约束最优化条件KTT ppt课件
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现代设计方法-优化设计5-约束优化课件PPT
end
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21
22
4. 可行方向法
可行方向法是用梯度去求解约束非线性最优化问题的一种有 代表性的直接解法，是求解大型约束优化问题的主要方法之 一。其收敛速度快，效果好，但程序比较复杂，计算困难且 工作量大。
数学基础：梯度法、方向导数、K-T条件 线性规划，约束一维搜索
适用条件：目标函数和约束函数一阶连续可微, 只有不等式约束。
约束梯度法 31
序列线性规划法
（4）可行方向法的迭代步骤
1）给定初始内点X(0)，收敛精度ε和约束允差δ，置
k=0；
2）确定点X(k)的起作用约束集合
Ik X (k) , u gu X (k) ,u 1,2,, m
➢ 当Ik为空集（表示约束都不起作用），且点X(k)在可
行域内时，如果 f X，(k)则令
现代设计方法
优化设计部分
黄正东，吴义忠
二0一三年二月
1
本章主要内容
➢ 优化设计概述 ➢ 优化设计的数学基础 ➢ 一维探索优化方法 ➢ 无约束优化方法 ➢ 约束问题优化方法 ➢ 优化设计若干问题
2
约束问题优化方法
➢ 优化设计概述 ➢ 优化设计的数学基础 ➢ 一维探索优化方法 ➢ 无约束优化方法 ➢ 约束问题优化方法 ➢ 优化设计若干问题
11
初始复合形法生成
1.随机测试找到一个可行点
2.随机生成其它点
3.计算可行点的中心点
4.中心点不可行时,不计最远点 重新计算中心
5.将不可行点向中心拉靠
6.初始复合1形2
(2) 算法 (反射、扩张、收缩、压缩）
Step 1： 反射
（1） 计算 （2） 计算
f ( X h ) max{ f ( X j ), j 1,2,..., k}
20
21
22
4. 可行方向法
可行方向法是用梯度去求解约束非线性最优化问题的一种有 代表性的直接解法，是求解大型约束优化问题的主要方法之 一。其收敛速度快，效果好，但程序比较复杂，计算困难且 工作量大。
数学基础：梯度法、方向导数、K-T条件 线性规划，约束一维搜索
适用条件：目标函数和约束函数一阶连续可微, 只有不等式约束。
约束梯度法 31
序列线性规划法
（4）可行方向法的迭代步骤
1）给定初始内点X(0)，收敛精度ε和约束允差δ，置
k=0；
2）确定点X(k)的起作用约束集合
Ik X (k) , u gu X (k) ,u 1,2,, m
➢ 当Ik为空集（表示约束都不起作用），且点X(k)在可
行域内时，如果 f X，(k)则令
现代设计方法
优化设计部分
黄正东，吴义忠
二0一三年二月
1
本章主要内容
➢ 优化设计概述 ➢ 优化设计的数学基础 ➢ 一维探索优化方法 ➢ 无约束优化方法 ➢ 约束问题优化方法 ➢ 优化设计若干问题
2
约束问题优化方法
➢ 优化设计概述 ➢ 优化设计的数学基础 ➢ 一维探索优化方法 ➢ 无约束优化方法 ➢ 约束问题优化方法 ➢ 优化设计若干问题
11
初始复合形法生成
1.随机测试找到一个可行点
2.随机生成其它点
3.计算可行点的中心点
4.中心点不可行时,不计最远点 重新计算中心
5.将不可行点向中心拉靠
6.初始复合1形2
(2) 算法 (反射、扩张、收缩、压缩）
Step 1： 反射
（1） 计算 （2） 计算
f ( X h ) max{ f ( X j ), j 1,2,..., k}
《约束优化问题》课件
借鉴物理退火过程的随机搜索 算法，通过概率接受劣解探索
最优解。
03
CHAPTER
常见约束优化问题
线性规划问题
总结词
线性规划问题是最常见的约束优化问题之一，它通过线性不等式或等式约束来 限制决策变量的取值范围，使得目标函数达到最优解。
详细描述
线性规划问题通常用于资源分配、生产计划、运输和分配等问题，其目标函数 和约束条件都是线性函数。求解线性规划问题的方法包括单纯形法、对偶理论 和分解算法等。
约束优化问题的可解释性与鲁棒性研究
总结词
为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释性 和鲁棒性，以提高模型的可靠性和稳定性。
