最新贝叶斯决策举例教学内容
实验一贝叶斯决策教材
实验一贝叶斯决策一、 实验原理1. 最小错误率贝叶斯决策规则：对于两类问题，最小错误率贝叶斯决策有以下裁决规则：P( 1 | x) P( 2 | x),则 x 1 ; 反之，则 x 2。
因为先验概率 P( i ）可以确立，与当前样本 x 没关，因此决策规则也可整理成下边的形式：若l (x) P( x | 1 ) P( 2 ) ，则 x1 ,不然 x 。
P(x |2 ) P( 1) 22. 均匀错误率决策界限把 x 轴切割成两个地域，分别称为第一类和第二类的决策地域 .样本在中但属于第二类的错误概率和样本在中但属于第一类的错误概率就是出现错误的概率， 再考虑到样本自己的分布后就是均匀错误率：t P( 2 | x) p( x)dx P( 1 | x) p( x)dxP(e)t tp( x | 2 ) P( 2 )dx p( x | 1 ) P( 1 )dx t3. 此实验中的裁决门限和均匀错误率（1）裁决门限假设随机脉冲信号 f 中 0 的概率为 ,高斯噪声信号 n 服从,信号叠加时的放大倍数为 a ，叠加后的信号为s f * a n 。
由最小错误率贝叶斯决策可得：P( 1 ) p( x | 1 )P( 2 ) p( x |2)a2 2a2 2 (ln(1 p0 ) ln p0 )化简计算得： t2a（2）均匀错误率由上述积分式可计算。
二、实验内容1、已知均值和方差，产生高斯噪声信号，计算其统计特征实验中利用 MATLAB产生均值为 0，方差为 1 的高斯噪声信号，信号统计分布的程序和结果以下：%产生高斯噪声并统计其特征x=0;%均值为 0y=1;%方差为 1n=normrnd(x,y,[1 1000000]);%产生均值为 0，方差为 1 的高斯噪声m1=mean(n);%高斯噪声的均值v1=var(n); %高斯噪声的方差figure(1)plot(n(1:400)); title( '均值为 0，方差为 1 的高斯噪声 ');figure(2)hist(n,10000); title('高斯噪声的统计特征 ');获得 m1=-4.6534e-005 ；v1= 0.9971 。
第二章 贝叶斯决策理论—第三次课
第2章 贝叶斯决策理论
第2章 贝叶斯决策理论
本章内容
2.1 分类器的描述方法 2.2 最大后验概率判决准则 2.3 最小风险贝叶斯判决准则 2.4 Neyman-Person判决准则 2.5 最小最大风险判决准则 2.6 本章小结
第2章 贝叶斯决策理论
2.2 最大后验概率判决准则 (基于最小错误率的贝叶斯决策准则)
第2章 贝叶斯决策理论
2.5
第2章 贝叶斯决策理论
最小风险贝叶斯判决受三种因素的影响： 类条件概率密度函数p(x|ωi) ； 先验概率P(ωi) ； 损失（代价）函数λ(αj, ωi) 。 在实际应用中遇到的情况： – 各类先验概率不能精确知道； – 在分析过程中发生变动。 这种情况使判决结果不能达到最佳，实际分类器的平均损 失要变大，甚至变得很大。
第2章 贝叶斯决策理论
2.4 Neyman-Person
第2章 贝叶斯决策理论
最小风险贝叶斯判决准则使分类的平均风险最小, 该准则需要什么条件？
最大后验概率判决准则使分类的平均错误率最小, 该准则需要什么条件？
N-P准则在实施时既不需要知道风险函数，也不需 要知道先验概率。
第2章 贝叶斯决策理论
最大后验概率判决准则使分类的平均错误概率最小。 最小风险贝叶斯判决准则使分类的平均风险最小。 可是, 在实际遇到的模式识别问题中有可能出现这样 的问题: 对于两类情形, 不考虑总体的情况, 而只关注某 一类的错误概率, 要求在其中一类错误概率小于给定阈 值的条件下, 使另一类错误概率尽可能小。
因为两类情况下, 先验概率满足:
P(1) P(2 ) 1
第2章 贝叶斯决策理论
R R1 [(1,1)P(1) p(x | 1) (1,2 )P(2 ) p(x | 2 )]dx R2 {(2 ,1)P(1) p(x | 1) (2,2 )P(2 ) p(x | 2 )}dx
贝叶斯讲义贝叶斯决策
1
R( | x) 0 L( , ) ( | x)d 20 ( ) ( | x)d
1
( ) ( | x)d 30 ( ) ( | x)d E( | x)
(3)求最优行动使上述风险函数达到最小.令:
dR(
| x)
3
(
|
x)d
1
0
则得:
( | x)d 1
d
0
0
3
(4)数值计算:
8
例2 在市场占有率θ的估计问题中，已知损失函数为：
L(
,
)
2(
,
),
0 1
药厂厂长对市场占有率θ无任何先验信息，另外在市场调查中，
在n个购买止痛剂的顾客中有x人买了新药，试在后验风险准则下
对θ作出贝叶斯估计。
