概率论在生活中的应用 毕业论文

学号：1001114119概率论在生活中的应用

学院名称：数学与信息科学学院

专业名称：数学与应用数学

年级班别： 10级二班

姓名：

指导教师：

2014年3月

概率论在生活中的应用

摘要

概率论作为数学的一个重要部分，在现实生活中的应用越来越广泛，同样也发挥着越来越重要的作用。加强数学的应用性，让学生学用数学的知识和思维方法去看待，分析，解决实际生活的问题，在数学活动中获得生活经验。这是当前数学课程改革的大势所趋。加强应用概率的意识，不仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的。人类认识到随机现象的存在是很早的，但书上讲得都是理论知识，我们不仅仅要学习好理论知识，应用理论来实践才是重中之重。学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养。（宋体，小四，1.5倍行距）

关键词随机现象；条件概率；极限定理；古典概率

The applyment of the theory of probability in daily life Abstract Probability theory as an important part of mathematics,in the life of the sue more and more widely, also play an increasingly important role. Strengthen mathematics applied, lets the student with mathematical knowledge andmathematical thinking method to treat, analysis, solve practical life in mathematics activity, gain life experience. This is the current trend of curriculum reform. Strengthen the consciousness of the application of probability, not only learning, but working life is indispensable. People realize the existence of random phenomenon is early, but telling the theory knowledge, we should not only study the theory knowledge well, the application of theory to practice is more important. Learn probability theory, and using probability knowledge to solve realiticl problems is already a life we necessary accomplishment.

Keywords Random phenomenon; Conditional probability; Limit theorem. The classical probability

前 言

概率论与我的生活息息相关。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。然而彩票中奖的概率是很低的。有笑话说全世界的数学家都不会去买彩票，因为他们知道，在买彩票的路上被汽车撞死的概率远高于中大奖的概率。随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学更是无处不在。而概率作为数学的一个重要部分，同样也在发挥着越来越广泛的用处。抽样调查，评估，彩票，保险，甚至在日常生活中购买蔬菜水果之类的时候也经常会遇到要计算概率的时候，下面就通过几个例子具体看看在这些方面中概率论的应用。

1具体实例

1.1.1 由先尝后买看概率论在生活中的应用

例1.1.1 在水果批发市场上打算买几箱苹果，他询问卖主所售苹果的质量如何，卖主说一箱里(假设为100个)顶多有四、五个坏的。李老师随后挑了一箱，打开后随机抽取了10个苹果，心想这10个中有不多于2个坏的就买，可他发现10个苹果中有3个是坏的。于是李老师对卖主说，你的一箱苹果里不止有5个坏的。卖主反驳说，我的话并没有错，也许这一箱苹果中就这3个坏的，让你碰巧看见了。李老师的指责有道理吗?

解：我们来看一看。假设这一筐有100个苹果，其中有5个坏的。我们把“坏苹果数

大于2”用符号{}2>Y 表示，他是互斥事件{}{

}{}54Y 3===Y Y 、、的并，应用古典概率的定义，可求得所抽的10个中坏苹果数等于3的概率

()00639.0310100

3

5

795≈==C C C Y P

同样可求得其中坏苹果数为4、5的概率分别是

()00025.0410100

4

5695≈==C C C Y P

()000000.0510100

55

595≈==C C C Y P

于是由概率加法原则可得“坏苹果数大于2”的概率

()()()()0066.05432==+=+==>Y P Y P Y P Y P

如果这筐苹果里的坏苹果少于5个，那么打开一筐任取10个发现多与2个坏苹果的概率会更小。这就是说一次抽查10个，发现多于2个坏的几率会更小。是几乎不可能发生的。现在居然发生了，李老师正是根据几乎不可能发生的事情而居然发生了这个矛盾去否定卖方的说法。在数学中把李老师的这种根据，即“概率很小的事件，在一次实验中几乎不可能发生。”叫做小概率原理。这是人们常常恪守的一条原理。

