三角形的概念
数学初中教材第八章三角形与三角函数
数学初中教材第八章三角形与三角函数在初中数学教材的第八章中，我们将学习有关三角形与三角函数的知识。
本章内容涵盖了三角形的基本概念、性质以及与三角函数的关系。
通过学习本章内容，我们可以更好地理解和应用三角形和三角函数的知识。
一、三角形的基本概念与性质在初中数学中，我们首先学习了三角形的基本概念与性质。
三角形是由三条边和三个角所组成的图形，我们通常用大写字母A、B、C来表示三个角，用小写字母a、b、c来表示三条边。
根据三角形的边长关系，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，普通三角形的三条边长度各不相等。
除了边长关系外，我们还学习了三角形的角度关系。
根据角度的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
在直角三角形中，一个角为90度，而在锐角三角形中，所有角度都小于90度，钝角三角形则有一个角大于90度。
二、三角函数的概念与性质在学习了三角形的基本概念与性质后，我们进一步学习了三角函数的概念与性质。
三角函数是描述角度与边长关系的函数，其中常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数是指一个角的对边与斜边的比值，通常用sin表示。
余弦函数是指一个角的邻边与斜边的比值，通常用cos表示。
正切函数是指一个角的对边与邻边的比值，通常用tan表示。
通过三角函数的性质，我们可以进一步研究三角形的性质。
例如，根据正弦定理和余弦定理，我们可以推导出三角形内角和、外角和以及边长的关系。
这些性质对于解决实际问题非常重要。
三、三角形的计算应用作为数学的一个重要分支，三角形的知识经常在实际生活中得到应用。
例如，在建筑设计、航海导航、地质勘测等领域，我们经常需要利用三角形的知识来计算距离、角度等问题。
在实际计算中，我们可以通过应用三角函数来解决各种三角形相关的计算问题。
例如，已知一个角和两条边的长度，我们可以利用正弦定理或余弦定理来计算出其他未知边或角的大小。
初中几何图形概念、公式和性质等知识，父母为孩子收藏起来吧
初中几何图形概念、公式和性质等知识，父母为孩子收藏起来吧展开全文三角形知识点、概念总结1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类3. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
4. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
5. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
6. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
7. 高线、中线、角平分线的意义和做法8. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的内角和是外角和的一半10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。
11. 三角形外角的性质（1）顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；（4）三角形的外角和是360°。
四边形（含多边形）知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。
2. 性质：（1）平行四边形的对边相等且平行（2）平行四边形的对角相等，邻角互补（3）平行四边形的对角线互相平分3. 判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形4. 对称性：平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3. 判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形4. 对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
《三角形的认识》评课稿
《三角形的认识》评课稿三角形的认识评课稿三角形是我们数学学科中的一个基本概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
在本节课中，老师通过生动的教学方式，使我们更好地了解了三角形的性质和相关知识。
1. 引入老师在课堂开始时，通过展示一些实际生活中的三角形图形，引起了我们的兴趣和思考。
例如，三角形在建筑物、道路标志和地图等方面都有很多应用，这使我们意识到三角形的重要性。
2. 三角形的定义接着，老师给出了三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段之间都有一个顶点。
老师通过示意图和实例讲解，帮助我们更好地理解了三角形的概念。
3. 三角形的性质老师在课程中详细介绍了三角形的性质，包括：- 三角形的内角和为180度；- 三角形的外角和等于360度；- 三角形的边长和角度之间的关系。
老师通过举例和推理，让我们运用这些性质解决实际问题，提高了我们的思维能力和应用能力。
4. 三角形分类在课程的后半部分，老师给出了根据边长和角度分类三角形的方法。
老师清晰地解释了等边三角形、等腰三角形和直角三角形的定义，并通过实例进行了说明。
