概率论与数理统计第一章测试题
概率论与数理统计第一章测试题
第一章 随机事件和概率一、选择题1. 设A, B, C 为任意三个事件, 则与A 一定互不相容的事件为（A ）C B A ⋃⋃ （B ）C A B A ⋃ （C ） ABC （D ）)(C B A ⋃2.对于任意二事件A 和B, 与 不等价的是（A ）B A ⊂ （B ）A ⊂B （C ）φ=B A （D ）φ=B A3. 设 、 是任意两个事件, , , 则下列不等式中成立的是（ ）.A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤.C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥4. 设 , , , 则（ ）.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立.C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立5. 设随机事件 与 互不相容, 且 , 则 与 中恰有一个发生的概率等于（ ）.A p q + .B p q pq +-.C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+-6. 对于任意两事件 与 , （ ）.A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+.C ()()P A P AB - .D ()()()P A P A P AB +- 7. 若 、 互斥, 且 , 则下列式子成立的是（ ）.A ()()P A B P A = .B ()0P B A >.C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A =8. 设 , 则下列结论中正确的是（ ）.A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆.C 事件A 、B 相互独立 .D A B ⊃9. 设 、 互不相容, , 则下列结论肯定正确的是（ ）.A A 与B 互不相容 .B ()0P B A >.C ()()()P AB P A P B = .D ()()P A B P A -=10. 设 、 、 为三个事件, 已知 , 则 （ ）.A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.2111. 设A, B 是两个随机事件, 且0<P(A)<1, P(B)>0, , 则必有（A ）)|()|(B A P B A P = （B ）)|()|(B A P B A P ≠（C ）)()()(B P A P AB P = （D ）)()()(B P A P AB P ≠12. 随机事件A, B, 满足 和 , 则有（A ）Ω=⋃B A （B ）φ=AB （C ） 1)(=⋃B A P （D ）0)(=-B A P13. 设随机事件A 与B 互不相容, , , 则下面结论一定成立的是（A ）A, B 为对立事件 （B ） , 互不相容 （C ） A, B 不独立 （D ）A, B 独立14．对于事件A 和B, 设 , P(B)>0, 则下列各式正确的是（A ）)()|(B P A B P = （B ）)()|(A P B A P = （C ） )()(B P B A P =+ （D ）)()(A P B A P =+15. 设事件A 与B 同时发生时, 事件C 必发生, 则（A ）1)()()(-+≤B P A P C P （B ）1)()()(-+≥B P A P C P（C ） )()(AB P C P = （D ）)()(B A P C P ⋃=16. 设A,B,C 是三个相互独立的随机事件, 且0<P(C)<1。
概率论与数理统计第一章测验题
第一章 单元测验（闭卷独立完成）（测验时间3月26日9:00---10:00，答案本周暂不公布，A4纸作答，满分14分）专业 学号 姓名 答题时间一．单选择题（满分5分）1.设A,B 是两个对立事件，且()()P A P B 0,0>>,则下列结论正确的是（ ）（A ）.()BP A 0> （B ）.()()A P P A B =（C ）.()A P B 0= （D ）.()()()P AB P A P B = 2. .设()()()A P A P B P B 0.8,0.7,0.8===则下列结论正确的是（ ）（A ）事件A 与B 相互独立 （B ）事件A 与B 互逆（C ）B A ⊃ （D ）()()()P A B P A P B +=+3.设()()()()A A P A P B P P B B 01,01,1<<<<+=，则下列结论正确的是（ ）（A ）事件A 与B 互不相容 （B ）事件A 与B 互逆（C ）事件A 与B 不相互独立 （D ）事件A 与B 相互独立4.已知()P B A A 120,φ>=则下列各式中不正确的是( )（A ）.A A P B 120⎛⎫= ⎪⎝⎭ （B ）.A A A A P P P B B B 1212⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（C ）.A A P B 121⎛⎫= ⎪⎝⎭ （D ）.A A P B 121⎛⎫= ⎪⎝⎭5.设当事件A 与B 同时发生时,事件C 也发生,则( )（A ）.()()()P C P A P B 1≤+- （B ）.()()()P C P A P B 1≥+-（C ）.()()P C P AB = （D ）.()()P C P A B ≤二．填空题（满分9分）1.假设A,B 是两个随机事件，且AB AB =则A B = ；2.假设A,B 是任意两个随机事件，则()()()(){}P A B A B A B A B = ;3.已知()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC 11,0,416======,则事件A,B,C 全不发生的概率为 ； 4.已知()()()P A a P B P A B ,0.3,0.7=== 则若事件A 与B 互不相容,则a= ；若事件A 与B 相互独立,则a=5.设A,B,C 是三个相互独立的随机事件,且()P C 01<<,问AC 与C 是否相互独立 ；6.设有N 件产品,其中M 件次品今从中任取n 件,其中至少有2件次品的概率为 ;7.在长度为a 的线段内任取两点将其分为三段,则它们可以构成一个三角形的概率为 ;8.口袋中有一个球,不知它的颜色是黑还是白,现再往口袋中放一白球，然后从口袋中任取出一个，发现是白球，则口袋中原来那个球是白色的可能性为 ；。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率论与数理统计第一章习题及答案
概率论与数理统计习题 第一章 概率论的基本概念习题1-1 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件.（1）A 发生，B 与C 不发生， （2）A 与B 都发生，而C 不发生，（3）C B A ,,中至少有一个发生，（4）C B A ,,都发生，（5）C B A ,,都不发生， （6）C B A ,,中不多于一个发生， （7）C B A ,,中不多于两个发生， （8）C B A ,,中至少有两个发生，解（1）A 发生，B 与C 不发生表示为C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生表示为C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为A+B+C （4）A ，B ，C 都发生，表示为ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生，相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生相当于C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为ABC C B A 或++（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
故表示为AB +BC +AC习题1-2 设B A ,为两事件且6.0)(=A P ，7.0)(=B P ，问（1）在什么条件下)(AB P 取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取得最小值，最小值是多少？解 由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B )(*)（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。
考研数学概率论与数理统计第一章测试题(含答案)
考研数学概率论与数理统计第一章测试题（含答案）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.对于任意二事件A 和B ，与B B A = 不等价．．．的是 （ ） (A)B A ⊂ (B)A B ⊂ (C)φ=B A (D)φ=B A2.设事件A 与事件B 互不相容，则 （ ） (A)0)(=B A P (B))()()(B P A P AB P = (C))(1)(B P A P -= (D)1)(=B A P3.对于任意二事件A 和B ，则以下选项必然成立的是 （ ）(A)若φ≠AB ，则B A ,一定独立 (B)若φ≠AB ，则B A ,有可能独立(C)若φ=AB ，则B A ,一定独立 (D)若φ=AB ，则B A ,一定不独立4.设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 （ ） (A)A 与B 互不相容 (B)A 与B 相容 (C))()()(B P A P AB P = (D))()(A P B A P =-5.设B A ,为任意两个事件，且B A ⊂，0)(>B P ，则下列选项必然成立的是 （ ）(A))|()(B A P A P < (B))|()(B A P A P ≤ (C))|()(B A P A P > (D))|()(B A P A P ≥6.设B A ,为两个随机事件，且0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有 （ ）(A))()(A P B A P > (B))()(B P B A P >(C))()(A P B A P = (D))()(B P B A P =7.