14.1-1三角形的有关概念
核心素养导向下的数学教学设计——以14.1.“1_直角三角形三边的关系”为例
核心素养导向下的数学教学设计———————以14.1.1“直角三角形三边的关系”为例文|武旦珠核心素养导向下的数学教学是对传统教学的一次变革，摆脱了过去以课时为单位的传统范式，推崇以单元为整体的设计理念。
这种变革体现了对数学知识内在逻辑关系的深层次思考，教学设计应该体现单元整合教学内容。
这种教学设计旨在通过深入挖掘数学知识之间的关系，为学生提供更为系统和全面的学习体验。
教学设计要充分考虑核心素养的重要性，确保在整个教学过程中的指导作用。
教学目标应该是全面的、有层次的，可以涵盖知识、技能和态度的培养，以确保学生在学习过程中获得全面的发展。
教师要考虑学生的数学核心素养、创造力、批判性思维等方面的发展。
在每个课时中，结合教学内容和目标展开教学，能够更好地发展学生的核心素养。
【教材分析】北师大版数学八年级上册“直角三角形三边的关系”，是“勾股定理”章节的主要内容，重点讲解了勾股定理的证明过程。
教材通过两个例子“正方形的瓷砖”和“试一试”来发现直角三角形三边之间的关系。
接着，通过“做一做”的实践验证，学生先获得直接的经验，再进行总结和归纳，证明勾股定理。
勾股定理是几何学中最为重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三边的数量关系。
直角三角形中斜边较长，而另外两条边较短，该定理证明它们之间有着精确的数量关系，为学生今后学习解直角三角形问题奠定基础。
因此，探索直角三角形三边的关系对学生来说非常重要，既能使学生更好地理解直角三角形，又能培养他们的逻辑思维能力。
【学情分析】八年级学生已经具备了一定的逻辑思维和抽象思维能力，并且掌握了学习数学的基本方法。
直角三角形是他们非常熟悉的图形，因此，通过自主探索、合作互助、交流分享的方式来验证和应用勾股定理是非常适合的。
通过这样的学习方式，学生能够轻松、愉快地完成本节课的学习目标。
【教学目标】1.育人目标（1）通过探究、验证、证明和应用勾股定理，培养学生对数学学习的意识和能力。
华东师大版数学八年级上册14.1《直角三角形的判定》知识点解读
《直角三角形的判定》知识点解读 知识点1直角三角形的判别条件（重点）如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.【例1】三角形三边之长分别为①3,4,5；②9,40,41；③7,24,25；④13,84,85.其中能构成直角三角形的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个分析：若已知三角形三边长，要判断这个三角形是否为直角三角形，可利用直角三角形的判别条件，即是否有两个较小数的平方和等于大数的平方.①222345+=②22294041+=③22272425+=④222138485+=所以以上4组都能构成直角三角形，故选D.解：D【例2】在△ABC 中，22-,a m n =2,b mn =22+,c m n =其中m ，n 是正整数，且m>n ，试判断△ABC 是不是直角三角形.分析：本题已给出三角形的三边长，只需运用直角三角形的判别条件进行判断就可以，但关键是确定最大边.解：因为m ，n 是正整数，且m>n ，222(-)20,m n m n mn =+->所以22+2,m n mn >所以c>b.又222222222(+)()20,m n m n m n m n n --=+-+=>所以c>a.所以c 为最长边.因为2222224224222222()(2)24(),a b m n mn m m n n m n m n c +=-+=-++=+=所以△ABC 是直角三角形.知识点2 勾股数（了解）能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。
（1）3，4，7；（2）5，12，13；（3）111345，，（4）3，-4，5. 分析：判断的时候，要紧扣两个条件：（1）是否符合222a b c +=，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；（2）它们是不是正整数。
三角形的有关概念
只要判断两条较 短的线a=5cm, b=7cm,那 么第三边 c 的长度在什么范围内？为什么？ 因为第三边应小于两边之和，大于两边之差， 解： 所以 7-5 < c < 7+5 所以 2 < c < 12
