第一章概率论习题解答
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率论第一章习题
Hi)
1 7 3 30
8 30
5 30
2 9
q
P( A1
A2 )
P( A1A2 ) P( A2 )
2 9
61 90
20 61
补充练习题
1. 假设事件A和B满足P(B|A)=1,则( )
(A) 事件A是必然事件 (B)P(A/B)=0
(C) A B
(D)B A
答案:D
解析:由于P(A|B)=P(AB)/P(A)=1,可知P(AB)=P(A).从而 有A B.
此箱玻璃杯中,确实没有次品的概率.
解：设 A={顾客买下所查看的一箱},
Bi={箱中恰好有 i 件次品}, i=0, 1, 2.
由题设可知：P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,
P(A|B0)=1
P(A|B1)=
C149|B2)=
C148
C
4 20
12 19
m n1
n m
n
C
2 n
C2 m n1
m2 mn2
4. 设玻璃杯整箱出售, 每箱20个, 各箱含0, 1, 2个次品的概率
分别为 0.8, 0.1, 0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯, 由售货员任取
一箱, 经顾客开箱随机查看 4个. 若无次品, 则买一箱玻璃杯,
否则不买. 求： (1)顾客买此箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买的
2. 设 P(A)=0.3, P(B)=0.4,P(A|B)=0.5, 求 P(B|A)， P(B| A∪B)， P( A∪B | A∪B).
[答案] 0.2, 0.8, 0.6
3. 一袋中装有m(m3)个白球和 n个黑球，今丢失一 球，不知其色. 先随机从袋中摸取两球，结果都是白 球，球丢失的是白球的概率.
《概率论与数理统计》第01章习题解答
第一章 随机事件及其概率第1章1、解：（1）{}2,3,4,5,6,7S = （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-=3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球； （2）4只中至少有2只红球； （3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
第一章概率论解析答案 习题解答
第一章概率论解析答案习题解答第一章概率论解析答案习题解答第一章随机事件与概率i教学基本要求1.理解随机现象和随机实验，理解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系和操作；2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质；3.了解条件概率，了解概率的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，并能用它们解决简单问题；4、理解事件的独立性概念.二、解决问题a组1.填写以下随机试验的样本空间(1)抛掷两颗骰子，观察两次点数之和；(2)连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止；(3)某路口一天通过的机动车车辆数；(4)某城市一天的用电量.解决方案：（1）？？{2,3,?,12}；(2)记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则??{(1),(0,1),(0,0,1),?}；(3)??{0,1,2,?}；(4)??{t|t?0}.2.设a、B和C为三个事件。
试着表达以下事件：（1）a、B和C全部或全部发生；（2）至少出现a、B和C中的一种；（3）出现的a、B和C不超过两个解：(1)(abc)?(abc)；(2)a?b?c；(3)abc或a?b?c.3.在一次击球中，将a记为“打2到4圈”，B记为“打3到5圈”，C记为“打5到7圈”。
写出以下事件：（1）AB；（2） a？b、（3）a（b？c）；（4）abc。
解：(1)ab为“命中5环”；（2） a？B是“打0到1环或3到10环”；1（3） A（B？C）是“打0到2圈或5到10圈”；（4） ABC是“打2到4环”4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为??{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.设a为“取出的两个正整数之和为偶数”，则A.{（0,0），（1,1）}，那么p（a）？1.25. 从52张牌中取出4张牌，计算以下事件的概率：(1)全是黑桃；(2)同花；(3)没有两张同一花色；(4)同色？解决方案：有C52种可能的方法从52张卡中选择4张卡4c13(1)设a为“全是黑桃”，则a有c种取法，于是p(a)?4；C52413（2）将B设置为“同一朵花”，那么B有4c413种方法，所以44c13p(b)?4；C52134（3）将C设置为“没有两种颜色相同”，那么C有13种方法，那么p（C）呢？4.c52442c26(4)设d为“同色”，则d有2c种取法，于是p(d)?4.C524266。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
《概率论》第一章习题(A)参考答案
第一章习题（A ）参考答案（注：有些题可能存在多种解法，希望同学能够多动脑思考，不要将思维局限于参考答案。
）4．解：（1）()1()0.7P B P B =-= ，()()()()0.4P AB P A P B P A B ∴=+-⋃=；（2）()()()()0.3P B A P B AB P B P AB -=-=-= ； （3）()()1()0.2P AB P A B P A B =⋃=-⋃= 。
5．解：从8个球中任取2个，共有2887282!n C ⨯===种取法。
设事件A 表示取到的两个球颜色相同，可分成两种情况：取到白球；取到黑球。
完成事件A 共有22535432132!2!m C C ⨯⨯=+=+=种取法，则根据古典概型的概率计算公式，可求得13()28m P A n ==。
6．解：考虑将两组分别记为甲组和乙组，则分配球队的时候，先将10支球队分到甲组，再将剩下的10支球队分到乙组，共有101010201020n C C C ==种分法。
对于最强的两队，先取一支强队分到甲组，接着再从其余18支稍弱的球队中取9支分到甲组，这样甲组就有一支最强队及9支稍弱的队，最后将剩下的10支球队分到乙组，这样共有19218m C C =种分法。
则最强的两队被分到不同组内的概率为192181020100.526319===≈C C m p n C 。
7．解：将12个球随意放入3个盒子中，对于每个球，都可以从3个盒子中选一个盒子放球进去，因此共有123n =种放法。
设事件A 表示第一个盒子中有3个球，先从12个球中取出3个球放进第一个盒子，剩下的9个球随意放进其余两个盒子中，对于这9个球，每个都可以从其余两个盒子中选一个盒子放球进去，因此完成事件A 共有39122m C =⨯种方法，则第一个盒子中有3个球的概率为3912122()0.2123C m P A n ⨯==≈。
8．解：由于每颗骰子有6个不同的点数，因此同时掷4颗均匀骰子共有46n =种不同的结果。
概率论习题第一章(答案)
第一章一、填空题1、设事件A,B 满足AB AB =,则()P A B = 1 ，()P AB = 0 。
2、已知P(A)0.5,P(B )0.6,P(B A)0.8,===则()P A B = 。
3、已知()()()1P A P B P C 4===，()P AB 0=,()()1P AC P BC 6==，则事件A,B,C 都不发生的概率为712。
4、把10本书随意放在书架上，其中指定的3本书放在一起的概率为115。
5、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为16。