5. 实践演练在本节课的结尾，老师设计了一些练题，让我们运用所学知识解决实际问题。
通过实践演练，我们更加深入地了解了三角形的属性和应用。
6. 总结通过这节课的研究，我们进一步认识了三角形的概念和性质。
老师的精彩讲解和实例分析，使我们对三角形有了更深刻的理解。
我们相信，在今后的研究和生活中，对三角形的认识将对我们有所帮助。
以上是对本节课内容的评价和总结，希望老师能继续用生动有趣的教学方式帮助我们更深入地学习数学知识，拓宽我们的数学视野。
感谢老师的辛勤付出！。
三角形的概念及边角关系
三角形的概念及边角关系一、知识梳理（一）三角形的基本概念及性质：1．三角形的定义① 边② 顶点③ 角④ 外角2．三角形中的几条主要线段：① 三角形的角平分线；② 三角形的中线；③ 三角形的高线3．三角形的主要性质：① 三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边．180② 三角形的三个内角之和等于③ 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角和．④ 三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角．⑤ 三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变．（二）三角形的分类：二、典例剖析例1. △ABC中，AB＝5，BC＝7，则AC的取值范围是____________________．变式1.有4根木条，长度分别为12 、10 、8 、4选其中三根组成三角形则能组____个三角形．变式2.若等腰三角形，一边长为4 cm，另一边为9 cm，则三角形的周长是 _______ cm．变式3.AD是△ABC的中线，AC=3，AB=4，那么△ABD和△ADC的周长之差是 __ 。
变式4. 等腰三角形的一边长是8 cm，周长是18 cm，则等腰三角形的腰长是 cm.例2. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是______三角形．变式1. 如图，AD、BC相交于O点，AB∥CD，∠B＝30º，∠AOB＝100°，则∠ADE＝__________．变式2. 如图，已知∠1＝20º，∠2＝25º，∠A＝36°，则∠BDC＝______．变式3.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C，满足∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形（）A．一定有一个内角45°B．一定有一个内角80°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形ABDCE例3. 下列结论正确的是（ ）A. 三角形的外角一定大于内角 B ． 三角形的三条高线都在三角形的内部 C. 三角形任何两边之和不小于第三边Ｄ. 三角形的内角平分线与相邻外角的平分线互相垂直变式1.三角形的角平分线、中线、高都是（ ）A ．直线B ．射线C ．线段D ．不确定变式2. 若a ，b ，c 为△ABC 的三边，则代数式 (a －b ＋c)(a －b －c) 的值为（ ）A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．无法确定变式3. 在△ABC 中,D 是BC 上的点,且BD:DC=2:1,S △ACD =12,那么S △ABC 等于( ) A.30 B.36 C.72 D.24例4. 在△ABC 中,∠A=50°,高BE 与,角平分线AD 所在的直线交于点O,求∠BO D 的度数.变式1. （山西中考题） 如图，已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 为∠BAC 的平分线， 且∠B=35˚，∠C=65˚，求∠DAE 的度数。
三角形概念大全
三角形概念大全三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个顶点组成。
在这篇文章中，我们将详细介绍三角形的概念、性质、分类以及一些与三角形相关的重要定理和公式。
1. 三角形的基本概念三角形是由三条线段（边）和三个点（顶点）组成的多边形。
其中，边是连接两个顶点的线段，而顶点是多边形的拐角处。
三角形中的三个顶点用大写字母A、B、C表示，对应的边用小写字母a、b、c表示。
2. 三角形的性质（1）内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
即∠A +∠B + ∠C = 180°。
（2）外角和定理：三角形的一个内角和其相邻的两个外角之和等于360度。
即∠A + ∠D + ∠E = 360°。
（3）角平分线定理：三角形的内角平分线相交于三角形的内心，且内心到三角形的各边的距离相等。
（4）中线定理：三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心，重心到三角形的各顶点的距离相等。
3. 三角形的分类根据边长和角度的不同，三角形可以分为以下几种类型：（1）按边长分类：a. 等边三角形：三条边的长度都相等。
b. 等腰三角形：至少有两条边的长度相等。
c. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
（2）按角度分类：a. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