已知1)(0<<B P ，且)|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P += ，则下列选项成立的是（ ） (A))|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P += (B))()()(2121B A P B A P B A B AP += (C))|()|()(2121B A P B A P A A P += (D))|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=8.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=1A {掷第一次出现正面}，=2A {掷第二次出现正面}，=3A {正、反面各出现一次}，=4A {正面出现两次}，则事件 （ ）(A)321,,A A A 相互独立 (B)432,,A A A 相互独立(C)321,,A A A 两两独立 (D)432,,A A A 两两独立9.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p （10<<p ），则此人第4射击恰好第2次命中目标的概率为 （ ）(A)2)1(3p p - (B)2)1(6p p - (C)22)1(3p p - (D)22)1(6p p -10.设C B A ,,是三个相互独立的随机事件，且1)()(0<<<C P AC P ，则在下列给定的四对事件中不．相互独立的是 （ ） (A)B A 与C (B)AC 与C (C)B A -与C (D)AB 与C二、填空题（每小题2分，共14分）1.“C B A ,,三个事件中至少有两个发生”，这一事件可以表示为___2.若事件B A ，满足()()1>+B P A P ，则A 与B 一定____________3.在区间)1,0(中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于21的概率为 4.在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
考研概率论与数理统计章节训练题
第一章 随机事件与概率一、选择题。
1、设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（ ） （A ）()()P A B P A > （B ）()()P A B P B > （C ）()()P AB P A = （D ）()()P A B P B =2、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}3A ={正、反面各出现一次}， 4A ={正面出现两次}，则事件有（ ）（A ）123,,A A A 相互独立 （B ）234,,A A A 相互独立 （C ）123,,A A A 两两独立 （D ）234,,A A A 两两独立 3、对于任意二事件A 和B ，则（ ）（A ）若AB ≠Φ，则,A B 一定独立 （B ）若AB ≠Φ，则,A B 有可能独立 （C ）若AB =Φ，则,A B 一定独立 （D ）若AB =Φ，则,A B 一定不独立 4、A ，B 是两随机事件，当A ，B 发生时事件C 发生，则以下正确的是（ ）A ）、)()(C P AB P ≥ B ）、)()()(AB PC P AB C P -=- C ）、)()(C P B A P ≤⋃D ）、)()(C P B A P ≥⋃5、A ，B ，C 是三个随机事件，其中1)(),(),(0<<C P B P A P ，且已知)|()|()|(C B P C A P C B A P +=⋃，则以下正确的是（ ）A ）、)|()|()|(CB PC A P C B A P +=⋃ B ）、)()()(AB P AC P AB AC P +=⋃ C ）、)()()(B P A P B A P +=⋃D ）、)|()()|()()(B C P B P A C P A P C P += 6、A ，B ，C 是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确的是（ ）A ）、)|(1)|(C A P C A P -=B ）、1)|()|(=+C A P C A P C ）、)|()|()|()|(C AB P C B P C A P C B A P -+=⋃D ）、)|()|()|()|()|(C B A P C B P BC A P C B P C A P +=7、A ，B 是两个随机事件，其中0)(,0)(≠≠B P A P ，则以下正确的是（ ）A ）、φ≠AB ，A ，B 一定独立 B ）、φ≠AB ，A ，B 不一定独立C ）、φ=AB ，A ，B 一定独立D ）、φ=AB ，A ，B 不一定独立8、甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率()A 15 ()B 25()C35()D459、10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为()A 310()B28 ()C 210()D3810、若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()P AB P A P B ≤ (B) ()()()PAB P A P B ≥(C) ()()()2P A P B P AB +≤ (D) ()()()2P A P B P AB +≥11、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 （ ）(A)(B)(C)(D)12、设是两个随机事件,且则必有（ ）(A)(B) (C) (D)二、填空题1、A ，B 是两随机事件，5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，则 ≤≤)(AB P 。
概率论与数理统计习题及答案第一章
习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C =, 本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n +=}.3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生；(2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生;(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABCABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A BC .4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)23A A ； (6)12A A .解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+.(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C).○2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P AB P A P B P AB P AB =-=--+=, 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-3. 已知()0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B =, 求()P AB .解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+-知()0.3P AB =. 于是()()()0.1.P AB P A P AB =-=4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB . 解 由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 设A , B 是两个事件, 且()0.6P A =, ()0.7P B =.问: (1) 在什么条件下()P AB 取到最大值, 最大值是多少？ (2) 在什么条件下()P AB 取到最小值, 最小值是多少？解 ()()()()P AB P A P B P A B =+-=1.3()P A B -.(1) 如果A B B =, 即当A B ⊂时, P B A P =)( ()B =0.7, 则()P AB 有最大值是0.6 .(2) 如果)(B A P =1，或者A B S =时, ()P AB 有最小值是0.3 .6. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概率.解 因为ABC AB ⊂,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0. 由概率一般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是5()()1()12P ABC P A B C P AB C ==-=.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品. (C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为113225C C C ⨯, 没有一等品的概率为023225C C C ⨯, 将两者加起即为0.7. 答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C .3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率； (3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有29C 种，两个球都是白球的取法有24C 种，一黑一白的取法有1154C C 种，由古典概率的公式知道(1) 两球都是白球的概率是2924C C ;(2)两球中一黑一白的概率是115429C C C ;(3)至少有一个黑球的概率是12924C C -.4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于65;(2) 两数之积小于14;(3) 以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于12的概率.