【人教A版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换教学课件 新人教A版必修4
(3)由于
tanα2＝1＋sincoαs
及 α
tanα2＝1－sincoαs
α不含被开方数，且
不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注
意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用 sin2α2
＝1－c2os
α，cos2α2＝1＋c2os
α .
半角公式及其应用
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结束语
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒 等变换教学课件 新人教A版必修4
设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值． 思路点拨：由 θ 范围求2θ范围，由 cos2θ的值求 sin2θ，再利用 半角公式及其变形求值．
解：(1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π. 又 cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2.
(1)先化简所求的三角函数式； (2)从角和三角函数名称两方面来寻找已知条件 和所求式子之间的联系；
(3)明确关系，代入求值．
【互动探究】
若本例条件不变，求 tan2θ的值． 解：方法一：由例题解题过程可知，
sin2θ＝ 1－a2，
θ
故 tan2θ＝sin2θ＝
1－a2 a.
cos2
方法二：由 cos2θ＝a，知 cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1，
(2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 的三角恒等变换教学课件 新人教A 同学们，下课休息十分钟修。4现在是休息时间
人教A版数学必修课件：简单的三角恒等变换
(2)已知 2sin π4＋α＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋12cos 2β＝0.
[解析]
(1)cos12α＋tan
2α＝cos12α＋csoins
2α 2α
＝scions2αα＋－csoins 2αα2＝scions
α＋cos α－sin
αα＝t1a－n tαa＋n α1＝2
半角公式与倍角公式的关系及应注意的问题 (1)半角公式与倍角公式是相对而言的，即 2α 是 α 的二倍角，α 是 2α 的半角． (2)由于在新课标中不要求记忆半角公式，故在三角函数问题中用到半角公式时， 通常借助于倍角公式推导出再应用，亦可直接利用半角公式求解． (3)在利用半角公式解题时，注意判断角的范围，以免产生增根．
1－cos 2α
1＋cos 2α
2．降幂公式：sin2α＝
2
；cos2α＝
2
.
[双基自测] 1．已知 cos α＝35，且 0<α<π，则 sin α2＝________.
解析：因为 0<α<π，所以 0<α2<π2，sin α2＝
答案：
5 5
1－cos 2
α＝
1－2 35＝
5 5.
2．已知 cos 2θ＝275，则 cos θ＝________. 解析：因为 cos 2θ＝2cos2θ－1＝275，所以 cos2θ＝1265，cos θ＝±45.
1．已知 α 为钝角，β 为锐角，且 sin α＝45，sin β＝1123，求 cos α－2 β的值． 解析：因为 α 为钝角，β 为锐角，sin α＝45，sin β＝1123，
所以 cos α＝－35，cos β＝153，所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×153＋
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课件新人教A版必修4 (1)
)
解析:∵f(x)=
1
1+cos 2������ + 2
π 2
= − sin 2x,x∈R,
2 2 1
1
1
∴f(-x)=2 − 2sin 2(-x)=2 + 2sin 2x. ∴f - 4 = 2 + 2sin 2 =1,
f
π 4 π 1 1 π
1
1
= − sin
2 2 π π 4
1
1
π 2
=0, ≠-f
=
2sin ������ cos ������ +2si n 2 ������ 2sin ������ cos ������ +2co s 2 ������
2cos ������ (sin ������ +cos ������ )
=tan θ.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
π 4
∴f - 4 ≠f
,f -
π 4
.
∴f(x)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .
答案:D
2.辅助角公式
asin x+bcos x= ������2 + ������ 2 sin(x+φ) 其中 sin������ =
������ ������ 2 +������
,cos������ = 2
������ ������ 2 +������
cos������ =2sin
5π 6
��x2
π
≤2kπ+ ,k∈ Z,得 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈ Z.又 x∈[-π,0],∴x∈ ,0 .
高一数学复习知识点专题讲义课件35--- 简单的三角恒等变换
于是 = 3． = 4
于是
2 2 + 2 2 = 25
所以2 =25.
