第一讲三角形基本概念
第一讲 三角形边与角01
小班辅导讲义学生：科目：数学第 1 阶段第 1 次课教师：(1)、从图中你能找到几个三角形？并用符号表示.(2)、请与同学交流你找到的三角形.你是怎么数的？并讨论用什么方法数才能做到不重不漏？【例3】、说一说：让学生举一些生活中看到的三角形例子。
两点之间线段最短，∴AC+BC>AB，同理:AB+AC>BC、AB+BC>AC 三角形任意两边之和大于第三边C D1.在ΔABC中，∠A=12∠B=14∠C，则三个内角分别为。
2.已知三角形两边分别是2cm和7cm，第三边的数值是偶数，则这个三角形的周长是。
3.已知ABC的周长为15，三角形三边分别为a、b、c且a-b=c-1,a-3c=1，则a= ,b= ,c= 。
4.若四条线段长分别是5cm、6cm、8cm、13cm，则以其中任意三条线段长为边可构成个三角形。
5.在ΔABC中，已知∠A=2∠B=3∠C，则这个三角形是三角形。
6.在ΔABC中，∠A=2∠B=750，则∠C=（）。
（A）300（B）67030′（C）1050（D）13507.周长为15，各边长是互不相等的整数的三角形有个。
8.若ΔABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为（）。
（A）7 （B）6 （C）5 （D）49. ΔABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断ABC是什么三角形。
10.若a、b、c分别是ABC的三条边，则代数式a2-2ab-c2+b2的值是（）。
11.如图，AB=AC，CD=BF，BD=CE，则∠a等于（）。
（A）900-∠A （B）450-12∠A （C）1800-∠A （D）900-12∠A第11题图12.在ΔABC 中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠B ＝2∠A ， ⑴求∠A 、∠B 、∠C 的度数；⑵△ABC 按边分类，属于什么三角形？△ABC 按角分类，属于什么三角形？13.如图，说明∠A+∠B +∠C +∠D +∠E=180°的理由．ACBD E。
第1讲 与三角形有关的线段和角
知识讲解1.三角形的分类：1)按边分类:2）按角分类：2.三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的_____________.（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的_____的线段叫做三角形的中线. （3）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的_______和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
3.三角形的内角与外角（1）三角形的内角：✓定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的_____.✓三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于__________.✓三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可求出其_______度数；③求一个三角形中各角之间的关系。
（2）三角形的外角✓定义：三角形一边与另一边_____组成的角，叫做三角形的外角。
三角形外角和为_____。
✓性质：①三角形的一个外角等于与它____相邻的两个内角的和。
②三角形的一个外角大于与它______相邻的任何一个内角.4．三角形的三边关系（1）三边关系性质：三角形的任意两边之和______第三边，任意两边之差_____于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和____最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.考点/易错点1关于三角形的高的注意事项：（1）三角形的高线是一条线段；（2）锐角三角形的三条高都在三角形______，三条高的交点也在三角形____部；钝角三角形有两条高落在三角形的_____部，一条在三角形_____部，三条高所在直线交于三角形___一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，它们的交点是直角的顶点，另一条在三角形的内部。
数学八年级上册培优第01讲 三角形
知识导图第一讲：三角形概述教学内容本讲内容涉及三角形角度计算的知识点，在人教版课本第十一章中学习，在本系列教材初二第1册第一节中已学习过．专题1 三角形角度转换基本图形的应用专题2 三角形角平分线基本模型专题3 三角形内、外角度转换专题4 角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用专题讲解专题1：角形角度转换基本图形的应用【例1】如图所示，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．AECFB D（2012，江岸区期末）【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练1．1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E ． （1）若∠B ＝35°，∠ACB ＝85°，求∠E 的度数；（2）当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系，写出结论无需证明．BC AD P练1．2：如图，已知∠CGE ＝120°，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．αBCGEAFD练1．3：如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝ 度．A CD EF B PI专题2：三角形角平分线的基本模型【例2】如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点．AC B PAC BDEP AC B FP图1 图2 图3（1）求∠P 的度数；（2）猜想∠P 与∠A 有怎样的大小关系？（3）若点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ （4）若点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ 【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练2．1：如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点G ，∠BDC ＝140°，∠BGC ＝110°，求∠A 的度数．D BA CGEF练2．2：（1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ ，∠XBC ＋∠XCB ＝ ．B X ZYAC图1（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过B 、C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．B X ZYAC图2练2．3：（1）如图1，求证：∠CDB ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．C ABD图1（2）如图2，∠ACD 的平分线与∠ABD 的平分线交于点E ．试问∠A ，∠CEB 和∠CDB 有何数量关系？为什么？C ABD E图2（3）如图3，若∠ACE＝13∠ACD，∠ABE＝13∠ABD，猜想∠A，∠CEB和∠CDB之间的数量关系为．（写出结论，不必证明）E CD 图3【变式】已知△ABC中，∠BAC＝100°．B AOBAO1O图1 图2 图3（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2，…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC＝170°时，是几等分线的交线所成的角．