三角形的概念及其角的关系
第六讲-三角形的概念及边角关系
第六讲:三角形的概念及边角关系【基础知识概述】一、三角形的基本概念及性质1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．这三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共顶点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．角的一边与另一边反向延长线所组成的角叫做三角形的外角：2．三角形中的几条主要线段(1)三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的三条角平分线交于一点．(2)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线交于一点．(3)三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的三条高交于一点．3．三角形的主要性质(1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边．(2)三角形的三个内角之和等于︒180(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和．(4)三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角．(5)三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变．4．三角形的分类【同步练习】一、填空题：1．△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，则其周长L 的取值范围是__________．2．有4根木条，长度分别为12 、10 、8 、4选其中三根组成三角形则能组成_________个三角形．3．若等腰三角形，一边长为4 cm ，另一边为9 cm ，则三角形的周长是__________cm ．4．如图（1），AD 、BC 相交于O 点，AB ∥CD ，∠A ＝30°，∠AOB ＝100°，则∠ADE ＝__________．5．若三角形三个外角的度数之比为4：3：2，则三个内角之比为__________．6．如图（2），已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝36°，则∠BDC ＝__________．7．不等边△ABC 的三条边为整数且3-a +(b －２)2＝0，则c ＝__________．8．已知长度为a －2，a ，a ＋2的三条线段能组成一个三角形，则a 的取值范围是__________．图（1）图（2）图（3）9．如图（3）已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D，∠A＝40°，则∠D＝__________．10．AD是△ABC的中线，AC=3，AB=4，那么△ABD和△ADC的周长之差是_______。
三角形的计算边长和角度的关系
三角形的计算边长和角度的关系三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条线段组成。
在三角形中，边长和角度之间存在着一系列的关系，这些关系可以通过一些常见的几何定理来推导和计算。
本文将介绍三角形的计算边长和角度的关系。
一、三角形的基本概念和术语在开始讨论三角形的计算关系前，我们先来回顾一些基本概念和术语。
一个三角形由三个顶点和三条边组成。
根据三条边长的关系，三角形可以分为不同的类型，如等边三角形、等腰三角形和一般三角形等。
每个三角形都有三个内角和三个外角。
内角是位于三角形内部的角度，而外角则是位于三角形外部的角度。
三角形的内角之和总是等于180度（或π弧度）。
二、边长和角度的关系1. 正弦定理正弦定理描述了三角形的一边长度与其所对应的角度之间的关系。
对于任意一个三角形，设其三边长度分别为a、b和c，对应的内角分别为A、B和C。
那么，正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据正弦定理，我们可以通过已知两边和它们所夹角的大小来计算第三边的长度，或者通过已知两角度和它们所对应边长的比值来计算第三边的长度，以及其他类似的计算。
2. 余弦定理余弦定理描述了三角形的一边长度与其相邻两边长度及其夹角之间的关系。
对于任意一个三角形，设其三边长度分别为a、b和c，对应的内角分别为A、B和C。
那么，余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab*cosC通过余弦定理，我们可以计算出三角形的一边长度，当已知其余两边的长度和它们所夹角的大小时。
3. 正切定理正切定理描述了三角形的一边长度与其相邻两边长度及其夹角之间的关系。
对于任意一个三角形，设其三边长度分别为a、b和c，对应的内角分别为A、B和C。
那么，正切定理可以表示为：tanA = a/btanB = b/a利用正切定理，我们可以计算出三角形的一边长度，当已知其相邻两边的长度和它们所夹角的大小时。
三、应用举例下面通过一个具体的例子来说明如何利用上述定理计算三角形的边长和角度。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
本文将介绍三角形的基本概念和性质，包括三角形的定义、分类、元素、角度关系以及三角形的定理等。
一、三角形的定义三角形是由三条线段连接起来的图形，其中每个线段都被称为一个边，而连接两个边的点则被称为顶点。
三角形的三个顶点围成一个封闭的区域。
二、三角形的分类根据三角形的边长以及角度大小，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长分类(1) 等边三角形：三条边的长度均相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 根据角度大小分类(1) 钝角三角形：一个角大于90°。