解 设X , Y 为所取的两个数, 则样本空间S = {(X , Y )|0<X , Y <1}.,(1) P {X +Y <65}=1441172550.68125-⨯⨯=≈;(2) P {XY <14}=11411111ln 40.64444dx x⨯+=+≈⎰;(3) P {X +Y <65, XY <14} =0.2680.932110.2680.932516161()()5545x dx dx x dx x ⨯+-++-⎰⎰⎰≈0.593. (4) 解 设x , y 为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x , y )|0<x , y <1}, 记A = {(x , y )|(x , y )∈S , |x -y |<12}. 参见图1-1.图1-1 第2题样本空间故 111123222()14AS P A S Ω-⨯⨯⨯===, 其中 S A , S Ω分别表示A 与Ω的面积.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.解 由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.(B) 若()1P BA =, 则()0P AB =.(C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对立事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解 由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}. 解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813. 3. 口袋中有b 个黑球、r 个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球a 个. 设B i ={第i 次取到黑球}, 求1234()P B B B B .解 用乘法公式得到)|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P =.32ar b ar a r b r a r b a b r b b +++⋅++⋅+++⋅+=注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和无放回抽样.4. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表示“恰有i 发击中目标”.i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中目标概率为0()0.60.50.30.09P B =⨯⨯=, 恰有一发击中目标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,恰有两发击中目标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,恰有三发击中目标概率为3()0.40.50.70.14P B =⨯⨯=.又已知 0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到 3()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.iii P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑5. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.解 (1)以A 表示“取得球是白球”，i H 表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==6. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%,22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解 设A 表示“取到的是一件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知,123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.050.0384.=⨯+⨯+⨯=.(2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ⨯===,222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ⨯===,333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ⨯===.习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立.(C)()()()P AB P A P B =. (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故AB 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D). (3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0<P (B )<1, 则下列说法错误的是( ).(A)(|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.(C) A 与B 一定互斥. (D)()()()()()P A B P A P B P A P B =+-.解 因事件A 与B 独立, 故AB 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).2．设A , B 是任意两个事件, 其中A 的概率不等于0和1, 证明P (B |A )=)(A B P 是事件A 与B 独立的充分必要条件.证 由于A 的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件A 与B 独立, 知事件A 与B 也独立, 因此()(),()()P B A P B P B A P B ==,从而()()P B A P B A =.必要性. 已知()()P BA PB A =, 由条件概率公式和对立事件概率公式得到()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -==-,移项得[]()1()()()()(),P AB P A P A P B P A P AB -=-化简得 P (AB )=P (A )P (B ), 因此A 和B 独立.3. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：,ABC =∅1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =,求()P A .解 根据一般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+.由题设可知 A , B 和C 两两相互独立,,ABC =∅ 1()()()2P A P B P C ==<, 因此有2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====∅=从而29()3()3[()]16P AB C P A P A =-=,于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =.4． 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p (0<p <1), 求此人第4次射击时恰好第2次命中目标的概率.解 “第4次射击恰好第2次命中” 表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为1223(1)C p p -.5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率； (3) 目标被命中的概率.解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==⨯=(2) ()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=⨯+⨯= (3)()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=总 习 题 一1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独立的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).(A)A B 与C . (B)AC 与C .(C) A B -与C . (D) AB 与C .解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为9551910099396⨯=⨯.(1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为95559519.10099198⨯+⨯=⨯3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有21的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产41. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设A ={取到的产品是次品},B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =∅(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41, P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004,由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221⨯+⨯+⨯=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ⨯====.5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以D 表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====.由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。
