《概率论与随机过程》第1章习题
清华大学随机过程答案1
3. 质点在直线上做随机运动，即在 t = 1, 2, 3, · · · 时质点可以在 x 轴上往右或往左做一个 单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的 概率为 q，即 P {ξ (i) = +1} = p，P {ξ (i) = −1} = q，p + q = 1，且各次游动是相互统 ∑n 计独立的。经过 n 次游走，质点所处的位置为 ηn = η (n) = ξi。
参考答案：
(1) V = a 时，一条样本轨道为典型的正弦曲线。 2
(2) ξ (0) = 0，fξ(0)(x) = δ(x)；ξ (π/2ω) = V ，其概率密度同 V 一样。
(π) ξ
4ω
=
V
√ 2
,
fξ(
π 4ω
)
(x)
=
√ 2 a
,
0
<
0, 其他
xHale Waihona Puke <√a 2() 5π
ξ 4ω
=
V
−
√ 2
n
pmqn−m = pn − qn。
m=0
m
∑n
解法二：因各次游走是相互统计独立的，则 E [η (n)] = E[ξi] = (p − q)n。
i=1
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3
(2) 假设 n1 < n2,
Rηη (n1, n2) = E [η (n1) η (n2)] = E {η (n1) [η (n1) + η (n2) − η (n1)]} = E[η (n1)]2 + E [η (n1)] E [η (n2) − η (n1)] = {E [η (n1)]}2 + V ar [η (n1)] + (p − q)2n1 (n2 − n1) = (p − q)2n21 + n1V ar [ξi] + (p − q)2n1 (n2 − n1) = (p − q)2n1n2 + n1[1 − (p − q)2]
概率论第一章测试题及答案考研
概率论第一章测试题及答案考研### 概率论第一章测试题及答案#### 一、选择题1. 某事件A的概率为0.5，那么事件A的补事件的概率是多少？A. 0.5B. 0.3C. 0.2D. 0.72. 以下哪个不是概率论的公理？A. 非负性B. 归一性C. 互斥性D. 可加性#### 二、填空题1. 概率论中，一个事件的概率范围在_________之间。
2. 如果事件A和事件B是互斥的，那么P(A∪B) = __________。
#### 三、简答题1. 简述什么是条件概率，并给出一个条件概率的计算公式。
2. 解释什么是独立事件，并给出两个事件独立性的判断条件。
#### 四、计算题1. 已知事件A和事件B的概率分别为P(A)=0.3，P(B)=0.4，且P(A∩B)=0.1。
求：- P(A|B)- P(B|A)#### 五、论述题1. 论述随机试验与随机事件的区别，并给出一个生活中的例子。
#### 答案#### 一、选择题1. 答案：A. 0.5解析：事件A的补事件概率等于1减去事件A的概率，即P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.5 = 0.5。
2. 答案：C. 互斥性解析：概率论的三个公理是：非负性（每个事件的概率非负），归一性（所有事件的概率之和为1），可加性（互斥事件的概率之和等于它们各自概率的和）。
互斥性不是概率论的公理，而是可加性的应用条件。
#### 二、填空题1. 答案：[0,1]解析：概率论中，任何事件的概率值都在0和1之间。
2. 答案：P(A) + P(B)解析：如果事件A和事件B是互斥的，那么它们不会同时发生，所以它们的并事件概率等于它们各自概率的和。
#### 三、简答题1. 条件概率是指在已知某个事件B发生的条件下，事件A发生的相对概率，计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2. 独立事件是指两个事件的发生互不影响，它们的独立性判断条件是P(A∩B) = P(A)P(B)。
《随机过程》课后习题解答
（ k 0, 2, n ）
1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 1 t2
n n i
f (t
i 1 k 1
tk )i k
5
=
i 1 k 1
n
n
i k
1 (ti tk )
2
i 1 k 1
n
n
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk )} n n e jtk e e i k jti = i 1 k 1 e n(1 jtk ) e
1 n n n j ( ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1
（2） （3）
其期望和方差； 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X (t ) e jtx
0
b p p 1 bx x e dx ( p )
bp ( p)
x
0
p 1 ( jt b ) x
i k
1 M 2
0
ti t k } ） （ M 1max{ i , j n
且 f (t ) 连续 f (0) 1 （2） f (t )
f (t ) 为特征函数
1 1 1 1 1 [ ] 2 2 1 t 1 ( jt ) 2 1 jt 1 jt
3
fZ(k)() t (1 )kk! jk (1 jt)(k1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) ( 1) k k ! k j
n
随机过程第一章习题答案
随机过程 第一章 习题答案
1.方法一： F (t ; x) P{ X (t ) x} P{ X sin t x} 当t k 时，P{ X (t ) 0} 1,其中k为整数，
k 当t 时，
x x sin t （i）若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } ( x) dx sin t x 1 1 1 1 x 2 f (t ; x) ( ) exp{ ( )} sin t sin t sin t 2 2 sin t x x x sin t (ii )若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } 1 P{ X } 1 ( x)dx sin t sin t 1 1 1 x 2 f (t ; x) Fx' (t ; x) exp{ ( )} sin t 2 2 sin t 1 1 x 2 f (t ; x) exp{ ( ) }, k 为整数。 2 sin t 2 sin t