(2) 直角三角形：唯一一个角等于90°。
(3) 锐角三角形：三个角均小于90°。
3. 根据边长和角度大小综合分类(1) 正三角形：既是等边三角形，又是等腰三角形。
(2) 等腰直角三角形：既是等腰三角形，又是直角三角形。
三、三角形的元素三角形除了边和角之外，还有一些重要的元素：1. 顶点角：三角形的三个顶点所对应的角。
2. 底边：连接两个顶点的边。
3. 高：从底边到顶点所做的垂直线段。
四、三角形的角度关系1. 内角和定理：三角形内角的和等于180°。
2. 外角和定理：三角形的外角的和等于360°。
五、三角形的性质与定理1. 等腰三角形的性质：(1) 等腰三角形的两底角相等。
(2) 等腰三角形的高、中线、角平分线和垂心都是重合的。
2. 直角三角形的性质（勾股定理）：(1) 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(2) 根据勾股定理可以判断一个三角形是否为直角三角形。
3. 三角形的面积公式（海伦公式）：三角形的面积可以用海伦公式进行计算，公式如下：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三条边的长度。
通过了解三角形的基本概念与性质，我们可以更好地理解和分析三角形相关的问题。
三角形的相关概念及三边关系
三角形的相关概念及三边关系三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条线段组成，每两条线段的交点称为顶点。
三角形有许多重要的概念和性质，其中最为关键的是三边关系。
本文将介绍三角形的相关概念，并探讨三边关系的性质和应用。
一、三角形的相关概念1. 三角形的分类根据三条边的长度关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三边长度相等，等腰三角形的两边长度相等，普通三角形的三边长度各不相等。
2. 三角形的内角和外角三角形的内角是指三个顶点所对应的角，分别用A、B、C表示。
三角形的外角是指在顶点所在直线延长线上的补角，分别用α、β、γ表示。
3. 三角形的内角和外角之和三角形的内角之和为180度，即A + B + C = 180度。
三角形的外角之和也为180度，即α + β + γ = 180度。
4. 三角形的高和中线三角形的高是指从顶点所在直线到底边的垂直线段，分别记为h1、h2、h3。
三角形的中线是连接顶点和底边中点的线段，分别记为m1、m2、m3。
二、三角形的三边关系1. 三角形的边长关系三角形的任意两边之和大于第三边，即a + b > c，b + c > a，c + a > b。
这是三角形存在的必要条件。
2. 三角形的等边关系等边三角形的三边长度相等，即a = b = c。
等边三角形的三个内角也相等，都为60度。
3. 三角形的等腰关系等腰三角形的两边长度相等，即a = b 或 b = c 或 c = a。
等腰三角形的两个内角也相等，分别为A = B 或 B = C 或 C = A。
3. 三角形的直角关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度。
直角三角形的斜边长度等于两直角边长度的平方和的平方根。
4. 三角形的相似关系如果两个三角形的对应角相等，那么它们称为相似三角形。
相似三角形的对应边之间存在着等比关系。
三、三角形的应用1. 三角形的面积计算三角形的面积可以通过三角形的底边长度和高来计算，面积等于底边乘以高再除以2。
三角形的外角与内角的关系与计算方法
三角形的外角与内角的关系与计算方法三角形是几何学中的基本概念，研究三角形的性质与关系对于解决各种几何问题具有重要意义。
其中，三角形的内角和外角是研究三角形角度关系的重要内容。
本文将着重探讨三角形的外角与内角之间的关系，并介绍计算三角形内角与外角的方法。
一、三角形的内角和外角定义1. 内角：三角形的内角是指三角形内部的角，由三个顶点及它们所对的边组成。
对于任意三角形ABC，其内角可以表示为∠A、∠B和∠C。
2. 外角：三角形的外角是指三角形外部的角，通过延长三角形的边得到。
对于任意三角形ABC，其各个外角分别可以表示为∠DAB、∠EBC和∠FCA。
二、三角形内角与外角的关系1. 内角和外角的关系：在任意一个三角形中，一个内角和与其相邻的外角之和等于180度。
即∠A+∠DAB=180°、∠B+∠EBC=180°和∠C+∠FCA=180°。
这个性质也可以写作∠A=180°-∠DAB、∠B=180°-∠EBC和∠C=180°-∠FCA。
2. 三角形内角之和：对于任意一个三角形ABC，其三个内角之和等于180度，即∠A+∠B+∠C=180°。
三、计算三角形内角与外角的方法1. 已知两个内角：若已知三角形的两个内角，可以通过将它们相互减去180度得到第三个内角的度数。
例如，若∠A=50°、∠B=70°，则∠C=180°-(∠A+∠B)=60°。
2. 已知一个内角和一个外角：若已知三角形的一个内角和一个相邻的外角，可以通过将这两个角相加等于180度求得另外两个内角的度数。
例如，若∠A=50°，且∠DAB=120°，则∠B=180°-(∠A+∠DAB)=10°，∠C=180°-(∠A+∠B)=120°。
3. 已知一个内角和一个外接角：若已知三角形的一个内角和一个非相邻的外角，可以通过将内角减去外角的度数得到另外两个内角的度数。
三角形边长与角的关系
三角形边长与角的关系摘要：一、三角形的定义和基本概念1.三角形的定义2.三角形的基本元素：边长和角度二、三角形边长与角的关系1.三角形内角和定理2.三角形中角度与边长的关系3.三角形边长与角度的关系三、常见三角形类型及其边长与角的关系1.等边三角形2.等腰三角形3.普通三角形四、三角形边长与角的关系在实际生活中的应用1.建筑和设计中的应用2.数学和科学研究中的应用正文：一、三角形的定义和基本概念三角形是由三条边和三个顶点组成的平面几何图形。
在三角形中，三个顶点之间的线段被称为边，而这三条边的组合被称为三角形的边长。