概率论与数理统计第一章习题参考答案
概率论与数理统计第一章习题参考答案第一章随机事件及其概率1.解决方案：（1）s？？2,3,4,5,67? （2） s？？2,3,4,?? （3） s？？h、 th，tth，？？（4）s??hh,ht,t1,t2,t3,t4,t5,t6?2．解：?p(a)?14,p(b)?12,p(ab)?1814? 12? 18? 58? p（a？b）？p（a）？p（b）？p（ab）？p(ab)?p(b)?p(ab)=?p(ab)?1?p(ab)?1?1812??7818?38p[（a？b）（ab）]？p[（a？b）？（ab）]p(ab)p(ab)(abab)5818123.解决方案：使用a表示事件“获得的三位数不包含数字1”P（a）？C8C9C990011？8.9? 9900? 一千八百二十五4、解：用a表示事件“取到的三位数是奇数”，用b表示事件“取到的三位数大于330”(1)p(a)?c3c4c4ca121525111?3?4?45?5?41=0.482） p（b）？c2a5？c2c4c5a5121？2.5.4.1.2.45? 5.4=0.485、解：用a表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”，用b表示事件“4只中至少有2只红球”，用c表示事件“4只中没有只白球”（1）p(a)?c5c4c3c12132114=1204954=833（2） p（b）？1.c4c8？c8c412=202195?67165或p(b)?c4c8?c4c8?c4c41222314?67165一（3）p(c)?c7c4412?35495?7996.解决方案：使用a表示事件“在特定销售点获得的K提单”P（a）？cn（m？1）mnkn？K7、解：用a表示事件“3只球至少有1只配对”，用b表示事件“没有配对”（1）p(a)?（2）p(b)?3?13?2?12?1?13?2?1??2313或p(a)?1?2.1.13? 2.1.238、解p(a)?0.5,p(b)?0.3,p(ab)?0.1p（ab）p（b）p（ab）p（a）（1）p（ab）？？0.10.30.10.5? 1315，p(ba)p（a？b）？p（a）？p（b）？p（ab）？0.5? 0.3? 0.1? 零点七p[a(a?b)]p(a?b)p(a?ab)p(a?b)p(ab)p(a?b)p(aa?b)p(ab)p(a?b)0.10.717?0.50.7?57 p（aba？b）？p[（ab）（a？b）]p（a？b）p（ab）p（ab）p(aab)?p[a(ab)]p(ab)??1（2）设定人工智能？？第一次拿到白球？我1,2,3,4则p(a1a2a3a4)?p(a1)p(a2a1)p(a3a1a2)p(a4a1a2a3)?611?712?513?412?84020592?0.04089.解决方案：用a表示“两个球中至少有一个红球”，用B表示“两个都是红球”。
概率论与数理统计第一章自测题及答案
第一章 自测题一、填空题（每小题2分，共计10分）1.概率()P A 是刻划____________________ ___的指标.2.实际推断原理的内容是 .3.设,,A B C 分别代表甲，乙，丙命中目标，则ABC 表示 .4.将红、黄、蓝3个球随机的放入4个盒子中，若每个盒子的容球数不限，则有三个盒子各放一个球的概率是 .5.设,A B 为随机事件，已知().,().().0705, 03P A P B P A B ==-=，则()P AB = ；()P B A -= .二、是非题（每小题2分，共计20分）1.（ ）从一批产品中随机抽取100件，发现5件次品，则该批产品的次品率为5%.2.（ ）若事件,A B 为对立事件，则A 与B 互斥，反之不真.3.（ ）对于事件,A B ，若()0P AB =，则A 与B 互斥.4.（ ）在古典概型的随机试验中，()0P A =当且仅当A 是不可能事件.5.（ ）若0()1P B <<且()(|)P A P A B =，则()(|)P A P A B =.6.（ ）设A 与B 是两个概率不为零的互不相容事件，则()()()P AB P A P B =.7.（ ）对于事件,,A B C ，若()()()()P ABC P A P B P C =，则()()()P AB P A P B =.8.（ ）设随机事件A 分别与随机事件B 、C 独立，则A 也与事件B C 独立.9.（ ）设随机事件,,A B C 相互独立，则A 与B C 相互独立.10.（ ）设()0P C >且()()()P AB C P A C P B C =，则()()()P AB P A P B =.三、选择题（每小题2分，共计10分）1.某学生参加两门外语考试，设事件i A ={第i 门外语考试通过} (i =1,2)，则事件{两门外语考试至少有一门没通过}可以表示为( ). (A) 12A A ； （B ）1212A A A A ； （C ）12A A ； （D ）12A A2.设事件,,A B C 满足关系式ABC A =，则关系式的意义是( ).（A ）当A 发生时，B 或C 至少有一个不发生； （B ）当A 发生时，B 和C 必定都不发生；（C ）当B 和C 都不发生时，A 必定发生； （D ）当B 或C 至少有一个不发生时，A 必定发生.3.设事件,A B 满足()1P A B =，则（ ）.（A ）A B ⊃；（B ）B A ⊃；（C ）()0P B A =；（D ）()()P AB P B =.4.设0()1,0()1P A P B <<<<，且()()1P A B P A B +=，则（ ）.（A ）A 、B 互斥； （B ）A 、B 独立； （C ）A 、B 不独立； （D ）A 与B 互逆.5.设,,A B C 是三个相互独立的事件，且0()1P C <<，则下列四对事件中，不独立的是（ ）.（A ）A B 与C ；（B ）AC 与C ；（C ）A B -与C ；（D ）AB 与C .四、计算1. （10分）设事件,A B 满足()0.6,()0.5,()0.2P A P B P AB ===，求(),()P A B P B A .2. （5分）已知事件,A B 满足()()P AB P AB =，且()P A p =，求()P B .3. （5分）10个运动队平均分成两组预赛，计算最强的两个队被分在同一组内的概率.4. （10分）某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中34的病人服此药，14的病人不服此药，五天后有70%的病人痊愈.已知不服药的病人五天后有10%可以自愈.（1）求该药的治愈率；（2）若某病人五天后痊愈，求他是服此药而痊愈的概率.5. （10分）甲袋中有两个白球，四个黑球，乙袋中有四个白球，两个黑球.现在掷一均匀硬币，若得正面就从甲袋中连续摸n 次球（取后放回），若得反面就从乙袋中摸n 次.若已知摸到的n 个球全是白球.求这些球是从甲袋中取出的概率.6. （10分）12个乒乓球中3个旧的，9个新的.第一次比赛时取出三个用完后放回，第二次比赛时又取出三个.求第二次取出的三个中有两个新球的概率.五、（10分）几何概型的样本空间S 与随机事件,A B 如图所示，试证,A B 相互独立.第一章 自测题参考答案一、填空题（每小题2分，共计10分）1.概率()P A 是刻划 一次试验随机事件A 发生的可能性很小 ___的指标.2.实际推断原理的内容是 一次试验小概率事件一般不会发生 .3.设,,A B C 分别代表甲，乙，丙命中目标，则ABC 表示 甲、乙、丙至少一人没命中目标 .4.将红、黄、蓝3个球随机的放入4个盒子中，若每个盒子的容球数不限，则有三个盒子各放一个球的概率是3433!4C .5.设,A B 为随机事件，已知().,().().0705, 03P A P B P A B ==-=，则()P AB = 0.4 ；()P B A -= 0.1 .二、是非题（每小题2分，共计20分）1.（ ⨯ ）从一批产品中随机抽取100件，发现5件次品，则该批产品的次品率为5%.2.（ √ ）若事件,A B 为对立事件，则A 与B 互斥，反之不真.3.（ ⨯ ）对于事件,A B ，若()0P AB =，则A 与B 互斥.4.（ √ ）在古典概型的随机试验中，()0P A =当且仅当A 是不可能事件.5.（ √ ）若0()1P B <<且()(|)P A P A B =，则()(|)P A P A B =.6.（ ⨯ ）设A 与B 是两个概率不为零的互不相容事件，则()()()P AB P A P B =.7.（ ⨯ ）对于事件,,A B C ，若()()()()P ABC P A P B P C =，则()()()P AB P A P B =.8.（ ⨯ ）设随机事件A 分别与随机事件B 、C 独立，则A 也与事件B C 独立.9.（ √ ）设随机事件,,A B C 相互独立，则A 与B C 相互独立.10.（ ⨯ ）设()0P C >且()()()P AB C P A C P B C =，则()()()P AB P A P B =.三、选择题（每小题2分，共计10分）1.某学生参加两门外语考试，设事件i A ={第i 门外语考试通过} (i =1,2)，则事件{两门外语考试至少有一门没通过}可以表示为( D ).(A) 12A A ； （B ）1212A A A A ； （C ）12A A ； （D ）12A A 2.设事件,,A B C 满足关系式ABC A =，则关系式的意义是( A ).（A ）当A 发生时，B 或C 至少有一个不发生； （B ）当A 发生时，B 和C 必定都不发生；（C ）当B 和C 都不发生时，A 必定发生； （D ）当B 或C 至少有一个不发生时，A 必定发生.3.设事件,A B 满足()1P A B =，则（ D ）.（A ）A B ⊃；（B ）B A ⊃；（C ）()0P B A =；（D ）()()P AB P B =.4.设0()1,0()1P A P B <<<<，且()()1P A B P A B +=，则（ B ）.（A ）A 、B 互斥； （B ）A 、B 独立； （C ）A 、B 不独立； （D ）A 与B 互逆.5.设,,A B C 是三个相互独立的事件，且0()1P C <<，则下列四对事件中，不独立的是（ B ）.（A ）A B 与C ；（B ）AC 与C ；（C ）A B -与C ；（D ）AB 与C .四、计算1. （10分）设事件,A B 满足()0.6,()0.5,()0.2P A P B P AB ===，求(),()P A B P B A . 解 ()()()0.3P AB P B P AB =-=，()()()()0.60.50.30.8P A B P A P B P AB =+-=+-= .