（2014，光谷实验10月月考）专题3：三角形内、外角度的转换【例3】将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处．（1）如图1，试问∠1，∠2与∠C之间有何关系？为什么？（2）若点C′在△ABC的外部，如图2所示，试问∠1，∠2与∠C之间又有何关系？为什么？21AC FBEC'21ACFBE C'图1 图2（2014，江汉区期末）【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练3．1：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且∠ADE ＝∠AED ； （1）求证：∠BAD ＝2∠CDE ；BACDE（2）如图，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．BACDE【例4】如图，BP 是∠ABC 的平分线，DP 是∠CDA 的平分线，BP 与DP 交于P ，右∠A ＝40°，∠C ＝76°，求∠P 的大小．ABDCP【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练3．2：如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ．在图中，（1）若∠D ＝40°，∠B ＝36°，试求∠P 的度数；（2）—般性结论：若∠D 的度数为x ，∠B 的度数为y ，则∠P 的度数为 ．ABDCMP N【例5】如图，△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．求证：∠DAE ＝12(∠B －∠C )．BCAD E【解析】【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练3．3：如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）若∠C＝80°，∠B＝50°，求∠DAE的度数．（2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE＝12(∠C－∠B)．（3）如图（2）若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，（2）中的结论还正确吗？为什么？BACD E BACDA'E图1 图2专题4：角度的综合和实际应用【例6】上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里每小时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝43°，∠NBC＝86°，则海岛B与灯塔C相距海里．BCAN【解析】【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练4．1：（1）如图，B处在A处的南偏西65°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB 的度数是（ ）．ACB北南A ．80°B ．75°C ．85°D ．70° （2）如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是多少度？【原题40°，个人认为改为80°更适合．】D ABC E北北（2014，光谷实验10月月考）【例7】如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，BF 交AE ，AD 于点G ，H ，∠C ＞∠ABC ，下列结论：①∠AGB ＝90°＋12∠C ； ②∠C －∠ABC ＝2∠EAD ； ③∠BFC ＋∠AEC ＝180°；④∠AGB ＋∠BHD －∠EAD ＝180°， 其中正确的有（ ）． BACE D GHFA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练4．2：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝20°，∠ACB 的平分线与外角∠ABD 的平分线交于点E ，连接AE ，则∠AEC 的度数为（ ）．C DA EA．10°B．30°C．35°D．45°（青山，13－14期中考试）专题5：角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用【例8】如图1，△AOB与△COD是两个可以完全重合的直角三角形，其中A，B，C，D四点均在坐标轴上．（1）如果B（0，一3），S△COD＝9，请写出点A，C，D的坐标；（2）如图2，∠ADC的平分线DE所在直线与∠OAB的平分线交于F，求∠F的度数；（3）如图3，M是线段AD上任意一点（不同于点A，D），作MN⊥x轴交AF于点N，作∠ADE与∠ANM 的平分线交于点P，在（2）的条件下，能否求出∠P的度数？说出你的理由，若能求出，请写出解答过程；若不能，请说明理由．图1 图2 图3（2013，江岸区期末）【解析】（1）∵△COD与△AOB完全重合，∴OB＝OD，OC＝OA；∵B（0，一3），∴OB＝3，则OD＝3，∴D（3，0）；∵S△COD＝9＝12·OD·OC，∴OC＝6，∴C（0，6），A（6，0）．（2）∵DE平分∠ADC，AF平分∠OAB，∴设∠CDE＝∠EDA＝x，∠DAF＝∠BAF＝y；∵x＝y＋∠F，而∠OAB＝∠OCD＝2y，∴2x＝2y＋90°，∴x＝y＋45°，∴∠F＝45°．（3）∵DP平分∠EDA，PN平分∠MNA，∴设∠EDP＝∠PDA＝x，∠MNP＝∠PNA＝y，则∠P＝90°－x－y；而∠F＋180°－2x＋180°－2y＋90°＝360°，∴2x＋2y＝90°＋45°＝135°，∴x＋y＝67.5°，∴∠P＝90°－67.5°＝22.5°．【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练5．1：如图1，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．（1）求证：∠OAC＝∠OCA；图1（2）如图2，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC＝13∠AOC，∠PCE＝13∠ACE，求∠P的大小；图2（3）如图3，若射线OP，CP满足∠POC＝1n∠AOC，∠PCE＝1n∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）．图3 （2013，江岸区期末）分级检测 A 级1．画△ABC 的BC 边上的高AD ，下列画法中正确的是（ ）．ACDA BC DD A BCABCDA B C D2．如果在△ABC 中，∠A ＝70°－∠B ，则∠C 等于（ ）． A ．35° B ．70° C ．110° D ．140°3．多边形内角和是1080°，则这个多边形的边数为（ ）． A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．如图，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，则∠DAE 的值为（ ）．BD ACEA ．15°B ．30°C ．45°D ．25°5．如果一个三角形的两边长分别是2 cm 和7 cm ，且第三边边长为奇数，则三角形的周长是 cm ． 6．（1）在△ABC 中，∠C ＝60°，∠A ＝3∠B ，则∠A ＝ ，∠B ；（2）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1∶7，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ； （3）在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶3∶5，则∠A ＝ ，∠B ，∠C ．7．一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，则这个多边形的边数为 ．8．如图，△ACD 的外角是∠ ＝∠ ＋∠ ，△ABD 的外角是∠ ＝∠ ＋∠ ．AB CD9．如图，∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，BO ，CO 平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过O 点，且DE ∥BC ，则∠BOC ＝ °．