当 b+c=a 时
不能构成三角形
b c
不能构成三角形
只有当 b+c>a 时
a
三条线段能构成三角形
三角形的三边具 有什么关系呢？
新课学习
为什么？
三角形的三边具 有什么关系呢？
C
b+c>a
同理，得 c+a>b
a –ｂ < c b –c < a
A
b a
c
B
a+b>c
ｃ –a < ｂ
两点之间线段最短 |b – c |< a < b + c |a – c |< b < a + c 确定第三边的 |a – b| < c < a + b 取值范围 三角形的三边关系
1
B E
2
C A
B
F
C
巩固练习
练习：P.74 —— 3，4
课堂小结
1.三角形的概念和表示方法
A
c
B
b a
C
△ABC
∠A、∠B、∠C 边 AB、BC、AC 或 边 a、b、c
2.三角形的三边关系及其运用
三角形任意两边之和大于第三边 b+c>a, c+a>b, a+b>c. 三角形任意两边之差小于第三边 a-c<b, b - a < c, c – b < a. |a – c |< b < a + c, |a – b| < c < a + b. |b – c |< a < b + c，
沪科版数学八年级上册14.1全等三角形课件(共19张PPT)
全等形定义：能够完全重合的两个图形，叫做全等形.
全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状相同，大小相等.
1.与下左图所示图形全等的是 ．
①、④
2.下列说法：①用一张底片冲洗出来的2张1寸相片是全等的； ②所有正三角形是全等形； ③面积相等的图形一定是全等形．其中正确的是 ．
两个三角形全等是通过什么方法验证的？
平移
解：对应边是：__________________________________
对应角是：__________________________________
AC与DF，AB与DE，BC与EF
∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F
A
C
B
如图△AOC≌△BOD
1.对应边是：________________________
2.∠AOC的对应角是________
∠A的对应角是________
OC与OD，AC与BD
∠BOD
∠B
O
D
小结：有对顶角的，对顶角也是对应角.
想一想： 有什么办法判断两个三角形全等？用数学式子表示两个三角形全等,并指出对应角、对应边.
旋转
A
B
C
D
A
A
B
B
D
C
如图△ABD≌△ABC
大角对大角，小角对小角
公共角一定是对应角
对顶角一定是对应角
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.了解全等形，明确全等三角形的概念.2.掌握全等三角形的性质，识别全等三角形的对应边和对应角.
14.1.1 直角三角形三边的关系
a2 b2 c2
勾股定理（gou-gu theorem)
即 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方。
在西方又称毕 达哥拉斯定理！
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理 是公元前500多年时古 希腊数学家毕达哥拉斯 首先发现的。因此又称 此定理为“毕达哥拉斯 定理”。法国和比利时 称它为“驴桥定理”， 埃及称它为“埃及三角 形”等。但他们发现的 时间都比我国要迟得多。
（3）已知：b、c，求a? (a c2 b2 )
2、设未知数（如x、y等），用勾股定理建立方
程，求出未知数的值？
?
当堂练习
想 小明的妈妈买了一部29英寸（74 一 厘米）的电视机。小明量了电视机的 想 屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46
厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？
青 入
朱朱
朱方 出出
朱朱入入 青入
青出
华罗庚
1
1
美丽的勾股树
你能运用勾股定理的知识解决实际
生活中的问题吗?
主要运用： 1、在直角三角形中，已知任意两边，求第三边？ (设a、b为直角边、c为斜边) （1）已知：a、b，求c?