时，k为整数，有 X
一维分布密度为：f (t ; x) 当t= k
时，k为整数，有P{ X (t ) 0} 1
1 1 Xt x}=P{e } e Xt x 1 1 1 =P{Xt ln }=P{Xt ln x}=P{X ln x}=1-P{X ln x} x t t 1 11 1 1 f (t ; x) Fx' (t ; x) f ( ln x)( ) f ( ln x) t t x tx t 2.F(t;x)=P{X(t) x}=P{e Xt x}=P{
方法二： X N(0,1) EX=0,EX 2 =DX=1 EX(t)=E(Xsin t)=sin tEX 0 k N(0 , sin 2 t) 1 1 x 2 exp{ ( ) }, x 2 sin t 2 sin t DX (t ) D(Xsin t) (sin t) 2 DX sin 2 t 当t
概率论与随机过程第1章7-10节
的定义： （一）分布函数 F(x，y)的定义： 的定义
x
上 海 大 学 通 信 学 院
2° 0≤F(x，y) ≤1，且 °
（1）给定 y，F( -∞，y)=0 ） ， （2）给定 x，F(x, -∞)=0 ） （3）F(-∞, -∞)=0 ） （4）F(+∞,+ ∞)=1 ） 3° F(x，y)=F( x+0，y)， ° F(x，y)=F( x，y+0)。 关于x 均为右连续。 即F(x，y) 关于 或 y 均为右连续。
−∞ −∞
f(x, y)dxdy = F( + ∞ , + ∞ ) = 1 ;
3. 若 f(x,y) 在点（x, y）处连续，则有 在点（ ）处连续，
∂ 2 F(x,y) = f(x,y) ; ∂x∂y
4. 点(X, Y)落x0y平面上某一区域 内的概率为 平面上某一区域G内的概率为 落 平面上某一区域 P{( x , y ) ∈ G } = ∫∫ f(x, y)dxdy 。
j =1
∞
ij
]
离散型
F 同理， (+∞, y) = Fy ( y) = ∫ 同理， =
y
−∞
[ ∫ f (u, v )du ] dv 连续型
−∞ ∞ i =1 ij
+∞
yi ≤ y
∑ [∑ p
]
离散型
上 海 大 学 通 信 学 院 由 F ( x) =
∫
x
−∞
f ( u )du =
边缘概率密度函数和边缘概率质量函数（分布律）： 的边缘概率密度函数和边缘概率质量函数（分布律）：
∂ 2 F(x,y) f(x,y) = , − ∞ < x < +∞ , − ∞ < y < +∞ ∂ x∂ y 离散型的概率密度函数： 离散型的概率密度函数：
概率论与随机过程第1章习题
《概率论与随机过程》第1章习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《概率论与随机过程》第一章习题1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
（10）测量一汽车通过给定点的速度。
（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1） A 发生，B 与C 不发生。
（2） A 与B 都发生，而C 不发生。
（3） A ，B ，C 都发生。
（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。
（5） A ，B ，C 都不发生。
（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。
（7） A ，B ，C 中至多于二个发生。
（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。
3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。
（2）B A ⋃。
（3）B A 。
浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案第一章
1解：该试验的结果有9个：（0，a ），（0，b ），（0，c ），（1，a ），（1，b ），（1，c ），（2，a ），（2，b ），（2，c ）。
所以，（1）试验的样本空间共有9个样本点。
（2）事件A 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。
即A 所包含的样本点为（0，a ），（1，a ），（2，a ）。
（3）事件B 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。
即B 所包含的样本点为（0，a ），（0，b ），（0，c ）。
2、解 （4）（1）ABBC AC 或ABC ABC ABC ABC ； （5）（2）ABBC AC （6）（提示：题目等价于A ，B ，C 至少有2个发生，与（1）相似）； （7）（3）ABC ABC ABC ；（8）（4）AB C 或ABC ；（9）（提示：A ，B ，C 至少有一个发生，或者A B C ，，不同时发生）；3（1）错。
依题得,但，故A 、B 可能相容。
（2）错。
举反例 （3）错。
举反例 （4）对。
证明：由,知,即A 和B 交非空，故A 和B 一()()()()0=-+=B A p B p A p AB p 空集≠B A ()6.0=A p ()7.0=B p ()()()()()3.03.1>-=-+=B A p B A p B p A p AB p定相容。
4、解（1）因为A B ，不相容，所以A B ，至少有一发生的概率为：()()()=0.3+0.6=0.9P A B P A P B =+(2) A B ， 都不发生的概率为：()1()10.90.1P A B P A B =-=-= ；（3）A 不发生同时B 发生可表示为：AB ，又因为A B ，不相容，于是()()0.6P A B P B == ；5解：由题知,. 因得，故A,B,C 都不发生的概率为.6、解 设A ={“两次均为红球”}，B ={“恰有1个红球”}，C ={“第二次是红球”} 若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：810，抽不到红球的概率是：210，则 （1）88()0.641010P A =⨯=； ()3.0=BC AC AB p ()05.0=ABC P ()()()()()ABC p BC p AC p AB p BC AC AB p 2-++= ()()()()4.023.0=+=++ABC p BC p AC p AB p ()()C B A p C B A p -=1()()()()()()()()[]ABC p BC p AC p AB p C p B p A p +++-++-=1()05.04.02.11+--=15.0=（2）88()210.321010P B =⨯⨯-=（）； （3）由于每次抽样的样本空间一样，所以：8()0.810P C == 若是不放回抽样，则（1）2821028()45C P A C ==；（2）118221016()45C C P B C ==； （3）111187282104()5A A A A P C A +==。