3
5
4
5
取A＝５，则 = , = ．
由 = 5 +
可知，所求周期为2，最大值为5，最小值为－5
2021/12/8
例10
如图5.5-2，已知OPQ是半径为１，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点，
DA
在Rt△OAD中,
tan 60 3
OA
3
3
3
DA
BC
sin
3
3
3
3
AB OB OA cos
sin
3
设矩形ABCD的面积为S,则
OA
3
S AB • BC cos sin sin
3
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3 2
sin cos
3
你能说说①这一步变
3
）①
2
+ ）=2sin
3
形的理由吗？
+
3
因此，所求周期为2，最大值为２，最小值为－２．
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（２）设 = 3 + 4 = + ,
则3 + 4= +
,
2
2
所以 2 =
②
1−
.
2 1+
将①②两个等式的左右两边分别相除，得2 =
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例 7 的结果还可以表示为
1－cos α
α ±
2
sin ＝__________________，
2019-2020学年高中数学高一升高二复习讲义 第13讲 简单的三角恒等变换 新人教A版.doc
2019-2020学年高中数学高一升高二复习讲义 第13讲 简单的三角恒等变换 新人教A 版一、复习旧知1、知识点 1、升降幂公式2、同角正余弦化积公式 2、作业评讲 二、新课讲解重点：掌握利用三角恒等变换处理三角式化简，求值与证明等问题。
难点：确定三角变换的方向及三角公式的合理运用.考点：掌握利用三角恒等变换处理三角式化简，求值与证明等问题。
确定三角变换的方向及三角公式的合理运用.通过审题分析已知条件和待求结论之间角的差异，建立联系，使问题获解。
易混点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的差异，建立联系，使问题获解。
分类教学知 识 梳理 1． 升降幂公式:1cos α+=22cos 2α;1cos α-=22sin2α2． 同角正余弦化积公式sin cos )a x b x x φ+=+，其中sin φ=；cos φ重 难 点 突 破（1）三角变换的基本思路是“变角、变名、变式” 问题1: （07江苏）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ=_____． 点拨：已知条件中的角是,αβαβ+-，待求式中的角是,αβ，故只需将条件展开，再由同角关系式来处理。
由 51sin sin cos cos )cos(=-=+βαβαβα53sin sin cos cos )cos(=+=-βαβαβα求出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51sin sin 52cos cos βαβα 21cos cos sin sin tan tan ==∴βαβαβα(2) 处理三角式的化简、求值和证明问题的基本原则是“见平方就降次，见切割就化弦，充分利用同角关系式，关注符号定象限，象限定符号的特征”。
问题2：已知5tan cot 2αα+=，ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．求cos 2α和πsin(2)4α+的值． 点拨：本题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。
人教A版高中数学必修五人教简单的三角恒等变换教案(1)
§3.2 简单的三角恒等变换（二）学习目标：⒈了解三角恒等变换在数学中的一些应用．⒉体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学重点：三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学难点：形如sin cos y a x b x =+的函数的变换．教学方法：讲练结合．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：上节课，我们通过两个具体的实例，了解了三角恒等变换的特点和变换方法．本节课我们通过两个具体的例子来了解三角恒等变换在数学中的应用． （Ⅱ）讲授例题：例3求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值以及它的单调递增区间．分析：这个函数我们并没有专门进行过研究，但是我们可以通过三角恒等变换先把函数式化简，然后再对它的性质进行研究．解：略．师：这个例子先通过三角恒等变换化简函数表达式，然后再讨论有关性质的问题．例4如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大，可分二步进行：⑴找出S 与α之间的函数关系；⑵有的处的函数关系，求出S 的最大值．解：略．师：由例3、例4可以看到，通过三角变换，我们把形如sin cos y a x b x=+转化为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归的思想．（Ⅲ）课后练习：课本155P 练习 ⒋ （Ⅳ）课时小结:通过三角恒等变换将形如sin cos y a x b x =+的函数转换为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，这是求三角函数式最值及周期的常用方法．（Ⅴ）课后作业：课本156P 习题3.2 A 组 ⒌ B 组 ⒍ 板书设计：教学后记:。
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数名师授课课件(第5课时简单的三角恒等变换)
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x.