BACOD E10．如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．A BCD EF11．如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．A B EDF HCG IB 级1．（1）在图1中，猜想∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝ °； （2）试说明你猜想的理由．（3）如果把图1称为二环三角形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1；把图2称为二环四边形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1；把图3称为二环五边形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1＋∠E 1，请你猜一猜，二环n 边形的内角和为 ．（只写结果）BCA 1B 1C 1A AB CDA 1B 1C 1D 1A B DE A 1B 1C 1D 1E 1图1 图2 图32．如图1，△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于A 1． （1）分别计算出当∠A 为70°，80°时∠A 1的度数；（2）根据（1）中的计算结果写出∠A 与∠A 1之间的数量关系： （不需证明）； （3）∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于A 2，∠A 2BC 与∠A 2CD 的平分线交于A 3，如此继续下去可得A 4，…，A n ，请写出∠A 6与∠A 之间的数量关系： （不需证明）； （4）如图2，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的平分线交于Q ，求∠Q ＋∠A 1的度数．BC AD A 1B C A DA 1EQ图1 图2课后反馈1．一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（ ）． A ．115° B ．120° C ．125° D ．130°2．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝35°，则∠BDC 的度数为（ ）．21DAB A ．50°B ．80°C ．70°D ．60°3．下列语句中，正确的是（ ）． A ．三角形的外角大于它的内角 B ．三角形的一个外角等于它的两个内角 C ．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D ．三角形的外角和为180°4．如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝ ．215．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝（ ）．40°3421BC EAD A ．100°B ．200°C ．280°D ．300°6．如图，AC ，BD 相交于点O ，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACD ，且交于点P ． （1）若∠A ＝70°，∠D ＝60°，求∠P 的度数； （2）试探索∠P 与∠A ，∠D 间的数量关系； （3）若∠A ∶∠D ∶∠P ＝2∶4∶x ，求x 的值．AD COPE F B7．如图1，已知在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠C ＞∠B ，F 为AE 上一点．且FD ⊥BC 于D ． （1）试推导∠EFD 与∠B ，∠C 的大小关系；DBCA E F图1（2）如图2，当点F 在AE 的延长线上时，图1的其余条件都不变，你在（1）中推导的结论是否仍然成立？BCAD FE图2下次课必背1．三角形内角和度数：三角形三个内角的和等于180°．外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 2．基本图形的结论．3．两内角角平分线夹角与顶角的关系、一内角一外角平分线的夹角与顶角的关两外角平分线夹角与顶角的关系．4．三角形中共一个顶点的角平分线与高线夹角、另两个内角的关系． 5．多边形内角和：n 边形内角和＝(n —2)×180°； 外角和：多边形外角和＝360°． 6．从一个顶点引出的对角线条数为n －3，所有对角线条数为(3)2n n ．。
边、角、线及三角形
《第一讲：边、角、线》知识点一：角1互为余角（互余）: 两个角相加等于90°就说这两个角互余。
2互为补角（互补）：两个角相加等于180°就说这两个角互补。
推论1：直角三角形的两个锐角互余。
推论2：三角形的内角和为180°3 N 多边形的内角和求法： （n-2）x 180°经典例题1．（2012南通）已知∠α＝32º，则∠α的补角为【 】A ．58ºB ．68ºC ．148ºD ．168º2. （2012嘉兴）已知△ABC 中,∠B 是∠A 的2倍, ∠C 比∠A 大20° ,则∠A 等于( ) A. 40° B. 60° C. 80° D. 90°3．(2012•丽水)如图，小明在操场上从A 点出发，先沿南偏东30°方向走到B 点，再沿南偏东60°方向走到C 点．这时，∠ABC 的度数是()A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°对应练习1. (2012•荆门)已知：直线l 1∥l 2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（ ）1题图 2题图3题图A ． 30°B ． 35°C ． 40°D ． 45°2．(2012•中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝70º，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝【 】 A ．360º B ．250º C ．180º D ．140º3．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a ∥b ，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )A ． 50°B ． 60°C ． 70°D ． 80°小结：基本的三角形知识点，大家也要熟记！ACB1 2知识点二：线1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.（3）三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 2、角平分线的性质定理：（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； （2）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. （3）三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.经典例题1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm图22.（2012嘉兴）在直角△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD=4，则点D 到斜边AB 的距离为 ．3.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线 MN 分别交BC 、AB 于点M 、N. 求证：CM=2BM.m图1DABC图4CDOAB FE对应练习1、如图，在ΔABC 中，BC=5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC，则ΔPDE 的周长是___________ cm. 2．（2012云南）如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）3题图A ． 40°B ． 45°C ． 50°D ． 55°3．（2012铜仁）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9、4.如图所示，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE=DF 。
