第六章 金属电子论习题
固体物理金属电子论作业答案
解：Na电子的费米速度：
2 EF 0 2 3.2 1.60 1019 J vF 1.06 106 m/s 1.06 108 cm/s m 9.111031 kg
由： vF (3 2 n)1/ 3 m
由：
n q 2 m
得： n
3 m 3v F
3 2 3
2. 已知KCl晶体的摩尔体积为3.7110-5m3。在可见光频率，钾 离子和氯离子的极化率分别为1.48和3.29（单位10-40 F· 2）。 m （1）计算KCl晶体的光频介电常数；（2）计算在105V/m的 有效电场下， KCl晶体正负电荷的位移。
解：KCl分子密度为：
6.02 1023 n 1.62 1028 3.7110-5
3） 费米速度
0 2 EF k F 1.05 10 34 J s vF 1.20 1010 m 1 m m 9.1110 31 kg
1.38 106 m / s 1.38 108 cm / s
3.用a3代表每个原子占据的体积，若金属中的自由电子气体在温 度为0K时能级被填充到kF0=(62)1/3/a，试计算每个原子的价电子 数目？并导出电子气在温度0K时的费米能的表达式？ 解：假设价电子数位Z，则电子浓度为： n
r
室温本征电阻l（室温）可认为仅与金属类型有关，与杂质 含量无关。金属纯度越高，剩余电阻越低，电阻率比越大； 反之，金属杂质含量多，则剩余电阻较大，电阻率比较小。
故金属电阻率比可近似表征一个金属样品的纯度。
•试解释为什么金刚石静态介电常数与光频介电常数几乎相等，但氧化 钛的静态介电常数远大于光频介电常数 （具体值见讲义）。 答：固体静态介电常数来自偶极子取向极化、离子极化和电子极化等不同 极化机制，而光频介电常数主要来自电子极化。金刚石只存在电子极化， 故静态介电常数与光频介电常数相等。而氧化钛低频时三种极化同时存在， 介电常数相对光频时（电子极化主导）较大。
金属学与热处理课后习题答案第六章
第六章金属及合金的塑性变形和断裂2）求出屈服载荷下的取向因子，作出取向因子和屈服应力的关系曲线，说明取向因子对屈服应力的影响。
答：1）需临界临界分切应力的计算公式：τk=σs cosφcosλ，σs为屈服强度=屈服载荷/截面积需要注意的是：在拉伸试验时，滑移面受大小相等，方向相反的一对轴向力的作用。
当载荷与法线夹角φ为钝角时，则按φ的补角做余弦计算。
2）c osφcosλ称作取向因子，由表中σs和cosφcosλ的数值可以看出，随着取向因子的增大，屈服应力逐渐减小。
cosφcosλ的最大值是φ、λ均为45度时，数值为0.5，此时σs为最小值，金属最易发生滑移，这种取向称为软取向。
当外力与滑移面平行（φ=90°）或垂直（λ=90°）时，cosφcosλ为0，则无论τk数值如何，σs均为无穷大，表示晶体在此情况下根本无法滑移，这种取向称为硬取向。
6-2 画出铜晶体的一个晶胞，在晶胞上指出：1）发生滑移的一个滑移面2）在这一晶面上发生滑移的一个方向3）滑移面上的原子密度与{001}等其他晶面相比有何差别4）沿滑移方向的原子间距与其他方向有何差别。
答：解答此题首先要知道铜在室温时的晶体结构是面心立方。
1）发生滑移的滑移面通常是晶体的密排面，也就是原子密度最大的晶面。
在面心立方晶格中的密排面是{111}晶面。
2）发生滑移的滑移方向通常是晶体的密排方向，也就是原子密度最大的晶向，在{111}晶面中的密排方向<110>晶向。
3）{111}晶面的原子密度为原子密度最大的晶面，其值为2.3/a2，{001}晶面的原子密度为1.5/a24）滑移方向通常是晶体的密排方向，也就是原子密度高于其他晶向，原子排列紧密，原子间距小于其他晶向，其值为1.414/a。
6-3 假定有一铜单晶体，其表面恰好平行于晶体的（001）晶面，若在[001]晶向施加应力，使该晶体在所有可能的滑移面上滑移，并在上述晶面上产生相应的滑移线，试预计在表面上可能看到的滑移线形貌。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (2)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理答案第六章
141第六章 自由电子论和电子的输运性质习题1. 一金属体积为V ，电子总数为N ，以自由电子气模型 （1）在绝热条件下导出电子气的压强为.320V U P=其中 .5300F NE U = （2）证明电子气体的体积弹性模量 .910350VU P K ==【解 答】（1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即 ,PdV W dU-==式中P 是电子气的压强.由上式可得.VUP ∂∂-= 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由《固体物理教程》（6.5）式得.325353322200⎪⎭⎫ ⎝⎛===πV N m N NE U U F由此得到=∂∂-=V U P 0()().32323253053222VU V N mN =∙-π （2）由《固体物理教程》（2.11）式可知，体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系为.VKV P -=∂∂ 将=∂∂V P ()().91035323253038222VU V N mN -=∙--π 代入体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系式，得到 .9100VU K=2.二维电子气的能态密度(),2πm E N =证明费米能 ],1ln[2-=Tm k n B F B eT k E π其中n 为单位面积的电子数.【解 答】由已知条件可得单位面积金属的电子总数 ()()().120⎰⎰∞-∞+==Tk E E B F edE mdE E f E N n π142作变量变换,Tk E E x B F-=则有⎰⎰∞---∞-+=+=T k E x x B T E x B B FB Fe dxe Tmk e dx Tmk n 1122ππ()(),1ln 1ln 22Tk E B Tk E x B B F B F e Tmk e Tmk +=+-=∞--ππ即TE BF e +1=Tmk n B e2 π.