2019版高考数学一轮复习 专题讲座三课件 文

专题讲座三 不等式恒成立问题
专题讲座三 不等式恒成立问题
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含参不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以各种形 式出现在高中数学的各部分内容中，扮演着重要的角色．解 决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运 用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现 形式，有如下四种策略．
是否存在实数 a，使得关于 x 的不等式 3x2－
logax<0 在 0<x<13时恒成立？若存在，求出 a 的取值范围；
若不存在，请说明理由．
[解]
由题意知，“关于
x
的不等式
3x2－logax<0
在
1 0<x<3
时 恒 成 立 ” 等 价 于 “3x2<logax 在 x∈ 0，13 内 恒 成
立”．若 a>1，在同一平面直角坐标系内，分别作出函数 y＝3x2 和 y＝logax 的大致图象，
又∵f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0， ∴f(cos 2θ－3)>－f(4m－2mcos θ)＝f(2mcos θ－4m)，
∴cos 2θ－3>2mcos θ－4m，
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即 2m(2－cos θ)>3－cos 2θ，
∵2－cos θ∈[1，3]，
∴2m>3ss2θθ，
∴m 的取值范围为(4－2 2，＋∞)．
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[规律方法] 这类问题经常用到下面的结论：若函数 f(x) 存在最小值，则 a≤(<)f(x)恒成立⇔a≤(<)f(x)min；若函数 f(x)存在最大值，则 a≥(>)f(x)恒成立⇔a≥(>)f(x)max.
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4．转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数
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(2)若 x≠3，则由一次函数的单调性，可得ff（ （－1）1） >0>0， 即xx22－ －75xx＋ ＋162>>00， 解得 x<2 或 x>4. [规律方法] 在含参不等式恒成立的问题中，参数和未知 数是相互牵制、相互依赖的关系．本题已知参数 a 的取值 范围，求 x 的取值范围，若能转换两者在问题中的地位， 则关于 x 的不等式就立即转化为关于 a 的不等式，问题便 迎刃而解了．
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3．分离参变量，构造函数求最值
已知定义在 R 上的函数 f(x)为奇函数,且在[0,＋∞)
上是增函数，对于任意 x∈R，求实数 m 的取值范围，使
f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0 恒成立．
[解] ∵f(x)在 R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
∴m>22－－ccooss2
θ θ.
令 2－cos θ＝t，t∈[1，3]，∴m>4－t＋2t ，
即 4－m<t＋2t 在 t∈[1，3]上恒成立．
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即求 g(t)＝t＋2t 在 t∈[1，3]上的最小值． ∵g(t)＝t＋2t ≥2 2，等号成立的条件是 t＝2t ， 即 t＝ 2∈[1，3]成立． ∴g(t)min＝2 2，∴4－m<2 2， 即 m>4－2 2.
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2．联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题
已知 x∈(0，＋∞)时，不等式 9x－m·3x＋m＋1>0
恒成立，则 m 的取值范围是( C )
A．2－2 2<m<2＋2 2
B．m<2
C．m<2＋2 2
D．m≥2＋2 2
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[解析] 令 t＝3x(t>1)，则由已知得函数 f(t)＝t2－mt＋m＋1
的图象在 t∈(1，＋∞)上恒在 x 轴的上方，
则对于方程 f(t)＝0 有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0
或Δm2 ≤≥10
，
f（1）＝1－m＋m＋1≥0
解得 m<2＋2 2.
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[规律方法] 1.解答此类问题一般把问题转化为关于 x 的 函数，即问题就等价于函数 f(x)的图象在区间(a，b)内的部 分位于 x 轴上方，结合二次函数的图象，根据二次函数的 性质就可以列出 m 所满足的不等关系． 2．在利用换元法简化运算时，需注意换元后自变量的取值 范围．
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1．变换主元，转化为一次函数问题
求使不等式 x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围． [解] 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x－3)a ＋x2－6x＋9>0. 令 f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9. 因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立，所以 (1)若 x＝3，则 f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
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