《概率论与随机过程》概率论部分习题答案
《概率论与随机过程》概率论部分习题解答参考一、ABC BC A C B A C AB C B A C B A .3;.2;.1C B A C B A C B A C B A .4 二、填空1．（1）0.2, (2)52; 2．1 0.4 3．P （A ）+P （B ）－P （AB ） ， 1－P （A ）；4．3213211,)1)(1)(1(1p p p p p p ----- ；5．)002.0028.0()3.0()7.0()3.0(,)135.0()7.0()3.0(55514452335++或或C C C ； 6．3125864)6.0()4.0(,6,,2,1,0,)6.0()4.0(333666或C k C k k k =- ； 7．1 ， 4，+∞<<∞---∞-⎰x dt et x,2218)1(2π ；8．0.7612 ; 9．1 ； 10．3 ； 11．3ln 21； 12．1 ；13．σπ2； 14．91,92 ； 15． 2， 0。
三、单项选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 四、计算题1. 解：设A 1、A 2表示第一、二次取出的为合格品{}{}{}{}{}72960495119532321)()(1)(1132121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⨯-=-=-=-==三批全拒收收三批中至少有一批被接接收接收拒收P P A P A P A A P P P P2. 解：（1）22535523,51288883=⨯⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛===⨯⨯=ΩA N N44.0512225)(===ΩN N A P A（2）1802334523,336678131538=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⨯⨯=ΩA A N A N A 54.05630381325)(54.0336180)(==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====ΩA P N N A P A 或3. 解：令{}个盒子各有一球恰有n A =,!!()nA nnN N N N N N N n n N n n P A N Ω⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=因此4. 解：令{}{}有效系统有效系统b B a A ==829.093.01862.092.0)(1)()()(1)()()()()2(988.0862.093.092.0)(862.085.0)92.01(93.0)()()()()()()()()()()()1(85.0)(93.0)(92.0)(=--=--=--===-+==--=-=-=-=-+====B P AB P A P B P AB A P B P B A P B A P B A P A B P A P B P A B P B P A B B P AB P AB P B P A P B A P A B P B P A P 所以其中5. 解：设A 1、A 2、A 3分别为甲、乙、丙的产品，B 表示产品是次品，显然12312311(),()()24()()2%()4%P A P A P A P B A P B A P B A ====== 1111(1)()()()2%1%2P A B P B A P A ==⨯=由乘法公式 025.041%441%221%2)()()()2(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A P A B P B P 由全概率公式（3）由Bayes 公式 4.0025.021%2)()()()()(31111=⨯==∑=i ii A P A B P A P A B P B A P 6. 解：设A 表示原为正品 )(A P =96% )(A P =4% 设B 表示简易验收法认为是正品 )(A B P =98% )(A B P =5% 所求概率为998.004.005.096.098.098.096.0)()()()()()()()()(≈⨯+⨯⨯=+==A P AB P A P A B P A B P A P B P AB P B A P7. 解：设A =｛机器调整良好｝ B =｛合格品｝)(A P =75% )(A P =25% )(A B P =90% )(A B P =30% 因此 )(B A P =)()()()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P +=%90%30%25%90%75%90%75=⨯+⨯⨯=8. 解：设A 1、A 2分别表示第一次取到有次品产品的事件和无次品产品的事件，B 为第一次取出的合格品，显然有1)(,43)(,21)()(2121====A B P A B P A P A P由Bayes 公式111112213()()324()131()()()()71242P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯ 设C 表示第二次取出次品的事件2834173)(=⨯=C P9. 解：设A =｛甲出现雨天｝，B =｛乙出现雨天｝由题意可知 )(A P =0.2, )(B P =0.18, )(A B P =0.6所求概率为P (A ∪B )=P (A )+P (B )－P (AB )=P (A )+(B )－P (A )P (B ︱A ) =0.2+0.18－0.2×0.6=0.26 10. 解：令{},3,2,1==i i A i 次取出为正品第所求概率为0084.0989099910010)()()()()()(21312121321321=⨯⨯===A A A P A A P A P A A A P A A P A A A P11. 