由上式解得()1ln 2-=Tm k n B F B e T k Eπ3.金属膨胀时，价带顶能级 发生移动 VV E E C∆-=∆1证明.321F E E =【解 答】 解法一：金属中自由电子的费米能(),32323232223222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==AV V N m n mE F ππ可认为是能带顶，式中().32222πN mA =当金属体积膨胀后，体积由V 变成了VV V ∆+='，费米能变成了()2-∆+='V V A E F()32321--⎪⎭⎫⎝⎛∆+=V V V A().3212⎪⎭⎫⎝⎛∆+≈-V V V A 费米能的变化量 .32⎪⎭⎫⎝⎛∆-=-'=∆VVE E E EF F F F 与已知条件比较可得 .321F E E =解法二：143由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度 ().23212322E m V E N ⎪⎭⎫⎝⎛= π电子总数().232323220F E E m V dE E N N F⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰π金属膨胀后，能态密度增大，费密能级降低，但电子总数不变，即()().232323220FE E m V dE E N N F'⎪⎭⎫⎝⎛'='=⎰π 由以上两式解得 ()[],322323⎪⎭⎫⎝⎛∆-=-'=-'=∆--V V E V V A E E EF F F.321F E E = 4.由同种金属制做的两金属块，一个施加30个大气压，另一个承受一个大气压，设体积弹性模量为21110m N ，电子浓度为328105m ⨯，计算两金属块间的接触电势差.【解 答】两种金属在同一环境下，它们的费密能相同，之间是没有接触电势差的.但当体积发生变化，两金属的导电电子浓度不同，它们之间将出现接触电势差.设压强为0时金属的费密能为F E ，金属1受到一个大气压后，费密能为1F E ，金属2受到30个大气压后，费密能为2F E ，则由《固体物理教程》（6.25）式可知，金属1与金属2间的接触电势差 ().12121F F E E eV V -=- 由上边第3题可知.32,322211⎪⎭⎫⎝⎛∆-=⎪⎭⎫⎝⎛∆-=V V E E E V V E E E F F F F F F由《固体物理教程》（2.10）式可知，固体的体积变化V ∆与体积弹性模量K 和压强P 的关系为 ,VVKP ∆-= 所以().3232212121P P KE K P K P E E EF F F F -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 两金属的接触电势差()()().33322132222121P P n meKP P eK E V V V F -∙=-=-=∆π将,10110.931kg m -⨯= ,10602.119C e -⨯= ,10055.134s J ∙⨯=- ,10,/105211328m N K m n =⨯=,10251m N P = 2521030m N P⨯= 代入两金属的接触电势差式子，得 ().1058.95伏-⨯-=∆V5.若磁场强度B沿z 轴，电流密度沿x 轴，金属中电子受到的碰撞阻力为P P,/τ-是电子的动量，试从运动方程出发，求金属的霍尔系数.144【解 答】电子受的合力()().B v mv B v P dt P d F⨯+--=⨯+--==ετετ （1） 由于电子受的阻力与它的速度成正比，所以电场力与阻力平衡时的速度是最高平均速度，此时电子的加速度变为0，（1）式化成().B v me v⨯+-=ετ （2） 因为电流的方向沿x 轴，平衡后，电子沿z 轴方向和y 轴的速度分量为0.因此，由（2）式得,x xme v ετ-= （3） .0x y v mB e m e τετ+-= （4） 由以上两式得.x x y mBe Bv ετε== （5） 称为霍耳电场，其方向与磁场和电流方向的关系如图6.3所示.图6.3 霍尔电场 将电流密度x x j σε= （6）和（5）式一并代入霍耳系数 Bj R x yH ε=（7）得到στm e R H-= （8） 将《固体物理教程》（6.85）式代入上式，并取m m =*得.1neR H -= 6. 试证金属的热导率 ()2102223FB mETk nl kπ=其中l 是费密面上电子的平均自由程. 【解 答】由《固体物理教程》（6.63）式可知，金属中导电是电子的弛豫时间τ满足以下关系()().cos 1,1∑'-'Θ=k k k θτ电子的波矢k在空间内的分布十分密集，上式可用积分表示145()().cos 1,1∑'-'Θ=k k k θτ()()()()()()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'Θ='-'Θ=∞πθθπθπθπ0233.sin 2cos 1,21cos 1,21d k d k k k k d k k令()()()(),,21,023⎰∞'''Θ=k d k k k E W πθ 则()Ωd E W θ,是能量为E 的电子在单位时间内被散射到立体角 θθπd d sin 2=Ω内的几率.如果散射是各向同性的，()θθ与,E W 无关，则()()().4sin cos 1210E W d E W πθθθπτπ=-=⎰ 上式说明，τ1就是能量为E 的电子在单位时间内总的散射几率，也就是说τ是电子的平均自时间.由《固体物理教程》（6.126）式可知，金属的热导率,322T mn k k FB τπ=式中F τ是费密面上的电子的平均自由时间.电子的平均自由时间F τ和平均速度F v 与平均自由程l 的关系是 .F F v l τ=而平均速度由下式求得 .2102F F E mv = 于是得到()2102223FB mETk nl kπ=.7.设沿xy 平面施加一电场，沿z 轴加一磁场，试证，在一级近似下，磁场不改变电子的分布函数，并用经典力学解释这一现象.【解 答】在只有磁场和电场情况下，《固体物理教程》（6.47）式化成().0τεf f f B v e k -=∇∙⨯+由上式可解得().0f B v e f f k ∇∙⨯++=ετ 考虑到外界磁场和电场对电子的作用远小于原子对电子的作用，必有(),0f f B v e k <<∇∙⨯+ετ f k ∇0f k ∇≈.