第一讲三角形的边及线段
第⼀讲三⾓形的边及线段第⼀讲三⾓形的边及线段知识要点1、三⾓形的概念不在⼀条直线上的三条线段⾸尾顺次相接组成的图形叫做三⾓形。
组成三⾓形的线段叫做三⾓形的边，相邻两边所组成的⾓叫做三⾓形的内⾓，简称⾓，相邻两边的公共端点是三⾓形的顶点。
2、三⾓形的三边关系三⾓形的两边之和⼤于第三边，可⽤字母表⽰为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b两边之差⼩于第三边。
3. 三⾓形的三条重要线段三⾓形的⾼定义：从三⾓形的⼀个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂⾜间的线段叫做三⾓形的⾼（简称三⾓形的⾼）1.画出①、②、③三个△ABC 各边的⾼,并说明是哪条边的⾼.三⾓形的中线定义：在三⾓形中，连接⼀个顶点和它对边中点的线段叫做三⾓形的中线三⾓形的⾓平分线定义：三⾓形的⼀个⾓的平分线与这个⾓的对边相交，这个⾓的顶点和交点之间的线段叫做三⾓形的⾓平分线。
4．三⾓形的稳定性三⾓形的三边长⼀旦确定，三⾓形的形状就唯⼀确定，这个性质叫做三⾓形的稳定性。
四边形则不具有稳定性。
经典例题例1.⼀个三⾓形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三⾓形的第三边的长可能是（）A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cmA BC A B C B A例2.有下列长度的三条线段能否组成三⾓形？为什么？(1)3，5，8；(2)5，6，10；(3)5，6，7. (4)5,6,12例3.从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根⽊条中，任取三根可组成三⾓形的个数是( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个例4.若三⾓形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )．(A)6＜l＜15 (B)6＜l＜16(C)11＜l＜13 (D)10＜l＜16例5.(1)⼀个等腰三⾓形的周长为18，若腰长的3倍⽐底边的2倍多6，求各边长．(2)已知等腰三⾓形的⼀边等于8cm，⼀边等于6cm，求它的周长．(3)⼀个等腰三⾓形的周长为30cm，⼀边长为6cm，求其它两边的长．(4)有两边相等的三⾓形的周长为12cm，⼀边与另⼀边的差是3cm，求三边的长．例6.如图，已知△ABC 的周长为16厘⽶，AD 是BC 边上的中线，AD=45AB ，AD=4厘⽶，△ABD 的周长是12厘⽶，求△ABC 各边的长。
等腰三角形
第一讲 等腰三角形知识点：一、认识三角形 1、三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
需要稳定的东西 一般都制成三角形的形状。
4、三角形的分类三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形 三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等 的直角三角形。
5、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
6、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
7、三角形的面积：三角形的面积=21×底×高 二、等腰三角形相关知识点 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
认识三角形-1
第一讲认识三角形1．如图，以BC为边的三角形的个数是()A．2 B．3 C．4 D．52．(中考·大庆)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2:3:4，则∠B的度数为() A．120°B．80°C．60°D．40°3．(中考·临沂)如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是() A．42°B．64°C．74°D．106°4．(中考·宿迁)如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是()A．24°B．59°C．60°D．69°5．(中考·柳州)如图，图中直角三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．(中考·长沙)一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，则这个三角形一定是() A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形7．在直角三角形中，一个锐角的度数为30°，则另一个锐角的度数是() A．70°B．60°C．45°D．30°8．(中考·白银)将一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝45°，则∠2为() A．115°B．120°C．135°D．145°9．(中考·宜昌)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．10．如图，AB∥CD，MN分别交AB，CD于点E，F，∠BEF与∠DFE的平分线交于点G.(1)求∠GEF＋∠GFE的度数；(2)△EFG是什么三角形？请说明理由．11．如图，请猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数，并说明你的理由．12．(中考·包头)若等腰三角形的周长为10 cm ，其中一边长为2 cm ，则该等腰三角形的底边长为( )A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm13．如图，在△ABC 中，BC ＝BA ，点D 在AB 上，且AC ＝CD ＝DB ，则图中的等腰三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个14．△ABC 的三边长a ，b ，c 满足关系式(a －b )(b －c )·(c －a )＝0，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定15．下列说法正确的有( )①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A ．①②B ．①③④C ．③④D ．①②④16．(中考·常德)已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( )A ．1B ．2C ．8D ．11 17．(中考·福建)下列各组数中，能作为一个三角形的三边边长的是( )A ．1，1，2B ．1，2，4C ．2，3，4D ．2，3，518．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( )A ．17B ．15C ．13D ．13或1719．已知三角形的两边长分别是2 cm ，3 cm ，则该三角形的周长l 的取值范围是( )A ．1 cm<l <5 cmB ．2 cm<l <6 cmC ．5 cm<l <9 cmD ．6 cm<l <10 cm20．(中考·白银)已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边的长，化简|a ＋b －c |－|c －a －b |的结果为( )A ．2a ＋2b －2cB ．2a ＋2bC ．2cD ．021．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，b ，c 满足(b －2)2＋|c －3|＝0，且a 为方程|x －4|＝2的解．求△ABC 的周长，并判断△ABC 的形状．22．已知：如图，四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交于点O .