(9)行程问题
第九讲 火车行程问题
第九讲火车行程问题1、基本关系及基本现象同向行驶（1）追上（头尾齐）——超过（A长＋B长）÷（A速－B速）＝时间（2）头相齐——超过A长÷（A速－B速）＝时间（3）尾相齐——超过B长÷（A速－B速）＝时间相向行驶：（1）相遇——错过（A长＋B长）÷（A速＋B速）＝时间（2）头相齐——尾相齐A长÷（A速＋B速）＝时间（3）头尾齐——尾头齐（A长－B长）÷（A速＋B速）＝时间（4）尾头齐——两尾齐B长÷（A速＋B速）＝时间2、解决问题例：慢车车身长125米，车速每秒17米，快车车身长140米，车速每秒22米，慢车在前，快车在后面从追上到完全超过需要多少秒？据关系（1）可知：（125＋140）÷（22－17）＝53（秒）答：快车从追上到超过慢车需要53秒。
练：长150米的的火车以每秒18米的速度穿越一条长300米的隧道，问：火车穿越这条隧道（从入隧道开始到完全离开）需要多少秒？（150＋300）÷18＝25秒答：火车穿越这条隧道需要25秒。
例：一列火车通过一座长1260米的桥（车头上桥到车尾离开）用了60秒，它穿越长2010米的隧道，用了90秒，问：这列火车的车速和车身长各是多少？（2010－1260）÷（90－60）＝25米路程差时间差车速或25×60－1260＝240米，25×9－2010＝240米答：车速为每秒25米，车身长240米。
讲与练：两列火车相向而行，甲车每小时行36米，乙车每小时行54米，两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾离开他的车窗时共用了14秒，求：乙车的车长？此题可以理解为：乘客以每小时36千米的速度与乙车以每小时54千米的速度，从同一起点同时作反向运动，因此，可用相遇问题的基本关系式解。
36000÷3600＝10（米）……甲每秒速54000÷3600＝15（米）……乙车速（10＋15）×14＝350（米）……乙车身长答：乙车车身长350米。
行程问题九大题型初中公式
行程问题九大题型初中公式
在解决行程问题时，初中阶段主要涉及到的公式主要包括以下九大题型：
1. 相遇问题：
公式：总路程 = (甲速度 + 乙速度) × 相遇时间
2. 追及问题：
公式：追及时间 = 追及路程 / (快速 - 慢速)
公式：追及路程 = (快速 - 慢速) × 追及时间
3. 环形跑道上的相遇与追及：
公式：外圈路程 - 内圈路程 = 快者速度× 时间 - 慢者速度× 时间
4. 行程问题中的正反比例关系：
公式：路程一定，速度与时间成反比
5. 航行问题：
公式：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度
公式：逆水速度 = 静水速度 - 水流速度
6. 火车过桥问题：
公式：车长 + 桥长 = 火车速度× 火车过桥时间
7. 流水问题：
公式：船速的（1 - 水速/船速）× 时间 = （顺水路程 / 顺水时间）× 时间
8. 行程问题中的比例关系：
公式：路程一定时，时间和速度成反比
9. 行程问题中的线性关系：
公式：速度一定时，路程和时间成正比
在解决具体问题时，需要根据问题的具体情况选择合适的公式进行计算。
同时，理解和掌握这些公式的含义和应用方法，对于提高解决实际问题的能力非常重要。
行程问题解析
，行程问题从运动形式上分可以分为五大类：五大题型、四大方法相互交织，就构成了整个小学行程问题的知识架构。
这其中的交织与综合不仅仅是题型与方法之间的交织，也有题型之间的重叠，比如环形问题就可以有环形路线上的流水行船，而火车问题也可以有多辆火车之间的错车问题……至于解题方法的重叠那更是比比皆是，一道稍有分量的行程问题就需要运用至少两种解题方法……诸如此类的综合，既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的原因。
想要将上述题型与方法融会贯通、运用自如，首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解题方法的训练，然后在此基础之上再进行综合。
下面我们就以五大题型为主线，以典型例题的形式对行程问题的整个知识架构做一个系统性梳理，并在例题的讲解中穿插解题方法的总结，让大家对小学阶段行程问题的题型与方法有一个总体把握。
每道例题的关键思路都已给出，大家顺着这些思路可以自行求得答案。
每道例题的标准答案都附在手册的最后，大家可以对照参考。
1. 直线上的相遇与追及上述两个公式大家都很熟悉，对于相遇、追及问题的理解，就是从它们开始的。
一般情况下，我们会把速度和、路程和与相遇问题联系在一起，而把速度差、路程差与追及问题联系在一起。
这样的理解过于表面化，真正体现这两个公式本质的字眼儿是"和"与"差"：只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。
例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。
问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点中学2007年小升初考题）「思路解析」本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系。
那路程差的关系究竟藏在哪个条件中呢？就在条件"两车在离两地中点32千米处相遇"这句话中。
奥数行程问题及公式
在郑州小升初考试中，数学试题基本为奥数题目。