b. 直角三角形：一个内角为90度。
c. 钝角三角形：其中一个内角大于90度。
（3）综合分类：a. 等腰直角三角形：一条等边与一个直角。
b. 等边锐角三角形：三个等边均为锐角。
c. 正三角形：既是等边三角形又是等腰三角形同时也是锐角三角形。
4. 三角形的重要定理和公式（1）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
a² + b² = c²（c为斜边）（2）正弦定理：三角形中，边与其对应的正弦值成比例。
a/sinA = b/sinB = c/sinC（3）余弦定理：三角形中，边与其余弦值成反比。
a² = b² + c² - 2bc*cosA （a为边A对应的边长，A为角A对应的内角，b和c同理）（4）海伦公式：已知三角形的三边长度，可以求出三角形的面积。
认识三角形知识点
认识三角形1．三角形有关的概念1 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形,组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角简称三角形的角．2 三角形的表示三角形用符号“△”表示,顶点是A 、B 、C 的三角形,记作“△ABC ”,读作“三角形ABC ”;如图7 -4一l,三角形有三个顶点：A 、B 、C ；有三条边：AB 、BC 、AC;有三个角：A ∠、B ∠、C ∠．△ABC 的三边用c b a ,,表示时,A ∠所对的边BC 用a 表示．B ∠所对的边AC 用b 表示．C ∠所对的边AB 用c 表示．2．三角形的分类⎪⎩⎪⎨⎧是钝角）钝角三角形（有一个角是直角）直角三角形（有一个角是锐角）锐角三角形（三个角都形角三注意：根据角的大小来识别三角形的形状时,一般只要考虑三角形中的最大角；若最大角是锐角,则三角形是锐角三角形；若最大角是直角,则三角形直角三角形；若最大角是钝角,则三角形钝角三角形．3．三角形中边的关系1三角形的任意两边之和大于第三边；2三角形的任意两边之差小于第三边如图7 -4 -1中,c b a b a c a b c b c a a c b c b a <-<-<->+>+>+,,;,,;注意：在任意给定的三条线段中,当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时,才能组成三角形; 例如：有三条线段的长分别为3、4、6因为3 +4 >6,所以这三条线段能组成三角形．又如：有三条线段的长分别为3、4、8要为3+4 <8,所以这三条线段不能组成三角形．4．三角形的三种主要线段1高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足间的线段,叫做三角形的高; 如图7 -4 -2,AD 是△ABC 的高,可表示为AD ⊥ BC 或ADC ∠=90°或ADB ∠= 90°;2中线：在三角形中,连接顶点和它对边中点的线段,叫做三角形的中线;如图7 -4 -3,AE 是△ABC 的中线,表示为BE=EC 或BE = 21BC 或BC= 2EC. 3角平分线：在三角形中,一个内角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线,一个角的平分线是一条射线,而三角形的角平分线是一条线段．如图7-4-4,AF 是ABC ∆的角平分线,可表示为CAF BAF ∠=∠或BAC BAF ∠=∠21或CAF BAC ∠=∠2.一个三角形中三条中线交于一点,三条角平分线交于一点,三条高所在直线交于一点;5．三角形的高、角平分线、中线的画法1三角形高的画法,如图7-4 -5．注意：①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高．②锐角三角形的三条高交于三角形内部一点．如图7 -4 -5甲,③钝角三角形的三条高交于三角形外部一点．如图7 -4 -5乙,④直角三角形的三条高交于直角顶点．如图7 -4 -5丙．2 三角形的中线的画法：将三角形一边的中点与这边所对角的顶点连接起来,就得到三角形一边上的中线． 3三角形的角平分线的画法：三角形的角平分线的画法与角平分线的画法相同,可以用量角器;防错档案：画钝角三角形的高容易出错,要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段．6．面积法解题例如：如图7 -4 -6,在△ABC中,AB =AC,AC 边上的高BD= 10,求AB 边上的高CE 的长．解析：由三角形面积公式有：AC BD AB CE S ABC ⋅=⋅=∆2121 因为AB =AC,BD =10,所以CE= BD= 10.名题诠释例题1如图7 -4 -7,点D是△ABC的边BC上的一点,点E在AD上．1图中共有____个三角形；2以.AC为边的三角形是____；3以∠BDE为内角的三角形是____.解析1AD的左右两侧各有3个三角形,分别是△ABE、△ABD、△EBD、△ACE、△.ACD、△ECD,左右两侧组合又形成2个以BC为边的三角形,它们是△ABC、△EBC.故共有8个三角形．2 以AC为边的三角形有3个,它们是△.ACE、△ACD、△ACB. 3以∠BDE为内角的三角形有2个,它们是△EBD、△ABD．答案18 2△ACE、△ACD、△ACB 3△EBD、△ABD点评数三角形要注意选择恰当的顺序,做到不重不漏,注意最容易漏掉的是最大的三角形．