三角形的概念及基本性质-教案
三角形及其性质
、教学主题三角形及其性质教学重难点1、明确组成三角形的六个元素，正确理解三角形的“高”、2、“角平分线”和“中线”这三个概念的含义、联系和区别。
3、钝角三角形高的画法教学目标1、通过操作、观察、思考等探究活动，体会并掌握三角形任意两边之和大于第三边的性质，并能运用三边之间的关系对三条线段是否能构成三角形作出正确判断。
2、理解三角形的高、中线、角平分线的概念，会画这些特殊的线段；通过画图，探索和认识三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点问题。
3、通过分别观察、比较三角形的边长、角的大小特征，理解三角形的分类；进一步体会分类的思想。
4、经历对三角形内角和进行实验、猜测、说理证实的研究过程，体会直观感知与理性思考的联系和区别，懂得直观结论需要说理证实。
5、掌握三角形的内角和性质，知道三角形的外角及外角和的含义，掌握三角形外角的性质，能运用三角形内角与外角的性质进行简单的说理计算，初步经历和体验几何推理的过程。
教学过程步骤教师活动1.（导入）1、什么是三角形？小学已经学过三角形的那些概念？(1)试说出三角形、三角形的边、顶点、角的概念(2)如图1：试画出的平分线、BC边上的中线、BC边上的高2、三角形是由三条线段组成的，这里要强调“首尾顺次相接”为什么要加上这个条件？具备什么条件的线段才是三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高？学生练习：分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三边上的高，利用投影展示学生的做法，一人演版，其他独立练习，利用学生练习结果分析得出三角形三条高或延长线交于一点，猜想三角形三条角平分线、三条中线的位置关系。
2.（呈现）1、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接而组成的图形叫三角形。
如图，三角形ABC表示为△ABC，与点A相对的边可表示为线段a；直角三角形ABC可表示为Rt△ABC2、三角形的分类(1)按角分①锐角三角形：三个内角均为锐角②直角三角形：有一个角是直角③钝角三角形：有一个角是钝角(2)按边分①不等边三角形：三边均不相等②等腰三角形：有两边相等的边(特殊：等边三角形)3、三角形的基本性质：(1)两边之和大于第三边;两边之差小于第三边：a-b＜c＜a+b(2)三个内角和为180°：∠A+∠B+∠C=180°(3)三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。
小学数学《认识三角形》教案
小学数学《认识三角形》教案一、教学目标1.让学生通过观察、操作活动，掌握三角形的概念，理解三角形的基本特征。
2.培养学生运用数学语言描述三角形的能力。
3.激发学生对几何图形的兴趣，培养学生的空间观念。
二、教学重难点重点：三角形的概念和基本特征。
难点：三角形分类及性质的探究。
三、教学准备1.教具准备：三角形模型、多媒体课件、三角板等。
2.学具准备：剪刀、直尺、彩笔等。
四、教学过程（一）导入新课1.教师展示各种三角形物品，引导学生观察并说出它们的特点。
2.学生举例说明生活中常见的三角形物品。
（二）探究三角形的概念2.学生分组讨论，用数学语言描述三角形。
（三）学习三角形的分类1.教师展示等边三角形、等腰三角形、直角三角形等模型，引导学生观察并分类。
（四）探究三角形的性质1.教师引导学生观察三角形的边长、角度等，发现三角形的性质。
2.学生举例说明三角形在实际生活中的应用。
（五）实践操作1.教师发放学具，引导学生动手制作三角形。
2.学生展示作品，交流制作过程中的心得体会。
（六）课堂小结1.教师引导学生回顾本节课所学内容，巩固三角形的概念、分类和性质。
2.学生分享自己的学习收获。
（七）作业布置1.学生独立完成课后作业，巩固三角形的知识。
2.家长签字确认，加强对孩子学习的监督。
第一步：导入新课1.教师展示各种三角形物品，如红领巾、三角板等，引导学生观察并说出它们的特点。
2.学生举例说明生活中常见的三角形物品，如自行车架、屋顶等。
第二步：探究三角形的概念2.学生分组讨论，用数学语言描述三角形，如“三角形是由三条线段连接三个不在同一直线上的点所组成的图形”。
第三步：学习三角形的分类1.教师展示等边三角形、等腰三角形、直角三角形等模型，引导学生观察并分类。
等边三角形：三条边相等，三个角相等。
等腰三角形：两条边相等，两个角相等。
直角三角形：一个角是直角。
第四步：探究三角形的性质1.教师引导学生观察三角形的边长、角度等，发现三角形的性质：三角形的内角和为180度。
第七章三角形教案(一)
第七章三角形教案（一）教学目标1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.2.经历度量三角形边长的实践活动中,明白得三角形三边不等的关系.3.明白得判定三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.4.关心学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的爱好. 重点、难点 重点:1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形.2.能从图中识别三角形.3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中明白得三角形三边间的不等关系. 难点:1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形.2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形. 教学过程 一、看一看1.投影:图形见章前P68-69图.教师叙述: 三角形是一种最常见的几何图形之一.