于是有相当好的近似().00f B v e f f k ∇∙⨯++=ετ 因为,000v Ef E E f f k k ∂∂=∇∂∂=∇ 所以146().0000v Ef e f E f B v e f f ∙∂∂+=∂∂∙⨯++=ετετ 可见在一级近似下，磁场对分布函数并无贡献.由经典理论可知，电子在磁场中运动受到一洛伦兹力B v e⨯-，该力与电子的运动方向v垂直，它只改变电子的运动方向，并不增加电子的能量，即不改变电子的能态.也就是说，从经典理论看，磁场不改变电子的分布函数.8.0f 是平衡态电子分布函数，证明.0Ef T E T E T T T f F ∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂ 【解 答】金属中导电电子处于平衡态时，其分布函数 ()110+=-Tk E E B F ef .令()(),,y e x T k E E Tk EE BF B F==--则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂T x T E E x x y y f T f F F 00 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∂∂-+-=22111T k E E TE T k y y BF F B ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∂∂+-=T E E T E T k y y F F B 21 .0⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=T E T E T T E f F 9.立方晶系金属，电流密度j与电场ε和磁场B 的关系是()[]εεβεαεσ20B B B B j -∙+⨯+= ,试把此关系改写成 ()()[]{}.20j B B j B b j B a j-∙+⨯+=ρε【解 答】立方晶系金属的电流密度j与电场ε和磁场B 的关系是()()[]εεβεαεσ20B B B B j -∙+⨯+=对大多数金属来说，1410-≈Fτ秒，如果取m m =*，则有().,,1022200αστβσστατ<<=<<=<<***me m e m e FF F因此电流密度的主项 εσ0=j也即电场的主项j0ρε=式中14701σρ=为立方晶系金属的电阻率.由立方晶系金属的电流密度j与电场ε和磁场B 的关系解得()()[]{}εεβεαρε20B B B B j -∙-⨯-=将电场的主项代入上式右端的ε中，得到()()[]{}jB B j B j B j 2000-∙-⨯-=βραρρε()()[]{}.20j B B j B b j B a j -∙+⨯+=ρ其中.,00βραρ-=-=b a10.有两种金属，价电子的能带分别为,22Bk E Ak E ==和其中B A >，并已测得他们的费米能相等.（1）它们的费米速度哪个大？（2）在费米面上的电子的弛豫时间相等的情况下，哪种金属的电导率大？ 【解 答】 （1）已知A 金属与B 金属的费米能相等.22FB FB FA FAAk E Ak E ===所以.AB k k FB FA = 金属中电子的费米半径F k 、费米速度F v 和有效质量*m 的关系是 *mF v = F k .A 金属电子的有效质量A k E m A A 2222 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=*B 金属电子的有效质量B k E m BB 22222 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=*于是.BAk m m k v v FB A B FA FB FA ==**148因为B A >，所以A 金属电子的费米速度大.（2）如果外电场沿x 方向，则x 方向的电场x ε与电流密度x j 的关系（参见《固体物理教程》6.84式）为.4222⎰∇=F S x k x x E dS v e j ετπ 上式积分沿费米面进行.将上式与x x j σε=比较，可得立方晶系金属的电导率.4222⎰∇=FS k xEdSv e τπσ在费米面是一球面的情况下，上式积分为.442222FFFx F v k v e πτπσ=其中利用了v E k =∇.将关系式.3122F Fx v v = 代入电导率式得.3232*=m k e FF πτσ 于是.33ABk m m k FB A B FA B A ==**σσ可见B 金属的电导率大.11.求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能及一个电子对比热的贡献. 【解 答】设一维一价金属有N 个导电电子，晶格常数为α.如图6.4所示，在dE E E +-图6.4 一维金属中自由电子的能带能量区间波矢数目为.22dk Na∙π利用自由电子的能量于波矢的关系149,222mk E = 可得dE E E+-能量区间的量子态数目.222221dE E m Na dk Na dz -=∙=ππ 由此得到能态密度().21-==E m Na dE dz E Nπ 在绝对零度时费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有().22200210ππF E E mE Na dE E m Na dE E N N F F===⎰⎰-由上式即可求得电子的费米能 .82220m a E Fπ=平均一个电子所具有的能量⎰=NEdNNE 01()()()⎰⎰∞∞==021021dE E f E m a d E N E Ef N π其中()E f 是电子费米分布函数.利用分布积分，得到()⎰∞=0212dE E f E m a Eπ()⎰⎰∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∞=2302323.3223220322dE E f E m a dE E f E m a E f E m aπππ利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=22238322T k E E m a E B F F ππ . 