其中，行程问题类的奥数题占了很大的分值，尤其是应用题，经常会考到行程问题。
为了帮助同学们掌握行程问题应用题，小编整理了行程问题的学习资料和35道经典练习题和详解如下：1、行程问题：行程问题可以大概分为简单问题、相遇问题、时钟问题等。
2、常用公式：1）速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度；2）速度和×时间=路程和；3）速度差×时间=路程差。
3、常用比例关系：1）速度相同，时间比等于路程比；2）时间相同，速度比等于路程比；3）路程相同，速度比等于时间的反比。
4、行程问题中的公式：1）顺水速度=静水速度+水流速度；2）逆水速度=静水速度－水流速度。
例1：一辆汽车往返于甲乙两地，去时用了4个小时，回来时速度提高了1/7，问：回来用了多少时间？分析与解答：在行程问题中，路程一定，时间与速度成反比，也就是说速度越快，时间越短。
设汽车去时的速度为v千米/时，全程为s千米，则：去时，有s÷v=s/v=4，则回来时的时间为：即回来时用了3.5小时。
评注：利用路程、时间、速度的关系解题，其中任一项固定，另外两项都有一定的比例关系（正比或反比）。
例2：A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。
解答：后半段路程长：240÷2=120（千米），后半段用时为：6÷2－0.5=2.5（小时），后半段行驶速度应为：120÷2.5=48(千米/时)，原计划速度为：240÷6=40（千米/时），汽车在后半段加快了：48－40=8（千米/时）。
答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。
例3：两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。
生2020.11.28第九讲 行程问题
第九讲行程问题11.28一．相关知识点：二．应用举例：例1 一艘轮船往返Ａ、Ｂ两地，去时顺流每小时行36千米，返回时逆流每小时行24千米．往返一次共用15小时，Ａ、Ｂ两地相距多少千米？例2 Ａ、Ｂ两地相距1800米，甲、乙两人分别从Ａ、Ｂ两地同时出发，相向而行，相遇后，甲又行了8分钟到达Ｂ地，乙又走了18分钟到达Ａ地，求甲、乙两人的速度各是多少？例3 兄弟两人骑马从A地到B地，全程30千米，马每小时行10千米，但是只能由一个人骑，哥哥每小时步行5千米，弟弟每小时步行4千米．两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马时间忽略不计）然后独自步行，而步行者到达此地，再上马前进．如果他们早晨六点动身，何时能同时到达B地？例4 甲、乙两人在一条长90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了12分钟，共相遇多少次？（两人同时到达某一点，就看作是相遇）例5． 从A 城到B 城的公路全长250千米，其中平路占51，上坡路与下坡路里程之比2∶3．一辆汽车从A 城驶往B 城，共行驶了5小时，已知这辆汽车上坡路的速度比平地路慢20%，行下坡路的速度比平地路快2 0%．照这样计算，汽车从B 城返回A 城要行多少小时？三．巩固练习：１．甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙，若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就可追上乙．问：甲、乙两人的速度各是多少？２．自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度各是多少？３．A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？．４．两人骑自行车从同一地点出发沿着长900米的环形路行驶，如果他们反向而行，那么经过2分钟就相遇，如果同向而行，那么每经过18分钟快者就追上慢者，求两人骑车的速度？５．有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇．这花圃的周长是多少米？巩固提高1．甲、乙两人以均匀圆形跑道按相反方向跑步，出发点在直径的两个端点．如果他们同时遇，那么跑道的长是多少米？2．甲、乙两人同时同地同向沿着一条公路行走，甲每小时走5千米，而乙第一小时行1千米，第二小时行2千米，第三小时行3千米……每行一小时都比前一小时多行1千米，经过多少小时乙追上甲？3．两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别在游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间内共相遇多少次？4．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，第一次两车在距离B地64千米处相遇，相遇后两车仍以原速继续前进，并在到达对方站后，立即沿原路返回，途中两车在距离A地48千米处相遇．两次相遇点相距多少千米？5．游船顺流而下，每小时行8千米，逆流而上，每小时行7千米．两船同时从同地出发，甲船顺流而下，然后返回；乙船逆流而上，然后返回，经过3小时同时回到出发点，在这3小时中有多少分钟，甲、乙两船的航行方向是相同的？6．一条小虫从长为3厘米的橡皮筋的一端开始，以每秒1厘米的速度爬行，1秒钟后，橡皮筋被均匀地拉长到6厘米，再过1秒钟，又被均匀地拉长到9厘米，如此继续下去，这条小虫爬到另一端需要多少秒？7．汽车拉力赛有两个距离相等的赛程．第一赛程由平路出发，离中点26千米处开始上坡；通过中点行驶4千米后，全是下坡路；第二赛程也由平路出发，离中点4千米处开始下坡；通过中点继续行驶26千米后，全是上坡路．已知某赛车在这两个赛程中所用时间相同，第二赛程出发时的速度是第一赛程出发时速度的65，而遇到上坡时速度就要减少25%，遇到下坡时速度就要增加25%．那么每个赛程的距离各是多少千米？。