解:(1)求参数θ的后验分布: 结果为 Be(x+1,n-x+1)
(2) (x),计算风险函数
| |
解:分三步求解:
(1)求参数θ的后验分布
(
|
x)
N
n
xi
2
, (n
2
)1
(2)对于任意一个决策函数
计算后验风险函数:
R( | x) L( , ) ( | x)d
( | x)d
| |
P|x (| | ) 1 P|x (| | )
(3)求出使得上述风险函数达到最小时的决策函数:
,i 0 ,i 1
斯决策问题:
p0 (x) 0 p1(x)1
①参数空间Θ={0,1}
②行动空间A={0,1}
③先验分布:P(θ=0)=π0, P(θ=1)=π1
④损失函数:决策正确无损失, 决策错误的损失为1.则
贝叶斯决策模型及实例分析
贝叶斯决策模型及实例分析一、贝叶斯决策的概念贝叶斯决策，是先利用科学试验修正自然状态发生的概率，在采用期望效用最大等准那么来确定最优方案的决策方法。
风险型决策是根据历史资料或主观判断所确定的各种自然状态概率〔称为先验概率〕，然后采用期望效用最大等准那么来确定最优决策方案。
这种决策方法具有较大的风险，因为根据历史资料或主观判断所确定的各种自然状态概率没有经过试验验证。
为了降低决策风险，可通过科学试验〔如市场调查、统计分析等〕等方法获得更多关于自然状态发生概率的信息，以进一步确定或修正自然状态发生的概率；然后在利用期望效用最大等准那么来确定最优决策方案，这种先利用科学试验修正自然状态发生的概率，在采用期望效用最大等准那么来确定最优方案的决策方法称为贝叶斯决策方法。
二、贝叶斯决策模型的定义贝叶斯决策应具有如下内容贝叶斯决策模型中的组成局部：)(,θθPSAa及∈∈。
概率分布SP∈θθ)(表示决策者在观察试验结果前对自然θ发生可能的估计。
这一概率称为先验分布。
一个可能的试验集合E，Ee∈，无情报试验e0通常包括在集合E之内。
一个试验结果Z取决于试验e的选择以Z0表示的结果只能是无情报试验e0的结果。
概率分布P(Z/e,θ)，Zz∈表示在自然状态θ的条件下，进行e试验后发生z结果的概率。
这一概率分布称为似然分布。
c 以及定义在后果集合C的效用函数u(e,Z,a,θ)。
一个可能的后果集合C，C每一后果c=c(e,z,a,θ)取决于e,z,a和θ。
.故用u(c)形成一个复合函数u{(e,z,a,θ)}，并可写成u(e,z,a,θ)。
三、贝叶斯决策的常用方法层次分析法(AHP)在社会、经济和科学管理领域中，人们所面临的常常是由相互关联，相互制约的众多因素组成的复杂问题时，需要把所研究的问题层次化。
所谓层次化就是根据所研究问题的性质和要到达的目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照各因素之间的相互关联影响和隶属关系将所有因素按假设干层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。
2.贝叶斯决策理论(3学时)
【基于最小风险的贝叶斯决策】
数学描述
（4）
h(x)
ln
l(x)
ln
p(x
|
1)
ln
p(x
|
2 )
ln
P(1 ) P(2 )
h(x)
ln
l(x)
ln
p(x
|
1)
ln
p(x
|
2 )
ln
P(1 ) P(2 )
x 1
x 2
【基于最小错误率的贝叶斯决策】
【基于最小错误率的贝叶斯决策】
【基于最小错误率的贝叶斯决策】
【引决言策】
把样本x分到哪一类最合理？解决该问题的理论基础之一是 统计决策理论
决策：是从样本空间S，到决策空间Θ 的一个映射，表示为 D: S --> Θ
评价决策有多种标准，对于同一个问题，采用不同的标准 会得到不同意义下“最优”的决策。
Bayes决策常用的准则： 最小错误率准则 最小风险准则 在限定一类错误率条件下使另一类错误率为最小的准则 最小最大决策准则
正态分布概率模型有很好的性质，有利于做数学分析。
【正态分布时的统计决策】
1. 单变量正态分布
单变量正态分布概率密度定义为
p(x)
1 2
exp
1 2
第四章 贝叶斯决策
第四章贝叶斯决策决策的科学化就是90%的信息加上10%的判断，信息必须要全面、准确、及时，否则就会造成决策的失误，只有最大限度地获取信息和利用信息，才能最大限度地提高决策的正确性。
在风险型决策中，假设各个结局R的发生概率是已知的，一j总是根据历史经验，统计资般Pj料由决策者估计的，又称为“先验概率”。
●某水利工程公司拟对大江截流的施工工期做出决策。
可供选择的方案有两种：一是在9月份施工；二是在10月份施工。
●假定其他条件都具备，影响截流的唯一因素是天气与水文状况。
10月份的天气与水文状况肯定可以保证截流成功。
而9月份的天气水文状况有两种可能。