()()()0.2P AB P A P AB =-=， ()()0.5()P BA P B A P A ==. (另法:通过()()0.2,()0.8,()()()()0.3P AB P A B P A B P AB P A P B P A B =⋃=∴⋃=∴=+-⋃= 也可计算. )2. （5分）已知事件,A B 满足()()P AB P AB =，且()P A p =，求()P B .解 ()()1()P AB P A B P A B ==- 1()()()()P A P B P AB P AB =--+=()1P B p =-.3. （5分）10个运动队平均分成两组预赛，计算最强的两个队被分在同一组内的概率.解 385102C p C =(分成的两组是可区分的, 如A 组和B 组). 4. （10分）某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中34的病人服此药，14的病人不服此药，五天后有70%的病人痊愈.已知不服药的病人五天后有10%可以自愈.（1）求该药的治愈率；（2）若某病人五天后痊愈，求他是服此药而痊愈的概率.解 （1）设 A =（服药），B =（痊愈）. ()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+31()0.10.744P B A =⨯+⨯=， ()0.9P B A =. （2）27()28P A B =. 5. （10分）甲袋中有两个白球，四个黑球，乙袋中有四个白球，两个黑球.现在掷一均匀硬币，若得正面就从甲袋中连续摸n 次球（取后放回），若得反面就从乙袋中摸n 次.若已知摸到的n 个球全是白球.求这些球是从甲袋中取出的概率.解 设A =（硬币掷得正面）=（甲袋中连续摸n 次球），B =（摸到的n 个球全是白球）. 11()()()()123()1112()()()()()12()()2323n nn n P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ⨯====++⨯+⨯. 6. （10分）12个乒乓球中3个旧的，9个新的.第一次比赛时取出三个用完后放回，第二次比赛时又取出三个.求第二次取出的三个中有两个新球的概率.解 设i A =（第一次取出i 个新球） (0,1,2,3)i =,B =(第二次取出的三个中有两个新球).3330003212121122132139339843975966333333331212121212121212()()()()()0.455i i i i i i i P B P A B P A B P A P B A C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =======⨯+⨯+⨯+⨯=∑∑(本题设i A =（第一次取出i 个旧球） (0,1,2,3)i =也可以.)五、（10分）几何概型的样本空间S 与随机事件,A B 如图所示，试证,A B 相互独立.证明 只要证()()P A P A B =(本题利用独立性的定义式也可证明). ()()()()a b c c P A a b c d c d +⨯==+⨯++，()()()()P AB a c c P A B P B a c d c d⨯===⨯++， 所以,A B 相互独立.。
概率论与数理统计 第一章随机事件及其概率 练习题
第一章 随机事件及其概率（概率论与数理统计）练习题1．写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合：(1) 10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品；(2) 一个口袋中有2个白球,3个黑球,4个红球，从中任取一球：①得白球；②得红球．2．化简事件算式：)()()()(B A B A B A AB ⋅ ．3．就下列情况分别说明事件A ，B ，C 之间的关系：(1) A C B A =++；(2) A ABC =.4．试判断事件“A ，B 至少发生一个”与“A ，B 最多发生一个”是否是对立事件．5．下列各式说明A 与B 之间具有何种包含关系?(1) AB =A ， (2)A B A = ．6．掷一枚骰子的试验，观察其出现的点数，事件A =“偶数点”，B =“奇数点”，C ＝“点数小于5”，D =“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系．7．将下列事件用A ，B ，C 的运算表示出来：(1) A 发生；(2) 只有A 发生；(3) 三个事件中恰好有一个发生；8．设某工人连续生产了4个零件，用i A 表示他生产的第i 个零件是正品(i =1，2，3，4)．试用事件的运算表示下列各事件：(1) 没有一个是次品；(2) 至少有一个是次品；(3) 只有一个是次品；(4) 至少有三个不是次品；(5) 恰好有三个是次品；(6) 至多有一个是次品．9．事件i A 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务(i =1，2，3),B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务．说明事件C B B -与的含义，并且用i A (i =1，2，3)表示出来．10．设A ，B 为事件，问下列各事件表示什么意思? (1)B A ； (2)B A ； (3)B A ⋅．11．如图，事件A ，B ，C 都相容，即φ≠ABC ，把事件A +B ，A +B +C ，AC +B ，C -AB 用一些互不相容事件的和表示出来．12．两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明．13．将1套4册的文集按任意顺序放到书架上去，问各册自右向左或自左向右恰成1，2，3，4的顺序的概率是多少?14． 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率．15．10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率．16．抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率．17．有一元币、五角币、一角币、五分币、二分币、一分币各一枚，试求由它们所组成的所有可能的不同币值中，其币值不足一元的概率．18．一楼房共14层，假设电梯在一楼起动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的．试求下列事件的概率：1A ={10人在同一层下}； 2A ={10人在不同楼层下}；3A ={10人都在第14层下}； 4A ={10人中恰有4人在第8层下}．19．将S N I E E C C , , , , , ,等7个字母随意排成一行，求恰好排成SCIENCE 的概率．20．一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1) 四张花色各异； (2) 四张中只有两种花色．21．袋中有红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A =“全红”，B =“全白”，C =“全黑”，D =“无红”，E =“无白”，F =“无黑”，G =“颜色全相同”，H =“颜色全不相同”，I =“颜色不全相同”．22．一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4人的生日在同一个月份的概率．23．一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算)．24．从4双不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：(1) 4只恰成2双；(2) 4只中恰有一双；(3) 4只中没有成双的．25．掷三颗骰子，得3个点数能排成公差为1的等差数列的概率为多少?26．将4个男生与4个女生任意地分成两组，每组4人，求每组各有2个男生的概率．27．设O 为线段AB 的中点，在AB 上任取一点C ，求AC 、CB 、AO 三条线段能构成一个三角形的概率．28．在A B C ∆中任取一点P ，证明：ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于nn 1-的概率为21n． 29．设c AB P b B P a A P ===)( ,)( ,)(，用a ，b ，c 表示下列事件的概率： (1) )(B A P ， (2) )(B A P ， (3) )(B A P ， (4) )(B A P ⋅．30．设)( ,6.0)( ,3.0)( ,4.0)(B A P B A P B P A P 求=== ．31．设7.0)( ,4.0)(=+=B A P A P ，(1) 若A 与B 互斥，求()B P ；(2) 若A 与B 独立，求()B P ．32．已知61)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，求A ，B ，C 全不发生的概率．33．事件A 与B 互不相容，计算)(B A P +．34．设事件A B ⊃，求证：)()(A P B P ≥．35．设事件B A ,的概率都大于0，比较概率)(A P ，)()(),(B P A P B A P ++， )(AB P 的大小(用不等号把它们连结起来)．36．已知a B A P a b ab b B P a A P 7.0)( ),3.0 ,0( ,)( ,)(=->≠==，求： )(A B P +， )(A B P -， )(A B P +．37．设21,A A 为两个随机事件，证明： (1))()()(1)(212121A A P A P A P A A P ⋅+--=； (2))()(121A P A P --)()()()(212121A P A P A A P A A P +≤≤≤ ．38．一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率．39．在1000名技术员中调查性别、婚姻状况及学历，得如下数据：(1) 813个男性；(2) 875个已婚；(3) 752个大专毕业生；(4) 632个男大专毕业生；(5) 572个已婚男性；(6) 654个已婚大专毕业生；(7) 420个已婚男大专毕业生．试说明这些数据中有错误．40．在某城市中发行3种报纸A ，B ，C ．经调查，在居民中按户订阅A 报的占%45，订阅B 报的占%35，订阅C 报的占%30，同时订阅A 报和B 报的占%10，同时订阅A 报和C 报的占%8，同时订阅B 报和C 报的占%5，同时订阅这3种报纸的占%3，试求下列事件的概率：(1) 只订B 报的；(2) 只订A 报和B 报两种的；(3) 只订1种报纸的；(4) 恰好订2种报纸的；(5) 至少订阅2种报纸的；(6) 至少订1种报纸的；(7) 不订报纸的；(8) 至多订阅1种报纸的．