2017高考新课标2文科数学及答案解析

2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅱ）

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{1,2,3}A =，2{|9}B x x =<，则A

B =

A ．{2,1,0,1,2,3}--

B ．{2,1,0,1,2}--

C ．{1,2,3}

D ．{1,2} （2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =

A ．12i -+

B ．12i -

C ．32i +

D ．32i - （3）函数sin()y A x ω?=+的部分图象如图所示，则

A ．2sin(2)6

y x π=-

B ．2sin(2)3

y x π=-

C ．2sin()6

y x π=+

D ．2sin()3

y x π=+

（4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

A ．12π

B ．323

π C ．8π D ．4π

（5）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线(0)k y k x

=>与C 交于点P ，PF x

⊥轴，则k =

A ．12

B ．1

C ．32

D ．2

6

-

3

π

（6）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =

A ．43

- B ．34

- C

．2

（7）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体 的三视图，则该几何体的表面积为

A ．20π

B ．24π

C ．28π

D ．32π

（8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

A ．

7

10 B ．58 C ．38

D ．310 （9）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =

A ．7

B ．12

C ．17

D ．

34

（10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是

A ．y x =

B ．lg y x =

C ．2x y = D

．y

（11）函数()cos26cos()2

f x x x π=+-的最大值为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 （12）已知函数()()f x x ∈R 满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1m

i i x ==∑

A ．0

B ．m

C ．2m

D ．4m

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）已知向量(,4)m =a ，(3,2)=-b ，且a ∥b ，则m = ．

（14）若x ，y 满足约束条件10,

30,30,x y x y x -+≥??

+-≥??-≤?

则2z x y =-的最小值为 ．

（15）ABC △的内角A ，B ，

C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s 5A =

，5

cos 13

C =，1a =，则b = ．

（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求()

P A的估计值；

（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”．求()

P B的估计值；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费的估计值．

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF 交BD 于点H ，将DEF △沿EF 折到D EF '△的位置． （Ⅰ）证明：AC HD '⊥；

（Ⅱ）若5AB =，6AC =， 54

AE =

，OD '=，求五棱锥D ABCFE '-的体

积．

'

已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--．

（Ⅰ）当4a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围．

已知A 是椭圆22

:143

x y E +=的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M

两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．

（Ⅰ）当||||AM AN =时，求AMN △的面积； （Ⅱ）当

2||||AM AN =2k <．

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题记分．

（22）（本小题满分10分）选修4–1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ． （Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；

（Ⅱ）若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．

（23）（本小题满分10分）选修4–4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos ,

sin ,x t y t αα=??=?

（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两

点，

||AB =

，求l 的斜率．

（24）（本小题满分10分）选修4–5：不等式选讲 已知函数11()||||2

2

f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．

（Ⅰ）求M ；

（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，|||1|a b ab +<+．

参考答案第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是

符合要求的。

（1）已知集合{123}A =，

，，2{|9}B x x =<，则A B =（ ） （A ）{210123}--，，，，，

（B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）

{12}，

【答案】D

考点： 一元二次不等式的解法，集合的运算.

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.

（2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ）

（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】

试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 考点： 复数的运算，共轭复数.

【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数是共轭复数，其模相等.

(3) 函数=sin()y A x ω?+的部分图像如图所示，则（ ）

（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=-

（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3

y x π

=

【答案】A

考点： 三角函数图像的性质

【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．

(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） （A ）12π （B ）32

3π

（C ）8π （D ）4π 【答案】A 【解析】

试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为

，所以球面的表面积为2412ππ?=，

故选A.

考点： 正方体的性质，球的表面积.

【名师点睛】棱长为a 的正方体中有三个球： 外接球、内切球和与各条棱都相

切的球.、2

a 和2. (5) 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k

x

（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）

（A ）

12 （B ）1 （C ）3

2 （D ）2

【答案】D

考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.

【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y =

k

x

(0)k ≠，当0k >时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数.

(6) 圆x 2+y 2?2x ?8y +13=0的圆心到直线ax +y ?1=0的距离为1，则a =（ ）

（A ）?43 （B ）?3

4

（C （D ）

2 【答案】A 【解析】

试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为

(1,4)，半径2r =，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距

离为1，

1=，解得4

3a =-，故选A.