详细描述
在许多领域中，模型的解释性和鲁棒性是非常重要的 。为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释 性和鲁棒性，例如通过建立模型的可解释性框架、设 计鲁棒性强的算法等，以提高模型的可靠性和稳定性 。
拉格朗日乘数法
总结词
一种求解约束优化问题的数学方法
详细描述
通过引入拉格朗日乘数，将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后利用无约束优化 方法求解。在每一步迭代中，根据当前点的拉格朗日函数值更新拉格朗日乘数和迭代点
，直到满足收敛条件。
拉格朗日乘数法
要点一
适用范围
适用于具有线性约束的优化问题。
要点二
执行。
时间限制
生产计划需要在规定的时间内完 成，因此时间限制也是一个重要 的约束条件。通过约束优化问题 ，可以找到在满足时间限制下的
最优生产计划。
质量限制
在生产过程中，质量是一个重要 的考量因素。通过约束优化问题 ，可以在保证质量的前提下，实
现生产计划的最优配置。
物流配送优化
时间限制
最优解。
03
CHAPTER
常见约束优化问题
线性规划问题
总结词
线性规划问题是最常见的约束优化问题之一，它通过线性不等式或等式约束来 限制决策变量的取值范围，使得目标函数达到最优解。
详细描述
线性规划问题通常用于资源分配、生产计划、运输和分配等问题，其目标函数 和约束条件都是线性函数。求解线性规划问题的方法包括单纯形法、对偶理论 和分解算法等。
约束优化问题的可解释性与鲁棒性研究
总结词
为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释性 和鲁棒性，以提高模型的可靠性和稳定性。
详细描述
在许多领域中，模型的解释性和鲁棒性是非常重要的 。为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释 性和鲁棒性，例如通过建立模型的可解释性框架、设 计鲁棒性强的算法等，以提高模型的可靠性和稳定性 。
拉格朗日乘数法
总结词
一种求解约束优化问题的数学方法
详细描述
通过引入拉格朗日乘数，将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后利用无约束优化 方法求解。在每一步迭代中，根据当前点的拉格朗日函数值更新拉格朗日乘数和迭代点
，直到满足收敛条件。
拉格朗日乘数法
要点一
适用范围
适用于具有线性约束的优化问题。
要点二
执行。
时间限制
生产计划需要在规定的时间内完 成，因此时间限制也是一个重要 的约束条件。通过约束优化问题 ，可以找到在满足时间限制下的
最优生产计划。
质量限制
在生产过程中，质量是一个重要 的考量因素。通过约束优化问题 ，可以在保证质量的前提下，实
现生产计划的最优配置。
物流配送优化
时间限制
第5章约束优化方法已排ppt课件
2
x2
x0
f (x0 )
g3(x)=0
xk x k+1 dk
g1(x)=0
0
g2(x)=0 x1
2 新点在可行域外的情况
5
x2
x0
f (x0 )
g3(x)=0
xk x k+1
g1(x)=0
0
g2(x)=0
x1
3 沿线性约束面的搜索
6
x2
x0
f ( x0 )
xk
f1( x)
xk+1 x
g1(x)=0
求一个以搜索方向d为设计变量的约束优化问题
m in[f(xk)]Td
s.t. [ g j ( x k ) ] T d k 0 ( j 1 , 2 ,, J ) [ f(xk)]Tdk0
d 1 各函数均为设计变量d的线性函数，因此
该式为一个（线性）规划问题。 11
（2）梯度投影法
当xk点目标函数的负梯度方向不满足可行条件时，可
f(x0) 2x x1 1 2 x2 x2 10 4 121
g1
(
x
0
)
1
0
18
(2)寻找最优方向，即解一个以可行方向为设计变量
d[d1 d2]T的规划问题：
min(x) [f (x0)]Td 11d1 2d2
s.t. [g1(x0)]Td d10 [f (x0)]Td 11d1 2d2 0
时，才能求得
28
例5-2 用内点法求
m inf(x )x 1 2x2 2 s.t.g (x ) 1 x 1 0的约束最优解。