41．某单位有%92的职工订阅报纸，%93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有%85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工，求下列事件的概率：(1) 该职工至少订阅一种报纸或杂志；(2) 该职工不订阅杂志，但订阅报纸．42．某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为%12，乙市全年雨天的比例为%9，甲乙两市至少有一市为雨天的比例为16.8%．试求下列事件的概率：(1) 甲、乙两市同为雨天；(2) 在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；(3) 在乙市无雨的条件下甲市亦无雨．43．分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，事件A 表示数学成绩优秀，B 表示外语成绩优秀，若28.0)(,4.0)()(===AB P B P A P ，求：)|(B A P ， )|(A B P ， )(B A P +．44．设A 与B 独立， )(A P =0.4， )(B A P +=0.7，求概率)(B P ．45．设甲、乙两人各投篮1次，其中甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.7，并假定二者相互独立，求：(1) 2人都投中的概率；(2) 甲中乙不中的概率；(3) 甲投不中乙投中的概率；(4) 至少有一个投中的概率．46．甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1) 只有一人投中；(2) 最多有一人投中；(3) 最少有一人投中．47．甲乙两人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?48．加工一产品需要4道工序，其中第1、第2、第3、第4道工序出废品的概率分别为0.1，0.2，0.2，0.3，各道工序相互独立，若某一道工序出废品即认为该产品为废品，求产品的废品率．49．加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出废品与其他各道工序无关，求零件的合格率．50．求下列系统(如图所示)的可靠度．假设元件i 的可靠度为i p ，各元件正常工作或失效相互独立．51．某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数)．52．设事件n A A A ,,,21 相互独立，且i i p A P =)( ),,2,1(n i =，11=∑=ni i p ，试求：(1) 这些事件至少有一件不发生的概率；(2) 这些事件均不发生的概率；(3) 这些事件恰好发生一件的概率．53．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6．求同时发射一枚炮弹而击中飞机的概率是多少? 又若有一架敌机入侵领空，欲以%99以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮?54．甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一密码，设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为0.7，丙译出的概率为0.6，求该密码能被译出的概率．55．上题中如改为n 个人组成的小组，在同一时间内分别破译某密码．并假定每人能译出的概率均为0.7，若要以%9999.99的把握能够译出，问至少需要几个人?56．对于三事件A 、B 、C ，若)|()|()|((C B P C A P C B A P = 成立，则称A 与B 关于条件C 独立．若已知A 与B 关于条件C 、C 均独立，且==)|(,5.0)(C A P C P 0.9，=)|(C B P 0.9，2.0)|(=C A P ，1.0)|(=C B P ．试求)(,)(,)(B A P B P A P ，并证明A 与B 不独立．57．一个人的血型为O ,A ,B ,AB 型的概率分别为0.46，0.40，0.11，0.03，现在任意挑选5人，求下列事件的概率：(1) 2个人的血型为O 型，其他3人的血型分别为其他3种血型；(2) 3个人的血型为O 型，2个人为A 型；(3) 没有一个人的血型为AB 型．58．设1)(0<<B P ，证明：A 与B 独立的充要条件是=)|(B A P )|(B A P ．59．设A ，B ，C 相互独立．证明：A 与C B 独立，A 与B -C 也独立．60．某厂有甲、乙、丙三条流水线生产同一种产品，每条流水线的产量分别占该厂生产产品总量的%25，%35，%40，各条流水线的废品率分别是%5，%4，%2，求在总产品中任取一个产品是废品的概率．61．假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的%45，%35，%20．如果各车间的次品率依次为%4，%2，%5．现在从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是由甲车间生产的概率．62．某种同样规格的产品共10箱，其中甲厂生产的共7箱，乙厂生产的共3箱，甲厂产品的次品率为101，乙厂产品的次品率为152，现从这10箱产品中任取1件产品，问：(1) 取出的这件产品是次品的概率；(2) 若取出的是次品，分别求出次品是甲、乙两厂生产的概率．63．设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则不买．求：(1) 顾客买下此箱玻璃杯的概率α；(2) 在顾客买下的此箱玻璃杯中，确实没有次品的概率β．64．一道选择题有4个答案，其中仅1个正确．假设一个学生知道正确答案及不知道而乱猜的概率都是1/2(乱猜就是任选一个答案)．如果已知学生答对了，问他确实知道正确答案的概率是多少?65．某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定的时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1．当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少?66．A 地为甲种疾病多发区，该地区共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9:7:4，据统计资料，甲种疾病在该地三个行政小区内的发病率依次为4‟，2‟，5‟，求A 地的甲种疾病的发病率．67．盒子里有12个乒乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒子，第二次比赛时再从盒子中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率；若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取出的球都是新球的概率．68．已知100件产品中有10件绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时发生故障的可能性均为0.1．现从这100件产品中随机抽取一件，若使用了n 次均未发生故障，问n 为多大时，才能有%70的把握认为所抽取的产品为正品．69．在4次独立重复试验中事件A 至少出现1次的概率为0.59，试问在1次试验中A 出现的概率是多少?70．按某种要求检查规则，随机抽取4个梨，如果4个梨全是熟的，则所有梨都将在餐厅做饭后食用．一批梨仅有%80是熟的，问能做餐用的概率是多少?答案1．(1) 记9件合格品分别为：正1，正2，…，正9，不合格品为次，则 {=Ω(正1，正2)，(正1，正3)，…，(正1，正9)，(正1，次)， (正2，正3)，…，(正2，正9)，(正2，次)，…………………………，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}，{=A (正1，次)，(正2，次)，(正3，次)，……，(正9，次)}(2) 记2个白球分别为21,ωω，3个黑球分别为321,,b b b ，4个红球分别为4321,,,r r r r ．则 {=Ω,,21ωω321,,b b b ，4321,,,r r r r }，① {=A 21,ωω}； ② {=B 4321,,,r r r r }2．Ω3．A +B +C =A 表明B +C A ⊂．但B ，C 可以互斥、相容或包含； ABC =A 表明A BC ⊂．但B ,C 的交必须是非不可能事件4．不是对立事件5．(1) 因为“AB =A ”与“AB A A AB ⊂⊂且”是等价的， 由A ⊂A B 可以推出A ⊂A 且A ⊂B ，因此有A ⊂B(2) 因为“A B A = ”与“B A A A B A ⊂⊂且”是等价的， 由A B A = 可以推出A ⊂A 且B ⊂A ，因此有B ⊂A 6．A 与B 为对立事件，B 与D 互不相容，A ⊃D ，C ⊃D ．7．(1) A ； (2) C B A ； (3) C B A C B A C B A .8．(1) 4321A A A A ； (2) 4321A A A A ；(3) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ；(4) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ；(5) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ；(6) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 9．323121A A A A A A B ++=表示至少有两个车间没完成任务； B -C =321A A A 表示三个车间均完成生产任务10．(1) AB B A = 表示A 、B 不都发生；(2) AB B B A B A -=-Ω=)(表示B 发生而AB 不发生；(3) B A 表示A 、B 都不发生11．AB B A B A A B A B A A B A ++=-+=+=+)(；C B A B A A C B A ++=++；A C +B =C B A B +； BC A C B A C B A AB C ++⋅=-12．对立一定互不相容(φ=A A )；互不相容不一定对立(Ω=+=B A AB 未必,φ)例如，E ：掷骰子．