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x ＝4sin222xscinosx2c2xo－s xsin22x
23
＝2ssiinn2x2x
2α＝右边，
∴原式成立．
21
三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它 们之间的差异，简言之，即化异求同； 4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； 5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直 到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
＝cos x2x＝
2cos22x x
x＝1＋sincoxs
x＝右边．
sin2 2sin2cos2
所以原等式成立．
24
恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例3】 已知函数f(x)＝ 3cos2x－π3－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12. [思路点拨] 化为fx＝Asinωx＋φ＋b → 由T＝|2ωπ|求周期 →
∴sin4θ＝－
1－2cos2θ＝－ 1－2 a.]
(2)[解] 原式＝
2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsαα22－＋cos2α2s2inα2.
12
∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π，∴cosα2＜0，sinα2＞0，
∴原式＝－si2nα2si＋nα2c＋oscα2o2sα2＋
人教版必修四 简单三角恒等变换专题讲义
人教版必修四 简单三角恒等变换专题讲义一、引言（一）本节的地位：三角函数恒等变换是高中教学的重要知识之一，也是历年高考必考查的内容，体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求．（二）考纲要求：通过本节的学习要掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等证明．重点是应用公式进行三角函数式的化简、求值和恒等证明．（三）考情分析：一般考查对公式理解与熟练运用，以及考查运算能力、逻辑推理能力，在历年的高考中，常常要考查，考试类型有应用公式化简求值、恒等变形、与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查．二、考点梳理1．两角和与两角差的正弦公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； 余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；正切公式：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=．2．二倍角的正弦公式：sin 22sin cos ααα=； 二倍角的余弦公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；二倍角的正切公式：22tan tan 21tan ααα=-． 3．降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=．4．解题时既要会正用这些公式，也要会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．三、典型问题选讲（一）化简（求值）问题例1 求下列各式的值： ⑴︒︒︒80cos 40cos 20cos ；⑵︒⋅︒-︒+︒70tan 50tan 350tan 70tan ； ⑶︒+︒10tan 31(50sin ）.分析：本题考查三角公式的应用，会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．解析：⑴[法一]原式=8120sin 8160sin 80cos 40cos 20cos 20sin 220sin 2133=︒︒=︒︒︒⋅︒⋅︒．2[法二]原式=8180sin 2160sin 40sin 280sin 20sin 240sin =︒︒⋅︒︒⋅︒︒．⑵原式=tan(7050)(1tan 70tan 50)50tan 70︒+︒-︒⋅︒︒⋅︒70tan 50=︒︒-370tan 50tan 3-=︒︒．⑶原式=︒︒+︒︒=︒︒+︒10cos )10sin 310(cos 50sin )10cos 10sin 31(50sin2sin 50(cos60cos10sin 60sin10)2sin 50cos50cos10cos10︒︒︒+︒︒︒⋅︒==︒︒sin100cos101cos10cos10︒︒===︒︒． 归纳小结：在已知角求值的式子变形中，常通过“造出特殊角”、“对偶式”来简化计算过程．一般情况下，当βα±是特殊角时，使用tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±化简式子．例2 化简下列各式：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απαπαα4cos 4cot 2sin cos 222．分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2的二倍，是的二倍，是2αααα以及取值范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角244παπαπ=-++，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点．解：（1）因为αααπαπcos cos 2cos 2121223==+<<，所以， 又因2sin 2sin cos 2121243αααπαπ==-<<，所以， 所以，原式=2sin α．（2）原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπααπαπα4cos 4sin 22cos 4cos 4tan 22cos 2=12cos 2cos 22sin 2cos ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-αααπα．归纳小结：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换．（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧．（3）公式变形，αααsin 22sin cos =22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=． 例3 已知正实数a ，b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+． 分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a ，则已知等式可化为关于的方a b程，从而可求出ab，若注意到等式左边的分子、分母都具有θθcos sin b a +的结构，可考虑引入辅助角求解．解法一：由题设得8sincos sin 55158cos sin cos 5515b a b a ππππππ+=-，则 .33tan 5158cos 5158sin 5sin 158sin 5cos 158cos 5sin158cos 5cos 158sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅+⋅⋅-⋅=πππππππππππππa b解法二：sincos555a b πππϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为，cossintan 5558tan tan .51585153tan tan tan 33b a b a k k b k a πππϕϕππϕππϕππϕπππϕπ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭+=+=+⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，其中，由题设得所以，即，故4解法三：tan 85tan 151tan 5b a b a πππ+=-原式可变形为：，()()tantan 85tan tan tan 5151tantan 58,5153tan tan tan 3333b a k k Z k k Z b k a παπααππαππαππαπππαπ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭-⋅+=+∈=+∈⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭令，则有，由此可所以，故，即()()tan tan 85tan tan tan 5151tan tan58,5153tan tan tan 33b a k k Z k k Z b k a παπααππαππαππαπππαπ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭-⋅+=+∈=+∈⎛⎫=+== ⎪⎝⎭令，则有，由此可所以，故 归纳小结：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，且辅助角公式()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a ，tan b a ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中，或sin cos a b αα+()tan a b αϕϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，其中在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳．例4 已知2tan tan 560x x αβ-+=，是方程的两个实根，求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值．分析：由韦达定理可得到tan tan tan tan αβαβ+⋅及的值，进而可以求出()tan αβ+的值，再将所求值的三角函数式用tan ()βα+表示便可知其值．解法一：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，， 所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()()()()()()22222sin 3sin cos cos sin cos αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++原式 ()()()()222tan 3tan 1213113tan 111αβαβαβ+-++⨯-⨯-+===+++．解法二：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，，所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()34k k Z αβππ+=+∈于是有，223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式．归纳小结：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”．（2）运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等．抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如()()()()()()()()。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换1
第六节 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒 应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论 用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二 辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B考点一 三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二 辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三 三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3， 求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二 三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1， 由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1， 又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形． 探究三 三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数， 又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45， 所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组 考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期． 解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ， 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值． 解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组 高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。
高中数学(新人教A版)必修第一册：简单的三角恒等变换【精品课件】
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表
回答问题。
知识清单
1．半角公式
2.辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋θ)
b
(其中 tan θ＝a)．
小试牛刀
α
1．已知 180°＜α＜360°，则 cos 的值等于(
2
A．－
1－cos α
2
1＋cos α
2
B．
θ
又 cos2＝a，
θ
∴sin4＝－
答案：D
θ
1－cos
2
2 ＝－
1－a
2 .
解题方法（利用半角公式化简求值）
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等
手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦
解:在 Rt△OBC中, OB=cos, BC=sin
DA
在Rt△OAD中,
tan 60 3
OA
3
3
3
DA
BC
sin
3
3
3
3
AB OB OA cos
sin
3
设矩形ABCD的面积为S,则
OA
3
S AB • BC cos sin sin
将①②两个等式的左右两边分别相除，得2 =
例 7 的结果还可以表示为
1－cos α
α ±
2
sin ＝__________________，
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【人教A 版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义（学生版）【重难点知识点网络】：1 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ， 2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）3 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.ααααcos sin 21)cos (sin 2±=±ϕ由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 3 二倍角公式及降幂公式sin 22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-.221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==4 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=； 函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=.三角函数的图像：【重难点题型突破】： 一、和差公式的化简及求值例1．（1）（2019·山东高一期末）10208020cos cos cos sin ︒-︒︒=（ ）A ．2B． C ．12D ．12-（2）．（2018·广东高一期末）sin 49sin19cos19sin 41︒︒+︒︒=（）A ．12B ．12-CD ．【变式训练1-1】、（1）．（2019·兰州市第五中学高一期末）sin15=（ ）A ．4B ．4C ．24+ D ．4（2）．已知()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1318B ．1322C ．322D ．518例2．