解: 用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函数:
( x ,r ) x 1 2 x 2 2 r k l n ( x 1 1 )
x2
x0
f (x0 )
g3(x)=0
xk x k+1 dk
g1(x)=0
0
g2(x)=0 x1
2 新点在可行域外的情况
5
x2
x0
f (x0 )
g3(x)=0
xk x k+1
g1(x)=0
0
g2(x)=0
x1
3 沿线性约束面的搜索
6
x2
x0
f ( x0 )
xk
f1( x)
xk+1 x
g1(x)=0
求一个以搜索方向d为设计变量的约束优化问题
m in[f(xk)]Td
s.t. [ g j ( x k ) ] T d k 0 ( j 1 , 2 ,, J ) [ f(xk)]Tdk0
d 1 各函数均为设计变量d的线性函数，因此
该式为一个（线性）规划问题。 11
（2）梯度投影法
当xk点目标函数的负梯度方向不满足可行条件时，可
f(x0) 2x x1 1 2 x2 x2 10 4 121
g1
(
x
0
)
1
0
18
(2)寻找最优方向，即解一个以可行方向为设计变量
d[d1 d2]T的规划问题：
min(x) [f (x0)]Td 11d1 2d2
s.t. [g1(x0)]Td d10 [f (x0)]Td 11d1 2d2 0
时，才能求得
28
例5-2 用内点法求
m inf(x )x 1 2x2 2 s.t.g (x ) 1 x 1 0的约束最优解。
解: 用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函数:
( x ,r ) x 1 2 x 2 2 r k l n ( x 1 1 )
最优化方法4-1第四章 约束最优化方法-KKT条件
（I） x*为问题的局部最优解且 I*={i| c i (x*)=0, 1≤i≤m };
(II) f(x)和 c i (x)（i∈I*）在 x*点可微；
（III）c i (x)（i∈I\ I*）在 x*点连续
则 S={p∈Rn | ▽f(x*)Tp<0}
与 G={ p∈Rn |▽c i(x* )Tp>0, i∈I*} 的交是空集，
（iii）▽ci(x*)(i=1,2,…,l)线性无关；
则存在一组不全为零的实数 1*… l*使得
l
▽f(x*)- i *▽c i(x*)=0 1
定义 n+l 元函数：
l
L(x, )=f(x)- Tc(x)=f(x)- ici(x) i1 为 lagrange 函数，
1
1 2
x1 x2 1 0
的 KT 点为 x* (0, 3)T,相应乘子为* (1 ,0)T。
6
例 2：验证(2,1)T 为下面约束优化问题的 K-T 点.
min
f ( x1 , x2 ) ( x1 3)2 ( x2 2)2
恰好给出等式约束问题的一阶必要条件
及 c i(x*)=0，i=1, …,l
点（X*, *）称为 lagrange 函数 L（x, ）的驻点。
几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：
-▽f(x*)
-▽f(x ) x
▽c(x )
c(x)
▽c(x*)
这里 x* 是局部最优解，
▽f(x*)与▽c(x*) 共线，
称 为 lagrange 乘子向量。
lagrange 函数的梯度为
▽L(x, )=(▽xL,▽ L)T
(II) f(x)和 c i (x)（i∈I*）在 x*点可微；
（III）c i (x)（i∈I\ I*）在 x*点连续
则 S={p∈Rn | ▽f(x*)Tp<0}
与 G={ p∈Rn |▽c i(x* )Tp>0, i∈I*} 的交是空集，
（iii）▽ci(x*)(i=1,2,…,l)线性无关；
则存在一组不全为零的实数 1*… l*使得
l
▽f(x*)- i *▽c i(x*)=0 1
定义 n+l 元函数：
l
L(x, )=f(x)- Tc(x)=f(x)- ici(x) i1 为 lagrange 函数，
1
1 2
x1 x2 1 0
的 KT 点为 x* (0, 3)T,相应乘子为* (1 ,0)T。
6
例 2：验证(2,1)T 为下面约束优化问题的 K-T 点.