试说明：AC ＋BD ＞12(AB ＋BC ＋CD ＋DA )． 解：在△OAB 中，有OA ＋OB ＞AB ；在△OAD 中，有__________________；在△ODC 中，有__________________；在△________中，有__________________，所以OA ＋OB ＋OA ＋OD ＋OD ＋OC ＋OB ＋OC ＞AB ＋BC ＋CD ＋DA ，即__________________________________．所以AC ＋BD ＞12(AB ＋BC ＋CD ＋DA )．第一讲认识三角形讲义一、三角形及有关概念1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.注意：1.不在同一条直线上.2.三条线段.3.首尾顺次相接.2. 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，如下图的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC ”.注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.即：可以记作△ABC，也可记作△ACB.3.三角形的顶点：如图，△ABC的三个顶点分别是：A，B，C.4.三角形的边、内角：如图，△ABC的三条边分别是：AB，BC，CA.它的三个内角（简称三角形的角）分别是：∠A，∠B，∠C.例1 下图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是()总结：(1)判断一个图形是否是三角形的条件：①三条线段，②不在同一直线上，③首尾顺次相接．三者必须同时满足，否则不是三角形．(2)易错警示：图形是三角形与图形内含有三角形是两个不同的概念．图形是三角形表示整个图形是一个三角形，图形内含有三角形表示图形内局部有三角形．如选项A，B，D中的图形内都含有三角形，但整个图形不是三角形．例2 如图，以CD为公共边的三角形是_______________；∠EFB是________的内角；在△BCE中，BE所对的角是________，∠CBE所对的边是__________；以∠A为公共角的三角形________________________________．例3 如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为________．二、三角形的内角和方法：度量、剪拼图、折叠三角形三个内角的和等于180°.例4 〈邵阳〉如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°例5【中考·长春】如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC. 若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为()A ．54°B ．62°C ．64°D ．74°三、三角形按角的大小分类任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角，因此三角形按角分类如下：例6 〈滨州〉在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，试判断△ABC 的形状，并说明理由．判断一个三角形的形状的方法：(1)看三角形中最大角的大小：最大角是锐角，三角形就是锐角三角形；最大角是直角，三角形就是直角三角形；最大角是钝角，三角形就是钝角三角形．(2)通过角的比例关系判断：两较小角的比例和小于最大角的比例，则此三角形为钝角三角形；两较小角的比例和等于最大角的比例(两锐角互余)，则此三角形为直角三角形；两较小角的比例和大于最大角的比例，则此三角形为锐角三角形．四、直角三角形两锐角互余直角三角形：(1)定义：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形．表示法：直角三角形用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ABC .(2)性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＋∠B ＝90°.(3)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．注意：这两个角要在同一个三角形中．例7 如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝70°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于点D ，DF ⊥CE 于点F .(1)试说明∠BCD ＝∠ECD ；(2)请找出图中所有与∠B 相等的角．例8 【中考·襄阳】如图，将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°易错题：根据下列条件，判断△ABC 的形状．(1)∠A ＝40°，∠B ＝80°；(2)∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶7.五、等腰三角形()()()⎧⎪⎨⎪⎩锐角三角形三个内角都是锐角直角三角形有一个内角是直角钝角三角形有一个内角是钝角三角形1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.例9 1.等腰三角形一腰为3cm，底为4cm,则它的周长是__________；2.等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为4cm，则它的周长是______________；3.等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为8cm，则它的周长是__________.六、三角形按边分类1.三角形按边分类1：2.三角形按边分类2：例10 1下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个七、三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边.三角形任意两边之差小于第三边.例11 〈温州〉下列各组数可能是一个三角形的边长的是()A．1，2，4B．4，5，9C．4，6，8D．5，5，11小结：判断三条线段能否组成三角形，只需看较短两边的和是否大于第三边即可．因为只要较短两边的和大于第三边，则任意两边的和都大于第三边，所以用此方法可以很快地判断出三条线段能否构成三角形．例12 一个三角形两边的长分别为5和3，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是() A．2或4 B．4或6 C．4 D．2或6易错：【中考·贺州】一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为()A．12 B．16 C．20 D．16或20。
(已经整理)七升八暑期数学辅导(全集)
第一讲 与三角形有关的线段 【2 】常识点1.三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾按序相接构成的图形叫做三角形.构成三角形的线段叫做三角形的边,相邻双方所构成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻双方的公共端点是三角形的极点. ☑ 三角形的表示办法三角形用符号“△”表示,极点是A,B,C 的三角形,记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC.三角形ABC 的极点C 所对的边AB 可用c 表示,极点B 所对的边AC 可用b 表示,极点A 所对的边BC 可用a表示.常识点2.三角形的三边关系【探讨】随意率性画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点动身,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的双方之和大于第三边,可用字母表示为a+b ＞c,b+c ＞a,a+c ＞b拓展：a+b ＞c,根据不等式的性质得c-b ＜a,即双方之差小于第三边. 