二、选择题1、下列命题成立的是（ B ）A ：()()ABC A B C --=- B ：若AB ≠∅且A C ⊂，则BC ≠∅ C ：A B B A -=D ：()A B B A -= 2、设A,B 为两个事件，则（ C ）A ：()()()P AB P A P B ≥+ B ： ()()()P AB P A P B ≥C ：()()()P A B P A P B -≥-D ：()()()()P A P A B P B0P B ≥>3、设A,B 为任意两个事件，且A B ⊂，P(B )0>，则下列选项必然成立的是（ D ）A ：P(A)P(AB )< B ：P(A)P(A B )>C ：P(A)P(A B )≥D ：P(A)P(A B )≤4、袋中装有2个五分，3个贰分，5个壹分的硬币，任取其中5个，则总币值超过壹角的概率（ B ）A ：14B ：12C ：23D ：34三、解答题1、某班有50名同学，其中正、副班长各1名，现从中任意选派5名同学参加假期社会实践活动，试求正、副班长至少有一个被选派上的概率。
()248248142347P A 502455⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭或者()()48547P A 1P A 1502455⎛⎫ ⎪⎝⎭=-=-=⎛⎫ ⎪⎝⎭2、一批产品共200个，有6个废品。
概率论与数理统计练习册—第一章答案
第一章 概率论的基本概念基础训练I一、选择题1. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ D ）。
A ）甲种产品滞销，乙种产品畅销；B ）甲乙产品均畅销；C ）甲种产品滞销；D ）甲产品滞销或乙种产品畅销.2、设A ,B ,C 是三个事件，则C B A ⋃⋃表示（ C ）。
A ） A ,B ,C 都发生； B ） A ,B ,C 都不发生；C ） A ,B ,C 至少有一个发生；D ） A ,B ,C 不多于一个发生3、对于任意事件B A ,，有=-)(B A P （ C ）。
A ）)()(B P A P -； B ）)()()(AB P B P A P +-；C ）)()(AB P A P -；D ）)()()(AB P B P A P -+。
4、已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人抽中易题的概率是( A ) 。
A ） 3/5；B ）3/4；C ）2/4；D ）3/10.5、抛一枚硬币，反复掷4次，则恰有3次出现正面的概率是（ D ）。
A ） 1/16B ） 1/8C ） 1/10D ） 1/46、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ A ）。
A ）B A ,相互独立； B ）B A ,互不相容；C ）A B ⊃；D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。
二、填空题1.设C B A ,,是随机事件，则事件“A 、B 都不发生，C 发生”表示为C B A , “C B A ,,至少有两个发生”表示成BC AC AB ⋃⋃ 。
2.设A 、B 互不相容，4.0)(=A P ，7.0)(=⋃B A P ，则=)(B P 0.3 ；3. 某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种的住户百分比是：30%；4.设4/1)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ，则C B A 、、三件事至少有一个发生的概率为：5/8；5. 若A 、B 互不相容,且,0)(>A P 则=)/(A B P 0 ；若A 、B 相互独立，,且,0)(>A P 则=)/(A B P )(B P 。
概率论~第一章习题参考答案与提示
第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示1． 设为三个事件，试用表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件：C B A 、、C B A 、、（1）仅有一个事件发生； （2）至少有两个事件发生；（3）三个事件都发生； （4）至多有两个事件发生；（5）三个事件都不发生； （6）恰好两个事件发生。
分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件表示出来。
C B A 、、 解：（1）仅有一个事件发生相当于事件C B A C B A C B A 、、有一个发生，即可表示成C B A C B A C B A ∪∪；类似地其余事件可分别表为（2）或AC BC AB ∪∪ABC B A BC A C AB ∪∪∪；（3）；（4）ABC ABC 或C B A ∪∪；（5）C B A ；（6）B A BC A C AB ∪∪或。
ABC AC BC AB −∪∪ 由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。
2．如果表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系：x {}20|≤=x x A {}3|>=x x B {}9|<=x x C{}5|−<=x x D{}9|≥=x x E 解：（1）包含关系： 、 A C D ⊂⊂B E ⊂ 。
（2）互不相容关系：C 与E （也互逆）、B 与、D E 与。
D 3．写出下列随机事件的样本空间：（1）将一枚硬币掷三次，观察出现H （正面）和T （反面）的情况；（2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数；（3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；（4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。
提示与答案：（1）；{}TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH ,,,,,,,=Ω（2）； {,2,1=Ω}（3）；{}18,,4,3 =Ω（4）。
{} ,11,10=Ω4．设对于事件有C B A 、、=)(A P 4/1)()(==C P B P , ，8/1)(=AC P0)()(==BC P AB P ，求至少出现一个的概率。
大学概率论第一章答案
习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ).(A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ).(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C =I U ,本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色;(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数.解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10}.|0,1,2,n n +=L 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件：(1) 仅有A 发生；(2) A , B , C 中至少有一个发生;(3) A , B , C 中恰有一个发生;(4) A , B , C 中最多有一个发生;(5) A , B , C 都不发生;(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生.