min
f ( x1 , x2 ) ( x1 3)2 ( x2 2)2
恰好给出等式约束问题的一阶必要条件
及 c i(x*)=0，i=1, …,l
点（X*, *）称为 lagrange 函数 L（x, ）的驻点。
几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：
-▽f(x*)
-▽f(x ) x
▽c(x )
c(x)
▽c(x*)
这里 x* 是局部最优解，
▽f(x*)与▽c(x*) 共线，
称 为 lagrange 乘子向量。
lagrange 函数的梯度为
▽L(x, )=(▽xL,▽ L)T
约束最优化条件KTT(课堂PPT)
f(x*)T(x-x*)0, x D
.
3
考虑一般约束问题：
minf(x) s.t. gi(x)0,iI{1,2,,m 1}
hj(x)0,jE{m 11 ,,m}
(9.1)
可D 行 { x :g i( x 域 ) 0 ,i I ; ： h j( x ) 0 ,j E }
这里我们假设 f , g函 i ,hj数 连续可微
i I
j E
x L ( x ,,) f( x ) . i g i( x ) j h j( x )5
i I
j E
一阶必要条件
定 理 9.2.1 设 x * D 是 问 题 (9 .1)的 一 个 局 部 最 优 解 ,如 果
SFD (x*,D ) LFD (x*,D )
思考
若函数,可 无导 约束问题的定 极是 值驻 ,点点 一 请问约束问题优 的解 局一 部 K 定 最 K点 是 T 吗？？
不一定啦
.
7
例 9.2. 已知约束问题
x2
min f ( x) x2
g1(x) x(0, 2)
s.t. g( x) x ( x )
●
g2(x)
g ( x) x
令 x k x k d k ,由9 .1 定 .2 知 ,{ x k } 义 D .
为理解序列,可 我行 们方 来向 看看它 释的 ：.11 Nhomakorabeaxk
D
●
dk
●
d
x
(a)点x在D内部
D
xk ●
dk
d
x ●
(b)点x在D的边界上
序列可行方向实际 序列可行方向包含可行
上就是可行方向
方向和边界的切线方向
.
3
考虑一般约束问题：
minf(x) s.t. gi(x)0,iI{1,2,,m 1}
hj(x)0,jE{m 11 ,,m}
(9.1)
可D 行 { x :g i( x 域 ) 0 ,i I ; ： h j( x ) 0 ,j E }
这里我们假设 f , g函 i ,hj数 连续可微
i I
j E
x L ( x ,,) f( x ) . i g i( x ) j h j( x )5
i I
j E
一阶必要条件
定 理 9.2.1 设 x * D 是 问 题 (9 .1)的 一 个 局 部 最 优 解 ,如 果
SFD (x*,D ) LFD (x*,D )
思考
若函数,可 无导 约束问题的定 极是 值驻 ,点点 一 请问约束问题优 的解 局一 部 K 定 最 K点 是 T 吗？？
不一定啦
.
7
例 9.2. 已知约束问题
x2
min f ( x) x2
g1(x) x(0, 2)
s.t. g( x) x ( x )
●
g2(x)
g ( x) x
令 x k x k d k ,由9 .1 定 .2 知 ,{ x k } 义 D .