即a-b ＜c ＜a+b （三角形的随意率性一边小于另二边和,大于另二边差）【演习1】一个三角形的双方长分离为3cm 和7cm,则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【演习2】有下列长度的三条线段可否构成三角形？为什么？ (1)3,5,8; (2)5,6,10; (3)5,6,7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a.b.c,a+b ＞c,扎西以为：这三条线段能构成三角形.你赞成扎西的意见吗？为什么？ 【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形. （1）假如腰长是底边的2倍,那么各边的长是若干？ （2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 【演习】1.三角形三边为3,5,3-4a,则a 的规模是.2.三角形双方长分离为25cm 和10cm,第三条边与个中一边的长相等,则第三边长为.3.等腰三角形的周长为14,个中一边长为3,则腰长为4.一个三角形周长为27cm,三边长比为2∶3∶4,则最长边比最短边长.5.等腰三角形双方为5cm 和12cm,则周长为.6.已知：等腰三角形的底边长为6cm,那么其腰长的规模是________.abc(1)CBA7.已知：一个三角形双方分离为4和7,则第三边上的中线的规模是_________. 8.下列前提中能构成三角形的是（ ）A.5cm, 7cm, 13cmB.3cm, 5cm, 9cmC.6cm, 9cm, 14cmD.5cm, 6cm, 11cm 9.等腰三角形的周长为16,且边长为整数,则腰与底边分离为（ ） A.5,6 B.6,4 C.7,2 D.以上三种情形都有可能 11.一个三角形双方分离为3和7,第三边为偶数,第三边长为（ ） A.4,6 B.4,6,8 C.6,8 D.6,8,10 11.△ABC 中,a=6x,b=8x,c=28,则x 的取值规模是（ ） A.2＜x ＜14 B.x ＞2 C.x ＜14 D.7＜x ＜14 12.指出下列每组线段可否构成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=6 13.已知等腰三角形的双方长分离为11cm 和5cm,求它的周长.14.已知等腰三角形的底边长为8cm,一腰的中线把三角形的周长分为两部分,个中一部分比另一部分长2cm,求这个三角形的腰长.15.已知等腰三角形一边长为24cm,腰长是底边的2倍.求这个三角形的周长.16.如图,求证：AB+BC+CD+DA>AC+BD常识点3 三角形的三条主要线段三角形的高(1)界说：从三角形的一个极点向它的对边地点的直线画垂线,极点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的论述办法 ①AD 是△ABC 的高 ②AD ⊥BC,垂足为D③点D 在BC 上,且∠BDA=∠CDA=90度 【演习】画出①.②.③三个△ABC 各边的高,并解释是哪条边的高.①②③AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AB C A B CB ACABCDAC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有差别吗？_____________________________________________[探讨] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高,看看有什么发明？假如△ABC 是直角三角形.钝角三角形,上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________ ☑ 三角形的中线（1）界说：在三角形中,衔接一个极点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.【探讨2】如图,AD 为三角形ABC 的中线,△ABD 和△ACD 的面积比拟有何干系？【例2】如图,已知△ABC 的周长为16厘米,AD 是BC 边上的中线,AD=45AB,AD=4厘米,△ABD 的周长是12厘米,求△ABC 各边的长. ☑ 三角形的角等分线（1）界说：三角形的一个角的等分线与这个角的对边订交,这个角的极点和交点之间的线段叫做三角形的角等分线.[辨析]三角形的角等分线与角的等分线是一样的吗？ 画出△ABC 各角的角等分线,并解释是哪角的角等分线.[探讨]不雅察画出的三条角平线,你有什么发明？_______________________________ [自我检测]如图,AD.AE.CF 分离是△ABC 的中线.角等分线和高,则： (1)BD=______=12________;(2)BC=2_______=2_______;(3)∠BAE=_______=12_______;(4)∠BAC=2_______=2_______;(5)_______=________=90常识点4 三角形的稳固性三角形的三边长一旦肯定,三角形的外形就独一肯定,这共性质叫做三角形的稳固性.四边形则不具有稳固性. 钢架桥.屋顶钢架和起重机都是应用三角形的稳固性,伸缩门则是应用四边形的不稳固性.你还能举出一些例子吗？A B C BA C FEDCBA【试一试】1.如图,AD 是△ABC 的中线,已知△ABD 比△ACD 的周长大6cm,则AB 与AC 的差为_______2.如图,D 为△ABC 中AC 边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E 是AB 上一点,且△ABC 的面积等于△DEC 面积的2倍,则BE 的长为（ ）3.若点P 是△ABC 内一点,试解释AB+AC ＞PB+PC【课后功课】1.AD 是△ABC 的高,可表示为,AE 是△ABC 的角等分线,可表示为,BF 是△ABC的中线,可表示为.2.如图2,AD 是△ABC 的角等分线,则∠=∠=12∠;E 在AC 上,且AE=CE,则BE 是△ABC 的;CF 是△ABC 的高,则∠=∠=900,CFAB.3.如图3,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABC 的角等分线,若BD=2cm,则BC=;若∠BAC=600,则∠CAE=. 4.如图4,以AD 为高的三角形共有.5.三角形的一条高是一条……………………………（ ）A.直线B.垂线C.垂线段D.射线6.下列说法中,精确的是………………………………（ ） A.三角形的角等分线是射线B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高.中线.角等分线必定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部 7.下列图形具有稳固性的是………………………………（ ）A.正方形B.梯形C.三角形D.平行四边形 8.如图8,AD ⊥BC 于D,CE ⊥AB 于E,AD.CE 交于点O,OF ⊥CE,则下列说法中精确的是………………………………………………………（ ） A.OE 为△ABD 中AB 边上的高 B.OD 为△BCE 中BC 边上的高 C.AE 为△AOC 中OC 边上的高 D.OF 为△AOC 中AC 边上的高9. 如图,BD 是△ABC 的角等分线,DE ∥BC,交AB 于点E,∠A=45°,∠BDC=60°,求∠BED 的度数．CA B DEF图2 AB D EC 图3 A B ED C 图410.已知BD 是△ABC 的中线,AC 长为5cm,△ABD 与△BDC 的周长差为3cm.AB 长为3cm,求BC 的长. 11.如图11,在△ABC 中,∠ACB=900,CD 是AB 边上的高,AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,求(1) △ABC 的面积;(2)CD 的长.12.如图12,D 是△ABC 中BC 边上一点,DE ∥AC 交AB 于点E,若∠EDA=∠EAD,试解释,AD 是△ABC 的角等分线.第二讲 与三角形有关的角 常识点1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800.【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800,这个结论是经由过程试验得到的,这个命题是不是真命题还须要证实,如何证实呢？