解 (1) ABC ; (2) ; (3) A B C U U ABC ABC ABC U U ; (4) ABC ABC ABC ABC U U U ; (5) ABC ; (6) ()A B C U .4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：(1) A 1∪A 2; (2)A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2A A U 3； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31. 选择题(1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B −=−. (B)()()()P A B P A P B =+U .(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0.解 本题答案应选(C).2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =−=−−+=U ,故. 于是()()1P A P B +=()1.P B p =−3. 已知()0.4P A =,,()0.3P B =()0P A B .4=U , 求()P AB .解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+−U 知()0.P AB 3=. 于是()()()0.1P AB P A P AB =−=..34. 设A , B 为随机事件,,()0.7P A =()0P A B −=, 求()P AB .解 由公式()()(P A B P A P AB )−=−可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概率.解 因为,所以=0, 即有=0.ABC AB ⊂0()P ABC P AB ≤≤（）()P ABC 由概率一般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++−−−+=U U 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是5()()1()12P ABC P A B C P A B C ==−U U U U =.习题1-41. 选择题 在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品.(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为113225C C C ×, 没有一等品的概率为023225C C C ×, 将两者加起即为0.7.答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C . 3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；(3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有种，一黑一白的取法有种，由古典概率的公式知道29C 24C 1154C C (1) 两球都是白球的概率是2924C C ; (2) 两球中一黑一白的概率是115429C C C ; (3) 至少有一个黑球的概率是12924C C −. 习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件.(C) AB B =. (D)()(P AB P B )=.解 由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()P A 1<<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若((P AB P A =), 则A , B 互斥.(B) 若()P B A 1=, 则()0P AB =.(C) 若()()P AB P AB +1=, 则A , B 为对立事件.(D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解 由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}.解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813. 3. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则表示“恰有i 发击中目标”. (0,1,2,3i B i =)i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中目标概率为,0()0.60.50.30.09P B =××=恰有一发击中目标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =××+××+××=,恰有两发击中目标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =××+××+××=,恰有三发击中目标概率为3()0.40.50.70.14P B =××=.又已知 012(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B 3====,所以由全概率公式得到30()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.i i i P A P B P A B ===×+×+×=∑4. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.解 (1)以A 表示“取得球是白球”，表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. i H 则P ()=i H 13, i =1,2,3, 1211(|),(|),(|)52P A H P A H P A H ==358=. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P ()=2|H A 222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A == 5. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解 设A 表示“取到的是一件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，,.12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==3(|)0.05P A B =(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.050.0384.=×+×+×=. (2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ×===, 222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ×===, 333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ×===. 习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件.解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()((P AB P A P B =). (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).(3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0<P (B )<1, 则下列说法错误的是( ).(A) . (B) (|)()P A B P A =()()()P AB P A P B =.