为理解序列,可 我行 们方 来向 看看它 释的 ：.11 Nhomakorabeaxk
D
●
dk
●
d
x
(a)点x在D内部
D
xk ●
dk
d
x ●
(b)点x在D的边界上
序列可行方向实际 序列可行方向包含可行
上就是可行方向
方向和边界的切线方向
《约束优化方法》课件
牛顿法
01 总结词
基本原理、优缺点
02
基本原理
牛顿法基于泰勒级数展开，通 过迭代更新参数，构造出目标 函数的二次近似模型，并利用 该模型求解最优解。在约束优 化问题中，牛顿法通常用于处 理等式约束或非线性不等式约 束。
03
优点
04
收敛速度快，通常只需要较少的 迭代次数就能找到最优解。
缺点
对初值选择敏感，如果初值选择 不当，可能无法收敛到最优解； 同时计算量较大，需要存储和计 算Hessian矩阵。
物流配送问题旨在在满足客户需求和运输能力等约束 条件下，合理安排货物的配送路线和运输方式，以最 小化运输成本或最大化运输效率。
详细描述
物流配送问题需要考虑客户分布、运输网络、运输能 力、时间限制等多个约束条件，通过优化配送路线和 运输方式，提高物流效率和客户满意度。
2023
REPORTING
THANKS
非线性规划的解法包括梯度法、牛顿 法、共轭梯度法等，这些方法可以用 于解决函数优化、机器学习、控制系 统等领域的问题。
整数规划
整数规划是约束优化方法中的一种特殊类型，它要求所有决策变量均为整数。
整数规划的解法包括分支定界法、割平面法等，这些方法可以用于解决车辆路径问题、背包问题、布局问题等具有整数约束 的问题。
REPORTING
线性规划
线性规划是最早的约束优化方法之一 ，它通过寻找一组变量的最优解来满 足一系列线性不等式约束和等式约束 ，并最大化或最小化某个线性目标函 数。
线性规划的解法包括单纯形法、分解 法、网络流算法等，这些方法可以用 于解决生产计划、资源分配、运输问 题等实际应用。
非线性规划
非线性规划是约束优化方法的一个重 要分支，它研究的是目标函数和约束 条件均为非线性的优化问题。
第四章 约束最优化方法---最优化方法课件
定理4.1.6 设x*为上述问题的局部最优解且 f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微,则存在非零向量
l*=(l0*,l1*,···,lm*)使得
满足上面的条件的点称为Fritz-John点. 上面的条件仅仅是必要条件.
Fritz-John一阶必要条件
证明概要 设x*处的有效集为
I对显定*=理于然I(结无有x*效论l)=i*可约{=i|0c束以.i(x描,由*)述=于0为c,ii=(存x1),在>20,·l,·若0·及,m定l}.理i(i∈的I结*)论,使成得立,
对于i∈I \ I*,只要令li*=0,即可得到Fritz-John
条件.
例题 (Fritz-John条件)
例4.1.1 min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0
c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0
解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
条件下就是原来约束问题的最优解.
点(x*,l*)称为Lagrange函数L(x,l)的驻点.
等式约束问题的二阶充分条件
定理4.1.2 在上面的等式约束问题中,若 (i)f(x)与ci(x)(1≤i≤l)是二阶连续可微函数
(ii)存在x*∈Rn与l*∈Rl使得Lagrange函数的
梯度为零,即 (iii)对于任意非零向量s∈Rn,且
Gordan引理
引理4.1.4 设a1,···,ar是n维向量,则不存在向量 d∈Rn使得
aiTd<0(i=1,···,r) 成立的充要条件是,存在不全为零的非负实数
组l1,···,lr,使
Fritz-John一阶必要条件
l*=(l0*,l1*,···,lm*)使得
满足上面的条件的点称为Fritz-John点. 上面的条件仅仅是必要条件.
Fritz-John一阶必要条件
证明概要 设x*处的有效集为
I对显定*=理于然I(结无有x*效论l)=i*可约{=i|0c束以.i(x描,由*)述=于0为c,ii=(存x1),在>20,·l,·若0·及,m定l}.理i(i∈的I结*)论,使成得立,
对于i∈I \ I*,只要令li*=0,即可得到Fritz-John
条件.
例题 (Fritz-John条件)
例4.1.1 min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0
c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0
解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
条件下就是原来约束问题的最优解.
点(x*,l*)称为Lagrange函数L(x,l)的驻点.