（ c2=a2＋b2
c= a2 b2
）
（2）已知：a、c，求b? (b c2 a2 )
熟记常见的几组勾股数
（1）3、4、5； （2）6、8、10； （3）5、12、13； （4）8、15、17； （5）7、24、25 （6）9、12、15
总统证法
a
c
b
cb a
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。
• 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
《14.1(1)三角形的有关概念》育人价值案例
《14.1（1）三角形的有关概念》育人价值案例张泽学校郑春玲案例：教学中要关注数学的育人价值的不懈渗透张泽学校郑春玲提示：数学的育人价值不应只局限在应试上，应重视更为根本和长远的价值----对学生发展的奠基性价值。
数学学科对于学生的发展价值，除了数学知识本身以外，更重要的是，能够提供学生数学学科独特的主动探索、体验、实践的时间和空间，在这个过程中，给学生以力量和智慧，让学生得以实现主动、健康发展。
这是一个在每天每节数学课的教学过程中，坚持不懈地渗透和体现的过程。
[案例]半年多没教同学们了，怪想念的，听说你们更认真了，老师很欣慰。
很高兴，今天我们又能在一起学习，期待着同学们学有所获！让我们先欣赏一组图片，可以看出，生活中处处都有三角形的形象，三角形的构成和性质是研究其他更复杂图形的基础，非常重要。
今天我们就先学习三角形的有关概念。
请齐声读出三角形的定义，并找出关键词，所以，这三个条件必须同时满足的图形才能判断为三角形。
（依次板书2、边，顶点，角，表示，对边）如图，这三条线段AB、BC、CA就是三角形的边，相邻两边的公共端点A、B、C叫做三角形的顶点，∠A、∠B、∠C是相邻两边∆”，组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
顶点是A、B、C的三角形，记作“ABC∆”等等，只要从任意一个顶点开始顺时针或读作“三角形ABC”，当然也可以记为“BAC逆时针兜圈子写就行了。
∠A所对的边叫做∠A的对边，通常用a表示，同样∠B的对边，用b表示，∠C的对边，用c表示。
这些概念大家理解了吗？我们来检查一下，请完成课堂反馈1。
“全体停笔！”“陈霆霆回答”，“正确，请坐。
”大家一起说说，是怎么找出这五个三角形的？”“很好，这是解决这类问题的最佳方法。
”“全对的举手，检查通过。
”下面我们继续研究三角形的三边关系。
老师手里有三根硬纸条（注：长度各不一样），可以把它们看作三条线段，老师用它们围成了一个三角形。
你们桌上的三根硬纸条长度相等，用它们能围成一个三角形吗？请同桌合作试一试。
三角形的有关概念教学设计
教学设计14.1 三角形的有关概念青浦区实验中学 钱海燕一、教学目标：1、知道三角形的有关概念及三角形的分类，掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步运用。
2、理解三角形的中线、角平分线、高的概念，并通过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点情况。
3、通过操作、观察、归纳和说理等过程初步体会分类思想，感受数学的美，逐步养成良好的数学思维习惯。
二、教学重点与难点：1、三角形的三边关系；2、三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点问题的探究。
三、教学过程：（一）学习三角形的概念1、出示世博会的有关图片，引出三角形的有关概念2、归纳：（1）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。
记作：△ABC（2）线段AB 、BC 、CA 是三角形的边（有时也用a 、b 、c 来表示）；（3）点A 、B 、C 是三角形的顶点；（4）∠A 、∠B 、∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
（二）探究三角形的三边关系 1、操作并填表从四根小棒（12厘米、8厘米、6厘米、4厘米、）中任选三根拼接三角形（1）先选择三根小棒（2）再将选择的每根小棒的长度填入表格中 （3）最后拼接，观察能否围成三角形（学生合作学习、小组交流）2、思考:三根小棒的长度必须具备怎样的条件才能围成三角形？ （学生交流）3、归纳：三角形任意两边的和大于第三边 a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a4、判断：下列线段（长度单位：厘米）能围成三角形吗？ （1）2、7、8 （5）3、3、3 （2）3、8、5 （6）2、6、3 （3）3、5、4 （7）7、7、2 （4）4、9、6 （8） 5、9、5 ● 在判断的基础上，根据三角形的特征，将三角形分类按边：⎩⎨⎧→等边三角形等腰三角形不等边三角形按角：⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形● 变式：（1）三角形的三边为4、9、x ，求x 的取值范围？ （2）等腰三角形的三边为4、9、x ，求x 的值？（三）探究三角形的中线、角平分线、高所在的直线的交点的情况。
沪教版（上海） 教案
1.用下列三种长度的铁条首尾顺次联结，能做成三角形框架吗？
2.唐爸爸想做一个三角形
框架，现有长
的木条：（1）如果去商店
再买一根木条，现商店只
有这几种规格的木条：
，你说
唐爸爸应该购买哪一种？
（2）如果不去买，打算自
己找一根，应该在什么范
围内？
（3）如果直接从现有的木
条上截一根，那么如何截
才能做成一个三角形木
架？
．你学到了什么？
有五根木棒，他们的长度分别要选用其中的三根木棒钉成三角架，一共有多少种不同形状的三角架?试分别写出来.