平均一个电子对热容量的贡献为,122B FV Ve k T TT E C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=π 其中利用了费米能与费米温度的关系 F B FT k E =.12.对于二维金属，重复上述问题. 【解 答】150如图6.5所示，在绝对零度时，二维金属中的导电电子（设为自由电子）在波矢平面内充满一费米圆.自由电子的能量m k E 22 =，所以能量dE E E +→区间的电子占据图中dk 的范围.在此范围内的波矢数目为(),222kdk Sππ∙图6.5 二维波矢空间 其中()22πS是二维金属中导电电子的波矢密度，S 是金属面积.由m k E 222 =得.2mdEkdk =能量dE E E+→区间的量子态数目则为().222222dE mSmdE S dz πππ=∙= 能量密度().2πmS dE dz E N ==在绝对零度时，费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有().020200F E E E mS dE mSdE E N N FFππ⎰⎰=== 由上式可得mn E F20 π=其中n 是金属中导电电子的密度.可见二维金属中导电电子的费米半径为()212n k F π=平均一个电子所具有的能量 ⎰=NEdN NE1()()()⎰⎰∞∞==21dE E Ef n m d E N E Ef Nπ利用分布积分，得到()⎰∞=2dE E Ef n m E π151()⎰⎰∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∞=022022222202dE E f E n m dE E f E n m E f E n m πππ利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式得().322222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=T k E n m E B F ππ 平均一个电子对热容量的贡献为,32B F V Ve k T TT E C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=π 13.证明热发射电子垂直于金属表面运动的平均动能为T k B ，平行于表面运动的平均动能也是T k B . 【解 答】当无外加电场，温度也不太高时，金属中的价电子是不会脱离金属的，因为金属中的价电子被原子实紧紧的吸引着，电子处于深度为0E 一势阱中.如图6.6所示，要使最低能级上的电子逃离金属，它至少要从外界获得0E 的能量.要使费米面上的电子逃离金属，它至少要从外界获得()F E E -=0ϕ的能量.为方便计，取一单位体积的金属.在k空间内k d范围内的电子数目()()k d E f dn322π=图6.6 深度为0E 势阱其中()().11+=-Tk E E B F eE f转换成速度空间，则在v d v v+→区间内的电子数目(),123+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-Tk E E zy x B F edv dv dv h m dn 式中利用了关系.k vm=对于能脱离金属的热发射电子，其能量E 必满足()ϕ>-F E E 对大多数金属来说,T k B >>ϕ，所以必有()1221>>=⎪⎭⎫⎝⎛--T k E mv Tk E E B F B F ee152式中已取221mv E =于是.2232z y x Tk mvTk E dv dv dv e eh m dn B B F-⎪⎭⎫ ⎝⎛=设金属表面垂直于z 轴，热发射电子沿z 轴方向脱离金属，则要求0221E mv x >> 而速度分量x v 、y v可取任意值.所以在区间z z zdv v v +→的热发射电子数目()⎰⎰∞∞--∞∞---⎪⎭⎫ ⎝⎛=x Tk mv y Tk mv z Tk mv T k E z dv e dv edv eeh m v dn B xB y B z B F22232222利用积分公式adx e ax π=⎰∞∞--2得到().42322z Tk mv T k E B z dv ee h T k m v dn B z B F-=π垂直于金属表面的速度分量为 的电子在单位时间内逃出金属表面的数目为().z z v dn v dN=于是，热发射电子垂直于金属表面运动的平均能量.221022222232zmE z T k mv z m E z T k mv z z z dv ev dv e v m dN dN m v E Bz B z⎰⎰⎰⎰∞-∞-== 利用积分公式()a bcx c edx xe a bc e e cxbacx cx ba cx1,2-==⎰⎰得到.0T k E E B z +=0E 是金属中的电子脱离原子实的吸引所需要的最低能量，在克服原子实的吸引脱离金属的过程中，这部分能量已消耗掉了.因此脱离金属的电子垂直于金属表面运动的平均动能为 T k B因为在v d v v+→速度区间内的电子，在单位时间内逃出金属表面的数目为.dn v N d z ='153所以，热发射电子平行于金属表面运动的平均动能()⎰⎰''+=Nd N d v v m E y x xy 2221()()).202220222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞++-∞∞-∞∞-∞++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=yx m E z Tk v v v m z y x m E z T k v v v m y x z dv dv dv e v dv dv dv e v v v m B z y x B z y x利用积分公式adx e ax π=⎰∞∞--2(),21253122aa n dx e x n n ax ππ-∙∙∙=⎰∞∞--得到热发射电子平行于金属表面运动的平均动能为.T k E B xy14.证明，当Tk B 0FE <<时，电子数目每增加一个，则费密能变化 (),1FFE N E =其中()FE N 为费密能级处的能态密度.