应用题专项题库——行程问题9大类(精心整理,完整版)
2.驾驶员以每小时30km的速度行驶了90km到达某地，返回时每小时行驶45km，求往返全程的平均速度。
3.一个运动员进行爬山训练，从A地出发，上山路长30km，每小时行3km，爬到山顶后，沿原路下山，下山每小时行6km，求上山和下山的平均速度？4.有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡，平路及下坡的路程相等，都是60m，某人骑车过桥时，上坡、平路，下坡的速度分别为每秒4m、6m、8m，求他过桥的平均速度？5.一辆汽从甲地出发到300km以外的乙地去，前120km的平均速度为40km/h。
要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度是50km/h，剩下的路程应以什么速度行驶？6、一批零件，小王每小时完成50个，小李每小时完成60个，他们的平均效率是多少？7李老师骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12km，下桥速度为每小时24km，而且上桥和下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿，问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少？8.汽车上坡每小时行6km，从原路返回，下坡每小时行12km，上下坡平均每小时行多少千米？9.汽车上山速度为30km/h，下山速度为60千米/小时，上下山路程相等，求平均速度？10.一辆汽车从甲地出发到300km开外的乙地去，前120km的平均速度为40km/h，要想使这辆汽车从甲乙地的平均速度为50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？11.一列火车长540米，速度为每72km/h，隧道长1300m，火车通过隧道花了多少时间？12.一条路，甲组10天可以修完，乙组6天完成1/3，他们的平均效率是多少？行程问题2——相遇问题1.甲乙两车从两地同时出发相向而行，甲车每小时行４０千米，乙车每小时行６０千米，４小时后还相距２０千米两地相距多少千米？2.甲乙两车从两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，经过３小时相遇。
相遇时哪辆车行的路程多？多多少？3.甲乙两车从两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，经过３小时相遇。
行程问题的解题技巧和方法
行程问题的解题技巧和方法介绍在日常生活中，我们经常面临行程安排的问题。
无论是规划旅行还是安排工作日程，合理的行程安排对我们的生活具有重要意义。
本文将介绍一些解决行程问题的技巧和方法，帮助读者更好地规划自己的行程。
行程问题的来源和类型行程问题通常分为两类：旅行行程问题和工作日程问题。
旅行行程问题涉及到如何合理地安排旅行路线、景点游览顺序、交通工具选择等；而工作日程问题则是关于如何合理安排工作任务、会议安排、时间分配等。
解决行程问题的技巧和方法以下是一些解决行程问题的技巧和方法，可以帮助读者更好地规划自己的行程。
旅行行程问题的解决技巧和方法1.确定旅行目的地和时间：首先需要明确旅行的目的地和出行的时间，这将有助于确定有关行程安排的其他要素。
2.研究目的地：了解目的地的景点、气候、交通等信息，帮助做出更明智的决策。
3.制定旅行路线：根据目的地景点的位置和开放时间，制定一个合理的旅行路线。
考虑景点之间的交通便利性、旅行时间等因素，避免来回折腾。
4.合理安排游览时间：根据景点的特点和自己的兴趣，合理安排游览时间，避免时间过长或过短。
5.选择合适的交通工具：根据旅行路线和自己的预算，选择合适的交通工具，如飞机、火车、汽车等。
同时，预先购买车票或订票有助于降低成本和提前规划行程。
6.考虑食宿问题：根据旅行路线，提前安排好合适的食宿，以免到达目的地后再苦苦寻找，浪费时间和精力。
工作日程问题的解决技巧和方法1.列出工作任务：首先将需要完成的工作任务列出来，并根据重要性和紧急程度进行排序。
2.估算任务完成时间：对每个工作任务估计所需的完成时间，以便更好地分配时间和优先处理。
3.合理分配时间：根据工作任务的紧急程度和时间估计，合理分配每天工作的时间段。
4.避免过度安排：不宜在同一时间段内安排过多的工作任务，以免无法有效完成。
5.留出灵活时间：在行程中留出一些灵活的时间，以应对可能的变动和突发事件。
6.合理安排会议和约会：将会议和约会集中在一天或几天内安排，以减少工作中的中断和时间浪费。
小学奥数“行程问题”类型归纳及解题技巧总结
小学奥数“行程问题”类型归纳及解题技巧总结“行程问题”主要类型归纳一、直线型（1）两岸型：第n次迎面碰头相遇，两人的路程和是(2n-1)S。
