高中数学函数专题经典.doc

高中数学函数专题

1．已知在实数域R 上可导的函数)(x f y =对任意实数21,x x 都有

),()()(2121x f x f x x f ⋅=+若存在实数b a ,，使0)(0)(>'≠b f a f 且， 求证：（1）0)(>x f ；（2）),()(+∞-∞=在x f y 上是单调函数

证明：（1）2

)]2

([)2()2()22()(x f x f x f x x f x f =⋅=+=

又()[()]()()0,()022222x x x x x f a f a f f a f =+-=⋅-≠∴≠,0)(0)]2

([2

>>∴x f x f 即

（2）x x f b f x b f x f b f x b f x b f b f x x x ∆-∆=∆-∆=∆-∆+='→∆→∆→∆1

)(lim

)()()()(lim )()(lim )(000 即)()

()(]1)()[(lim )()()(1)(lim 00b f b f x f x x f x f x f b f b f x x f x x '⋅=∆-∆='∴'=∆-∆→∆→∆

0)(0)(,0)(,0)(>'∴>>'>∴x f b f b f x f )(x f ∴在R 上是单调递增函数.

2．已知抛物线C 的方程为F x y ,42

=为焦点，直线()00:1>=+-k k y kx l 与C 交于A 、

B 两点，P 为AB 的中点，直线2l 过P 、F 点。

（1）求直线2l 的斜率关于k 的解析式)(k f ，并指出定义域；

（2）求函数)(k f 的反函数)(1

k f

-；（3）求1l 与2l 的夹角θ的取值范围。 （4）解不等式()()1,0121log 1

≠>>⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-a a x xf a 。

解：（1）()⎩⎨⎧+==142x k y x y ⎩⎨⎧>>-=∆⇒=+-⇒0

0161604422

k k k y ky 10<<⇒k

()0,1,21,222221F k k k y x k y y y p p p -=-==+= ()1011202)(2

2

2<<-=

---=∴k k k

k

k k k f （2）()02141)(21

>-+=

-k k k k f （3）⎪⎭

⎫

⎝⎛∈∴<<∴<<=+-=4,0,10,10,)(1)(3πθθθtg k k k kf k k f tg

（4）4124121)(221

+=+=+-x x x xf ，∴原不等式为 ()0241log 2>>⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+x x a

当1>a 时，41,41222->∴->a x a x ；当10<

12

2-

210≤

1

<

3．已知二次函数)(41)(2R t a

t b at t f ∈+

-=有最大值且最大值为正实数，集合

}0|

{<-=x

a

x x A ，集合}|{22b x x B <=. （1）求A 和B ； （2）定义A 与B 的差集：A x x B A ∈=-|{且}B x ∉.设a ，b ，x 均为整数，

且A x ∈。)(E P 为x 取自B A -的概率，)(F P 为x 取自B A 的概率，写出a 与b 的三组值，使3

2

)(=E P ，

3

1

)(=F P ，并分别写出所有满足上述条件的a （从大到小）

、b （从小到大）依次构成的数列{n a }、{n b }的通项公式（不必证明）； （3）若函数)(t f 中，n a a =，n b b = （理）设1t 、2t 是方程0)(=t f 的两个根，判断||21t t -是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。

（文）写出)(t f 的最大值)(n f ，并判断)(n f 是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。 解：（1）∵)()(412R t t b at t f a ∈+-=有最大值，∴0

b a b t a t f 4

122)()(-+-

=，由1041>⇒>-b a

b .∴}0|{<<=x a x A ，}|{b x b x B <<-=。

（2）要使3

2)(=

E P ，3

1)(=F P 。可以使①A 中有3个元素，B A -中有2个元素，B A 中有1个元素.则2,4=-=b a .②A 中有6个元素，B A -中有4个元素，B A 中有2个元素。

则3,7=-=b a .③A 中有9个元素,B A -中有6个元素,B A 中有3个元素.则4,10=-=b a .1,13+=--=n b n a n n . （3）（理）0)(=t f ，得01>-=∆n b .

6911

691

2122121122

4)(||)(++++-=

=

=

-+=-=n

n

n n n n n a b t t t t t t n g ，

∵692911=⋅≥+n

n n n ，当且仅当31

=n 时等号成立. ∴)(n g 在N 上单调递增。4

1max 21)1(||==-g t t .又0)(lim =∞

→n g n ，故没有最小值。 （文）∵n

n

n n n a b n g 4121

4

1241)(++-===单调递增，

∴4

1min )1()(==f n f ，又12

1)(lim =∞

→n f n ，∴没有最大值。