那么，卖方说的没有理由吗？也就是说假如这筐苹果里真的只有三个坏的，抽查的10个中恰巧包含了这3个，如果真是这样，那么这时就犯了把合格的（称其为真的）一筐（批）判成不合格的（称其为假的）一筐（批）判成不合格的（称其为假的）一筐(批)的错误。我们称这种错误为弃真性质的错误，又称其为第一类错误。在这个问题中，这种可能性（概率）不超过0.66%，可以说抽查10000个这样的筐，才可能出现66个弃真性质的错误，它是一个小概率事件。显然买方已经把允许弃真性质错误的概率规定的够小的了，根据小概率原理卖方说的理由不成立。

李老师用这样抽样检查来决定买不买东西也有风险。例如，若李老师所看的那筐有10个坏的（次品），然而李老师所抽的那10个全是好的（合格品），于是李老师以为这一筐里的坏的不超过5个（为合格批），相信了卖方的话。这时李老师就犯了取伪性质的错误（把不合格批判为合格批）。我们把这种错误称为取伪性质的错误，也叫第二类错误。那么，这时李老师犯取伪性质错误的概率是多少呢？下面我们来算一算。先用古典概型定义分别算出抽查的10个中所含次品个数及其对应的概率，将其列成下表：

则他犯取伪性质错误的概率为

()()()

939981

.020510.0407995.0330476.0210=++==+=+==X P X P X P β 而当筐里有40个坏苹果时，用“抽查10个，其中有不超过2个坏的”标准就买，犯取伪性质错误的概率用同样的方法可以求。先应用古典概率定义计算然后列成下表：

再求

()()()

153806

.0115291.0034160.0004355.0210=++==+=+==X P X P X P β 即这时犯取伪错误的概率为0.153806

由对以上例题的研究和分析可以得出结论，“先尝后买”对卖方还是有一定风险的，但是当商品不能一一全面检查时，先尝后买（抽样检查）的确不失为一个好方法，所以它能长盛不衰。

所以()()02ln ,01ln <-<-p p p

从而0>'y ，即函数()()x

x x

p p p y ----=2112在区间()+∞∞-,上是单调递增函数。因为当

01==y x 时，所以，当01>>y x 时。特别取()为正整数n n x =，则当2≥=n x 时，有0>y ，

即()()02]11[2>----n

n n

p p p ,所以，97d d >。

由此可得：6897d d d d >>>这就是说，在系统6图——系统9图所示的四个系统中，其可靠性由好到差排列的顺序是：系统7、系统9、系统8、系统6.

通过上面的讨论可以看出，对于同样数目，同样性能的元件，由于系统的构成情况不同，它的可靠性也不一样。因此，在基本情况相同的情况下，我们总是寻求优良的系统组成方式，从而使系统的可靠性更好一些。了解系统可靠性的一些结论，并把它运用到我们的生产实践和生活实践当中去，必将收到良好的效果。

1.4大数定律在保险业的应用

1.4.1问题的提出

]

5[

重复试验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表型。人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在；有频率的性质推断概率的性质，并在实际运用中用频率的值来估计概率的值。

其实，在大量随机现象中，不但事件的频率具有稳定性，而且大量随机现象的平均结果一般也具有这种稳定性；单个随机地行为对大量随机现象共同产生的总平均效果几乎不发生影响。这就是说，尽管单个随机现象的将具体实现不可避免地引起随机偏差，然而在大量随机现象共同作用时，由于这些随机偏差互相抵消、补偿和拉平，至于总的平均结果趋于稳定。]6[例如，在随机地抛掷一枚均匀硬币的实验例子中，每一次实验的结果可能是正面，也可能是反面，但当抛掷次数变得很大时，每一次抛掷的结果对总的发生频率的影响就变得很小，于是正、反两面出现的就趋于稳定，其值围绕着0.5做微小的波动；又如在分子物理学中，气体对容器壁的压力等于单位时间内撞击容器壁单位面积上的气体分子的总影响。尽管每个气体分子运动的速度、方向以及撞击容器壁的

1)|1(|lim 1

=<-∑=∞→εEX X n P n

k k n 件的发生，而此事件又与有些随机事件有关，这些随机事件的数目无限增多，而且每一个这样的事件产生的影响又非常微小。 2.4.2大数定理的定义】【7

设{}k X 是相互独立切具有公共分布的随机变量序列。如果其期望()k X E =μ存在，则对每个0>ε，当∞→n 总有

0lim 1=???