【解 答】由《固体物理教程》（6.3）式可得(),323232322232220AN V N m n mE cF =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ式中.323222⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c V m A π 当电子每增加一个，费密能的变化(),13232AN N A E F -+=∆因为导电电子数目很在，所以().32111132323232⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+N N N N N于是.32221323122322310⎪⎪⎭⎫⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛==∆ππc c F V N m m V N A E 由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度154()().3222221232231023220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=πππc c Fc F V N m m V E m V E N 由此可得(),1FFE N E =--- 15.每个原子占据的体积为3a ，绝对零度时价电子的费密半径为(),6120ak Fπ=计算每个原子电子数目. 【解 答】由《固体物理教程》（6.4）式可知，在绝对零度时导电电子的费密半径(),3312πn k F =现在已知一金属导电电子的费密半径(),63120ak Fπ=所以，该金属中导电电子的密度 .23an= 3a 是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子.16.求出绝对零度时费密能0FE 、电子浓度n 、能态密度()F E N 及电子比热eVC 与费密半径0F k 的关系. 【解 答】绝对零度时电子的费密半径 (),33120πn k F =电子浓度n 与费密半径的关系是().3230πFk n =由《固体物理教程》（6.3）式可得到绝对零度时电子的费密能与费密半径的关系为()(),23220232220FFk mn mE ==π由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度是().22022212322F c c k Vm Em V E Nππ=⎪⎭⎫⎝⎛=由此可得()().2202221023220F c Fc Fk m V E m V ENππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=155由《固体物理教程》（6.13）式可知平均一个电子对热容量的贡献为 .202B F Vk T T C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=π因为(),22200BFB F Fmk k k E T == 所以一个电子的热容与费密半径的关系为 ().20222T kmk C FBVπ=17.经典理论认为,所有价电子都参与导电,电流密度j 与所有电子的漂移速度d v 的关系是d nev j =已知铜的电子浓度,105,1034329m A j m n ⨯==试比较费密速度F v 和漂移速度d v .【解 答】F k 是费密面上电子的动量,电子的费密速度则为().3312mn m k v F F π ==将漂移速度d v .nej =与费密速度比较,得().3312πn ne jm v v F d =将s J kg m C e∙⨯=⨯=⨯=--34311910055.1,10110.9,10602.1,105,1034229m A j m n ⨯==代入上式,得到.10877.112-⨯=Fdv v 可见如果认为所有价电子都参与导电,则价电子的漂移速度将远小于费密面上电子的速度.这一点也不难理解,因为量子论认为,参与导电的电子只是费密面附近的少数电子 . 如果把费密面附近的电子对电流的贡献也粗略地写成 ,F ev n j '=由于.,d Fv v n n >><<'所以18.电子漂移速度d v满足方程,ετe v dt v d m d d -=⎪⎭⎫⎝⎛+156试确定稳定态时交变电场下的电导率()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ωτωτσωσi 【解 答】 设交变电场,0t i e ωεε=则电子漂移速度满足的方程变成.0t i d d e mev dt v d ωετ-=+设上式的特解为,ωτi Ae则A 满足的方程为.0me AA i ετω-=+由上式的到().10ωττεi m e A +-=齐次方程.0=+τdd v dt v d 的通解为τt e B - .电子漂移速度满足的方程的解为 d v=τt eB -().10t i e i m e ωωττε+-当电子达到稳定态后，上式右端的第一项趋于0.于是d v=().10t i e i m e ωωττε+-按照经典理论，电流密度j 与漂移速度d v，电导σ和电场强度ε的关系为j =()().102εωσωτεω=+=-t i d e t i m ne v ne由上式得()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ωτωτσωσi 其中()mne τσ20=157如果设电场为,0t i e ωεε=则有()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ωτωτσωσi 19.