等式约束问题的二阶充分条件
定理4.1.2 在上面的等式约束问题中,若 (i)f(x)与ci(x)(1≤i≤l)是二阶连续可微函数
(ii)存在x*∈Rn与l*∈Rl使得Lagrange函数的
梯度为零,即 (iii)对于任意非零向量s∈Rn,且
Gordan引理
引理4.1.4 设a1,···,ar是n维向量,则不存在向量 d∈Rn使得
aiTd<0(i=1,···,r) 成立的充要条件是,存在不全为零的非负实数
组l1,···,lr,使
Fritz-John一阶必要条件
第四章约束问题的最优化方法PPT课件
s.t. gu(x) 0,u1,2,...,p
2、等式约束优化问题（EP型）
minF(x)
xD Rn
s.t. hv(x) 0,v 1,2,...,q
3、一般约束优化问题（GP型）
min F(x)
x D Rn
s.t. gu( x) 0, u 1,2,..., p
1
hv ( x) 0, v 1,2,...,q
惩罚项：当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时，在迭 代过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。
加权因子（即惩罚因子）： r1 , r2
无约束优化问题：m.in (x,r1,r2)
Φ函数的极小点序列 x (k)* ( r1 (k) , r2 (k) ) k= 0,1,2…
其收敛必须满足：
4. 求解过程分析：
18
§4.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想：
外点法将新目标函数
Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 外，
随着惩罚因子 r(k) 的不断递增，
生成一系列新目标函数
Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步
迭代，产生的极值点 xk*(r(k))
4
序列从可行域外部趋向原目标
②
(x(k1) *((rx((kk 1 1)))*() r (k(1)x)k* )(r(k)))2
若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*；
若有一个准则不满足，则令 x ( 0 ) x k * ( r ( k ) ) r ( k , 1 ) c r ( k ) , k k 1
5
m
p
新目标函数： (x,r1,r2)f(x)r1 u1G [gu(x) ]r2 v1H[hv(x)]
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0, j
,
*) E
0
gi
(x*
)
0, i*
0,i*gi (x*) 0,i I
这里,
互补松弛条件
(9.7)
x L(x*, *,*) f (x*)
i* gi (x* )
* j
hj (x*)
iI
jE
(9.7)称为问题(9.1)的一阶必要条件— K - K - T条件
线性组合表示
(x) ), g2
g2 (x), ( x )的正
方程组无解,见图, 故x不是PKPT课K件T点
8
约束优化问题的局部最优解不一定是KKT点！
？？？ 约束品性对研究约束问题的最优性条件非常重要
约束品性（约束规格）
SFD(x*,D) LFD(x*,D)
最优解 x*
KKT点 x*
PPT课件
f (x*)T (x-x*) 0, x D
PPT课件
3
考虑一般约束问题：
min f (x)
s.t. gi (x) 0, i I {1, 2,, m1} h j (x) 0, j E {m1 1,, m}
(9.1)
可行域：D {x : gi (x) 0, i I; hj (x) 0, j E}
证明：因为x*是局部最优解,由定义, 必存在邻域N (x* )，
使得 定理表明f最(x优) 解f处(x的*),任何序x列可N (行x*方) 向不可能是目 另一标方函面数,在d该点SF处D的(x下*, D降),方存向在.可行点序列{xk }满足
xk x* kdk x* 其中k 0, dk d. 所以,当k充分大时, xk N (x*).
0
2
1
f
(x
)
1
,
g1(x )
0
,
g2
(x
)
0
是
显然,g1(x ),g2 (x )线性相关.
0 1
1
2 0
2
1 0
令
f (x) g1(x), f
0 f (x)不能用g1(x
gi
(
x)
jhj (x) 5
iI
jE
一阶必要条件
定理9.2.1 设x* D是问题(9.1)的一个局部最优解,如果
SFD(x*,D) LFD(x*,D)
(9.6)
则存在Lagrange乘子向量:* Rm1 ,* Rm-m1
使得
h jx(Lx(*x) *,
*
PPT课件
1
第十三讲 约束优化问题的最优性条 件
• 凸规划问题的最优性条件
• 一般约束优化问题的最优性条件
• 约束品性
PPT课件
2
凸规划—求凸函数在凸集上的最小值问题
定理1：凸规划问题的局部最优解必定是其整体最优解
定理2：已知凸规划min f (x),x D Rn , 其中f , D是凸的且 f 连续可微. 则x* D是凸规划问题的最优解的充分必要条件是
9
基本概念
定义9.1.1 设x D, d Rn.若存在数 0, 使得
x d D, (0, ],
则称d是D在x处的一个可行方向. 记x处所有可行方向的集合为FD(x, D)
若记x处函数f 的所有下降方向
集合为GD( x)
容易看出, 如果x*是(9.1)的最优
D
解, 则在该点不存在既下降又
(b) 点x在D的边界上
序列可行方向实际 序列可行方向包含可行
上就是可行方向
方向和边界的切线方向
显然, FD( x, D) SFD(x, D) (只需取dk d )
可行方向必是序列可行PPT方课件向, 但反之不然.
