指描写物理问题的微分方程针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：（a ）边界条件：x=0 时，x=H 时，当y=0 时，当y=W 时，区域离散化（确立节点）用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点( 结点) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号m ，n 表示。
《传热学》第4章-导热问题的数值解法
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
= ti, j
−
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
4适用于内节点和边界节点3二控制容积热平衡法0nsew根据导热付里叶定律对于垂直于纸面方向单位宽度而言01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijixttyjijiw?????1xttyjijie????1yttxjijis?????1yttxjijin????1二控制容积热平衡法如果选择步长??xy01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijitttttijijijijij???111140二维稳态导热均匀步长情况下的节点温度差分方程1上上式为内部节点温度差分方程二控制容积热平衡法2边界节点温度差分方程第一类边界条件边界节点温度已知
《传热学》第四章 导热数值解法基础
边界
2.第二类边界条件：
Байду номын сангаас
Δx＝Δy时简化为：
绝热边界：
3.第三类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
外拐角与内拐角节点
对流边界内部拐角节点热平衡：
节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点
Δx＝Δy时简化为：
数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
AIRPAK模拟温度场
第四章重点： 1.有限差分方程的建立 2.高斯－赛德尔迭代方法
谢谢观看
《传热学》
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
数值导热离散方程组内节点离散方程边界节点离散方程三节点离散方程组的求解迭代法迭代法的原理离散方程组的求解方法消元法方程过多时计算机内存不足迭代法假定初值根据假定的初值求新值并重复此步骤若干次两次计算值足够接近认为达到真实值简单迭代法每次迭代时使用上次迭代的结果允许误差简单迭代法的缺点由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值使运算过程接近真实值的时间增加高斯赛德尔迭代法将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值高斯赛德尔迭代法的优点由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值使运算过程接近真实值的时间缩短第三节非稳态导热的数值计算一显式差分格式研究对象一维非稳态导热问题一维非稳态导热内节点差分方程
传热学：第四章 导热问题数值解法
t m,n
1 t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m ,n 1 4
•二维导热问题；网格线；
沿x、y方向的间距为x、 y；网格单元。
每个节点温度就代表了它 所在网格单元的温度。 p(m,n)
•此方法求得的温度场
在空间上不连续。
•网格越细密、节点越多，结果越接近分析解 •网格越细密，计算所花时间越长
2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的
场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解
按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而
获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；
3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用实
验对所研究对象的传热过程进行测量的方法。 3 三种方法的特点 1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值 计算提供比较依据；
t m,n 1 2t m,n t m,n 1 2t 同理： 2 y y 2 m,n
将以上两式代入导热微分方程得到节点（m,n）的温 度离散方程： t tm,n1 2tm,n tm,n1 m 1, n 2t m , n t m 1, n 0 2 2 x y
x y 上式可简化
第三类边界条件： y x
qw h(t f tm,n )
2hx 2hx x 2 tm1,n tm,n1 2 tf 0 tm,n 2
(3) 内部角点
y t m 1,n t m ,n y y qw 2 x x 2 t m ,n 1 t m ,n x x t m ,n 1 t m ,n x qw 2 y 2 y 3xy 0 4
传热学数值计算
Fe aE De 2
Thermal
Fw Fe aP Dw De aW aE Fe Fw 2 2
2、对方程的几点说明 由于连续性，Fe=Fw， aP aW aE（只是在流 场满足连续性条件时才具有这一性质）； 方程 aP P aE E aW W 隐含着分段线性分布的含
讨论只有对流项和扩散项存在时的一维稳态问题，控 制方程为：
u j ( ) S x j x j x j
d d d u ( ) dx dx dx
d 连续方程： u 0 dx
u const
任务：导出相应方程的离散化形式
义，也是熟知的中心差分格式（用左右节点值表示