例题2 下列三角形分别是什么三角形1已知一个三角形的两个内角分别是50°和60°；2 已知一个三角形的两个内角分别是35°和55°；3 已知一个三角形的两个内角分别是30°和45°；4 已知一个三角形的周长为16cm,有两边的长分别是6cm和4cm.解析确定三角形的形状,应紧扣定义．答案1 锐角三角形,因为三角形内角和为180°,而两个内角分别是50°和60°,所以第三个内角是70°,即这个三角形是锐角三角形．2 直角三角形,同理．3 钝角三角形,同理．4 等腰三角形．因为第三条边的长为16 -6 -4 =6cm．点评应全面考虑三角形的边和角的条件,再根据定义判别．例题3 下列长度的三条线段能组成三角形的是．A. lcm、2cm、3.5cmB.4cm、5cm、9cmC. 5cm、8cm、15cmD.8cm、8cm、9cm解析因为1+2<3.5,所以lcm、2cm、3.5cm的三条线段不能构成三角形因为4+5 =9,所以4cm、5cm、9cm的三条线段不能构成三角形；因为5+8<15,所以5cm、8cm、15cm的三条线段不能构成三角形；因为8+8 >9,所以8cm、8cm、9cm的三条线段能构成三角形．答案D点评三条线段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系,即是否满足任意两边之和大于第三边．简便方法是检验较小的两边之和是否大于最大边．例题4 甲地离学校4km,乙地离学校lkm．记甲、乙两地之间的距离为dkm,则d的取值为．A.3B.5C.3或5 D．3≤d≤5解析本题应分两种情况讨论：1甲、乙两地与学校在一条直线上；2甲、乙两地与学校不在同一条直线上,则构成三角形,可利用三角形三边关系解题．答案D∠,G为AD的中点,延长BG交AC于E．F为例题5 如图7-4 -8,在△ABC中,1∠=2AB上一点,CF⊥AD于H,下面判断正确的有．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线．A.l个B．2个 C.3个D．4个∠知AD平分∠BAE．但AD不是△ABE内的线段,故①错,AD应是△ABC的角平分线；同理,BE经解析由1∠=2过△ABD 的边AD 的中点G,但BE 不是△ABD 中的线段,故②不正确,正确的说法应是BG 是△ABD 边AD 上的中线；由于CH ⊥AD 于H,故CH 是△ACD 边AD 上的高,故③正确；AH 平分∠FAC 并且在△ACF 内,故AH 是△ACF 的角平分线,同理AH 也是△ACF 的高,故④正确．答案B点评 三角形的角平分线和角的平分线之间的区别：前者是线段,在三角形的内部,后者是射线,可以无限延伸．例题6在△ABC 中,AB =AC,AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分,求三角形各边的长,解析 中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分,要分类讨论：1当腰长小于底边时,AB +AD =12,如图7-4 -9①；2当腰长大于底边时,AB +AD =15,如图7-4 -9②．答案设AB=x ,则有：AD= DC=x 21． 1若AB +AD =12,即x + x 21=12,x =8． AB =AC =8,DC =4,故BC= 15 -4= 11.此时AB +AC> BC,所以三角形三边长分别为8cm,8cm,llcm.2若AB+ .4D= 15,即x +x 21=15,x =10． 即AB =AC =10,DC =5,故BC=12 -5 =7．显然,此时三角形存在,所以三角形三边长分别为l0cm,l0cm,7cm ．综上所述,此三角形的三边长分别为8cm,8cm ．llcm 或l0cm,l0cm,7cm ．例题7 如图7-4 -10,是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE,其中画法错误的是____________解析 甲图错在把三自形的高线与AC 边的垂线定义相混淆,把“线段”画成“直线”；乙图错在未抓住“垂线”这一特征,画出的BE 与AC 不垂直；丙图错在没有过点B 画AC 的垂线,故不是高；丁图错在没有向点B 的对边画垂线． 答案 甲、乙、丙、丁例题8 如图7—4-11,在△ABC 中,AB =AC,AC 边上高BD=10,P 为边BC 上任意一点,PM ⊥AB,PN ⊥AC,垂足分别为M,N ．求PM+PN 的值．解析 连接AP 后,PM 、PN 就转化为△APB 和△APC 的高,从而由面积法可求得PM+ PN 的值．答案 连接AP,由图7-4 -11可知：ABC ACP ABP S S S ∆∆∆=+, 即BD AC PN AC PM AB ⋅=⋅+⋅212121 因为AB =AC,BD =10,所以PM+PN= BD =10.速效基础演练1如图7 -4 -12,图中三角形的个数共有 ．A 1个B ．2个 C.3个 D ．4个2 三角形两边的长分别为lcm 和4cru,第三边的长是一个偶数,则第三边的长是________,这个三角形是___________三角形3如图7 -4 -13．1 AD ⊥BC,垂足为D,则AD 是___________的高,_______=_______= 90°；2 若AE 平分BAC ∠,交BC 于E 点,AE 叫___________的角平分线,BAE ∠ =_______=21________; 3 若AF= FC,则△ABC 的中线是_________;4 若BC= GH= HF ．则AG 是________的中线,AH 是_________的中线;4 如图7 -4 -14,在△ABC 中,C ∠ = 90°,D 、E 为AC 上的两点,且AE= DE,CBD ∠ =EBC ∠21,则下列说法中不正确的是 ．