现代控制理论复习题

概念：

设动态系统为)()()(,)()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x

+=+=&，

（1）若At e t =Φ)

(，则)(t Φ称为（状态转移矩阵 ）

（2）若D B A sI C s G +-=-1

)()(，则)(s G 称为（ 传递函数矩阵 ）

（3）若],,,,[],[1

2B A B A AB B B A n c -=ΓΛ，则],[B A c Γ称为（能控性矩阵） （4）若T

n o CA CA CA C A C ],,,,[],[12-=ΓΛ，则],[A C o Γ称为（能观性矩阵） （5）若],,,,,[],,[1

2D B CA B CA CAB CB B A C n oc -=ΓΛ，则],,[B A C oc Γ称为（输出能

控性矩阵）

（6）李雅普诺夫方程

Q PA P A T -=+，其中Q 为正定对称阵，当使方程成立的P

为（ 正定对称阵 ）时，系统为渐近稳定。

（7）设系统0)0(,0,)(=≥=f t x f x &，如果存在一个具有一阶导数的标量函数

)(x V ，0)0(=V ，并且对于状态空间X 中的且非零点x 满足如下条件：)(x V 为（正定）；)(x V

&为（负定）；当∞→x 时，∞→)(x V 。则系统的原点平衡状态是

（大范围渐近稳定的）。

（8）状态反馈不改变系统的（可控性）。输出至状态微分反馈不改变系统的（可观测性）。输出至参考输入反馈，不改变系统的（可控性和可观测性）。状态反馈和输出反馈都能影响系统的（稳定性和动态性能）。

（9）状态反馈控制的极点任意配置条件是系统状态（完全可控）。状态观测的极点任意配置条件是系统状态（完全可观）。 （10）系统线性变换Px x =时，变换矩阵P 必须是（非奇异的，或满秩）的。

二：已知系统传递函数 )

2()1(5

)(2

++=

s s s G ，试求约当型动态方程。 解：25

15)

1(5)2()1(5)(2

2+++-+=++=

s s s s s s G

由上式，可得约当型动态方程

[]⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321555110200010011x x x y u x x x x x x &&&

三：试求下列状态方程的解 x x ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=30002000

1&的解 解：由题意可得：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧-=-==-=---0110

1

0)()()()(x

A sI L t x x A sI x x

x A sI Ax x

& 0

3201

1

1000000310002100011300020001

)(x e e e x s s s L x s s s L t x t t t ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=------

五：设系统状态方程为0111x x u a b ⎡⎤⎡⎤

=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&，并设系统状态可控，试求,a b 。 解：

[]⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡-==11

ab b b AB B P c M

令b

b a b ab P

c 1

012+≠⇒≠--=时，即可满足可控性条件。

六：试确定使系统[]1,110a x x y x b ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦&可观测的.,b a 。

解：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a CA C P c 111 101+≠⇒≠+-=a b a b P c 时，于是系统可观。

第A9-3题：系统微分方程为 u x x x =++23&&&

， 其中u 为输入量；x 为输出量。

⑴设状态x x x x &==21

,，试写出系统的动态方程；

⑵设状态变换212211

2,x x x x x x --=+=，试确定变换矩阵

T ，及变换后的

动态方程。 参考答案：

⑴列写系统的动态方程

[]⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212101103210x x y u x x x x &

& ⑵求变换矩阵T 和变换后的动态方程

由题意知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212111x x x x , 故变换矩阵 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=2111

T 由于

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-11121T , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-20011

AT T A ⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-==-111

B T B , []11==CT C

变换后的动态方程

u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣

⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1120012121&&, []⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=2111x x y

第A9-5题：已知系统结构图，其状态变量为x 1，x 2，x 3。试列写动态方程。

参考答案：

⑴将频域参量s 视作微分算子，可得

21)3()(2x s x u +=- ，

132)3()(2x s s x x +=-

13sx x =，

1x y =

⑵整理得动态方程

31x x =&

u x x x 232212+--=&

32332x x x -=&

1x y =

⑶写成向量矩阵形式

u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020320032100321321&&&, []⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛⋅=321001x x x y

第A9-6题：已知系统传递函数为

3

48

6)(22++++=s s s s s G

试求可控标准型（A 为友矩阵），可观标准型（A 为友矩阵转置），对角型（A 为对角阵）动态方程。 参考答案：