界面上的值以及界面上的导数值）； 方程必须遵守四项基本法则，否则会产生灾难性的 结果。
2018-11-24
太 原 理 工 大 学
7 /70
Thermal
例如：设 De Dw 1， Fe Fw 4 若E、W给定，即可由离散方程求得P 。
即， F 2D时，有可能使 aE 或aW 为负 产生不切实际的结果
2018-11-24
太 原 理 工 大 学
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Thermal
这就是中心差分格式求解对流换热问题时仅限于低
Fw Fe Re(低的F/D)的原因 . aP Dw De aW aE Fe Fw 2 2
原通用方程可改写为
u j ( )S x j x j x j
对于已知的ρ、uj、Γ及S（常量）的分布，任何解及
+c 将同时满足方程，故系数和的法则仍然适用。
2018-11-24
太 原 理 工 大 学
传热学 -- 导热数值分析解法
•
else T(i,1)=(qw*0.5*b+0.5*h*b*tf+0.5*a*T(i-1,1)+0.5*a*T(i,j+1))/(a+0.5*h*b);
•
end
•
end
• end
• for j=2:5
•
for i=1:4
•
c(i,j)=T(i,j);
•
if i==1
•
T(i,j)=(a*T(i,j+1)+0.5*a*T(i,j-1)+a*T(i+1,j))/(2*a);•ຫໍສະໝຸດ end•end
•
end
• end
• for i=1:4
•
for j=1:5
•
z=max(T(i,j)-c(i,j));
•
eps=z;
•
end
•
end
• end
• surf(T);
下图为本题的温度分布
节点越多，温度场划分越细。 如下图以10mm为步长划分节点
谢谢观看！
根据题意进行边界条件分析及节点划分，如 下：
6 5 4
3 2
1
2
3
4
对每个节点按热平衡法列稳态方程:
1) 若 ti,j为平壁的内部节点，则有
ti-1,j-ti,j y+ ti+1,j -ti,j y ti,j-1-ti,j x+ ti,j+1-ti,j x 0
x
x
•
else if i>1&&i<4
•
T(i,j)=(a*T(i,j+1)+a*T(i+1,j)+a*T(i-1,j)+a*T(i,j-1))/(4*a);
热传导和导热系数的计算
热传导和导热系数的计算热传导是指热量在物体内部由高温区向低温区传递的过程，它是固体、液体和气体等物质的一种基本热传递方式。
热传导的计算通常涉及到导热系数这个物理量，它是一个材料特性，用来描述材料内部热量传递的能力。
一、热传导的基本公式1.一维稳态热传导：对于一维稳态热传导，热量在物体内部的传递可以用傅里叶定律来描述：[ q = -kA ]其中，( q ) 是单位面积的热流量（W/m^2），( k ) 是导热系数（W/m·K），( A ) 是物体的横截面积（m^2），( ) 是温度梯度（K/m）。
2.二维和三维稳态热传导：对于二维和三维稳态热传导，热量在物体内部的传递可以用傅里叶定律的微分形式来描述：[ = ]其中，( q ) 是单位体积的热流量（W/m^3），( t ) 是时间（s），( ) 是热扩散系数（m^2/s），( T ) 是温度（K或°C），( ) 是温度梯度的二阶导数。
二、导热系数的定义和影响因素导热系数（k）是描述材料内部热量传递能力的物理量，单位为W/m·K。
导热系数反映了材料在单位厚度、单位温差条件下，单位时间内通过单位面积的热量。
2.影响因素：a)材料的种类：不同材料的导热系数不同，金属的导热系数一般较大，而绝缘材料的导热系数较小。
b)温度：材料的导热系数随温度的变化而变化，一般情况下，随着温度的升高，导热系数增大。
c)湿度：对于多孔材料，湿度对导热系数有较大影响，湿度越大，导热系数越大。
d)孔隙率：对于多孔材料，孔隙率越大，导热系数越小。
三、常见材料的导热系数以下是一些常见材料的导热系数（单位：W/m·K）：1.金属：40-460（如铜：380，铝：237）2.木材：0.1-0.2（如松木：0.14，柚木：0.2）3.塑料：0.1-1.5（如聚乙烯：0.4，聚丙烯：1.0）4.玻璃：1-2（如普通玻璃：1.1，高强度玻璃：1.6）5.空气：0.026（在常温常压下）四、热传导和导热系数的应用1.建筑领域：热传导和导热系数的计算在建筑领域具有重要意义，可以用于设计保温层、隔热材料等，以提高建筑的能源效率。
传热学-第4章-导热数值解法基础
环境与能源工程学院 ( SEEE )
二阶导数的中心差分表达式 [1]-[2]相加
在表示温度对时间的一阶导数时只采用向前或向后差分 表达式——温度对时间的中心差分表达式求解非稳态导 表达式 中心差分 热问题将导致数值解的不稳定，参考：《工程传热学》 导致数值解的不稳定 以常物性、无内热源、二维稳态导热为例 P(I,j)
2ΔxqW 1 = (2ti −1, j + ti , j +1 + ti , j −1 + ) λ 4
第三类边界条件
i,j+1 i1,j i,j
Beijing University of Civil Engineering and Architecture ( BUCEA )
传热学 ( Heat transfer )
环境与能源工程学院：School of Environment and Energy Engineering -SEEE
第四章 导热数值解法基础 4-1 建立离散方程的方法 4-2 稳态导热的数值计算 4-3 非稳态导热的数值计算
ti +1, j ⎛ ∂ 2t ⎞ Δx 2 ⎛ ∂ 3t ⎞ Δx 3 ⎛ ∂t ⎞ = ti , j + ⎜ ⎟ Δx + ⎜ 2 ⎟ ⎜ ∂x ⎟ 2! + ⎜ ∂x 3 ⎟ 3! + LL ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠i , j ⎝ ⎠i , j ⎝ ⎠i , j
节点（i, j）一阶导数的向后差分表达式（一阶截差公式）；
P(i.j)
q ∂t ∂ 2t ∂ 2t = a( 2 + 2 ) + v ρc ∂τ ∂x ∂y
二维导热问题；网格；沿x、 y方向的间距为Δx、Δy； 网格单元 （Nodal point） 节点：网格线的交点；p(i,j) 节点