14.1三角形的有关概念
记作：△
边：边
顶点：顶点
（内）角：∠、∠、∠
三、三边关系
三角形任意两边之和大于第三边.
三角形任意两边之差小于第三边.
已知三角形两边a、b，第三边c的取值范围：|a-b|＜c＜a+b.。
三角形的有关概念教学设计说明
《三角形的有关概念》教学设计说明教材上海教育出版社七年级第二学期第十四章《三角形的有关概念与性质》中14.1《三角形的有关概念》教师上海市青浦区实验中学钱海燕一、本课数学内容的本质、地位、作用分析《三角形的有关概念》是上教版数学课本七年级第二学期的学习内容。
纵观整个初中平面几何的教学内容，三角形是平面内最简单的直线型封闭图形，是进一步探究学习其它图形性质的基础。
通过本节课的进一步学习，可以对已有的知识起到巩固的作用，同时也为接下来学习全等三角形、等腰三角形、直角三角形等知识和从实验几何逐步向论证几何过渡起着奠基作用。
二、教学目标分析三角形的有关概念较多，如三角形及其边、顶点、角等基本元素的概念，以及三角形的中线、高、角平分线等重要线段，同时也要求学生知道三角形的两种不同分类（按角、按边）、三角形的三边之间的关系和“三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线交于一点”的结论等，教材安排了两课时。
由于七年级学生已经初步具备了操作、观察、归纳的能力，为了体现知识点的完整性和课程内容的饱满性，本节课在设计上将两课时的知识点进行了有机的编排与整合，依托“学习任务单”，围绕学生已有知识经验，并通过问题的尝试、解决，获取新知识，逐步增强推理意识，感受数学的美。
基于以上的想法，根据课程标准、教材内容要求和学生的实际，制定了如下的教学目标：1、知道三角形的有关概念及三角形的分类，掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步运用。
2、理解三角形的中线、角平分线、高的概念，并通过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点情况。
3、通过操作、观察、归纳和说理等过程初步体会分类思想，感受数学的美，逐步养成良好的数学思维习惯。
三、本节课的教学难点分析本节课的教学难点是三角形的三边关系的探索。
学生在小学阶段对三角形已有直观认识，但对于“具备怎样条件下的三条线段才能围成三角形”这一知识却没有任何经验。
第十四章_三角形(知识整理与典型例题)
第十四章三角形一、知识系统14.1 三角形的有关概念1、三角形任意两边的和大于第三遍2、在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点的垂足之间的线段叫做三角形的高，联结一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的一个内角的角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线3、三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形，有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形4、三边互不相等的三角形叫做不等边三角形，有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形叫做等边三角形14.2 三角形内角和1、三角形的内角和等于180度2、三角形的一个外交等于与它不相邻的两个内角和3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角4、三角形的外角和等于360度14.3 全等三角形的概念与性质1、能够完全重合的两个图形叫做全等形。
两个三角形是全等形，就说是全等三角形，两个全等三角形，经过运动后一定重合，互相重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等14.4 全等三角形的判定 判定1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（简记为：S.A.S.） 判定2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为：A.S.A.）判定3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对应边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为：A.A.S.） 