求出立方晶系金属的积分1P 、32P P 和【解 答】由《固体物理教程》（6.119），（6.120）和（6.123）三式得⎰⎰⎰∇∂∂=∇∂∂=∇∂∂=.41,41,412023302320231EdEdS E E f v P E dEdS E E f v P E dEdSE f v P k x k x k x τπτπτπ以上三式中的面积分是在一个等能面上进行，对于等能面是球面的情况，面积分的值 .42k S π=自由电子的能量mk E 222 =，所以面积分化成.82mESπ=因为x v 是电子的平均速度在x 方向的分量,所以.32213231222mE mv m v v x =⎪⎭⎫ ⎝⎛== 另外.2mEv v E k===∇ 于是（6.119），（6.120）和（6.123）三式化为,322,322,322027323025322023321⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=dE E f E m P dE E f E m P dE E f E m P τπτπτπ 利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式进一步得到158()()(),2435322,85322,832222322732322253222223321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=T k E E m P T k E E m P T k E E m P B F FF B F F F B F FF ππτππτππτ20.利用上题结果,求出热导系数 mTn k k B 322τπ=【解 答】 将上题1P 、32P P 和的代入《固体物理教程》（6.125）式,得立方金属导电电子的热导率 .3322223232T k E m k BF F ππτ =将自由电子的费密能()322232πn mE F =代入立方金属导电电子的热导率,得 .322T mn k k FB τπ=21.证明.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P TE T T P F【解 答】仅在x 主向存在温度梯度的情况下,由《固体物理教程》（6.118）式可知,金属中的电流密度.12121x F F x P e dx dn n E eP dx dT T P T E T T P e j ε-∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-= 设金属的左端温度保持为1T ,右端温度保持为2T ,2T >1T ,定义x 正方向由左向右,则温度梯度方向与x 方向同向,电子由高温区向低温区扩散,方向与温度梯度反向,电流的方向与温度梯度同向.扩散刚开始时,电子的浓度梯度dxdn和温差电场x ε都为0,电流与温度梯度的方向一致,则只有.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P T E T TP F当达到平衡后,电子的浓度梯度dxdn 和温差电场x ε的方向都与x 方向反向,电子浓度梯度引起的反向扩散电流dxdnn E eP 11∂∂-159和温差电场引起的反向漂移电流 12P e -x ε与正向温差电流dx dTT P TE T TP e F⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-21反向,条件.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P T E T TP F更不可少其实此问题用6.19题的结果也可证明.忽略费密能随温度的变化,则().11221F FE P P T T P T E T TP -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 将6.19题的21P P 和代入上式,得().11221F FE P P T T P T E T TP -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ()(),8853222225222532⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=T k E E T k E E TmBF F B F F F πππτ 03232<-=T mE k FF Bτ22.当金属中存在温度梯度时,电子分布函数()x f可以看成是平衡分布函数 0f 的刚性平移,证明平移量为..⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-ετe n n E T T E T E T T F F【解 答】当金属中存在温度梯度时,导电子的分布函数变成了（参见《固体物理教程》6.116式）.00⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙∂∂+=ετe n n E T T E T E T T v E f f f F F其中v是电子的平均速度,n 是电子浓度,ε是温差电场.将v Ef E E f f k k∂∂=∇∂∂=∇000 代入上式得到.00⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙∇+=ετe n n E T T E T E T Tf f f F Fk 将上式与下式()()u d f u f u d u f u∙∇+=+160比较得到().0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=ετe n n E T T E T E T T k f k f F F上式表明,当金属中存在温度梯度时,导电电子的分布函数()k f 可看成平衡分布函数()k f0在波矢空间里的刚性平移,平移量为.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-ετe n n E T T E T E T T F F。
第六部分 自由电子费米气体-总结与习题指导
u
=
∫∞ ε −∞
g
(ε
)
f
(ε
)
dε
(1)
其中 f (ε ) 是费米分布函数， g (ε ) 是状态密度，
( ) f
ε
=
1 e(ε −μ) kBT
+1
(2)
g
(ε
)
=
m π2
2
⎛ ⎜⎝
2mε
2
⎞1 ⎟⎠
2
,
ε >0
(3)
=0
, ε <0
电子气体的化学势 μ 由电子浓度 n 决定，
n
=
∞
∫−∞
g
(ε
CVel
=
⎛ ⎜⎝
∂u ∂T
⎞ ⎟⎠n
V
=
π2 2
⎛ ⎜ ⎝
kBT εF
⎞ ⎟ ⎠
NkB
(6.25)
约为经典值的 0.01 倍. 式中 N 是自由电子数， N = nV .