(看条件许可, 能够把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影,给同学放映)从古埃及的金字塔到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑如P68-69的图,到微小的分子结构, 处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”那个课题来源于实际生活之中. 学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形. (2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中.2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.(1)CBA(2)CBA(3)E DCBA(4)EDBA(5)DCBA(1)教师引导学生观看上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条线段AC 、CB 、AB 是否首尾顺序相接.(是) (2)观看发觉,以上的图,哪些是三角形? (3)描述三角形的特点:板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”.教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视. 学生回答:a.不在一直线上的三条线段.b.首尾顺次相接. 二、读一读指导学生阅读课本P71,第一部分至摸索,一段课文,并回答以下问题: (1)什么叫三角形?(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点? (3)三角形ABC 用符号表示________.(4)三角形ABC 的边AB 、AC 和BC 可用小写字母分别表示为________.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC,三角形ABC 的三边,AB 可用边AB 的所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示. 三、做一做画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点动身,沿三角形的边爬到C,它有几种路线能够选择各条路线的长一样吗?同学们在画图运算的过程中,展现议论,并指定回答以上问题: (1)小虫从B 动身沿三角形的边爬到C 有如下几条路线. a.从B→C b.从B→A→C(2)从B 沿边BC 到C 的路线长为BC 的长.从B 沿边BA 到A,从A 沿边C 到C 的路线长为BA+AC.通过测量能够说BA+AC>BC,能够说这两条路线的长是不一样的. 四、议一议1.在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?3.三角形三边有如何样的不等关系?通过动手实验同学们能够得到哪些结论?三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 五、想一想三角形按边分能够,分成几类?按角分呢? (1)三角形按边分类如下: 三角形 不等三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 等边三角形 (2)三角形按角分类如下: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 六、练一练有三根木棒长分别为3cm 、6cm 和2cm,用这木棒能否围成一个三角形?分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩(2)要让学生明确两条木棒长为3cm 和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm 和8cm 之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,因此不可能用这三条木棒构成一个三角形. 错导:∵3cm+6cm>2cm∴用3cm 、6cm 、2cm 的木棒能够构成一个三角形.错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,那个地点3+6>2,没错,可6-3不小于2,因此回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成. 7.1.2 三角形的高、中线与角平分线教学目标1.经历析纸,画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线.2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于点. 重点、难点 1.重点:(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点. 2.难点:(1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别. (2)钝角三角形高的画法.(3)不同的三角形三条高的位置关系. 教学过程 一、看一看把下面图表投影出来:三角形的重要线段 意义 图形 表示法三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段D CBA1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的OD CBA线段D CBA1.AE 是△ABC 的BC 上的中线.2.BE=EC=12BC.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,那个角顶点与交点之间的线段21D CBA1.AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC.1.