事件{=A 出现点数为1，2}，事件{=B 出现点数为3，4}，{=C 出现点数为3，4，5，6}，则A 与B 互不相容，A 与C 对立．13．121 14．2815 15．158 16．43 17．0.492118．1111043.9)(-⨯=A P ； 721024.1)(-⨯=A P ；1231025.7)(-⨯=A P ； 341055.4)(-⨯=A P19．七个字母的全排列总共有7!=5040种不同排法，将七个字母编号S N I E E C C1 2 3 4 5 6 7在全部的5040种可能排列中，恰好排成SCIENCE 的有如下四种情形(7154623)，(7153624)，(7254613)，(7253614)， 于是≈=50404p 0.000794 20．(1) 105.0452113113113113==C C C C C p ；(2) 30.04523131132421321324=+=C C C P C C C p 21．27131)()()(3====C P B P A P ， 27832)()()(33====F P E P D P ， 91271271271)(=++=G P ， 9227123)(=⋅⋅=H P ， 98)(1)(=-=G P I P 22．0.007323．24.03653641100100=- 24．从4双即8只鞋中任取4只，故基本事件数为48C ，(1) “4只恰成2双”相当于“从4双里选2双”，故有利事件数为C 24，其概率为4824C C =353． (2)为使4只中恰有1双，可设想为先从4双中取出1双，再从余下的3双中取出2双，然后从这2双中各取1只．因此，有利事件数为222314⋅⋅⋅C C ，其概率为352422482314=⋅⋅⋅C C C ． (3)“4只中没有成双的”相当于“从4双中各取1只”．因此，有利事件数为162222=⋅⋅⋅，其概率为3581648=C 25．每颗骰子有6个点，因此基本事件总共有216666=⋅⋅个，只要掷出的三个点由1，2，3或2，3，4或3，4，5或4，5，6组成，不论它们出现的次序怎么样，都是有利事件．因此欲求之概率为91216!34=⨯． 26．3518 27．不妨设AB =1， AC =x ，则CB =1-x ， AO =21， AC ，CB ， AO 能构成一个三角形必须且只需同时满足 x x x x >-+->+121,121， 即4341<<x ． 将AB 等分成四小段，第二及第三小段组成有利事件，因此欲求之概率为2142= 28．(如图)截取CD nD C 1='，当且仅当点P 落入△B A C ''之内时，△ABP 与△A B C 的面积之比大于nn 1-，故所求概率为 22222211nCD CD n CD D C ABC C B A p =='=∆''∆=的面积的面积．29．(1) 1-c ； (2) b -c ； (3) 1-a +c ； (4) 1-a -b +c30．0.331．0.3；0.532．127 33．134．略35．)()()()()(B P A P B A P A P AB P +≤+≤≤36．b +0.7a ； b -0.3a ； 1-0.3a37．(1) )(1)()(212121A A P A A P A A P -===1-[)()()(2121A A P A P A P ⋅-+]=1-)()()(2121A A P A P A P ⋅+-(2) 由(1)和0)(21≥⋅A A P 得第一个不等式，而)()(2121A A P A A P ≤ )()(21A P A P +≤38．0.37539．设从1000名技术员中任意地抽取一人．以A 记事件：“抽取男性”，B 记事件：“抽取已婚者”，C 记事件：“抽取大专毕业生”．按所给数据应有,752.0)(,875.0)(,813.0)(===C P B P A P420.0)(,632.0)(,654.0)(,572.0)(====ABC P AC P BC P AB P 于是)(C B A P ++)()()(C P B P A P ++=)()()()(ABC P AC P BC P AB P +---=0.813+0.875+0.752-0.572-0.654-0.632+0.420=1.002>1．得出矛盾，因此所给数据有错误40．(1) 0.23； (2) 0.07； (3) 0.73； (4) 0.14； (5) 0.17； (6) 0.90；(7) 0.10； (8) 0.8341．(1) 0.988； (2)0.05842．(1)0.042； (2) 0.35； (3)0.914343．0.7； 0.7； 0.5244．5.045．(1) 0.56； (2) 0.24； (3) 0.14； (4) 0.9446．(1) 0.188； (2) 0.212； (3) 0.97647．甲先投中的概率大48．0.649．0.448．50．(1) 这个系统由三个相同的子系统并联而成，每个子系统又由三个元件串联而成．因此每个子系统的可靠度为321p p p ，整个系统的可靠度为3321)1(1p p p --．(2) 这个系统由三个子系统串联而成，第一、第三个子系统只由一个元件组成，第二个子系统由三个相同的元件并联而成．因此，三个子系统的可靠度分别为1321,)1(1,p p p --，整个系统的可靠度为])1(1[3221p p --．(3) 这个系统由两个子系统并联而成，第一个子系统由两个二级子系统串联而成，而第一个二级子系统又由两个元件并联而成．因此，第一个子系统的可靠度为])1(1[212p p --，整个系统的可靠度为1-[))1(1(1212p p ---])1(3p -]=1-)1(3p -[)2(1121p p p --]=)2()2(13213121p p p p p p p p --+-=33121)1)(2(p p p p p +--51．0.42； 0.58×0.42； 0.581-m ×0.4252．(1) )(1}{2121n n A A A P A A A P -==-=)()()(121n A P A P A P 1-n p p p 21(2) )()()(}{2121n n A P A P A P A A A P =⋅=∏=-ni i p 1)1( (3) }{121321321n n n n A A A A A A A A A A A A P -⋅⋃⋅=+---+---)1()1()1()1()1)(1(321321n n p p p p p p p pn n p p p p )1()1)(1(121----+=∑∏=≠=-n i nj i i j i p p 11])1([．53．用k A 表示“第k 门高射炮发射一枚炮弹击中飞机”， ,2,1=k ，B 表示“击中飞机”．则 ,2,1,6.0)(==k A P k ， (1) 84.04.01)()(1)(1)(2212121=-=-=⋅-=A P A P A A P A A P ， (2) 99.04.01)(1)(1)(1121>-=-=-=∏==n nk k n k k n A P A P A A A P ， 即6,026.54.0lg 01.0lg ,01.099.014.0=≈>=-<n n n 取， 故至少需要6门高射炮，同时发射一枚炮弹，可保证%99的概率击中飞机54．0.97655．1256．55.0)2.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C A P C P C A P C P A P ，50.0)1.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C B P C P C B P C P B P ， )|()()|()()(C AB P C P C AB P C P B A P +=)|()|()()|()|()(C B P C A P C P C B P C A P C P +=，由A ，B 条件独立得415.0)1.02.09.0(21)(2=⨯+=B A P ， 由于)()(5.055.0415.0)(B P A P B A P =⨯≠= ，所以A ，B 不独立57．(1) 从5个人任选2人为O 型，共有25C 种可能，在其余的3人中任选一人为A 型，共有3种可能，在余下的2人中任选1人为B 型，共有2种可能，另1人为A B 型，因此所要求的概率为0168.013.011.040.046.023225≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=C p ；(2) 1557.040.046.02335≈⋅⋅=C p ；(3) 8587.0)03.01(5≈-=p58．必要性 因为A 与B 独立，则)|()()|(B A P A P B A P ==． 充分性 因为)()()()(B P B A P B P AB P =， [][])()()()(1)(B P AB P A P B P AB P -=-，)()()(B P A P AB P =，所以A 与B 独立．59．)()())((C B A P AB P C B A P += =)()()()()(C P B P A P B P A P + =)]()()[(C B P B P A P +=)()(C B P A P即A 与C B 独立，同理可证A 与B -C 也独立．)()())((ABC P AB P C B A P -=-=)()()()(BC P A P B P A P -=)()(BC B P A P -)()(C B P A P -=．60．0.034561．0.51462．(1) 0.11； (2) 0.6364； 0.363663．记A ：顾客买下所察看的一箱玻璃杯，i B ：箱中有i 件次品(2,1,0=i )，由题设知，8.0)(0=B P ，=)(1B P 1.0)(2=B P ，所以1)|(0=B A P ，54)|(4204191==C C B A P ，1912)|(4204182==C C B A P ， (1)由全概率公式知∑==++===2094.0)191254(8.0)/()()(i i i B A P B P A P α， (2)由贝叶斯公式知85.094.08.0)()/()()/(000====A P B A P B P A B P β 64．以A 记事件：“学生知道正确答案”，则A 表示事件：“学生在乱猜”以B 记事件：“学生答对了”．易见B A ⊂．因此有1)|(,21)()(===A B P A P AB P ， 此外，按题意有41)|(=A B P ，由全概率公式得 85412121)|()()|()()(=⋅+=+=A B P A P A B P A P B P ， 故所求的条件概率为54)()()|(==B P AB P B A P 65．