（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知tan 3α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．45【变式训练2-1】、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）已知(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，1cos(),cos()4342ππβα+=-=，则cos()2βα+=（ ）A ．3B ．3-C ．9D ．9-二、 二倍角公式与半角公式的顺用与逆用例3．（2020·河南省安阳市高三一模（理）已知cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-【变式训练3-1】、（2020·安徽省淮北市高三一模（理）已知锐角α满足sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．B ．-C ． D【变式训练3-2】、（2020·广西师大附属外国语学校高三一模（理））已知α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin α⋅ tan 0α< ）A ．15B ．15-C ．3D ．3-三、 辅助角公式的应用例4．（2020届湖北省高三模拟）函数()()2cos 22f x x x ππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的单调增区间为（ ）A ．63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，B ．36k k k Z ，，ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，D ．51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，【变式训练4-1】、（2020·福建省厦门市高三质检（理）已知函数1()sin (cos sin )2f x x x x =-+. （1）求()f x 的单调递减区间；【变式训练4-2】、已知函数()1sin cos 22f x a b x a x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()223g x x x m =-+-，若对任意的[]10,x π∈，总存在[]22,x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.四、 五点法作图例5．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈【变式训练5-1】、（2020届安徽省合肥市高三第二次质检）函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的 D ．函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭例6．（2019·石嘴山市第三中学高一月考）已知函数323y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在766ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图象．（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为)12π（2）请描述上述函数图象可以由函数y ＝sin x 怎样变换而来？【变式训练6-1】、（2018·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝2sin(2)4x π+(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)在所给坐标系中画出函数f(x)在区间4[,]33ππ上的图象(只作图不写过程)．【人教A 版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义（教师版）【重难点知识点网络】：1 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ， 2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）3 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.ααααcos sin 21)cos (sin 2±=±ϕ由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 3 二倍角公式及降幂公式sin 22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==4 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=； 函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 三角函数的图像：【重难点题型突破】： 一、和差公式的化简及求值例1．（1）（2019·山东高一期末）10208020cos cos cos sin ︒-︒︒=（ ）A B． C ．12D ．12-【答案】 A 【解析】由诱导公式102080201020sin1020cos cos cos sin cos cos sin ︒-︒︒=︒-︒︒1020sin1020cos(1020)cos30cos cos sin ︒-︒︒=︒+︒=︒=，所以选择A（2）．（2018·广东高一期末）sin 49sin19cos19sin 41︒︒+︒︒=（）A ．12B．12-C ．2D ． 【答案】C 【解析】sin 49sin19cos19sin 41︒︒+︒︒cos41sin19cos19sin 41=︒︒+︒︒()sin 1941=︒+︒=. 故选：C.【变式训练1-1】、（1）．（2019·兰州市第五中学高一期末）sin15=（ ）A．4B．4C．24+ D．4【答案】B 【解析】()62sin 6045sin 60cos 45sin 45cos 604-︒-=︒-=故选：B（2）．已知()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1318B ．1322C ．322D ．518【答案】C 【解析】因为()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭，所以()()()tan tan 34tan tan 44221tan tan 4παββππααββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭，故选:C例2．（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知tan 3α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．45【答案】A【解析】22222222cos sin 1tan 4sin 2cos 2cos sin 2cos sin 1tan 5παααααααααα--⎛⎫+==-===- ⎪++⎝⎭. 故选A 。
【变式训练2-1】、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）已知(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，1cos(),cos()43423ππβα+=-=，则cos()2βα+=（ ）A ．3B ．3-C ．9D ．9-【答案】C【解析】因为(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，所以3,444απππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又1cos()043πα+=>，所以,442πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin()43πα+===sin()423πβ-===， cos()cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos cos sin sin 442442442ππβππβππβααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133==，故选C 。
二、 二倍角公式与半角公式的顺用与逆用例3．（2020·河南省安阳市高三一模（理）已知cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-【答案】C【解析】由cos(2019)3πα+=-可得cos()3πα+=-，∴cos 3α=， ∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=⨯-=-。