指导学生阅读课本P71-72的课文.2.认真观看投影表中的内容,并回答下面问题.(1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系? 三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线.(2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段, 而过两点的直线有着本质的不同,一个代表的是线段,另一个却是直线.(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交, 那个角顶点与交点之间的线段,而角平分线指的是一条射线.3.三角形的高、中线和角平分线是代表线段依旧代表射线或直线?三角形的高、中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在那个顶点的对边上. 二、做一做1.让学生在练习本上画出三角形,并在那个三角形中画出它的三条高.( 假如他们所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角形的三条高在那儿?)观看这三条高所在的直线的位置有何关系?三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.2.让学生在练习本上画三角形,并在那个三角形中画出它的三条中线.( 假如他们所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里)?观看这三条中线的位置有何关系?三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,那个交点在三角形内.3.让学生在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观看这三条角平分线的位置有何关系不管是锐角三角形依旧直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在三角形内,同时交于一点.7.1.3三角形的稳固性 教学目标：通过观看和实地操作得到三角形具有稳固性，四边形没有稳固性，稳固性与没有稳固性在生产、生活中广泛应用重点：了解三角形稳固性在生产、生活是实际应用难点：准确使用三角形稳固性与生产生活之中 课前预备：小木条8个，小钉若干 教学过程：一、看一看，想一想课本P73投影出来二、做一做1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？C BA三、议一议从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。
三角形的初步认识复习教案
三角形的初步认识复习教案一、教学目标：1. 复习并巩固学生对三角形的基本概念、性质和分类的理解。
2. 提高学生运用三角形知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作精神。
二、教学内容：1. 三角形的基本概念：三角形的定义、三角形的组成。
2. 三角形的性质：三角形的内角和、三角形的边长关系。
3. 三角形的分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
4. 三角形的画法：如何准确地画出一个三角形。
5. 三角形在实际生活中的应用：举例说明三角形在现实生活中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的基本概念、性质和分类，以及三角形在实际生活中的应用。
2. 教学难点：三角形内角和、边长关系的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来复习三角形的相关知识。
2. 利用实物模型、图片等教学资源，帮助学生直观地理解三角形的性质和分类。
3. 设计具有挑战性的练习题，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：详细讲解三角形的基本概念、性质和分类，并通过实物模型、图片等进行展示。
3. 练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享彼此的学习心得和解决问题的方法。
5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调三角形的内角和、边长关系等关键知识点。
6. 作业布置：布置一些有关三角形应用的问题，让学生在课后思考和解决。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组讨论表现，评估学生的学习积极性。
2. 练习题评价：对学生的练习题进行批改，评估学生对三角形基本概念、性质和分类的掌握程度。
3. 课后作业评价：对学生的课后作业进行批改，了解学生对三角形在实际生活中应用的理解和运用能力。
直角三角形的性质教案
直角三角形的性质教案一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解直角三角形的定义及其特点。
2. 掌握直角三角形的性质和常见的定理。
3. 运用直角三角形的性质解决相关问题。
二、教学准备1. 教材：直角三角形的相关教材内容。
2. 教具：黑板、白板、笔、直尺、三角板。
三、教学步骤与内容Step 1 引入1. 创设情境：通过展示一张三角形图片，引起学生对直角三角形的好奇和兴趣。
2. 引发思考：提问学生，你们对直角三角形有什么认识？Step 2 定义直角三角形1. 引导学生观察：通过黑板上绘制一个直角三角形，引导学生观察其特点，如边长、角度等。
2. 学生互动：学生分享自己对直角三角形的认识，并逐步引导出直角三角形的定义。