回想我们小学做过的试验,你是如何操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的极点处,用量角度量出∠BCD 的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.想一想,还可以如何拼？①剪下∠A ,按图（2）拼在一路,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.图2②把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一路,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.假如把上面移动的角在图长进行转移,由图1你能想到证实三角形内角和等于1800的办法吗？ 证实：已知△ABC,求证：∠A+∠B+∠C=1800..【例1】如图,C 岛在A 岛的北偏东30°偏向,B 岛在A 岛的北偏东100°偏向,C 岛在B岛的北偏西55°偏向,从C 岛看A.B 两岛的视角∠ACB 是若干度？【评论辩论】直角三角形的两锐角之和是若干度?A AA A图11A EB DC图12结论: 直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt △”表示,直角三角形ABC 可以写成Rt △ABC. 由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形.常识点2.三角形的外角界说：三角形的一边与另一边的延长线构成的角,叫做三角形的外角. [自我探讨] 画出图中三角形ABC 的外角1.断定图中∠1是不是△ABC 的外角：_______________2.如图,(1)∠1.∠2都是△ABC 的外角吗？________________ (2)△ABC 共有若干个外角？___________________请在图中标出△ABC 的其它外角.3.探讨题：如图,这是我们证实三角形内角和定理时画的帮助线,你能就此图解释∠ACD 与∠A.∠B 的关系吗？∵C E ∥AB, ∴∠A=_____,_____=∠2 又∠ACD=_______+________ ∴∠ACD=_______+________结论1___三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;结论2__三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角(外角两性质)【小结】三角形每个极点处有两个外角,便在盘算三角形外角和时,每个极点处只算一个外角,外角和就是三个外角的和.外角的感化：1.已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个,求另一个2.可证一个角等于另两个角的和3.证实两个角不相等的关系 [课后演习]1.填空：求出下列各图中∠1的度数.(1)如图,∠1=______;(2)如图,∠1=______;(3)如图,∠1=______;(1)1B AC D (3)1AB C D(4)AB C D 1(5)E AB C D 1(6)E AB CD12ABC1(2)1A B C D A(1)三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）(2)三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角,等于它的另一个不相邻的内角. ( ) (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角. ( ) 2.已知：如图,∠1=30°,∠2=50°,∠3=45°, 则(1)∠4=______°;(2)∠5=______°.3.已知：如图∠1=40°,∠2=∠3,则 (1)∠4=______°;(2)∠2=______°.4.如图,AB ∥CD,∠B=55°,∠C=40°,则 (1)∠D=______°;(2)∠1=______°.5. 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD 是△ABC 的三个外角,它们的和是若干？ 解：因为∠BAE=∠__+∠____, ∠CBF=∠__+∠___,∠ACD=__________, 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=（∠__+∠___）+（________）+（___________） =2（∠1+_________）=2×180°=360°. 6.已知：如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高, ∠BAC=80°,∠C=40°,则∠BAD=________°. 7.已知：如图,BD 是△ABC 的角等分线, ∠A=100°,∠C=30°,则∠ADB=________°. 8.*如图,AD.BE 分离是△ABC 的高和角等分线,∠BAC=100°,∠C=30°,则∠1=________°. 9.如图所示,D,E 分离AC,AB 边上的点,DB,EC 相 交于点F,则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________10.△ABC 中,∠B=∠A+100,∠C=∠B+200,求△ABC 各内角的度数11.如图所示,已知∠1=∠2,∠BAC=70度,求∠DEF 的度数.12.如图所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分离等分∠ABC 和∠ACB,求∠BOC 的度数.第2题图54321第4题图DCBA1第3题图4321123DE FB AC第5题图DABCABDC1E ABDC第6题第7题第9题第8题OCBA13.如图所示,在△AB C 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.4321D CB A第三讲 多边形及其内角和一、 常识点总结11180223601332n n n n n ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎪︒-⎪︒⎨⎪⎪-⎩由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲：三角形的基本定义 一、认识三角形 1、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接而组成的图形叫三角形。
如图，三角形ABC 表示为△ABC ，与点A 相对的边可表示为线段a ；直角三角形ABC 可表示为Rt △ABC2、三角形的分类(1)按角分① 锐角三角形：三个内角均为锐角 ② 直角三角形：有一个角是直角 ③ 钝角三角形：有一个角是钝角(2)按边分① 不等边三角形：三边均不相等②等腰三角形：有两边相等的边(特殊：等边三角形) 3、三角形的基本性质：(1)两边之和大于第三边;两边之差小于第三边：a-b ＜c ＜a+b (2)三个内角和为180°：∠A+∠B+∠C=180° (3)三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。
(4)直角三角形的两个锐角互余。
(5)三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和。
（三角形的一条边与另一条边延长线组成的角，叫做三角形的外角） 4、三线：(1)三角形的中线：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段；三角形一共有三条中线，交于三角形内部一点(2)三角形的角平分线：三角形内角的角平分线交对边于一点，这点与角的顶点间的线段；三角形共有三条角平分线，交于三角形内部一点。
(3)三角形的高线：从三角形的顶点向对边作垂线，垂线段叫做三角形的高。