解：设{}3,2,1==i i A i 人能译出第 A =｛密码被译出｝,则123A A A A =123123()()1()P A P A A A P A A A ==- 1234231()()()10.6534P A P A P A =-=-⨯⨯= 12. 解：设X 表示卖出的一包产品中的次品数（1）X ～B （10，0.01）于是 P ｛卖出的一包被退回｝ =P {X ＞1｝=1－P ｛X ≤1｝=1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝=004.0)99.0()01.0(99.0()01.0(191110100010≈--C C ）（2）X ～B （20，0.01）P ｛卖出的一包被退回｝ =P ｛X ＞2｝=1－P ｛X ≤2｝ =1－P ｛X =0｝－P ｛X =1｝－P ｛X =2｝=001.0)99.0()01.0()99.0()01.0(99.0()01.0(1182220191120200020≈---C C C ）13. 解：先研究一人负责维修20台设备的情况。
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《概率论与随机过程》第一章习题1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
（8） [（9） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（10） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
（11） 测量一汽车通过给定点的速度。
（12） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1） A 发生，B 与C 不发生。
（2） A 与B 都发生，而C 不发生。
（3） A ，B ，C 都发生。
（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。
（5） ]（6） A ，B ，C 都不发生。
（7） A ，B ，C 中至多于一个发生。
（8） A ，B ，C 中至多于二个发生。
（9） A ，B ，C 中至少有二个发生。
3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。
（2）B A ⋃。
（3）B A 。
（4） BC A 。
（5）)(C B A ⋃。
4. 设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。
（1）B A ⋃。
（2）B A ⋃。
（3）B A 。
（4） B A 。
—5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。
6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1） 求恰有90个次品的概率。
（2） 至少有2个次品的概率。
7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少8. —9. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。
求第4只次品管子在下列情况发现的概率。
（1） 在第5次测试发现。
（2） 在第10次测试发现。
10. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。
以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。
根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ⋃。
11. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1） 二只都是正品。
（2） 二只都是次品。
（3） 一只是正品，一只是次品。
（4） ￥（5） 第二次取出的是次品。
12. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少13. 某工厂中，机器321,,B B B 分别生产产品总数的25%，35%和40%。
它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。
问这一次品是机器321,,B B B 生产的概率分别是多少14. 将二信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作B 的概率为，而B 被误收作A 的概率为。
信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1。
若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少15. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。
假设每一继电器接点闭合的概率为p ，且设各继电器接点闭合与否相互独立。
求L 至R 连通的概率是多少L R16. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为，第二次为，第三次为。
飞机击中一次而被击落的概率为，击中二次而被击落的概率为，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。
17. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。
以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的概率质函数。
18. （1）设随机变量X 的概率质函数为!}{k a k X P kλ==，0,,2,1,0>=λ k 为常数，试确定常数a 。
(2) 设随机变量X 的概率质函数为Na k X P ==}{，1N ,,2,1,0k -= ，试确定常数a 。
18. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号。
（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。
（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。
19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。