3. 确定定义：引导学生共同归纳，直角三角形是指一个三角形中，有一个角为90度的三角形。
Step 3 直角三角形的性质1. 概念解释：教师解释直角三角形的性质是指直角三角形独特的特点和规律。
2. 理论探究：通过引导学生观察和推理，帮助学生发现直角三角形的性质。
a. 性质1：直角三角形的两条直角边长度之和等于斜边的长度。
b. 性质2：直角三角形的两个锐角互余，即一个角的余角等于另一个角。
c. 性质3：直角三角形的斜边是两条直角边中最长的边。
Step 4 直角三角形的定理1. 概念解释：教师解释直角三角形的定理是指从直角三角形性质推导出的具体结论。
2. 定理1：勾股定理a. 呈现定理：通过黑板上的直角三角形图形，教师呈现勾股定理的表达方式：a² + b² = c²。
b. 解释定理：教师解释勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
c. 引导学生：教师通过恢复课前知识和引导学生观察，帮助学生理解勾股定理的逻辑推导过程。
3. 定理2：斜边上的高定理a. 呈现定理：通过黑板上的直角三角形图形，教师呈现斜边上的高定理的表达方式：h = a * b / c。
三角形的概念及三边关系教案
一、教学目标：1. 让学生理解三角形的定义和性质，掌握三角形的概念。
2. 引导学生探索三角形的三边关系，理解三角形两边之和大于第三边的原理。
3. 培养学生的观察、思考、动手能力和团队协作精神。
二、教学内容：1. 三角形的定义：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
2. 三角形的性质：三角形具有稳定性，不易变形。
3. 三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：让学生掌握三角形的定义、性质和三边关系。
2. 教学难点：引导学生探索三角形的三边关系，理解并证明两边之和大于第三边的原理。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角形的三边关系。
2. 利用实物模型、图片等直观教具，帮助学生直观地理解三角形的性质。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过展示三角形的事物图片，引导学生思考三角形的特征。
2. 讲解三角形的定义和性质：讲解三角形的定义，让学生明确三角形是由三条线段组成的封闭图形；讲解三角形的性质，让学生理解三角形的稳定性。
3. 探索三角形的三边关系：让学生观察、分析三角形的三条边，引导学生发现三角形两边之和大于第三边的规律。
4. 证明三角形的三边关系：运用几何图形，引导学生证明三角形两边之和大于第三边的原理。
5. 巩固练习：设计一些有关三角形三边关系的练习题，让学生加以巩固。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调三角形的三边关系在实际应用中的重要性。
7. 作业布置：布置一些有关三角形的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 引导学生思考：在什么情况下，三条线段不能构成一个三角形？2. 讲解不能构成三角形的情况：三条线段中，如果有两条线段的长度之和等于第三条线段的长度，则无法构成三角形。
3. 让学生通过实际操作，尝试用三条线段组成三角形，并判断是否符合三角形的三边关系。
三角形教案 三角形教案(优秀6篇)
三角形教案三角形教案(优秀6篇)角形教案篇一1.内容：三角形外角的概念，三角形外角的性质。
2.内容解析：与三角形内角和定理一样，三角形的外角也是研究三角形时重点研究的一类角。
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
三角形的外角的性质揭示了一个三角形的三个外角、外角与内角之间的数量关系。
三角形外角的性质为与三角形有关的角的计算和证明等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。
三角形的外角的性质的探索与证明，让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究过程和方法，使他们既学会发现，又学会归纳、概括，逐步培养他们用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：三角形的外角的性质的探索和证明。
二、目标和目标解析1.目标（1）了解三角形的外角的概念。
（2）探索并证明三角形的外角的性质。
（3）能运用三角形的外角的性质解决简单问题。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：能在具体的图形中正确识别三角形的外角、理解三角形内外角及其位置有相对性。
达成目标（2）的标志是：学生能通过特殊的、具体的计算问题，探索发现三角形的外角的性质，并能探究多种方法进行证明。
达成目标（3）的标志是：能正确运用三角形外角的性质解决简单的与三角形有关的角的计算和证明问题。
三、教学问题诊断分析学生在具体情景中辨认三角形的内外角有一定困难，在证明的推理过程中要做到步步有据也有一定难度，规范地写出证明过程更加困难。
因此，教学时要注意分析证明结论的思路，通过问题设计，引导学生思考，让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程。
四、教学过程设计（一）知识回顾，温故知新问题1 三角形的内角和是多少？怎么证明？师生活动：学生回忆三角形的内角和定理，并说出证明的方法：剪图、拼图或折叠，画出图形，推理，表述清晰。
问题2 在ABC中，（1）∠C=90°，∠A=30° ，则∠B= ；（2）∠A=50°，∠B=∠C，则∠B= .师生活动：学生独立思考后回答问题。
认识三角形教案(6篇)