第n次背面追及相遇，两人的路程差是(2n-1)S。
（2）单岸型：第n次迎面碰头相遇，两人的路程和为2ns。
第n次背面追及相遇，两人的路程差为2ns。
二、环型环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇(不可能背面相遇)，一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇(不可能迎面相遇)。
“行程问题”解题技巧总结一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。
“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。
现在分开向大家一一介绍：(一)两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。
题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。
1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，(为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出)则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。
之后的每次相遇都多走了2个全程。
所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)S，S为全程。
而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。
即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。
相遇次数全程个数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2………n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。
则第一次背面追及相遇在a处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。
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新五年级数学2011年9~12月讲义九
行程问题
学校班级姓名得分
【知识准备】
在行程问题中，有一类是相遇问题，主要讲述的是两个人（或物）进行的相反方向的运动。
相遇问题基本的数量关系式是：相距路程÷速度和=相遇时间。
还有一类是追及问题，追及问题和相遇问题不同的是方向，追及问题是同向，速度快的人（或物）追速度慢的人（或物）。
追及问题基本的数量关系式是：距离差÷速度差=追及时间。
【典型问题】
1．小明和小强家相距2400米，两人同时从家中出发相向而行，小强每分钟走50米，小明每分钟走70米。
他们经过多长时间相遇？
2．甲乙两列客车同时从相距680千米的两地相对出发，甲客车每小时行42千米，经过8小时后两车相遇。
乙客车每小时行多少千米？
3．小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑自行车去追，每分行375米，爸爸出发多少分后能追上小明？
4．甲、乙两人环绕周长400米的跑道跑步，两人若从同一地点相背而行，经过2分钟迎面相遇；
两人若从同一地点同向而行，经过20分钟甲可以追上乙。
求甲、乙各自的速度。
5．甲、乙两车同时从两地相向出发，甲车每小时行58千米，乙车每小时行48千米，两车离中点40千米相遇，求两地间的路程是多少千米？
6．某小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米。
问冬冬第二次追上晶晶时，晶晶跑了多少米？
【同步练习】
1．一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米？
2．甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。
已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？
3．甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？
4．两城相距400千米。
甲、乙两车同时从两地相向而行，5小时相遇，如果甲乙同时向相同的方向行驶，20小时后甲车可追上乙车，求甲、乙两车每小时各行多少千米？
5．两辆汽车同时从两地出发，相向而行。
已知快车每小时行45千米，慢车每小时行32千米，相遇时快车比慢车多行52千米。
两地相距多少千米？
【拓展训练】
1．甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后，立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇，求两次相遇地点之间的距离。
2．龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，龟以每分30米的速度爬行，兔每分跑330米。
兔跑了10分钟就停下来睡了200分钟，醒来后立即以原速向前奔跑。
当兔追上龟时，离终点的距离是多少米？。