判定4：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为：S.S.S.） 14.5 等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个低角相等（简称“等边对等角”）2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）3、等腰三角形是轴对称图形，他的对称轴是顶角平分线（底边上的高、底边上的中线） 14.6 等腰三角形的判定1、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 14.7 等边三角形1、等边三角形的性质:等边三角形的每个内角等于60°2、三个内角都相等的三角形是等边三角形 二、题型举例（一）三角形三边的关系例1 若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是 ；当周长为奇数时,第三边长为 ．分析：三角形的一边小于其他两边的和.大于其他两边的差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．课本P74 /1－4
四、小结：
1．三角形的Байду номын сангаас义以及边、角、顶点的概念。
2．三角形的三边关系。
3．三角形中的重要线段（高、中线、角平分线）
五、作业：
1．练习册：习题14.1
2．拓展：
通过观察图形，感知三角形的存在
思考并形成概念
理解、识记概念
动手操作，思考，分析，得到三角形三边的关系。
体会直观感知与理性思考
对三角形概念修改：强调不在同一条直线上的三条线段。
2．概念：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次联结组成的图形叫做三角形。
三角形的边：线段AB、BC、AC是三角形的边。
三角形的顶点：点A、B、C是三角形的顶点。
三角形的内角：∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角。
表示方法：顶点是A、B、C的三角形，记作：“ ”；读作：
_4_月__日星期__第__周
课题
14.1-1三角形的有关概念
课型
新授
教时
1
教学
目标
1．通过操作、观察、思考等探究活动，体会并掌握三角形任意两边之和大于第三边的性质。
2．能运用三边之间关系对三条线段是否能构成三角形作出正确判断。
3．会画三角形中的重要线段。
重点
明确三角形的概念和符号表示，掌握三边之间关系，理解高、中线、角平分线所谓含义，会画基本线段。
利用三角形三边关系辨析
理解三角形的三条重要线段，动手画这些线段。
掌握符号表达式
完成练习
谈收获和注意
讨论并完成拓展题
举例板书设计：
1．三角形的定义以及边、角、顶点的概念。
2．三角形的三边关系。
3．三角形中的重要线段（高、中线、角平分线）
课后反思：
1．
由上述操作，思考，你感到第三根细棒应该满足怎样的条件？
第三根细棒应小于22cm，大于8cm
若设第三根细棒长为 cm，则：
归纳：三角形任意两边的和大于第三边
即：
依据：两点之间线段最短
4．辨析：下列长度的三条线段能否组成三角形？
（1）8，4，3（2）9，4，5（3）11，7，5
5．三角形中的重要线段：
（1）高：再三角形中，从一个顶点向它所对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
符号表达式：若线段AD是 边BC上的高，则 ,垂足为D,(或 )
注：任意一个三角形有三条高线，且交于一点，交点可能在形内，也可能在边上或形外（垂心）
（2）中线：在三角形中，联结一个顶点及其对边的中点的线段叫做三角形的中线。（方法：用刻度尺找中点或用尺规找中点）
符号表达式：若AD是 边的中线，则BD=CD= BD,BC=2BD=2CD
三角形ABC； 的三边也可用小写字母： 表示。
一般情况下：∠A的对边用 表示、∠B的对边用 表示、∠C的对边用 表示
3．探究：三条线段的长度到底要满足怎样的条件，才能首尾顺次联结组成三角形？
现有两根长分别为7厘米，15厘米的细棒，再挑选一根多长的细棒，才能使这三根细棒围成一个三角形，可挑选的细棒长有23cm，22cm，21cm…12cm，9cm，8cm，6cm…
注：任意一个三角形有三条中线，且交于形内一点（重心）
（3）角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（方法：用尺规作图或用量角器可画出角平分线）
符号表达式：若AD是 边的角平分线，则 ,
注：任一个三角形有三条角平分线，且交于形内一点（内心）
难点
三边关系的理解运用。
教具准备
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
一、课前练习：
观察图片，现实世界中处处都有三角形的形象。
本章将对三角形的构成及其性质进行探索和研究。
二、新授：
1．引入：
如图，由三条线段首尾顺次联结组成的图形叫做三角形。
思考：（1）是否任意三条线段都能首尾顺次联结？
（2）若三条线段首尾顺次能联结，是否一定能组成一个三角形。