另外，三角形内部的角度也是构成三角形的重要元素，它们直接影响到三角形的形状和大小。
二、三角形边长与角的关系1.三角形内角和定理根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和等于180 度。
这一定理为我们提供了一种通过已知角度来计算其他角度的方法，同时也揭示了三角形边长与角的关系。
2.三角形中角度与边长的关系在三角形中，每个角度的大小都与它的对边边长有直接关系。
这种关系可以通过正弦定理、余弦定理和正切定理等数学公式来表示。
这些公式可以帮助我们计算出三角形的边长，当我们已知其中两个元素时。
3.三角形边长与角度的关系当已知三角形的边长时，我们可以通过一些数学公式来计算出对应的角度。
例如，我们可以使用余弦定理来计算一个角的余弦值，从而得到对应的角度。
三、常见三角形类型及其边长与角的关系1.等边三角形等边三角形的三个边长都相等，因此它的三个角度也都相等，每个角度为60 度。
2.等腰三角形等腰三角形的两边长度相等，因此它的两个角度也相等，而第三个角度则可以通过简单的数学计算得出。
3.普通三角形普通三角形的三条边长和三个角度都不相等，但是它们之间的关系仍然遵循三角形内角和定理和相关的数学公式。
四、三角形边长与角的关系在实际生活中的应用1.建筑和设计中的应用在建筑和设计领域，三角形边长与角的关系被广泛应用于测量和计算。
有关三角形的所有定理
有关三角形的所有定理三角形作为几何中最基本的形状之一，在数学领域有许多重要的定理与特性与之相关。
本文将为您详细介绍有关三角形的所有定理，以帮助您更好地理解和应用于相关问题。
一、三角形的基本概念与性质1. 定义：三角形是由三条线段所组成的多边形，其中任意两条线段之和大于第三条线段。
2. 内角和定理：三角形内角和等于180度。
3. 外角和定理：三角形的任意一个外角等于其余两个内角的和。
4. 等边三角形：三边长度均相等的三角形。
5. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。
6. 直角三角形：其中一个内角为直角（90度）的三角形。
二、三角形的边与角的关系1. 三角不等式定理：设a、b、c为三角形的三边长度，其中a < b + c， b < a + c， c < a + b。
2. 外接圆定理：三角形的外接圆半径等于三边长度的乘积除以4倍该三角形面积。
3. 内切圆定理：三角形的内切圆半径等于该三角形面积除以半周长。
4. 正弦定理：在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间有以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
5. 余弦定理：在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间有以下关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
6. 正切定理：在任意三角形ABC中，夹角A、B、C的正切值与边长a、b、c之间有以下关系：tanA = a/b，tanB = b/a，tanC = (a + b)/c。
三、特殊三角形及其定理1. 直角三角形定理：在直角三角形ABC中，设一直角为角A，则满足勾股定理a^2 = b^2 + c^2。
2. 等边三角形定理：在等边三角形ABC中，其三个内角均为60度，三边长度均相等。
3. 等腰三角形定理：在等腰三角形ABC中，两个底角相等，且底边长度相等。
4. 30-60-90度三角形定理：在三角形ABC中，角A为30度，角B为60度，则满足边长关系式b = a√3，c = 2a。
三角形及其角平分线、中线和高线
三角形及其角平分线、中线和高线知识导引1、三角形的有关概念：定义：由不在通一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
外角：三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。
三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段。
2、三角形的边角关系：边与边的关系：三角形的任意一边大于另外两边之差，并小于另外两边之和。
角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。
边与角的关系：在一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。
3三角形的分类：按角分：三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
按边分：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形。
典例精析例1：现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高线，∠B=20°，∠C=40°，求∠DAE 的度数。
例3：如图所示，平面上的六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭的折线图形。
求∠A＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值。
例3—1：求如图1所示图形中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的大小。
例3—2：如图所示，（∠1＋∠2－∠3）＋（∠4＋∠5－∠6）＋（∠7＋∠8－∠9）=例4：如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，且∠D=30°，求∠A 的度数。
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1认识三角形
第1课时三角形的概念及其角的关系
教学目标
【知识与技能】
进一步认识三角形的有关概念及其基本要素，掌握三角形内角和定理和直角三角形中两锐角的关系.