（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。
20. 设随机变量X 的分布函数为#⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-.0,0,0,1)(x x e x F x（1） 求}3{},2{>≤X P X P ， （2）求概率密度)(x f 。
21. 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为160=μ，σ的正态分布，若要求80.0}200120{≥≤<X P ,允许σ最大为多少22.:求2X Y =的概率质函数。
23. 设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,2)(2ππx xx f ，求sinX Y =的概率密度。
24. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它.,0,20,10,3),(2y x xy x y x f求}1{≥+Y X P 。
25. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为(⎩⎨⎧≤≤=其它.,0,10,1)(x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.000)(y ,,y ,e y f y Y试求随机变量Z=X+Y 的概率密度。
26. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为),2exp(21),(2222σπσy x y x f +-=+∞<<∞-+∞<<-∞y x ,。
求22Y X Z +=的概率密度。
27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从)20,160(2N 分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率。
28. 设随机变量X 的概率质量函数为求)(),(),(53X E X E X E +。
29. 设X 服从二项分布，其概率质量函数为{}.10.,,2,1,0,)1(<<=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-p n k p p k n k X P k n k 求)(X E 和)(X D 。
30. 设X 服从泊松分布，其概率质量函数为{}.0,,2,1,0,!>===-λλλk k e k X P k 求)(X E 和)(X D 。
31. 设X 服从均匀分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=，其它0,,1)(，b x a a b x f 求)(X E 和)(X D 。
32. '33. 设X 服从正态分布，其概率密度函数为()+∞<<∞->⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=x x f ,02-x exp 21)(22σσμσπ，。
求)(X E 和)(X D 。
33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。
将球独立地，随机地放入4只盒子中去。
以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E [X]，D[X]。
34. 对于任意两个随机变量X ，Y ，证明下式成立：（1） ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+；（2） )()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。
35. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000x ,x ,e f(x)x 。
求（1）Y=2X ，（2）x e Y 2-=的数学期望。
36. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为*⎩⎨⎧<<<<=其它，,x,y ,x K,y)f(x,0010 试确定出常数K ，并求)XY (E 。
37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。
利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。
38. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000x ,x ,e )x (f x λλ，其中0>λ为常数。
求)(X E 和)(X D 。
39. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,00),2exp()(222x x x x x f σσ，其中0>σ为常数。
求)(X E 和)(X D 。
40. 设随机变量X 的概率质量函数为{}1-==k pq k X P ， ,,k 21=。
其中p q ,p -=<<110为常数，则称X 服从参数为p 的几何分布。
试求)(X E 和)(X D 。
41. 设随机变量(X ，Y)的概率密度函数为.202081≤≤≤≤+=y ,x ,)y x ()y ,x (f 。
求)(X E 、)Y (E 、)Y ,X (Cov 。
42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（，）上服从均匀分布。
（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少（2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为43. (1)一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。
在整个运行期间每个部件损坏的概率。
为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。
(2)一个复杂的系统，由n 个相互独立起作用的部件所组成。
每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为。
且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性为。