???>-++∞→εμn X X P n n 下面介绍大数定理的几种常见形式。

定理1（马尔可父大数定理）】

【2 设{}n X 是随机变量序列。若对所有1n ≥，方差n

DX 存在，而且

0)(1

12

lim =∑=∞→k n k n X D n

， 则对任意给定0>ε，有

0)|11(|11lim =≥∑-∑==∞

→εk n

k n k n EX n n P 。

推论一（切贝谢夫大数定理）】【2 设{n X }是相互独立的随机变量序列。若存在常数C 使

C DX n ≤， 对所有 ,2,1=n

则对任意给定0>ε有

1)|11(|lim 1

1=<-∑∑==∞→εn

k k k n k n EX n X n P 。 特别的，若进一步假设 ,,,,21n X X X 有相同的数学期望EX 时有

1)|1(|lim 1

=<-∑=∞→εEX X n P n

k k n 。

定理2在n 重伯努利实验中，事件A 在每次试验中出言的概率为p ，(01)p <<，n μ为n 此试验中出现A 的次数，则

?∞--∞→?=???

?

??<-x dt

t n n e x npq np P 2

2

21lim πμ。

定理3设随机变量X1，X2，…，Xn ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E （Xk ）=μ,D(Xk)=σ2≠0(k=1,2,…).则随机变量

σ

μ

n n X

X D X E X Y n

k k

n

k k n k k n

k k n -=??? ??-=∑∑∑∑====1

111

)

(

的分布函数Fn （x ）对于任意x 满足

?∑∞--=∞→∞→=??

??

???

???????≤-=x t n k k n n n t x n n X P x F .d e π21lim )(lim 212σμ

根据上述中心极限定理，由事先约定的0β>，则

()βεΦε≤???

? ?????? ??--≈???? ??≥-∑=p P n P Z X n P n i i 112111

这样，由事先给定的 P 、、βε确定出参加某种风险保障的企业最小数目n. 例如：当 0012.001.0==P 、ε，则当约定001.0=β时，一定有130≥n ,也就是说当

130≥n 时，上述的结果成立。

1.4.3保险动机的产生

现代保险业已经是社会非常重要的一环，而大数定律就是这大厦最重要的基石之一，下面就看看大数定律是如何撑起这座保险业大厦的。

保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会机制。但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计算保险公司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢？其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。 1.4.4应用举例

例2.4.1某企业有资金Z 单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受的经济损失为1Z 个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金1Z Z -单位。假设企业投入资金与所得利润之间的函数关系为)(Z f ，显然有)()(K Z f Z f --，当1Z K =时为预期风险条件下利润损失额。当0)()(>--K Z f Z f 时，企业就需要有避险的需求，且随差额的增大而增大。这就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。

具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候，需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。

假设这种随机现象为),,2,1(n i X i =，则i X 的概率分布为：

上表中，P 为风险发生的概率，1Z 为风险发生时企业的损失额。那么知道该事件的数学期望为P Z X E i 1)(=。

根据契贝晓夫大数定律，当1Z 有限时，0>?ε，

0)|1|(lim 11

=≥-∑=∞→εP Z X n P n

i i n 。

0ε?>，上述式子可以表述为：n 个具有某种同类风险，且风险的发生是相互独立的，当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定的那样小，以致在企业生产过程中可以忽略不计。

依据定理3和定理4，从两个方面来看，

从微观上看，因为 10<

，由前面说的企业是看利润递增的原则，显然有 ()()11PZ Z f Z Z f -<-。此时企业产生参加社会保险的动机，也就是企业参加社会保险比自保更有利。

从宏观上看，如果有n 个具有同类风险的企业存在且都实行自保，显然在理性预期的条件下，为抵御风险而失去的利润总额为

()()()∑=--=n

i i i Z Z f Z f D 111。

其中()Z f i 表示第i 个企业的利润函数（i=1,2,…..n ）.