三角形共有三条高线，锐角三角形三高交于三角形内部一点，直角三角形三高交于直角顶点，钝角三角形三边的延长线交于三角形外部一点请画一个钝角三角形的三条高ABCabc典型例题一：三角形角的关系例1：已知：如图1,D 是BC 上一点, ∠C ＝62°,∠CAD ＝32°,则 ∠ADB ＝ 度. 此题的依据：例2：（2013•湘西州）如图2，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD ＝ 度例3：（2013•昭通）如图3，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠2=50°，则∠1＝ 度例4：在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3， ③∠A=900－∠B ， ④∠A=∠B=12 ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 典型例题二：三角形三边的关系例1：以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ）A 、4cm 、5cm 、6cmB 、2cm 、3cm 、5cmC 、4cm 、4cm 、9cmD 、12cm 、5cm 、6cm 例2：（2013•南通）有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数是例3：为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P ，测得PA=16m ，PB=12m ，那么AB 间的距离不可能是（ ）。
A ．5mB ．15mC ．20mD ．28m 例4：一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的 周长为 变式训练1、已知ABC △的三边长a b c ，，，化简a b c b a c +----的结果是（ ） Ａ．2aＢ．2b -Ｃ．22a b +Ｄ．22b c -2、一个等腰三角形两边的长分别是15cm 和7cm 则它的周长是__________．3、一个等腰三角形两边的长分别是15cm 和8cm 则它的周长是__________． 典型例题三：三角形的稳定性：例1：木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，他这样做的目的是 ，其中所涉及的数学道理是. 典型例题四：三角形的三线之中线：例1：（2008•黔东南州）如图，学校有一块三角形空地（即△ABC ），现准备将它分成面积相等的两块地，栽种不同的花草，请你把它分出来．例2：如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，三角形ABD 的周长比三角形ACD 的周长小5，你能求出AC 与AB 的边长的差吗？例3：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，求AC 的长．例4：已知等腰三角形ABC 一腰AC 上的中线BD 将三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，求这个三角形的腰长．典型例题五：三角形三线之高线例1：在下图中，正确画出AC 边上高的是（ ）．EBAC C A BCA BCA BE EE（A ） （B ） （C ） （D ）例2：下面说法错误的是 ( )A．三角形的三条角平分线交于一点 B．三角形的三条中线交于一点C．三角形的三条高交于一点 D．三角形的三条高所在的直线交于一点例3：如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角例4：在△ABC中，高线BD，CE相交于点H，若∠A=60°，则∠BHC= 度补充多边形内角和公式：典型例题六：三角形三线之角平分线例1：已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．例2：△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．例3：如图，△ABC的三条角平分线交于I点，AI交BC于点D．求证：∠CID+∠ABI=90°例4：如图，△ABC 中，∠A ＝60°，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD 、CD 交于点D ，则∠BDC ＝_____．由此你可以得出什么结论；例5：如图，PB 和PC 是△ABC 的两条外角平分线． ①求证：∠BPC=90°-21∠BAC ． ②由①问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？例6：在△ABC 中，∠ACD 为一外角，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACD ，求证∠O=21∠A例7：如图，在△ABC 中，∠A=60°，BO 1、BO 2是∠ABC 的三平分线，CO 1、CO 2是∠ACB 的三等分线，则∠BO 1C= °，∠BO 2C= °.补充：重要结论之：平行线、角平分线，等腰三角形来添①如图1，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于E，交AC于F，猜想EF与BE、CF之间的关系②如图2，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO分别∠ACB的外角，过点O作直线EF∥BC交AB于E，交AC 于F，猜想EF与BE、CF之间的关系③如图3，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角，过点O作直线EF∥BC交直线AB于E，交直线AC于F，猜想EF与BE、CF之间的关系例8：如图，在△ABF中，BO、FO分别平分∠ABF和∠AFB，OD∥AB，OE∥AF，BF=14，求△ODE的周长？巩固训练（一）：一、填空选择题1.（2009•呼和浩特）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形2.（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．83.（2010•台湾）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何（）A．5 B．6 C．7 D．104.只有一条高在三角形内部的三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形或钝角三角形5.（2013•丽水）如图5，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=20°，∠COD=100°，则∠C的度数是（）A．80°B．70° C．60°D．50°6.（2012•连云港）如图6，将三角尺的直角顶点放在直线a上，且a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3= 度7.（2012•海南）如图7小明同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m、n上，测得∠α=120°，则∠β= 度8.（2013•内江）如图8，把一块直尺与一块三角板放置如图，若∠1=40°，则∠2= 度9.三角形的高线、中线、角平分线中，一定能把三角形分为面积相等的两个部分的是．10.如图10，点O是三角形两条角平分线的交点，若∠BOC=110°，则∠A= ．11.如图11，△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，DE∥BC交AB于D，∠ADE=70°，求∠DEB= ．12.如图12，BF为∠ABC的角平分线，CF为外角∠ACG的角平分线，∠A=50°，则∠F= ．13.生活中，我们经常会看到如图13所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的．二、解答题1.（2000•内蒙古）如图，已知在三角形ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？2.（2013•邵阳）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．3.（2003•泸州）如图，△ABC是某村一遍若干亩土地的示意图，在党的“十六大”精神的指导下，为进一步加大农村经济结构调整的力度，某村决定把这块土地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分一分，提供两种分法．要求：画出图形，并简要说明分法．。