三角形概念
第16讲-三角形的概念W
第16讲 三角形的概念知识方法扫描由三条不在同一直线上的首尾相连的三条线段组成的图形叫做三角形。
1．三角形三边之间的关系三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2．三角形三角之间的关系三角形的内角和为180º；三角形的一个外角等于它的两个不相邻的内角之和；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角。
3．三角形中的主要线段三角形中的主要线段有中线，角平分线和高。
经典例题解析例1 （1996年 湖北省荆沙市初二数学竞赛试题）等腰三角形腰上的中线把的周长分为12厘米和21厘米两部分，那么底边的长 为 厘米。
解 设△ABC 中AB=AC ，BM 是AC 边上的中线。
设BC=x ，AM=MC=y ，则AB=2y 。
依题意有如下两种情况：（1）1221AM AB BC CM +=⎧⎨+=⎩，即21221y y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得 194x y =⎧⎨=⎩，这时有AB=AC=6，BC=19，因AB+AC=12<19=BC, 此时AB ，AC ，BC 三边不能构成三角形，故舍去这组解。
（2） 2112AM AB BC CM +=⎧⎨+=⎩，即22112y y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得 57x y =⎧⎨=⎩，这时有AB=AC=14，BC=5，此时AB ，AC ，BC 三边能够构成三 角形。
所以那么底边的长为5厘米。
例2（2003年河南省初二数学竞赛试题）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？解 设三角形三边长为a ，b ，c 且a<b<c, 则有30a b c a b c b a++=⎧⎨+>>-⎩, 故 2c<a+b+c=30, c<15；又3c>a+b+c=30, c>10即 10<c<15.当c=14时，有5解：b=13,c=3; b=12,c=4; b=11,c=5; b=10,c=6, b=9,c=7.当c=13时，有4解：b=12,c=5; b=11,c=6; b=10,c=7; b=9,c=8.当c=12时，有2解：b=11, c=7; b=10, c=8.当c=11时，有1解：b=10, c=9.故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个例3 （1983年云南省初二数学竞赛试题）如图，在△ABC 中取一点P ，使CP=CB ，求证：AB ＞AP 。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是几何学中最基本的图形之一，具有广泛的应用和重要的性质。
在本文中，我们将探讨三角形的基本概念和一些常见的性质，以加深我们对三角形的理解。
一、基本概念三角形是由三条边和三个角组成的图形。
根据边的长度，我们可以将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
1.等边三角形：假设三条边的长度都相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的三个角都是60度。
2.等腰三角形：假设三角形的两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的两个角也是相等的。
3.一般三角形：如果三角形的三条边的长度都不相等，那么这个三角形就是一般三角形。
除了边的长度外，三角形还可以根据角的大小来进行分类。
根据角的大小，我们可以将三角形分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
1.锐角三角形：三个角都是锐角的三角形称为锐角三角形。
2.直角三角形：拥有一个90度角的三角形称为直角三角形。
直角三角形的两边相互垂直。
3.钝角三角形：拥有一个大于90度角的三角形称为钝角三角形。
二、性质除了基本的分类外，三角形还具有一些重要的性质。
1.三角形的内角和性质：三角形的三个内角的和总是等于180度。
这个性质被称为三角形的内角和定理。
2.直角三角形的性质：直角三角形是三角形中最特殊的一种。
如果一个三角形有一个90度角，那么它的另外两个角的和总是等于90度。
此外，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个性质被称为毕达哥拉斯定理。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两边相等，并且其底边的中线也是高和中线。
此外，等腰三角形的顶角的平分线也是高和中线。
4.等边三角形的性质：等边三角形的三边都相等，三个角也都是60度。
此外，等边三角形的高、中线、中位线、角平分线和垂直平分线都是同一条线。
5.海伦公式：对于一般的三角形，我们可以使用海伦公式来计算其面积。
海伦公式如下：设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S可以计算如下：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))。
第一讲 三角形及相关概念
第一讲三角形及相关概念一知识链接1．三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形是最简单的多边形，也是最简单的封闭图形。
有两边相等的三角形叫等腰三角形。
三角形的简单分类：（1）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（2）按边分类：不等边三角形、等腰三角形（只有两边相等的三角形、等边三角形）2．三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；3．判断三条已知线段a、b、c是否能组成三角形，其判断方法：如果a是最大边，且有b＋c＞a,则此三边能组成三角形．4.三角形中的重要线段：（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高).（2）三角形的中线：连接三角形的顶点和它所对边的中点,所得线段叫做三角形的中线.三角形的中线平分相应的边且平分三角形的面积。
（3）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.5.三角形的角：相邻两边组成的角．叫三角形的内角，简称三角形的角．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°6.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．（1）三角形的外角和等于360°（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．7.三角形的稳定性：三角形的形状不会改变,而四边形的形状会改变,这就是说,三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性.二典例解析例1.（1）锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（）A. 1020︒<<︒∠B D.∠B C. 3045︒<<︒︒<<︒∠B B. 2030∠B4560︒<<︒（2）下列命题正确的是( )A、长为5、12、17的三条线段可以构成三角形.B、已知等腰三角形的一边等于5cm,另一边等于6cm,则此三角形的周长为16cm.C、以2、3、x为三角形三边,则x的取值范围为1＜x＜5.D 、已知线段a 、b 、c 且b －c ＜a ＜b ＋c(b ＞c),则以a 、b 、c 为边可以组成三角形.（3）若三角形三个外角的比是２：３：４，则它的三个内角之比是________（4）如图，已知∠B ＝60°, ∠C ＝20°, ∠1＝3∠A .∠A= 度．（5）如图，在ABC ∆中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且S ABC ∆＝4cm 2,则S 阴影的值为例2、已知Ｐ为ABC ∆内任意一点，求证：PB ＋PC ＜AB ＋AC ．例3、已知：如图，AD 是∆ABC 的BC 边上高，AE 平分∠BAC 。