A ．BC 是△ABE 的高B ．BE 是△ABD 的中线C ．BD 足△EBC 的角平分线D ．DBC EBD ABE ==∠5如图7 -4 -15,哪一个图表示AD 为△ABC 的高6 如果三角形的两边分别为3和5,那么这个三角形的周长可能是．A．15 B．16 C．8 D．77 下列长度的三条线段,能组成三角形的是．A. lcm,2cm,3cmB. 2cm,3cm,6cmC. 4cm,6cm,8cmD. 5cm,6cm,12cm8 如图7 -4 -16,为估计池塘岸边A、B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA =15米,OB =10米,A、B间的距离不可能是．A．5米B．10米C．15米D．20米∠的平分线CD；2画出AC边上的中线BM；9 如图7 -4 -17,在△ABC中,1画出C3画出△ABM的边BM上的高AH.10如图7 -4 -18．△ABC是周长为18cm的等边三角形,D是BC上一点,△ABD的周长比△ADC的周长多2cm,求BD、DC的长;11 等腰三角形的周长为30,一腰上的中线把其周长分成差为3的两部分,试求腰长．∠,交AC于点E,DE∥BC,EF∥AB,分别交AB、BC于点D、F,则BE 12已知如图7 -4 -19,在△ABC中,BE平分ABC∠的平分线吗请说明理由．是DEF13在△ABC 中,C ∠= 90°,BC =6,AC =8,AB =10,求边AB 上的高．知能提升突破1 如图7 -4 -20,在△ABC 中,已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 上的中点,且ABC S ∆=42cm , 求阴影部分的面积阴S ;2 如图7 -4 - 21,在△ABC 中,AB= AC,BD 是AC 边上的高,P 为BC 延长线上的一点,AB PM ⊥,AC PN ⊥,垂足分别为M 、N ．试问PM 、PN 与BD 之间有何关系3某木材市场上木棒规格和价格如下表： 规格1m 2m 3m 4m 5m 6m价格元/根 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用,现有两根长度为3m 和5m 的木棒,还需要到 某木材市场上购买一根．问：1 有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择2 选择哪一种规格的木棒最省钱。
第四章 三角形知识点
第四章三角形一、认识三角形●三角形的有关概念1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。
2、三角形的边：组成三角形的线段叫作三角形的边，可以用两个大写英文字母表示，也可以用一个小写英文字母表示。
3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。
4、三角形的角：相邻两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。
5、角与边的对应关系：大边对大角。
6、三角形的表示：用符号“△”表示，以A,B,C为顶点的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
●三角形的分类1、按内角的大小分类锐角三角形（三个角都是锐角）直角三角形（最大内角为直角），互相垂直的两条边叫作直角边，最长的边叫作斜边，直角三角形ABC可以用符号“Rt△ABC”表示钝角三角形（最大内角为钝角）注：在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个直角，最多有一个钝角。
2、按边的相等关系分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。
等边三角形：三条边都相等的三角形叫作等边三角形，即腰和底边相等的等腰三角形叫作等边三角形，也叫正三角形。
不等边三角形：三边都不相等的三角形。
注：●三角形的三边关系1、三角形的两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
（证明可以依据两点之间线段最短，大角对大边，不等式性质）2、三边关系的运用（1）判断以已知的三条线段为边能否构成三角形（2）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围（3）解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）●三角形的高1、三角形的高的概念：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足所连线段叫做三角形的高。
2、三角形高的几何语言表达形式AD是△ABC的边BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD垂直BC与点D，或∠BDA=∠CDA=90°3、三角形三条高的位置锐角三角形三条高都在三角形的内部。
苏教版数学四年级下册三角形概念
三角形三角形三个三：三角形有三个顶点、三条边、三个角。
三条边的关系：三角形任意两条边长度之和大于第三边。
三个角的关系：三角形的内角和都是180度。
（三角形最多有一个直角或一个钝角，至少有两个锐角，最多三个锐角。
）围成三角形的条件：两条短边的长度之和大于第三条边。