以1A 表示“任取一台机床是车床”；2A 表示“任取一台机床是钻床”；3A 表示“任取一台机床是磨床”；4A 表示“任取一台机床是刨床”；B 表示“任取一台机床，它需要修理”．由题设知15912399)(1=+++=A P ，153)(2=A P ，152)(3=A P ，151)(4=A P ， k k A B P 711321)|(1=+++=，k A B P 72)|(2=，k A B P 73)|(3=， k A B P 71)|(4=，其中k 为比例常数．由Bayes 公式得 ∑==41111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P =2297115173152721537115971159=⨯+⨯+⨯+⨯⨯k k k k k 66．3.5‟67．设{=i A 第一次取出的3个球中有i 个新球})3,2,1,0(=i ，{=B 第二次取出的球全是新球}，则∑==30)|()()(i i i A B P A P B P =146.0)(3023*******=∑=--i i i i C C C C ， )()|()()|(333B P A B P A P B A P ==24.0146.0)(2312360339=C C C C68．设{=A 取出正品}，{=B 使用n 次均无故障}，已知10010)(=A P ，按题目要求应有70.0)|(≥B A P ，而)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +==n )9.0(9.011.011.0⨯+⨯⨯， 所以应是11)9.0(043.0,7.0)9.0(1.01.0++≥≥+n n ，由此得29≥n ． 69．设在1次试验中A 出现的概率为p ，则在4次独立试验中A 不出现的概率为4)1(p -，从而A 至少出现一次的概率为A P (至少出现一次)=1-4)1(p -=0.59即4)1(p -=0.41，所以p =0.270．设A =“随机抽取一个梨是熟的”．则取出4个梨相当于做了4次贝努里试验，且)(A P =548.0=，设B =“4个梨都是熟的”，则 4096.0625256)8.0()(444===C B P ， 即此批梨能作餐用的概率为4096.0。
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第一章 随机事件和概率
一、选择题
1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为
（A ）C B A ⋃⋃ （B ）C A B A ⋃ （C ） ABC （D ）)(C B A ⋃
2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =⋃不等价的是
（A ）B A ⊂ （B ）A ⊂B （C ）φ=B A （D ）φ=B A
3．设A 、B 是任意两个事件，A B ⊂，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ）
.A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤
.C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥
4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ）
.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立
.C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立
5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ）
.A p q + .B p q pq +-
.C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+-
6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ）
.A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+
.C ()()P A P AB - .D ()()()
P A P A P AB +-
7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A >
.C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A =
8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ）
.A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆
.C 事件A 、B 相互独立 .D A B ⊃
9．设A 、B 互不相容，()()0,0P A P B ≠≠，则下列结论肯定正确的是（ ）
.A A 与B 互不相容 .B ()0P B A >
.C ()()()P AB P A P B = .D ()()P A B P A -=
10．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()
P BC A =（ ） .A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.21
11．设A ，B 是两个随机事件，且0<P(A)<1，P(B)>0，)|()|(A B P A B P =，则必有
（A ）)|()|(B A P B A P = （B ）)|()|(B A P B A P ≠
（C ）)()()(B P A P AB P = （D ）)()()(B P A P AB P ≠
12．随机事件A , B ，满足2
1)()(==B P A P 和1)(=⋃B A P ，则有 （A ）Ω=⋃B A （B ）φ=AB （C ） 1)(=⋃B A P （D ）0)(=-B A P
13．设随机事件A 与B 互不相容，0)(>A P ,0)(>B P ，则下面结论一定成立的是
（A ）A ，B 为对立事件 （B ）A ,B 互不相容 （C ） A, B 不独立 （D ）A, B 独立
14．对于事件A 和B ，设B A ⊃，P(B)>0，则下列各式正确的是
（A ）)()|(B P A B P = （B ）)()|(A P B A P = （C ） )()(B P B A P =+ （D ）)()(A P B A P =+
15．设事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则
（A ）1)()()(-+≤B P A P C P （B ）1)()()(-+≥B P A P C P
（C ） )()(AB P C P = （D ）)()(B A P C P ⋃=
16．设A,B,C 是三个相互独立的随机事件，且0<P(C)<1。
则在下列给定的四对事件中不相互独立的是
（A ）B A +与C （B ）AC 与C （C ）B A -与C （D ）AB 与C
17．设A, B, C 三个事件两两独立，则A, B, C 相互独立的充要条件是
（A ）A 与BC 独立 （B ）AB 与A+C 独立 （C ）AB 与AC 独立 （D ）A+B 与A+C 独立
18．将一枚均匀的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”，B=“正面最多出现一次”，C=“反面最多出现一次”，则下面结论中不正确的是
（A ）A 与B 独立 （B ）B 与C 独立 （C ）A 与C 独立 （D ）C B ⋃与A 独立
19．进行一系列独立重复试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2 次之前已经失败3次的概率为
（A ）3)1(4p p - （B ）3225)1(p p C - （C ）3)1(p - （D ）32)1(4p p -
二、填空题
1．一袋中有50个乒乓球，其中20个红球，30个白球，今两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到红球的概率为__________
2.设A ，B 是任意两个随机事件，则
=++++)})()()({(B A B A B A B A P
3．已知A 、B 两事件满足条件()()P AB P AB =，且()P A p =，则()_______P B =
4．已知13()()(),()()0,()416P A P B P C P AB P BC P AC ===
===，则,,A B C 都不发生的概率为__________
5．随机事件A 、B 满足()0.4,()0.5,()()P A P B P A B P A B ===，则()
P AB =
6．设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件：φ=ABC ， 21)()()(<
==C P B P A P ，且已知16
9)(=⋃⋃C B A P ，则P(A)= 7.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P(A)=
8．设事件A 和B 中至少有一个发生的概率为
56，A 和B 中有且仅有一个发生的概率为23
，那么A 和B 同时发生的概率为_________
9．设随机事件A, B, C 满足41)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ，81)(=AC P ，则 A, B, C 三个事件中至少出现一个的概率为 。
10．若在区间 (0,1) 上随机地取两个数u, v ，则关于x 的一元二次方程022=+-u vx x 有实根的概率是 。
11．二阶行列式d
c b a 的元素可能为0或1，而0与1出现的概率均为21，则该行列式的值为正数的概率是 。
12．对同一目标接连进行3次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为7/8，则每次射
击命中目标的概率为。
参考答案
一、选择题
1．（A）2.（D）3．(B) 4．(B) 5．(A) 6．(C) 7．(D) 8．(C) 9．(D) 10．(B) 11．(C) 12．(C) 13．(C) 14．(C) 15．(B) 16．(B) 17．(A) 18．(B) 19．(D) 二、填空题
1．2/5 2.0 3．1-p 4．7/16 5．0.2 6．1/4 7.2/3 8．1/6 9．5/8 10．1/3 11．3/16 12．1/2。