(C) A 与B 一定互斥. (D).()()()()()P A B P A P B P A P B =+−U 解 因事件A 与B 独立, 故A B 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).2. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：,ABC =∅1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =U U ,求.()P A 解 根据一般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++−−−+U U . 由题设可知 A , B 和C 两两相互独立, ,ABC =∅ 1()()()2P A P B P C ==<,因此有 2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====∅= 从而 29()3()3[()]16P A B C P A P A =−=U U , 于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =. 3. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率；(3) 目标被命中的概率.解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==×= (2) ()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=×+×=(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+−=+−=U总 习 题 一1. 选择题：设是三个相互独立的随机事件, 且0(,,A B C )P C 1<<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).(A)A B U 与C . (B)AC 与C . (C) A B −与C . (D) AB 与C .解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为9551910099396×=×. (1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为95559519.10099198×+×=× 3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有21的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产41. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设 A ={取到的产品是次品}, B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B ∅1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41, P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004, 由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221×+×+×=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=×+×=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ×====. 5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02, 而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以D 表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====. 由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。
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教 案概率论与数理统计(Probability Theory and Mathematical Statistics )Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。
用1A 、2A 、3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件：（1）只击中第一枪；（2）只击中一枪；（3）三枪都没击中；（4）至少击中一枪。
Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。
所以，可以表示成 1A 32A A 。
（2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。
三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。
同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A .（4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A .Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值：（１）A 与B 互斥；（２）；B A ⊂ （３）81)(=AB P ．Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -.（1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)=21 （2） 因为；B A ⊂所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -=613121=-（3） )(A B P =)()(AB P B P -=838121=- Exercise 1.3 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。
现从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。
Solution 从8个球中取出两个，不同的取法有28C 种。
若以A 表示事件{取出的两球是黑球}，那么使事件A 发生的取法为25C 种，从而()P A =25C /28C =5/14Exercise 1.4 在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。
Solution 从100个产品中任意抽取5个产品，共有5100C 种抽取方法，事件A ={有1个次品，4个正品}的取法共有49713C C 种取法，故得事件A 的概率为()P A =138.0510049713≈C C C Exercise 1.5 将N 个球随机地放入n 个盒子中)(N n >，求：（１）每个盒子最多有一个球的概率；（２）某指定的盒子中恰有m （m N <）个球的概率。
Solution 这显然也是等可能问题。
先求N 个球随机地放入n 个盒子的方法总数。
因为每个球都可以落入n 个盒子中的任何一个，有n 种不同的放法，所以N 个球放入n 个盒子共有N Nn n n n =⨯⨯⨯种不同的放法。
（1）事件A ={每个盒子最多有一个球}的放法。
第一个球可以放进n 个盒子之一，有n 种放法；第二个球只能放进余下的1n -个盒子之一，有1n -种放法；．．．第N 个球只能放进余下的1n N -+个盒子之一，有1n N -+种放法；所以共有(1)(1)n n n N --+种不同的放法。