三角形具有稳定性（也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小都不会改变），生活中很多物体利用了这样的特性。
如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。
三角形高和底：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。
（任何三角形都有三条高。
锐角三角形的三条高都在三角形内；直角三角形有两条高落在两条直角边上，两条直角边互为底和高。
一条在三角形内；钝角三角形有两条高在三角形外，一条在三角形内）。
如何作三角形的高：从底边对应的顶点，作一条垂直于底边的虚线段，标上直角标记。
把一个三角形分成两个直角三角形就是画它里面的高。
长方形背后藏着的是什么三角形：看到一个锐角不能确定是什么三角形，可能是锐角三角形可能是直角三角形也可能是钝角三角形。
如下图：三角形按角的特征来分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
（锐角三角形两个锐角的和大于90度。
）有一个角是直角的三角形是直角三角形。
（直角三角形两个锐角的和等于90度。
如果一个三角形两个角的和等于第三个角，那么这个三角形是直角三角形）有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
（钝角三角形两个锐角的和小于90度。
）三角形按边的特征来分：一般三角形、等腰三角形、等边三角形。
两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的两个夹角叫做底角，它的两个底角相等。
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（跟底边上的高正好重合。
）等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角。
底角只能是锐角。
三条边都相等的三角形是等边三角形。
三角形定义
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形的边:组成三角形的线段顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．三角形的主要线段：角平分线、中线、高．三角形具有的特性:稳定性．三角形的高:从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段．三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的中线:三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．线段:三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．三角形的面积：（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1/2×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．三角形三边关系1.三角形两边之和大于第三边．2。
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3。
三角形的两边差小于第三边．4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．三角形全等的符号:“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．对应顶点、对应边、对应角:把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．全等三角形的性质和注意：1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等关于全等三角形的性质应注意以下两点：①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．全等三角形的5种判定方法:（1）判定定理1：SSS-三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS-两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA-两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS-\\两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL-斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．全等三形的判定是结合全等三角形的证明线段相的重要工具．在判定三角形全等，关键是选择恰当的判定条．在应用全等三角形的判定时要注意三的共边和公角，必要时添适当辅助构造三角．。
小学四年级上册认识三角形的内角和外角
小学四年级上册认识三角形的内角和外角1. 介绍三角形的基本概念（200字左右）三角形是几何学中非常重要的一个图形，它由三条边和三个顶点组成。
在我们的日常生活中，三角形无处不在。
了解三角形的内角和外角是我们学习几何学的第一步。
2. 认识三角形的内角（800字左右）内角是指三角形的内部角度大小。
对于任何一个三角形来说，它的三个内角之和总是等于180度。