考点： 圆的方程，点到直线的距离公式.

【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．

(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π

【答案】C

考点：三视图，空间几何体的体积.

【名师点睛】以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．

(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）

（A）

7

10

（B）

5

8

（C）

3

8

（D）

3

10

【答案】B

【解析】

试题分析：因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现

绿灯的概率为40155

408

-

=，故选B.

考点：几何概型.

【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．

(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ）

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C

考点： 程序框图，直到型循环结构.

【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对框图的考查常与函数和数列等结合，进一步强化框图问题的实际背景．

(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）

（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D ）y

= 【答案】D 【解析】

试题分析：lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．

考点： 函数的定义域、值域，对数的计算.

【名师点睛】基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.

(11) 函数π

()cos 26cos()2

f x x x =+-的最大值为（ ）

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

【答案】B 【解析】

试题分析：因为223

11

()12sin 6sin 2(sin )22

f x x x x =-+=--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.

考点： 正弦函数的性质、二次函数的性质. 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3

sin 2

x =

时，函数2311

2(sin )22

y x =--+取得最大值.

(12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=m

i i x =∑（ ）

(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B

考点： 函数的奇偶性，对称性.

【名师点睛】如果函数()f x ，x D ?∈，满足x D ?∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2

a b

x +=

；如果函数()f x ，x D ?∈，满足x D ?∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.

二．填空题：共4小题，每小题5分.

(13) 已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.

【答案】6

-

【解析】

试题分析：因为a∥b，所以2430

m

--?=，解得6

m=-．

考点：平面向量的坐标运算，平行向量.

【名师点睛】如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.

(14) 若x，y满足约束条件

10

30

30

x y

x y

x

-+≥

?

?

+-≥

?

?-≤

?

，则2

z x y

=-的最小值为__________

【答案】5

-

考点：简单的线性规划.

【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

(1)在平面直角坐标系内作出可行域；

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；

(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

（15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

4

cos

5

A=，

5

cos

13

C=，

a=1，则b=____________.

【答案】21 13

【解析】

试题分析：因为45

cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以

312

sin ,sin 513

A C ==，

13

sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65

B A

C A B A C A C π=-+=+=+=

， 又因为

sin sin a b A B =，所以sin 21

sin 13

a B

b A ==. 考点： 正弦定理，三角函数和差公式.

【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后

说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，

丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3 【解析】

试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 考点： 逻辑推理.

【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分)

等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；

（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】（Ⅰ）23

5

n n a +=

；（Ⅱ）24.

试题解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得

12

1,5

a d ==，

所以{}n a 的通项公式为23

5

n n a +=

. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +??

=????

，

当n =1,2,3时，23

12,15n n b +≤

<=； 当n =4,5时，23

23,25n n b +≤<=；

当n =6,7,8时，23

34,35n n b +≤<=；

当n =9,10时，23

45,45

n n b +≤<=，

所以数列{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=. 考点：等差数列的性质 ，数列的求和.

【名师点睛】求解本题会出现以下错误：①对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错；

（18）(本小题满分12分)

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其

上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()

P A的估计值；

（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.

求()

P B的估计值；

（III）求续保人本年度的平均保费估计值.

【答案】（Ⅰ）由6050

200

+

求()

P A的估计值；（Ⅱ）由

3030

200

+

求()

P B的估计值；

（III）根据平均值得计算公式求解.

试题解析：（Ⅰ）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，

一年内险次数小于2的频率为6050

0.55 200

+

=，

故P(A)的估计值为0.55.

（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为3030

0.3200

+=， 故P(B)的估计值为0.3.

考点： 样本的频率、平均值的计算.

【名师点睛】样本的数字特征常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题. （19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF

交BD 于点H ，将DEF ?沿EF 折到'D EF ?的位置. （Ⅰ）证明：'AC HD ⊥；

（Ⅱ）若5

5,6,,'4

AB AC AE OD ====求五棱锥D ABCEF '-体积.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）69

4

. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）证//.AC EF 再证//.'AC HD （Ⅱ）根据勾股定理证明OD H '?是直角三角形，从而得到.'⊥OD OH 进而有⊥AC 平面BHD '，证明'⊥OD 平面.

ABC