而这n 企业全部参加社会保险后，为了抵御风险而失去的利润总额为

()()()∑=--=n

i i i PZ Z f Z f D 112。

则由于参加社会保险而产生的社会总效益为：

()()()∑=---=-=n

i i i n Z Z f PZ Z f D D D 1

1121

由于 ()()11PZ Z f Z Z f -<- ，i=1,2,……n. 所以此效益随着n 的增大而增大。

综上所述，企业参加社会保险的动机便是在于参加社保比自保更加的有利，利润的驱使，这也是企业参加保险的重要动机，因此保险业这个行业以存在和发展，也发展了众多的保险公司。

保险公司同样也需要评估是否可保的问题，上面的叙述可以得知，可保的条件有： 1、风险事故造成的损失应当是可以估计的。

2、有大量独立的同质风险单位存在，即是各风险单位遭遇风险事故造成损失的概率和损失规模大致相近，同时各风险单位要相互独立，相互的发生不会产生影响。这些都是大数定律的基本要求。

1.5 中心极限定理在商业管理中的应用]7[

1.5.1什么是中心极限定理

大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。

中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。

例2.5.1 水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：

（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？

已知n=5000，p=0.015，q=0.985，np=75，

拥挤的概率达

()()1

49.3160.87545145≈--=???

??--=>ΦΦζP

(2)欲求m ，使得

()95.0450≥≤≤ζP

即95

.060.875060.875≥??? ??--???

??-ΦΦm

由060.875≈???

??-m Φ

即95

.060.875≥???

??-m Φ

查表645.160.875

≥-m

即m ≥89.14 故需装90个水龙头。

中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布。如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和，则可以直接利用中心极限定理进行解决。总之，恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要意义。

1.6概率论在经济保险问题中的应用

在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里死亡的概率为0.002，每个人一年付12元保险费，而在死亡的时候家属可以领取由保险公司支付的2000元，问保险公司盈利的概率是多少，公司获利不少于10000的概率是多少？

这样的问题咋一看很难知道保险公司是否盈利，但经过概率统计的知识一计算就可以得知公司是几乎必定盈利的

A = {2500*12-2000X<0} = {X>15}

由此得知P=0.999931,而盈利10000以上的概率也有0.98305，以上的结果说明了为什么保险公司那样乐于开展保险业务的原因. 1.7概率论在中奖问题中的应用

社会福利彩票]8[：有很多的福利彩票通常采用多少个数中选几个的模式，我们以35选7为例说明这种彩票的中奖概率。

例1.7.1]8[一种称为幸福35选7的福利彩票，即从35,,02,01 中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码。奖项设置：

因为不重复的选择号码是一种不放回抽样，所以样本空间Ω含有735C 个样本点。要中奖

应把抽样看成是三种类型中抽取： 第一类号码：七个基本号； 第二类号码：一个特殊号； 第三类号码：27个无用号。

若记i p 为中第i 等奖的概率() ,2,1=i 可得各等奖的中奖概率为：

一等奖：67

350

270177110149.067245201

-?===C C C C p ； 二等奖：6

7

35027116721004.16724520

7-?===C C C C p ；

三等奖：67

351270167310106.286724520189

-?===C C C C p ； 四等奖：6

7

351271157410318.846724520567-?===C C C C p ； 五等奖：37

352270157510096.167245207371

-?===C C C C p ； 六等奖：3

7

352271147510827.16724520

12285-?===C C C C p ； 七等奖：37

3532711373270147710448.306724520

204750

-?==+=C C C C C C C p 。 若记A 为事件“中奖”，则A 为事件“不中奖”且由()()

()ΩP A P A P =+，可得

()()033485.06724520

225170

7654321==++++++==p p p p p p p A P P 中奖

()()

()966515.01=-==A P A P P 不中奖

这就说明：一百个人中约有3个人中奖；而中头奖的概率只有610149.0-? ，即两千万中约有3个人中头奖。