12
定理9.1.1 设x* D是问题(9.1)的一个局部最优解, 则
f (x* )T d 0, d SFD(x*, D) 必要条件
7
例 9.2. 已知约束问题
x2
min f (x) x2
g1(x) x(0, 2)
s.t. g(x) x ( x )
● g2 (x)
g( x) x
f (x)
x1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
请问x (0, 2)T 是KKT点吗,
o
是最优解吗？ 解：
x是最优解吗？
k
k
0
则称d是D在x处的一个序列可行方向. D在x处的所有序
列可行方向的集合记作SFD(x, D).
令 xk x kdk ,由定义9.1.2知,{xk } D.
为理解序列可行方向, 我们来看看它的几何解释：
PPT课件
11
xk
D
●
dk
●
d
x
(a) 点x在D内部
D
xk
●
dk
d
x ●
故 f (x*) f (xk ) f (x* kdk )
f (x*) kf (x*)T dk o(|| kdk ||) 在上式两端除以k , 然后令k 0, 取极限即可得
满足(9.7)的点x*称为问题P(P9T.课1件）的一个KKT点.
6
KKT系统(9.7)除能用于最优解的判别, 而且能用来计算KKT点—可能的最优解.
约束问题的KKT点 类似于无约束问题的驻点.
思考
若函数可导, 无约束问题的极值点一定是驻点, 请问约束问题的局部最优解一定是KKT点吗？？
不一定啦
PPT课件
可行的方向, 即
GD(x* ) FD( x*, D)
该条件称为几何最优PPT性课件条件
d
●
x ● x d
可行
●
不可行
10
定义9.1.2 设x D, d Rn. 若存在向量序列{dk }和正数序
列{k },使得
x k dk D, k
且
lim
k
d
k
d
和
lim
这里我们假设函数f , gi , hj连续可微
显然可行域D为闭集.
PPT课件
4
一般约束问题的最优性条件
1、一阶必要条件
定义函数 L : Rnm R :
L(x,, ) f (x) T gI (x) T hE (x)
f (x) igi (x) jhj (x)
iI
jE
该函数称为问题(.) 的Lagrange函数, 其中 Rm ,
Rm-m称为Lgrange乘子.
xL(x,, ) f (x) igi (x) jhj (x)
iI
jE
x
L(
x,
,
)
f
(
x)
PPT课件i
,
*) E
0
gi
(x*
)
0, i*
0,i*gi (x*) 0,i I
这里,
互补松弛条件
(9.7)
x L(x*, *,*) f (x*)
i* gi (x* )
* j
hj (x*)
iI
jE
(9.7)称为问题(9.1)的一阶必要条件— K - K - T条件
线性组合表示
(x) ), g2
g2 (x), ( x )的正
方程组无解,见图, 故x不是PKPT课K件T点
8
约束优化问题的局部最优解不一定是KKT点！
？？？ 约束品性对研究约束问题的最优性条件非常重要
约束品性（约束规格）
SFD(x*,D) LFD(x*,D)
最优解 x*
KKT点 x*
PPT课件
f (x*)T (x-x*) 0, x D
PPT课件
3
考虑一般约束问题：
min f (x)
s.t. gi (x) 0, i I {1, 2,, m1} h j (x) 0, j E {m1 1,, m}
(9.1)
可行域：D {x : gi (x) 0, i I; hj (x) 0, j E}
证明：因为x*是局部最优解,由定义, 必存在邻域N (x* )，
使得 定理表明f最(x优) 解f处(x的*),任何序x列可N (行x*方) 向不可能是目 另一标方函面数,在d该点SF处D的(x下*, D降),方存向在.可行点序列{xk }满足
xk x* kdk x* 其中k 0, dk d. 所以,当k充分大时, xk N (x*).
