山东科技大学概率论卓相来岳嵘第一章习题解析

习 题 一

1.写出下列随机试验的样本空间：

（1）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. （2）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果. 1.（1）{}10,11,

;S = （2）{}1)

,(22<+=y x y x S ，

（3）{}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S .其中0表示次品，1表示正品.

2.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，

A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”

B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.”

C =“两次出现同一面.”

2.【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；

{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,

(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),

(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),

(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),

C =正正正反反 3.设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生，B 与C 不发生. （2）A 与B 都发生，而C 不发生. （3）C B A ,,中至少有一个发生. （4）C B A ,,都发生. （5）C B A ,,都不发生.

（6）C B A ,,中不多于一个发生. （7）C B A ,,中不多于两个发生. （8）C B A ,,中至少有两个发生.

3.【解】（1） A BC （2） AB C （3）A ∪B ∪C （4）ABC (5) C B A (6) C B C A B A ⋃⋃

(7) A BC ∪A B C ∪AB C ∪AB C ∪A BC ∪A B C ∪ABC =ABC =A ∪B ∪C (8) AB C ∪A B C ∪A BC ∪ABC= AB ∪BC ∪CA .

4.在某系的学生中任选一名学生.令事件A 表示“被选出者是男生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是运动员”.

（1）说出事件C AB 的含义；

（2）什么时候有恒等式C C B A = ； （3）什么时候关系式B C ⊆正确； （4）什么时候等式B A =成立.

4.(1)该生是三年级男生但不是运动员;(2)当某系的运动员全是三年级男生时;(3)当某系除三年级外其它年级的学生都不是运动员时;(4)当某系三年级的学生都是女生,而其它年级都没有女生时.

5.盒中有10只晶体管. 令i A 表示“10只晶体管中恰有i 只次品”， B 表示“10只晶体管中不多于3只次品”， C 表示“10只晶体管中次品不少于4只”.问事件(0,1,2,3)i A i =，

B ，

C 之间哪些有包含关系？哪些互不相容？哪些互逆？

5. ,0,1,2,3i A B i ⊂=；0123,,,,A A A A C 两两互不相容，B 与C 互不相容；B 与C 互

逆。

6. ,A B 是任意两个事件，化简下列式子 （1）()()()()

A

B A B A B A B ； （2）AB AB AB AB AB ⋃⋃⋃-.

6. （1）∅； （2）AB .

7.若()0.5P A =，()0.2P AB =，()0.4P B =，试求

（1）()P AB ；（2）()P A B -；（3）()P A B ⋃；（4）()P A B . 7. （1）因为()()()()P AB P B A P B P AB =-=-，故

()()()0.40.20.2P AB P B P AB =-=-=；

（2）()()()1()()0.3P A B P A P AB P A P AB -=-=--=； （3）()()()()0.7P A B P A P B P AB ⋃=+-=； （4）()()1()0.3P AB P A B P A B =⋃=-⋃=.

8.观察某地区未来5天的天气情况，记i A 为事件“有i 天不下雨”，已知

0()(),1,2,3,4,5i P A iP A i ==，求下列事件的概率.

(1) 5天均不下雨； （2）至少有一天不下雨； （3）至多三天不下雨.

8.易知015,,,A A A ⋅⋅⋅两两互不相容且015A A A S ⋃⋃⋅⋅⋅⋃=，所以

()()()()()0150151P S P A A A P A P A P A ==⋃⋃⋅⋅⋅⋃=+++

()()()()()000002516P A P A P A P A P A =++++=

于是得()01/16P A =，()/16,1,2,3,4,5i P A i i ==.

记（1），（2），（3）所表示的事件分别为C B A ,,，则 （1）()()01/16P A P A ==； （2）()()0115/16P B P A =-=

（3）()()()45114/165/167/16.P C P A P A =--=--= 9. 设,A B 是两事件，且()0.6P A =，()0.7P B =，问 （1）在什么条件下()P AB 取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下()P AB 取到最小值，最小值是多少？

9. （1）A B ⊂时，()P AB 取到最大值0.6 （2）()1P A B ⋃=时，()P AB 取到最小值0.3。

10.某城市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比.

10.3.0

11. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

11. p =5

3

3

2

13

1313131352C C C C /C

12.将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 12.设,,A B C 分别表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件，则

3

4323

()48P A ⋅⋅=

=； 34111

()416

P C ⋅⋅==；

319

()1()()181616

P B P A P C =--=--=.

13. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面4个数全不相同的概率（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2，…，9）.

13. 这是重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列

问题.用10个数去排4个位置,有410A 种排法,故所求概率为44

10/10P A =.