淋雨量建模

淋雨量与跑步速度关系探究
摘要
本文就“淋雨量与跑步速度关系”的问题建立了数学模型，从实际情况出发对不同条件下速度和淋雨量关系做出分析探究。

针对问题一：因为已经假设雨淋遍全身，且不考虑雨的方向，当人以最大速度跑步时，可由题中的已知条件，直接列方程求解。

针对问题二：利用最优化原理，以雨从迎面吹来时的“淋雨量—速度”图像为指标，利用了几何中的面积公式及物理中速度的分解等知识，建立出一个动态规划模型，结合题目中的已知条件，列出方程求解。

针对问题三：解决方法和问题二相同，通过绘制出雨从背面吹来时的“淋雨量—速度”图像，方便快速直观地得到两者关系。

利用了第二问已知的几何中的面积公式及物理中速度的分解等知识，列出方程求解即可得到相应结论。

针对问题四：结合问题三的结论，做出相应的图像，即可清楚地得出总降雨量最小的点。

针对问题五：将简单的平面问题升华为空间问题，但处理方法和问题二基本相同，只是增加了空间角，本质没有区别。

关键词：总淋雨量a
Mathematic
1．问题分析
本文讨论的是跑步快慢与淋雨量的关系。

总的淋雨量即为人体的各个面上的淋雨量之和。

每个面上的淋雨量等于单位面积，单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。

面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。

再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。

当雨线方向和跑步方向不在同一平面时，我们设出雨线方向角，按照上述方法将其分解，同样可以解决问题。

2．问题的重述
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，说明是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，解释不考虑雨的方向，雨从迎面吹来，雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向不在同一平面内的总淋雨量时的模型变化，已知总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。

每个面上的淋雨量等于单位面积，单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。

面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值，再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程即可求解。

3．模型假设
假设人体为一个长，宽，高都确定的长方体；
假设雨速为常数且方向不变；
假设人体跑步速度不受其他因素影响；
假设降雨量在一定时期内为定值。

4．符号说明
a人体身高
b人体宽度
c人体厚度
d跑步距离
u雨速
w
降雨量 v 跑步速度
θ 同一平面内，雨从迎面吹来，雨线与
人体夹角
α 同一平面内，雨从背面吹来，雨线与人体夹角
t 全过程所花费的时间
s
面积 5．模型的建立与求解
5.1.1模型建立与求解
不考虑雨的方向，因为降雨量W 均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W 的求解公式如下：
v d
w ac bc ab W )22(++=
利用a Mathematic 编程求解，可得：
W =0.00244444 3m
5.1.2模型的分析
在雨中只跑了200秒的时间，身体上却被淋了约为2.44升的雨水（大约有四瓶啤酒的量），这是不可思议的。

因此这表明，我们得到的这个模型用来描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的。

5.2.1模型的建立和求解
根据题意，当雨从迎面吹来时，由经验可知，这时被淋湿的部位将仅仅是的顶部和前方，将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s （顶部）2s （前面），人体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量1u 、行走时间有关。

设雨滴下落的速度为 u （米/秒），雨线与人体的夹角为θ，显然，降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴的密度，可用单位面积时间的淋雨量来表示密度。

如图所示： Ɵ
u
v
b
c
a
列式求解如下：
假设，水平分量为 1q 垂直分量为2q
则顶部：
θcos 1u p =
bc s =1
假设降雨量w 与点密度（均匀不计）有关，淋雨量与人相对速度有关，所以：
θcos 1w w =
θθcos cos 111v
bcdw v d bc
w t s w W === （1）顶部被淋的雨水：顶部的面积是bc ，不难得到，在时间/t d v =内淋在顶部的雨水量是
v
bcdw W θcos 1= （2）前方表面淋雨量：前方的面积是ba ，雨速的分量是cos u v α+，类似地我们有，前方表面被淋到的雨水量是： v
abdw W 12= 所以总的淋雨量
v
abdw v bcdw W W W 121cos +=+=θ 则考虑夹角θ不变的情况下v 越大W 越小，当v=5m/s 时，淋雨量W 最小； 因此假设带入θ=30时，列出函数图象：
则在速度最大时，角度变换为0°与30°时的淋雨量W 为：
当θ=0°时，W =1.15L
当030θ= 时，W=1.55L
5.2.2模型的分析
分析上式可知此时v 越大则W 越小，即当雨在人跑步水平方向上的分速度与人跑步速度相对时，人跑的越快，淋雨量越少。

5.3.1模型的建立与求解
根据题意，当雨从背面吹来时，由经验可知，这时被淋湿的部位将仅仅是的顶部和后方，将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s （顶部）2s （前后两面）， 设雨滴下落的速度为 u （米/秒），雨线与人体的夹角为θ，显然，降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴的密度，可用单位面积时间的淋雨量来表示密度。

如图所示：
O
u
v
b
c
a
1s 面积为 bc s =1假设：1w 与雨点密度，雨点与人的相对速度成正比而雨点均匀分布。

头顶：
v
bcdw t w s W αcos 111==
正面：
当v u <αsin 时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面
v
abdw u u v W αsin 2-= 当v u ≥αsin 时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的后面
v
abdw u v u W -=
αsin 2 已知 21W W W +=
所以[][]cos sin sin cos sin sin bcw d u v d wab u v v u v W bcw d v u d
wab u v v u v αααααα⨯⨯-⎧+⨯⎪⎪=⎨⨯⨯-⎪+⨯≤⎪⎩>
用编程求解可得：
当v=2m/s时，总淋雨量最少;
雨线方向与人体夹角为30°时，淋雨量为0.006242983m。

5.4.1根据问题三的结论，列出总的淋雨量W和人速度v之间的关系式，利用画出α取不同值时的函数图像如下：
分析图像可知，当v=2时，总淋雨量最少。

5.5.1模型建立与求解
应用（3）中的结论
cos d bcw v =1W θ
前后侧
当sin cos v u θβ≤时
相对速度 sin cos v u θβ-，
2sin cos v u d W wab u v θβ-=
可总结为
2sin cos v u d W wab u v θβ-=
同理，可得左右侧接收雨量
3sin sin u d W wac u v θβ=
三者相加得
sin cos sin sin cos v u u d d d W bcw wab wac v u v u v θβθβ-=+θ+
模型评价
模型优点
本文问题二与问题三都重点体现了模型的建立,指出了求最优解的思想。

图形的有效利用，使结果更直观明了。

模型缺点
本文的缺点是限制因素太多，变量过少。

考虑问题也不太全面，致使结果可能与实际情况不太符合，但本文的思路和解题方法是正确的，可以为进一步的研究奠定基础。