0
2
1
f
(x
)
1
,
g1(x )
0
,
g2
(x
)
0
是
显然,g1(x ),g2 (x )线性相关.
0 1
1
2 0
2
1 0
令
f (x) g1(x), f
0 f (x)不能用g1(x
gi
(
x)
jhj (x) 5
iI
jE
一阶必要条件
定理9.2.1 设x* D是问题(9.1)的一个局部最优解,如果
SFD(x*,D) LFD(x*,D)
(9.6)
则存在Lagrange乘子向量:* Rm1 ,* Rm-m1
使得
h jx(Lx(*x) *,
*
PPT课件
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第十三讲 约束优化问题的最优性条 件
• 凸规划问题的最优性条件
• 一般约束优化问题的最优性条件
• 约束品性
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凸规划—求凸函数在凸集上的最小值问题
定理1：凸规划问题的局部最优解必定是其整体最优解
定理2：已知凸规划min f (x),x D Rn , 其中f , D是凸的且 f 连续可微. 则x* D是凸规划问题的最优解的充分必要条件是
9
基本概念
定义9.1.1 设x D, d Rn.若存在数 0, 使得
x d D, (0, ],
则称d是D在x处的一个可行方向. 记x处所有可行方向的集合为FD(x, D)
若记x处函数f 的所有下降方向
集合为GD( x)
容易看出, 如果x*是(9.1)的最优
D
解, 则在该点不存在既下降又
(b) 点x在D的边界上
序列可行方向实际 序列可行方向包含可行
上就是可行方向
方向和边界的切线方向
显然, FD( x, D) SFD(x, D) (只需取dk d )
可行方向必是序列可行PPT方课件向, 但反之不然.
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定理9.1.1 设x* D是问题(9.1)的一个局部最优解, 则
f (x* )T d 0, d SFD(x*, D) 必要条件
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例 9.2. 已知约束问题
x2
min f (x) x2
g1(x) x(0, 2)
s.t. g(x) x ( x )
● g2 (x)
g( x) x
f (x)
x1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
请问x (0, 2)T 是KKT点吗,
o
是最优解吗？ 解：
x是最优解吗？
k
k
0
则称d是D在x处的一个序列可行方向. D在x处的所有序
列可行方向的集合记作SFD(x, D).
令 xk x kdk ,由定义9.1.2知,{xk } D.
为理解序列可行方向, 我们来看看它的几何解释：
PPT课件
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xk
D
●
dk
●
d
x
(a) 点x在D内部
D
xk
●
dk
d
x ●
故 f (x*) f (xk ) f (x* kdk )
f (x*) kf (x*)T dk o(|| kdk ||) 在上式两端除以k , 然后令k 0, 取极限即可得
满足(9.7)的点x*称为问题P(P9T.课1件）的一个KKT点.
6
KKT系统(9.7)除能用于最优解的判别, 而且能用来计算KKT点—可能的最优解.
约束问题的KKT点 类似于无约束问题的驻点.
思考
若函数可导, 无约束问题的极值点一定是驻点, 请问约束问题的局部最优解一定是KKT点吗？？
不一定啦
PPT课件
可行的方向, 即
GD(x* ) FD( x*, D)
该条件称为几何最优PPT性课件条件
d
●
x ● x d
可行
●
不可行
10
定义9.1.2 设x D, d Rn. 若存在向量序列{dk }和正数序
列{k },使得
x k dk D, k
且
lim
k
d
k
d
和
lim
这里我们假设函数f , gi , hj连续可微
显然可行域D为闭集.
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一般约束问题的最优性条件
1、一阶必要条件
定义函数 L : Rnm R :
L(x,, ) f (x) T gI (x) T hE (x)
f (x) igi (x) jhj (x)
iI
jE
该函数称为问题(.) 的Lagrange函数, 其中 Rm ,
Rm-m称为Lgrange乘子.
xL(x,, ) f (x) igi (x) jhj (x)
iI
jE
x
L(
x,
,
)
f
(
x)
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