低温下金属的热容可以写为电子热容和点阵热容之和，
CV = CVel + CVlα = γ T + AT 3
(6.26)
其中 γ 和 A 是两个常量.
数，故
g (ε ) dε = 1 [在能量范围 ε − ε + dε 中的状态数]
(6.8)
V
三维自由电子的状态密度为
⎧
g
(ε
)
=
⎪ ⎨
m 2π 2
2mε 2,
ε >0
(6.9)
⎪⎩ 0
, ε <0
如图 6.1 所示.
2
4 自由电子在基态下的性质 对于由 N 个自由电子组成的系统，基态(绝对零度)下被电子占据的状态可以 用波矢空间中一个球内的点来表示，这个球称为费米球．费密球的半径 kF 称为 费米波矢量，
金属学原理习题及答案
1) 2
6
3
a[100] → a [101] + a [101];
2)
2
2
a [112] + a [111] → a [111];
3) 3
2
6
a[100] → a [111] + a [111].
4)
2
2
11. 已知柏氏矢量 b=0.25nm，如果对称倾侧晶界的取向差θ =1°及 10°，求晶界
上位错之间的距离。从计算结果可得到什么结论？
106Nb 中所含空位数目。 2. 若 fcc 的 Cu 中每 500 个原子会失去一个原子，其晶格常数为 0.36153nm，试
求铜的密度。 3. 在铁中形成 1mol 空位的能量为 104.675KJ，试计算从 20℃升温之 850℃时空
位数目增加多少倍？ 4. 有两个被钉扎住的刃型位错 A-B 和 C-D，他们的长度 x 相等，且有相同的 b
增大冷变形量至 80％，再于 650℃退火 1 h，仍然得到粗大晶粒。试分析其原 因，指出上述工艺不合理处，并制定一种合理的晶粒细化工艺。 13．灯泡中的钨丝在非常高的温度下工作，故会发生显著的晶粒长大。当形成横 跨灯丝的大晶粒时，灯丝在某些情况下就变得很脆，并会在因加热与冷却时 的热膨胀所造成的应力下发生破断。试找出一种能延长钨丝寿命的方法。
很大变形的原因。(l=0.154nm, h2=nl2) 7. 有两种激活能分别为E1=83.7KJ/mol和E2=251KJ/mol的扩散反应。观察在温度
从 25℃升高到 600℃时对这两种扩散的影响，并对结果作出评述。
第五章
1. 有一根长为 5 m，直径为 3mm 的铝线，已知铝的弹性模量为 70Gpa，求在 200N 的拉力作用下，此线的总长度。
第六章 金属电子论
第六章 金属电子论1列出你所知道的几种金属—绝缘体相变的名称。
Wilson 转变，派尔斯转变，Mott 转变，安德森转变2什么是由于无序而导致的安德逊（Anderson ）金属-绝缘体相变？改变无序度，使迁移率边的位置移动，就可能使费米面能级从位于定域态区域经过迁移率边进入扩展态区域使电导从非金属型转变成金属型，反之亦然，这类金属-绝缘体转变称为安德森转变。
3什么是派尔斯（Peierls ）金属-绝缘体相变？4描述固体中电子输运的Ｂoltzmann 方程和Ｋubo-Greenwood 公式各自的适用范围是什么？5什么是金属的剩余电阻，起因是什么？6利用费米子统计和自由电子气体模型说明低温下的电子比热满足T 线性关系。
0T K =时，自由电子气的总能量为：()()0,NE Ef E T N E dE ∞=⎰，可以求出电子平均能量E 为：()22354B F Fk T E E E π=+。
其中第一项是基态的电子平均能量，第二项是热激发的能量，由此可得电子的比热为：e E C n T T γ∂==∂，222B F nk E πγ=。
——电子比热系数。
7重费米系统、接触电势、安德森转变。
重费米系统：接触电势：任意两个不同的导体A 和B 相接触，或以导线相联结时，就会带电并产生不同的电势V A 和V B ，称为接触电势。
8为什么金属电子自由程是有限的但又远远大于原子间距？按照能带论，在严格周期性势场中，电子可以保持在一个本征态中，具有一定的平均速度，并不随时间改变，这相当于无限的自由程。
实际自由程之所以是有限的，则是由于原子振动或其他原因致使晶体势场偏离周期场的结果。
9利用能带图定性说明主要金属－绝缘体转变类型10在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成C e= 2.08T+ 2.57T3 mJ/mol⋅K，如果一个摩尔的金属钾有N =6×1023个电子，求钾的费米温度T F。
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黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (3)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
