第一章概率论习题解答

教 案概率论与数理统计(Probability Theory and Mathematical Statistics )Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。

用1A 、2A 、3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件：（1）只击中第一枪；（2）只击中一枪；（3）三枪都没击中；（4）至少击中一枪。

Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。

所以，可以表示成 1A 32A A 。

（2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。

三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。

同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A .（4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A .Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值：（１）A 与B 互斥；（２）；B A ⊂ （３）81)(=AB P ．Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -.（1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)=21 （2） 因为；B A ⊂所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -=613121=-（3） )(A B P =)()(AB P B P -=838121=- Exercise 1.3 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。

现从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。

Solution 从8个球中取出两个，不同的取法有28C 种。

若以A 表示事件{取出的两球是黑球}，那么使事件A 发生的取法为25C 种，从而()P A =25C /28C =5/14Exercise 1.4 在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。

Solution 从100个产品中任意抽取5个产品，共有5100C 种抽取方法，事件A ={有1个次品，4个正品}的取法共有49713C C 种取法，故得事件A 的概率为()P A =138.0510049713≈C C C Exercise 1.5 将N 个球随机地放入n 个盒子中)(N n >，求：（１）每个盒子最多有一个球的概率；（２）某指定的盒子中恰有m （m N <）个球的概率。

Solution 这显然也是等可能问题。

先求N 个球随机地放入n 个盒子的方法总数。

因为每个球都可以落入n 个盒子中的任何一个，有n 种不同的放法，所以N 个球放入n 个盒子共有N Nn n n n =⨯⨯⨯种不同的放法。

（1）事件A ={每个盒子最多有一个球}的放法。

第一个球可以放进n 个盒子之一，有n 种放法；第二个球只能放进余下的1n -个盒子之一，有1n -种放法；．．．第N 个球只能放进余下的1n N -+个盒子之一，有1n N -+种放法；所以共有(1)(1)n n n N --+种不同的放法。

故得事件A的概率为()P A =N nN n n n )1()1(+-- （2）事件B ={某指定的盒子中恰有m 个球}的放法。

先从N 个球中任选m 个分配到指定的某个盒子中，共有m N C 种选法；再将剩下的N m -个球任意分配到剩下的1n -个盒子中，共有m N n --)1(种放法。

所以，得事件B 的概率为N mN m N n n C B P --=)1()(Exercise 1.6 在１~９的整数中可重复的随机取６个数组成６位数，求下列事件的概率：（１）６个数完全不同；（２）６个数不含奇数；（３）６个数中５恰好出现4次。

Solution 从9个数中允许重复的取6个数进行排列，共有69种排列方法。

（1）事件A={６个数完全不同}的取法有456789⨯⨯⨯⨯⨯种取法，故11.09456789)(6=⨯⨯⨯⨯⨯=A P （2）事件B={６个数不含奇数}的取法。

因为6个数只能在2，4，6，8四个数中选，每次有4种取法，所以有64取法。

故6694)(=B P（3）事件C={６个数中５恰好出现4次}的取法。

因为6个数中５恰好出现4次可以是6次中的任意4次，出现的方式有46C 种，剩下的两种只能在1，2，3，4，6，7，8，9中任取，共有28种取法。

故624698)(C C P =Exercise 1.7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上（０，４）上的所有实数，旋转陀螺，求陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位于［0.5，１］上的概率。

Solution 由于陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等，且接触点可能有无穷多个，故81421]40[]1,5.0[)(===的长度，区间的长度区间A P . Exercise 1.8 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。

先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。

Solution 以X ，Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 812X ≤≤ ，812Y ≤≤ ；若以(,)X Y 表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这平面上的边长为4的一个正方形：812X ≤≤ ，812Y ≤≤ 内所有点表示出来。

二人能会面的充要条件是 12X Y -≤（图中阴影部分）；所以所求的概率为：641516]21421[2162=--==）（的面积正方形阴影部分的面积ABCD P . Exercise 1.9 设某种动物有出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%.如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活25岁以上的概率？Solution 设事件A ={能活20岁以上}；事件B ={能活25岁以上}。

按题意，()0.8P A =，由于A B ⊂，因此()()0.4P AB P B ==.由条件概率定义5.08.04.0)()()|(===A P AB P A B P Exercise 1.10 在一批由90件正品，３件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二件取次品的概率。

Solution 设事件A ={第一件取正品}；事件B ={第二件取次品}。

按题意，()P A =9390，)|(A B P =923.由乘法公式 0315.09239390)|()()(=⨯==A B P A P AB P Exercise 1.11 七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？Solution 设i A ={第i 人抓到参观票}(1,2i =)，于是61)|(,0)|(,76)(,71)(121211====A A P A A P A P A P 由全概率公式 7161760)|()()|()()(1211212=⨯+=+=A A P A P A A P A P A P . 从这道题，我们可以看到，第一个人和第二个人抓到参观票的概率一样；事实上，每个人抓到的概率都一样。

这就是“抓阄不分先后原理”。

Exercise 1.12 设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为201,151,101，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？ Solution 以1A 、2A 、3A 表示诸事件“取得的这箱产品是甲、乙、丙厂生产”；以B 表示事件“取得的产品为正品”，于是：;2019)|(,1514)|(,109)|(,0102)(,103)(,105)(321321======A B P A B P A B P A P A P A P 按全概率公式 ，有：112233()(|)()(|)()(|)()P B P B A P A P B A P A P B A P A =++= 92.010220191031514105109=⋅+⋅+⋅Exercise 1.13 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“．”和“—”，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“．”时，收报台未必收到信号“.”，而是分别以0.8和0.2收到“．”和“—”；同样，发出“—”时分别以0.9和0.1收到“—”和“．” 。

如果收报台收到“．”，问它没收错的概率？Solution 设A ={发报台发出信号“．”}，A ={发报台发出信号“—”}，B ＝｛收报台收到“．”｝，B ＝｛收报台收到“—”｝；于是，()0.6P A =，()0.4P A =，(|)0.8P B A =，(|)0.2P B A =，(|)0.9P B A =，(|)0.1P B A =；按贝叶斯公式，有5714.09.04.08.06.08.06.0)|()()|()()|()()()()|(=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P 所以没收错的概率为0.5714.Exercise 1.14 根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95 ；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95 .对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎。

现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？Solution 设A ={某人做此试验结果为阳性}，B ={某人确有肝炎}；由已知条件有，(|)0.95P A B =，(|)0.95P A B =，()0.005P B =；从而()1()0.995P B P B =-=，(|)1P A B =-(|)0.05P A B =；由贝叶斯公式，有()()(|)(|)0.087()()(|)()(|)P BA P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ===+ 本题的结果表明，虽然(|)0.95P A B =，(|)0.95P A B =，这两个概率都很高。

但若将此实验用于普查，则有(|)0.087P B A =，即其正确性只有8.7%.如果不注意到这一点，将会经常得出错误的诊断。

这也说明，若将(|)P A B 和(|)P B A 搞混了会造成不良的后果。