认识三角形教案（6篇）作为一名无私奉献的老师，就难以避免地要准备教案，教案是教学活动的依据，有着重要的地位。
那么写教案需要注意哪些问题呢？这里是小编帮大家分享的认识三角形教案（6篇），欢迎借鉴。
角形教学设计教案篇一教学目标通过猜想、验证，了解三角形的内角和是180度。
在学习的过程中进一步激发学生探索数学规律的兴趣，初步感知计算多边形内角和的公式。
教学重难点三角形的内角和课前准备电脑课件、学具卡片教学活动一、计算三角尺三个内角的和。
出示三角尺中的一个，提问：谁来说说三角尺上的三个角分别是多少度？引导学生说出90度、60度、30度。
出示另一个三角尺，引导学生分别说出三个角的度数：90度、45度、45度。
提问：请同学们任选一个三角尺，算出他们三个角一共多少度？学生计算后指名回答。
师：三角尺三个角的和是180度。
二、自主探索，解决问题提问：是不是任一个三角形三个角的和都是180度呢？请同学们在自备本上任画一个三角形，量出它们三个角分别是多少度，再求出它们的和，然后小组内交流。
学生小组活动，教师了解学生情况，个别同学加以辅导。
全班交流：让学生分别说出三个角的度数以及它们的和。
提问：你发现了什么？任何一个三角形三个角的和都是180度。
利用三角形的这一性质，我们可以解决许多问题。
三、试一试要求学生先计算，再用量角器量，较后比较结果是否相同？让学生说说计算的方法。
教师说明：即使结果不完全一样，是因为测量的结果存在误差，我们还是以计算的结果为准。
四、巩固提高完成想想做做的题目。
第1题学生独立计算，交流算法。
要求学生用量角器量出结果，和计算的结果想比较。
第2题指导学生看图，弄清拼成的三角形的三个内角指的是哪三个角。
计算三角形三个角的内角和，帮助学生进一步理解：三角形三个内角的和是180度。
第3题通过操作、计算，使学生认识到：不管三角形的大小怎样变化，它的内角和是不会变化的。
第4、5、6题引导学生运用三角形的。
分类及三角形内角和的有关知识解决有关问题，重点培养学生灵活运用知识解决问题的能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学过程一、复习预习二、知识讲解考点/易错点11. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。
4.S S ABE ∆⋅ 基础。
考点/易错点2三角形边角关系、性质的应用三、例题精析【例题1】【题干】锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B【答案】C【解析】因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角，()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。
【例题2】【题干】已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定【答案】C【解析】由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。
解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形【例题3】【题干】如图，已知：在∆ABC 中，AB AC ≤12，求证：∠∠C B <12。
∴∠F ＝∠FAB ，∴AB ＝BF 又∵AB ＋FB ＞AF ，即2AB ＞AF又∵AB AC AC AF ≤∴>12， ∴>∠∠F C ，又∵∠∠F ABC =12∴<∠∠C B 12【解析】欲证∠∠C B <12，可作∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，只要证∠∠C EBC <即可。
为与题设AB AC ≤12联系，又作AF//BE 交CB 的延长线于F 。
显然∠EBC ＝∠F ，只要证∠∠C F <即可。
由AF AB AC <≤2可得证。
【例题4】【题干】已知：如图，在∆ABC 中，D 是BC 上任意一点，E 是AD 上任意一点。
求证： （1 （2）【答案】∴>∠∠BED BAE 同理，∠∠DEC CAE >∴+>+∠∠∠∠BED DEC BAE CAE 即∠∠BEC BAC > （2）延长BE 交AC 于F 点AB AF BE EFEF FC ECAB AF EF FC BE EF EC+>++>∴+++>++又即AB AC BE EC +>+【解析】在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。
【例题5】【题干】求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。
BF ∠ABD ＝∠CAB ＋∠C∠ABC ＋∠C ＋∠CAB ＝180°，∠C ＝90°∴+=+++=︒+︒=︒∠∠∠∠∠∠EAB ABD ABC C CAB C 18090270 ∵AF 、BF 分别平分∠EAB 及∠ABD ()∴+=+=⨯︒=︒∠∠∠∠FAB FBA EAB ABD 1212270135 在∆ABF 中，()∠∠∠AFB FAB FBA =︒-+=︒18045 【解析】欲证∠AFB =︒45，须证∠∠FAB FBA +=︒135 ∵AF 、BF 分别平分∠EAB 及∠ABD ∴要转证∠EAB ＋∠ABD ＝270°又∵∠C ＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 ∴问题得证四、课堂运用【基础】1. 已知：三角形的三边长为3，8，12+x ，求x 的取值范围。
分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。