【过程与方法】
通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力；通过小组合作学习，培养集体协作学习的能力及概括能力.
【情感态度】
让学生在自主参与、合作交流的活动中，体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣.
【教学重点】
三角形的相关概念；内角和定理；直角三角形两锐角关系的探究和归纳. 【教学难点】
三角形角之间的关系的应用.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.如何表示线段、射线和直线？
2.如何表示一个角？
【教学说明】复习与回顾学生以前学习的几何图形的概念、线段及角的表示法、线段的测量等知识,为认识三角形概念、表示法、三要素、边的关系的学习奠定了基础.
二、思考探究，获取新知
探究1：三角形的相关概念.
1.能从下图中找出4个不同的三角形吗？
2.与同伴交流各自找到的三角形.
3.这些三角形有什么共同的特点？
【归纳结论】
三角形定义：由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
4.三角形包含哪些元素呢？这些元素如何表示呢？
5.我们在前面学习了角、平行等，为了书写方便，使用了角、平行的符号.那么三角形可以用什么样的符号表示呢？
【归纳结论】
三角形的三要素：
边：（如图）
三边AB、BC、AC，也可以用a、b、c来表示.
顶点：（如图）
三个顶点，顶点A，顶点B，顶点C.
内角：（如图）
三个内角，∠A，∠B，∠C.
6.三角形的表示法：
“三角形”用符号“△”，如图的三角形记作：△ABC（或△BCA或△CBA等）.
注：顶点字母与顺序无关
【教学说明】在提问学生的基础上，得出三角形的定义，培养学生的语言表达能力；在学生操作及交流的基础上，得出三角形的三要素及三角形的表示法.
探究2：三角形的内角和定理
每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验，能否拼出一个或几个角的和为180°.为什么是180°.通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？
开展小组竞赛（看哪个小组发现多？说理清楚.），各小组派代表展示拼图，并说出理由.
【归纳结论】
三角形三个内角的和等于180°.
【教学说明】学生通过动手拼图，总结出三角形的三个内角和180°.能够加深理解.
探究3：直角三角形两个锐角的关系
1.一个三角形的两个内角被遮住，只露出了一个锐角，你能判断出被遮住的两个角是什么角吗？小组内相互交流，每人的结果一样吗？
2.根据同学们讨论的结果可以知道，遮住的两个角可能是两个锐角.一个直角一个锐角.一个钝角一个锐角.
3.根据这些角你能给三角形分类吗？
【归纳结论】
三角形按角可分为：
锐角三角形，三个角都是锐角的三角形；
直角三角形，有一个角是直角的三角形；
钝角三角形，有一个角是钝角的三角形.
4.通常，我们用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”,把直角所对的边称为斜边，夹直角的两条边称为直角边.（如图）
5.直角三角形中两个锐角有什么关系？你能证明吗？
【归纳结论】
直角三角形的两个锐角互余.
三、运用新知，深化理解
1.三角形三个内角中，锐角最多可以是（ D ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.如图，图中共有个三角形，其中以AB为一边的三角形有，以∠C为一个内角的三角形有 .
答案：5个；△ABD、△ABC、△ABE；△CBE、△CBA.
3.判断：
（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°；（×）
（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角；（√）
4.观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：
锐角三角形（ (3)、(5) ）
直角三角形（ (1)、(4)、(6) ）
钝角三角形（ (2)、(7) ）
5.在△ABC中：
①∠A=35°,∠C=90°,则∠B= 55°；
②∠A=50°,∠B=∠C,则∠B= 65°；
③∠A∶∠B∶∠C= 3∶2∶1，则△ABC是直角三角形；
④∠A-∠C=35°，∠B-∠C=10°，则∠B= 55°.
6.在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
解：△ABC中,设∠A=x,则∠C=∠ABC=2x,
x+2x+2x=180°(三角形内角和为180°),
∴x=36°,得∠C=2x=72°,
在△BCD中,∠BDC=90°,
则∠DBC=90°-∠C=18°.
（直角三角形两锐角互余）
【教学说明】巩固提高对三角形的认识，让学生通过练习理解三角形的分类以及三角形的内角和为180°.
四、师生互动,课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.。