故得事件A的概率为()P A =N nN n n n )1()1(+-- （2）事件B ={某指定的盒子中恰有m 个球}的放法。
先从N 个球中任选m 个分配到指定的某个盒子中，共有m N C 种选法；再将剩下的N m -个球任意分配到剩下的1n -个盒子中，共有m N n --)1(种放法。
所以，得事件B 的概率为N mN m N n n C B P --=)1()(Exercise 1.6 在１~９的整数中可重复的随机取６个数组成６位数，求下列事件的概率：（１）６个数完全不同；（２）６个数不含奇数；（３）６个数中５恰好出现4次。
Solution 从9个数中允许重复的取6个数进行排列，共有69种排列方法。
（1）事件A={６个数完全不同}的取法有456789⨯⨯⨯⨯⨯种取法，故11.09456789)(6=⨯⨯⨯⨯⨯=A P （2）事件B={６个数不含奇数}的取法。
因为6个数只能在2，4，6，8四个数中选，每次有4种取法，所以有64取法。
故6694)(=B P（3）事件C={６个数中５恰好出现4次}的取法。
因为6个数中５恰好出现4次可以是6次中的任意4次，出现的方式有46C 种，剩下的两种只能在1，2，3，4，6，7，8，9中任取，共有28种取法。
故624698)(C C P =Exercise 1.7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上（０，４）上的所有实数，旋转陀螺，求陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位于［0.5，１］上的概率。
Solution 由于陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等，且接触点可能有无穷多个，故81421]40[]1,5.0[)(===的长度，区间的长度区间A P . Exercise 1.8 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。
先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。
Solution 以X ，Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 812X ≤≤ ，812Y ≤≤ ；若以(,)X Y 表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这平面上的边长为4的一个正方形：812X ≤≤ ，812Y ≤≤ 内所有点表示出来。
二人能会面的充要条件是 12X Y -≤（图中阴影部分）；所以所求的概率为：641516]21421[2162=--==）（的面积正方形阴影部分的面积ABCD P . Exercise 1.9 设某种动物有出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%.如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活25岁以上的概率？Solution 设事件A ={能活20岁以上}；事件B ={能活25岁以上}。
按题意，()0.8P A =，由于A B ⊂，因此()()0.4P AB P B ==.由条件概率定义5.08.04.0)()()|(===A P AB P A B P Exercise 1.10 在一批由90件正品，３件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二件取次品的概率。
Solution 设事件A ={第一件取正品}；事件B ={第二件取次品}。
按题意，()P A =9390，)|(A B P =923.由乘法公式 0315.09239390)|()()(=⨯==A B P A P AB P Exercise 1.11 七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？Solution 设i A ={第i 人抓到参观票}(1,2i =)，于是61)|(,0)|(,76)(,71)(121211====A A P A A P A P A P 由全概率公式 7161760)|()()|()()(1211212=⨯+=+=A A P A P A A P A P A P . 从这道题，我们可以看到，第一个人和第二个人抓到参观票的概率一样；事实上，每个人抓到的概率都一样。
这就是“抓阄不分先后原理”。
Exercise 1.12 设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为201,151,101，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？ Solution 以1A 、2A 、3A 表示诸事件“取得的这箱产品是甲、乙、丙厂生产”；以B 表示事件“取得的产品为正品”，于是：;2019)|(,1514)|(,109)|(,0102)(,103)(,105)(321321======A B P A B P A B P A P A P A P 按全概率公式 ，有：112233()(|)()(|)()(|)()P B P B A P A P B A P A P B A P A =++= 92.010220191031514105109=⋅+⋅+⋅Exercise 1.13 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“．”和“—”，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“．”时，收报台未必收到信号“.”，而是分别以0.8和0.2收到“．”和“—”；同样，发出“—”时分别以0.9和0.1收到“—”和“．” 。
如果收报台收到“．”，问它没收错的概率？Solution 设A ={发报台发出信号“．”}，A ={发报台发出信号“—”}，B ＝｛收报台收到“．”｝，B ＝｛收报台收到“—”｝；于是，()0.6P A =，()0.4P A =，(|)0.8P B A =，(|)0.2P B A =，(|)0.9P B A =，(|)0.1P B A =；按贝叶斯公式，有5714.09.04.08.06.08.06.0)|()()|()()|()()()()|(=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P 所以没收错的概率为0.5714.Exercise 1.14 根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95 ；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95 .对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎。
现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？Solution 设A ={某人做此试验结果为阳性}，B ={某人确有肝炎}；由已知条件有，(|)0.95P A B =，(|)0.95P A B =，()0.005P B =；从而()1()0.995P B P B =-=，(|)1P A B =-(|)0.05P A B =；由贝叶斯公式，有()()(|)(|)0.087()()(|)()(|)P BA P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ===+ 本题的结果表明，虽然(|)0.95P A B =，(|)0.95P A B =，这两个概率都很高。
但若将此实验用于普查，则有(|)0.087P B A =，即其正确性只有8.7%.如果不注意到这一点，将会经常得出错误的诊断。
这也说明，若将(|)P A B 和(|)P B A 搞混了会造成不良的后果。