所以，当我们知道两个内角的大小时，就可以计算出第三个内角的大小。
例如，对于一个等边三角形来说，它的三个内角都是60度；而对于一个直角三角形来说，它的一个内角是90度，其他两个内角的和也是90度。
通过了解三角形的内角特点，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的数学问题。
3. 认识三角形的外角（800字左右）外角是指三角形的一个内角的补角。
也就是说，三角形的外角等于其对应的内角与180度的差值。
例如，如果一个三角形的一个内角是60度，那么它的对应的外角就是120度。
同样地，我们可以通过了解三角形的外角特点，来解决与三角形相关的问题。
4. 探索三角形内角和外角之间的关系（1500字左右）在前面的部分，我们已经了解了三角形的内角和外角的概念和性质。
接下来，我们将探索一些关于内角和外角之间的特殊关系。
首先，我们可以发现，任何一个三角形的内角和都是恒定的，即180度。
这意味着，当我们知道一个三角形的两个内角的大小时，可以通过简单的计算得出第三个内角的大小。
其次，我们可以发现，在一个三角形中，一个内角的补角等于其他两个内角的外角之和。
这一特点可以通过角度的补角性质来推导得出。
此外，我们还可以进一步探索三角形内角和外角之间的其他特殊关系，如外角之和等于360度等。
通过深入研究三角形内角和外角之间的关系，我们可以更好地理解和应用这些知识，解决更加复杂的三角形问题。
5. 总结（200字左右）认识三角形的内角和外角对于我们学习几何学至关重要。
通过了解三角形的内角之和恒定为180度，以及外角与内角的特殊关系，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的数学问题。
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三角形的概念（复习）重点难点分析一、三角形的概念三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
如图：△有三个顶点：点，点，点，有三条边：，，。
有三个内角：∠，∠，∠。
还有三个外角：分别延长、、。
所得∠、∠、∠叫做三角形的外角。
三角形中边与角的位置关系：如图，边叫做∠的对边，边叫做∠的对边，边叫做∠的对边。
、边叫做∠的邻边，、边叫做∠的邻边，、边叫做∠的邻边。
二、三角形的三条重要线段.三角形的角平分线三角形的角平分线定义：三角形一个角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
每一个三角形都有三条角平分线。
且三条角平分线相交于一点，这点叫做三角形的内心，如图，如果、、分别是△的角平分线，那么有：. 三角形的中线三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线。
每一个三角形都有三条中线，且三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心，如图。
如果、、分别是△的中线，那么有：.三角形的高三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
每一个三角形都有三条高线，三条高线或延长线也相交于一点，这点叫做三角形的垂心，如图，当△为锐角三角形时，三条高都在三角形内部。
如果、、是三角形的三条高，那么有：⊥于⊥于⊥于。
当△为直角三角形时，有两条高恰好是它的两条边，那边上的高是边，边上的高是边，边上的高是。
当△为钝角三角形时，有两条高在三角形的外部与两条边的延长线相交，即：边上的高，边上的高为，边上的高是。
注意：三角形的角平分线，中线和高都是线段，在画图时不能画成直线，射线。
三、三角形三条边的关系.三角形按边分类：不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
三角形按边的相等关系分类：.三角形三边的关系：对于任何一个三角形，如果把任意两个顶点看作定点，联结这两个定点的线有两条，一条是线段，另一条是折线，由公理“联接两点的所有线中，线段最短”得出：如图由此得出：定理：三角形两边之和大于第三边。
推理：三角形两边之差小于第三边。
说明：定理及推论是指任意三角形三条边所具有的性质，同时又说明只有具有“两条线段之和大于第三条线段”或“两条线段之差小于第三条线段”的三条线段才能组成三角形图形，否则是组不成三角形的。
例如：三条线段的长分别为和，就不能组成三角形图形，不信你自己动手试试。
四、三角形的内角和.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于°。
此定理对任意三角形都成立，证明方法很多，可用已学过的平行线的性质，介绍几种添加辅助线的方法。
方法一：如图，过△中的顶点作，由平行线的性质，可推出∠∠，∠∠。
因为∠∠∠°，所以∠∠∠°。
方法二：，延长△中的到，过点作，由平行线的性质可推出∠∠，∠∠，因为∠∠∠°，所以∠∠∠°。
方法三，如图，在△中边上任取一点，过点作交于，过点作交于，由平行线的性质可推出：∠∠，∠∠，∠∠∠，因为∠∠∠°，所求∠∠∠°此定理是我们求三角形内角度数的重要途径。
.三角形按角分类说明：三角形有两种分类方法，一种是按边分类，另一种是按角分类，两种分类方法分辩清楚。
.三角形内角和定理的推论推论.直角三角形的两个锐角互余即：如图在△中，∠°那么∠∠°推论.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