第四章 三角形知识点
第四章三角形一、认识三角形●三角形的有关概念1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。
2、三角形的边：组成三角形的线段叫作三角形的边，可以用两个大写英文字母表示，也可以用一个小写英文字母表示。
3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。
4、三角形的角：相邻两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。
5、角与边的对应关系：大边对大角。
6、三角形的表示：用符号“△”表示，以A,B,C为顶点的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
●三角形的分类1、按内角的大小分类锐角三角形（三个角都是锐角）直角三角形（最大内角为直角），互相垂直的两条边叫作直角边，最长的边叫作斜边，直角三角形ABC可以用符号“Rt△ABC”表示钝角三角形（最大内角为钝角）注：在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个直角，最多有一个钝角。
2、按边的相等关系分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。
等边三角形：三条边都相等的三角形叫作等边三角形，即腰和底边相等的等腰三角形叫作等边三角形，也叫正三角形。
不等边三角形：三边都不相等的三角形。
注：●三角形的三边关系1、三角形的两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
（证明可以依据两点之间线段最短，大角对大边，不等式性质）2、三边关系的运用（1）判断以已知的三条线段为边能否构成三角形（2）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围（3）解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）●三角形的高1、三角形的高的概念：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足所连线段叫做三角形的高。
2、三角形高的几何语言表达形式AD是△ABC的边BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD垂直BC与点D，或∠BDA=∠CDA=90°3、三角形三条高的位置锐角三角形三条高都在三角形的内部。
三角形定义
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形的边:组成三角形的线段顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．三角形的主要线段：角平分线、中线、高．三角形具有的特性:稳定性．三角形的高:从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段．三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的中线:三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．线段:三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．三角形的面积：（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1/2×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．三角形三边关系1.三角形两边之和大于第三边．2。
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3。
三角形的两边差小于第三边．4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．三角形全等的符号:“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．对应顶点、对应边、对应角:把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．全等三角形的性质和注意：1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等关于全等三角形的性质应注意以下两点：①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．全等三角形的5种判定方法:（1）判定定理1：SSS-三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS-两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA-两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS-\\两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL-斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．全等三形的判定是结合全等三角形的证明线段相的重要工具．在判定三角形全等，关键是选择恰当的判定条．在应用全等三角形的判定时要注意三的共边和公角，必要时添适当辅助构造三角．。
三角形基本概念及练习题
三角形的相关概念及习题知识点1：【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。
知识点2：（1）1平角= °；三角形的内角和等于°；n边形内角和（n－2）×180°三角形的一个外角等于两个内角的；三角形的一个外角大于任何一个内角。
（2）特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线n(n3)2-条。
例如：十边形有________条对角线。
在这里n=10，就可套用对角线条数公式n(n3)10(103)3522-⨯-==（条）。
题型一：与三角形有关的线段CB A第1题图2140°80°第8题图CBA ED 1若三条线段中a ＝3，b ＝5，c 为奇数，那么由a ，b ，c 为边组成的三角形共有（ ）A. 1个B. 3个C. 无数多个D. 无法确定2能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的（ ）A. 中线B. 高线C. 角平分线D. 以上都不对3三角形的三边分别为3，1+2a ，8，则a 的取值范围是（ ） A 、﹣6＜a ＜﹣3 B 、﹣5＜a ＜﹣2 C 、2＜a ＜5 D 、a ＜﹣5或a ＞﹣24若a ，b ，c 分别为三角形的三边，化简 ： 错误!未找到引用源。