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11
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4
固体物理
固体物理学
解（1） 费密能量和费密温度
2 2 2 3 EF (3n ) (3 2)3 2m 2m M 原子 2 2
(1.0551034 ) 2 10.5 103 106 2 3 ( 3 3 . 14 ） 31 3 23 2 9.1110 107.87 10 /(6.02210 )
平均自由程
0 k F 2 nq
代入数据得到：
295 K时
F 5.2310 m
8
20 K时
2.2210 m
6
9
固体物理
固体物理学
6.4 设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明T=0 K时
1) 每个电子的平均能量
2) 自由电子气的压强满足
3 0 U EF 5 2 pV NU 3
电子热容为
CV [
2
3
0 N ( EF )(k BT )]k B
3 C 3 3 2 . 08 10 0 N ( EF ) 2 2 V k B T 3.142 (1.3811023 ) 2
3.321042 J 1
2
固体 N ( E ) 4V ( 2 ) E h EF 1 / 2 0 0 0 N ( EF ) 3N / 2EF N ( E ) ( 0 ) N ( EF ) EF
6
34 2
3
2 2 3
5.951019 J 3.72eV
费米温度TF为
EF TF 4.31104 K kB
1
固体物理
固体物理学
6.2 在低温下金属钾的电子热容量的实验结果为：
C 2.08T mJ / mol K
求钾的费米温度 TF 和费米面上的能态密度 N(EF) 。 解：摩尔电子热容，考虑材料含一摩尔K原子，电子数N=NA，
弛豫时间 平均自由程
* m v k F 0 v ( EF ) 2 2 nq nq
0 K到室温之间的费密半径变化很小
8
固体物理
固体物理学
或近自由电子近似情况下
2 k T 2 0 0 B 1 EF EF E F E0 12 F
0 EF 3N 3 6.0221023 TF 0 k B 2k B N ( EF ) 2 1.3811023 3.321042
19624 K
2 EF 1 / 2 k T 0 0 B N ( E ) ( 0 ) N ( EF ) E F E F [1 ( 0 )2 ] EF 12 E F
固体物理
固体物理学
费米能EF为
2
n 2 / M 原子
2
2 2 2 2 3 2 3 EF (3n ) (3 ) 2m 2m M 原子
(1.05510 ) 2 0.08110 10 (3 3.14 ） 31 3 23 2 9.1110 3 10 /(6.02210 )
34
10
固体物理
固体物理学
(4) 费密球面的横截面积
S (kF sin ) 4.52sin m
2 2
2
是
与
2
轴之间的夹角
1 3
k F (3n )
7
固体物理
固体物理学
(5) 在室温以及低温时电子的平均自由程
电导率
q2 0 * n ( EF ) m
* m 0 ( EF ) 2 nq
2
8.821019 J 5.50eV
费米温度为
EF TF 6.39104 K kB
5
固体物理
固体物理学
（2）费米球半径
2m EF 2 9.111031 8.821019 kF 1.0551034 1.201010 m 1
（3）费米速度
k F 1.05510 1.2010 VF 31 m 9.1110 6 1.3910 m / s
解：
自由电子的能态密度
2m 3 / 2 1 / 2 N ( E ) 4V ( 2 ) E h
T=0 K，费米分布函数
1 f (E) 0
0 ( E EF ) 0 ( E EF )
10
固体物理
固体物理学 电子总数
N N ( E ) f ( E )dE
0
电子平均能量
3
固体物理
固体物理学
6.3 若将银看成具有球形费米面的单价金属计算以下各量： （1）费米能和费米温度 （2）费米球半径
（3）费米速度
（4）费米球面的横截面积 （5）在室温及低温时电子的平均自由程 Ag的密度=10.5g/cm3 原子量=107.87
电阻率=1.61×10-6 · cm（295 K）
U
0 EF
0 EF
0
EN ( E )dE
0
2m 3 / 2 1 / 2 4V ( 2 ) E dE h
2 x 2 y
3 0 U EF 5
2 z 2
将电子气看作是理想气体，压强
2 1 2 m v 2 2 p nm v n nU 3 3 2 3 2N U 3V
v v v v /3