即：如图∠是△的一个外角，那么∠∠∠。
推论.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即：如图∠是△的一个外角，那么∠>∠，∠>∠。
注意：三角形的任何一个外角与相邻内角是邻补角，与不相邻的两个内角和相等且大于任何一个不相邻的内角。
应用时要搞清楚外角与内角的位置关系，正确运用。
五、应用举例例.填空题：已知△中，则边的取值范围是。
分析：根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边、两边之差小于第三边列出不等式。
解：∵<< ∴<<为所求例.填空题：已知一个等腰三角形的两边分别是和，则它的周长是。
分析：若这个等腰三角形的腰长为,则三边分别为，满足两边之和大于第三边，若腰长为,则三边分别为，，也成立。
解：这个等腰三角形的周长为或。
例．已知一个等腰三角形的周长为，且三边长都是整数，求三边长．思路分析：在△中，设，则，即∴2BC 10 ∵三边长都为整数，∴必为偶数∴只能取，，，对应()为，，，∵，时，＜与定理三角形两边之和大于第三边矛盾∴此时△不存在同理：，时，△也不存在故△的三边长可能取值为：4cm ，4cm ，2cm 或3cm ，3cm ，4cm本例在求解过程中，未告知哪两边相等，必须假设两边相等，将三个未知量转化为二个，得出一个不定方程，进而根据正整数性质分别得出四组解，然后再结合三角形三边关系定理，把不合题意两组解除去．解题过程中，将矛盾不断转化，分类进行求解，做到了不重不漏．例．如图，△的三条内角平分线相交于，⊥于，求证：∠∠思路分析：从题设及观察图形可知∠°－∠（直角三角形两锐角互余）°－21∠（角平分线定义） ∵∠∠∠°（三角形内角和定理）∴∠°－∠－∠（移项） ∴∠°－21（°－∠－∠）（等量代换）°－°21∠21∠（去括号） 21∠21∠（合并同类项） ∵∠21∠，∠21∠（角平分线定义） ∴∠∠∠（等量代换）∵∠∠∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠∠（等量代换）本例从未知入手，结合图形及题设变换关系式，步步变换，推理有据，一步步向预定的目标推进，终于达到目的．这种思路是执果索因，沿着要什么，找什么的思路去求索，在求索的道路上，要观察图形，结合题设，联想定理，综合分析，有的放矢，求索道路愈来愈明朗化，趋近于要证的结论．这是我们求索几何思路十分有效的方法之一．同学们在今后学习与研究几何问题时，要有意识的这样求索，将会使你的数学素养不断提高，证题能力达到一个新的层次．学习时应注意的问题（）三角形的角平分线、中线和高是线段，而不是射线，也不是直线。
（）三角形两边的和大于第三边。
当>>>都能成立时，以、、为三边，可以构成三角形。
若是最长的线段，且有>，则以、、为三边，可以构成三角形。
若是最短线段，且有>时，以、、为三边，可以构成三角形。
（）三角形的一个外角大于任一个与它不相邻的内角而不是三角形的外角大于它的每一个内角。
专题测试一、填空题1.如图1-1-13，是△的角平分线，那么有∠ 21=∠ . 如图1-1-14，已知、、是三角形的三条中线，那 么有 ， ，21=AF . 2.如图1-1-15，已知∥，∠°，∠°，那么∠ .3.在△中，，，那么 << .4.如图1-1-16，已知在△中，、是、边上的高，、交于，图中有 个直角三角形，它们是 .图1-1-14 图 1-1-16图5.在上题中，如果∠°，∠°，那么∠ ，∠ ，∠ .6.如果等腰三角形的一边长是，另一边长是，那么这种三角形有 个， 它们的周长分别是 .7.已知在△中，∠∠∠，∠∠°，那么∠ ，∠ .二、选择题.三角形的角平分线是（ ）（）直线 （）线段 （）射线 （）垂线段.在锐角三角形中，任意两个锐有的和一定大于（ ）.（）° （）° （）° （）°.在△中，∠∠∠，那么这个三角形是（ ）.（A ）△ ()钝角△ （）锐角△ （）不能确定.如图1-1-17，在△中，∠°，、分别是∠、∠的平分线，那么∠的度数为（ ）.（）° （）° （）° （）°.已知三角形三边长分别是、2a 、，那么，实数的取值范 图1-1-17围是（ ）.（）<< （）<< ()<< （）<<.一个三角形的两边长分别是和，而第三边长为奇数，那么第三边长是（ ）. （）或 （）或 （）或 （）.下列说法中，正确的是（ ）.A 、 个锐角△，一定不是等腰△ 、个等腰△，一定是锐角△C 、 直角△，一定不是等腰△ 、个等边△，一定不是钝角△.任意一个三角形的三个内角中，至少有（ ）.（）一个锐角 （）一个钝角 （）两个锐角 （）一个直角.三角形的一个角等于其它两个角的差，那么这个三角形一定是（ ）. （）等腰三角形（）锐角三角形 （）直角三角形（）钝角三角形.如图1-1-18，已知△中，∠和∠的外角平分线交于，那么，∠（ ）.（）21（°∠） （）°∠ （）21（°∠） （）°∠ 图1-1-118三、解答、证明题1.已知一个等腰三角形的周长是，腰长是底边长的三倍.求各边的长.2.如图1-1-19，已知在△中，是上一点，是上一点，、相交于点，∠°，∠°，∠°. 求：∠和∠的度数.图1-1-19、如图1-1-20，已知在△中，∠°，∠°，平分∠，为边上的高.求∠的度数.4、图1-1-21，已知在△中，∠°，∠°，∠的平分线交于，∠的平分线交于. 求证∥图1-1-20 图专题测试一、填空题.∠、∠、，21° << 、△、△、△、△°、°、°、°、° .<二、选择题1.；；；；；；；；；三、解答、证明题1.3cm、9cm、9cm°、°°.【证】由已知可得出∠°，由∠∠°再得出∠°.又∠∠°，∴∠∠，则∥。