.题型二：与三角形有关的角1锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B2已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定3． 如图1，△ABC 中，∠C ＝75°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝（ ） A. 360° B. 180° C. 255° D. 145°第三题第四题22题1()OD C BA O 22题2()ED C B A22题3()C ED B A 22题4()65432122题5()765432125题图E D C B A第26题图EDCBA4 如图8，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝40°.D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，则∠AED 的度数是（ ）A.40°B.60°C.80°D.120°5（本小题8分）如图22（1）所示，称“对顶三角形”，其中，∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D ， 利用这个结论，完成下列填空.① 如图22题(2)，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ .② 如图22题（3），∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E＝ .③ 如图22题（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ . ④ 如图22题（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ .6（本小题6分）如图所示，∠ACD 是△ABC 的外角，∠A ＝40°,BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且BE 、CE 交于点E.求∠E 的度数.题型三：多边形及其内角和1如果多边形的内角和是外角和的k 倍，那么这个多边形的边数是（ ）．A ．kB ．2k+1C ．2k+2D ．2k-2 2（n+1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ）。
第一讲三角形的基本概念
第一讲三角形的基本概念三角形是几何学中最基本也是最重要的图形之一。
它由三条线段组成，每个线段连接两个不同的顶点。
在这篇文章中，我们将学习三角形的基本概念，包括三角形的定义、分类、性质以及一些相关定理。
一、三角形的定义三角形是由三个非共线点和它们之间的线段所组成的图形。
这些线段被称为三角形的边，而由这些边所围成的区域被称为三角形的内部。
在三角形中，我们通常用大写字母A、B、C来表示三个顶点，而用小写字母a、b、c来表示对应的边长。
例如，我们可以将三角形ABC表示为∆ABC，而边长可以表示为a=BC，b=AC，c=AB。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度，我们可以将三角形分为不同的类型。
以下是一些常见的三角形分类：1. 根据边长分类：- 等边三角形：三条边长相等的三角形，记作∆ABC，其中a = b = c。
- 等腰三角形：两条边长相等的三角形，记作∆ABC，其中a = b或 b = c 或 c = a。
- 普通三角形：三条边长都不相等的三角形，记作∆ABC，其中a≠ b ≠ c。
2. 根据角度分类：- 直角三角形：其中一个角为直角（90度），记作∆ABC，其中∠A = 90度，或∠B = 90度，或∠C = 90度。
- 钝角三角形：其中一个角大于90度的三角形，记作∆ABC，其中∠A > 90度，或∠B > 90度，或∠C > 90度。
- 锐角三角形：三个角都小于90度的三角形，记作∆ABC，其中∠A < 90度，且∠B < 90度，且∠C < 90度。
三、三角形的性质1. 角度性质- 三角形的三个内角的和为180度：∠A + ∠B + ∠C = 180度。
- 直角三角形的两个锐角的和为90度。
- 锐角三角形的三个内角都是锐角。
- 钝角三角形至少有一个角是钝角。
2. 边长性质- 任意两边之和大于第三边：a + b > c，b + c > a，c + a > b。
三角形的基本概念和分类
三角形的基本概念和分类三角形是几何学中的一种基本形状，由三条线段组成，每两条线段相交于一个顶点。
本文将介绍三角形的基本概念和分类。
一、三角形的基本概念三角形由三个顶点和三条边组成。
顶点之间的连线称为边，而边相交的点称为顶点。
三角形的三个内角通过顶点相对应，求和为180度。
1. 三角形的边三角形的边可以用来判断其类型。
边的长度可以确定三角形的大小，而边的关系则有助于确定其形状。
2. 三角形的角三角形的角也是判断其类型的重要依据。
根据三角形的角的大小，可以将其分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。
二、三角形的分类根据边的长度和角的大小，三角形可以被分类为以下几种类型：1. 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，且三个角均为60度。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其三个角都是锐角。
2. 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，且两个顶角也相等。
等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。
3. 直角三角形直角三角形是其中一边为90度的三角形。
直角三角形的另外两个角可以是锐角或钝角。
著名的勾股定理就是基于直角三角形的性质。
4. 钝角三角形钝角三角形至少有一个角大于90度。
钝角三角形的三个内角之和大于180度。
5. 锐角三角形锐角三角形的三个角均小于90度。
锐角三角形的内角之和等于180度。
三、结论三角形作为几何学中的基本形状，具有丰富的分类和性质。
其中等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形都是常见的类型。
了解三角形的基本概念和分类对于几何学的学习和实际应用具有重要意义。
通过本文的介绍，我们可以深入了解三角形的基本概念和分类，并学习到如何根据边的长度和角的大小来判断三角形的类型。
掌握了这些知识，我们可以更好地理解和应用三角形在几何学中的重要性。
总之，三角形作为几何学中最基本的形状之一，其基本概念和分类对于几何学的学习和理解非常重要。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地掌握三角形的知识。
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三角形概念
1、三角形按角进行分类:直角三角形锐角三角形钝角三角形。
2、三角形按边进行分类：不等边三角形等腰三角形(特殊的有等边三角形)
3、等腰三角形两个底角相等，两腰的长度相等。
顶角可以为锐角、钝角或直角，但底角不能为直角或钝角。
4、等边三角形三个角都相等，三条边也都相等。
三个角都是60°。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
5、任何一个三角形最多有一个钝角或一个直角，最少有2个锐角，最
多有三个锐角。
6、有一个角是直角的等腰三角形叫等腰直角三角形，底角45°。
7、由3条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。
8、从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
9、四边形容易变形，三角形不容易变形，所以三角形具有稳定性。
10、两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
两点间线段长度小于曲线长度。
11、三角形任意两边的和大于第三边。
12、任意直角三角形的内角和是180°
13、四边形的内角和是360°
14、多边形的内角和＝180º×边数－360º或多边形的内角和＝180º×（边数－2）
14、。