如果天气好，上游没有洪水，9月底前截流成功，可使整个工程的工期提前，从而能比10月施工增加利润1000万元；如果天气坏，上游出现洪水，截流失败，则比10月施工增加500万元的损失。
●根据以往经验，9月份天气好的可能性是0.6，天气坏的可能性是0.4。
●是否应在9月份施工？为该公司选择合适的行动方案。
●某水利工程公司拟对大江截流的施工工期做出决策。
可供选择的方案有两种：一是在9月份施工；二是在10月份施工。
●假定其他条件都具备，影响截流的唯一因素是天气与水文状况。
10月份的天气与水文状况肯定可以保证截流成功。
而9月份的天气水文状况有两种可能。
如果天气好，上游没有洪水，9月底前截流成功，可使整个工程的工期提前，从而能比10月施工增加利润1000万元；如果天气坏，上游出现洪水，截流失败，则比10月施工增加500万元的损失。
●根据以往经验，9月份天气好的可能性是0.6，天气坏的可能性是0.4。
●是否应在9月份施工？为该公司选择合适的行动方案。
●先验概率，即前述给出的自然状态出现的概率只是一种比较粗糙地调研而获得的自然状态的概率分布。
●解：（1）先验分析根据题意可列出该问题的收益矩阵表：E(Q(a 1))＝1000×0.6－500×0.4＝400万元；E(Q(a 2))＝0表1 收益矩阵表j θ：天气状况 天气好 天气坏先验概率P(j θ)0.6 0.4 方案9月施工 a 1 10月施工 a 2 1000 －500 0 0●【例】某水利工程公司拟对大江截流的施工工期做出决策。
决策分析第4章-贝叶斯决策分析方法
H ( X ) pi log pi
i 1
可证明，当p1 = p2= … = pn = 1/n时，H(X) = logn最大，此 时，随机变量X的不确定性最大，随着H(X)的减小，X的 不确定性减低，当X是确定量时，信息熵为0
信息量可以定义为“获得信息前后的信息熵之差” 信息熵(information entropy)的概念是信息论创始人香农
均为0.25
方案a1的收益期望值为：750/4 方案a2的收益期望值为：180/4 方案a3的收益期望值为：350/4
所以最佳方案为a1Biblioteka 17回顾：损失值和损失矩阵
损失值：指由于决策者不知道实际上将发生哪一种自然状 态，致使所做的决策不是实际最优的决策所带来的损失
损失值函数：r(a, θ)，表示自然状态θ下采用方案a带来的 机会损失
4
目录
1 贝叶斯定理回顾 2 行动函数和贝叶斯风险 3 贝叶斯决策分析方法 4 获得情报信息的途径
5 情报的价值及后验预分析
5
条件概率
6
贝叶斯定理
k=1,2,…,n
7
贝叶斯定理的例子
p(x |2 ) C142 0.38 0.74
p(x |1) C142 0.34 0.78
8
分析及结论
r (2 ) R(2, ) p( ) 50.4 * 0.1 38.8* 0.15 49.6 * 0.25 55* 0.5 50.76 显然，行动规则2的贝叶斯风险较小！ 30
小结
行动规则
情报信息
损失矩阵
得到采取某种行 动方案的概率
得到特定行动 规则和自然状 态条件下的决
策风险
得到采取某种 行动规则的贝
如果自然条件为θ2（200万桶油井）
贝叶斯决策理论教材(PPT 94页)
❖ 期望风险反映对整个空间上所有x的取值采取相应的 决策α(x)所带来的平均风险，也即条件风险在特征 空间的平均值。
最小风险准则
❖ 两分类问题的例子：
❖ 似然比公式
0-1 损失
( i
|
j
)
0 1
i j i j
❖ 当作出正确决策时（i=j）时没有损失，而对 任何错误的决策，其损失为1。此时定义的损 失函数为0-1损失函数。
策即为最小风险贝叶斯决策
最小风险准则
最小风险准则
❖ 对于贝叶斯最小风险决策，如果损失函数为“01损失”，即取如下的形式：
i wj
0, 1,
for i j ; i, j 1,
for i j
,c
那么，条件风险为：
c
R i x i j P j x P j x 1 P i x
第2章 贝叶斯决策理论
Bayesian Decision Theory
❖ 模式识别是根据对象特征值将其分类。 d个特征组成特征向量x=[x1,···,xd]T，生成d 维特征 空间，在特征空间一个 x 称为一个模式样本。
❖ Bayes决策理论是用概率统计方法研究决策问题。 ⒈ 为什么可用Bayes决策理论分类？ ⑴样本的不确定性：
Neyman-Pearson准则
❖ 对两分类问题，错误率可以写为：
Pe p x R1, x 2 p x R2, x 1
p x | 2 p2 dx p x | 1 p1 dx
R1
R2
p x | 2 dx p2 p x | 1 dx p1
R1
R2
p2 e p2 p1 e p1
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