解：∵三边长分别为3，8，12+x ，由三边关系定理得： 51211<+<x∴<<∴<<421025x x2. 已知：∆ABC 中，AB BC =，D 点在BC 的延长线上，使AD BC =，∠=BCA α，∠=CAD β，求α和β间的关系为？解： AB BC BCA BAC =∴∠=∠=，α又 AD BC AD AB =∴=，∴∠=∠D B ，又∵∠=∠+∠BCA D B ∴∠=-∴∠=-D B αβαβ， 根据三角形内角和，得： 2180ααβ+-=︒ ∴-=︒3180αβ3. 如图，∆ABC 中，∠∠ABC ACB 、的平分线交于P 点，∠=︒BPC 134，则∠=BAC（ ） A. 68°答案:C解析: ∠=BPC ∴∠+∠PBC 又∵BP 、CP ()∴=∴+=+∴+=⨯︒=︒∴=︒--=︒∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠PBC PBC PCB ABC ACB ABC ACB BAC ABC ACB 121224692180884. 已知：如图，AD 是∆ABC 的BC 边上高，AE 平分∠BAC 。
求证：()∠=∠-∠EAD C B 12又 ∠∠∠BAC B C =︒--180()()∴=-=︒---︒-=-∠∠∠∠∠∠∠∠EAD BAC CAD B C C C B 1212180901212()∴=-∠∠∠EAD C B 12【巩固】1.()()∴+=+=++∠∠∠∠∠∠∠DAB DBA FAB EBA ABC BAC ACB 1212则()∠∠∠ADB DAB DBA =︒-+180()()()=++-+-=+∠∠∠∠∠∠∠∠ABC ACB BAC ABC BAC ACB ABC BAC 1212又() 1212∠∠∠ACG ABC BAC =+∴=∠∠ADB ACG 12。
2. 在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（ ）A.1＜AB ＜29B.4＜AB ＜24C.5＜AB ＜19D.9＜AB ＜19分析:在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法. 答案:D3. 如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则∠AOC+∠DOB=度答案:180解析:本题考查了角度的计算问题，因为本题中∠AOC 始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解解：设∠AOD=a ，∠AOC=90°+a ，∠BOD=90°-a ，所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°-a=180°．故答案为180°．4. 如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．答案: 解：∵∠1=∠2，∴∠3=∠1+∠2=2∠1=∠4，∴2∠3+∠CAD=2∠1+2∠2+∠BAC-∠1=4∠1+63°-∠1=3∠1+63°=180°，∴∠1=39°=∠2，∠3=∠4=78°，∴∠DAC=63°-∠1=63°-39°=24°，∠ADC=∠3=78°．解析: 由三角形的内角和是180°，和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可求∠1=39°，∠3=78°，所以∠DAC=24°，∠ADC=∠3=78°．【拔高】1.如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝61°，延长BC至E，使CE＝AC，延长CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度数.分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E的度数，即可求得∠DAE的度数.2.如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、A C的垂线PE、PD，垂足为E、D.问：△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？分析：（1）DE是△AED与四边形EBCD的公共边，只须证明AD＋AE＝BE＋BC＋CD（2）既有等边三角形的条件，就有60。
的角可以利用；又有垂线，可造成含30°角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明.答案: 过P作PM∥AC，PN∥AB∴∠PMB=∠A=∠B，∠PNC=∠A=∠C∴PM=PB，PN=PC∵PE⊥AB，PD⊥AC∴BE=EM，CD=DN∴四边形AMPN为平行四边形，∴AN=PM，AM=PN∴三角形AED的周长=AE+ED+AD=AM+ME+ED+DN+AN=PC+BE+ED+DC+PB=BE+BC+CD+ED=四边形EBCD的周长3.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个答案:121解析: 解决此题关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．解：第1个大三角形中白色三角形有1个；第2个大三角形中白色三角形有（1+3）个；第3个大三角形中白色三角形有（1+3+32）个；那么第5个大三角形中白色三角形有（1+3+32+33+34）=121个．4.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝______．分析：∠ABC与∠DFE分布在两个直角三角形中，•若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解．解答：在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∴∠ABC＋∠DFE＝90°，因此填90°．课程小结知识点1:三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。