第一课有限元分析第4章 平面问题有限单元法1
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平面问题有限单元法教程
4、 Ni 1
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
5) 利用面积坐标求三角形单元的形函数 试凑法的步骤： 1、对于结点i 找出过其余结点的若干直线； 2、适当选用上述直线，将直线方程的左部以带 参数连乘式作为形函数Ni，这样可使在“它点 为零”的条件自动满足。 3、将I点坐标带入上面假定的Ni，用“本点为1” 的性质确定待定参数。
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系
参考常应变单元位移函数可得：
P
x xi Li x j Lj xm Lm y yi Li y j Lj ym Lm
由于以上两种坐标变换是线性变换，所以面积坐标表示的
多项式
直角坐标中的同阶多项式。
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系 设Li、Lj为独立变量，则Lm=1－L－Lj， 利用：
1)面积坐标：
令：
Li
Ai A
Ai的高 A的高
P
Lj
Aj A
Lm
Am A
即： P Li , Lj , Lm
Li , Lj , Lm 称为面积坐标
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
2）面积坐标的性质
a. 与j-m 边平行的线上的三角形
P
内点有相同的值 Li
b. 角点坐标为:
i ( 1,0,0 ), j ( 0,1,0 ), m ( 0,0,1 )
1. 六结点三角形单元
6) 六结点三角形单元的形函数
形函数矩阵
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
N1 0
0 N1
N2 0
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
5) 利用面积坐标求三角形单元的形函数 试凑法的步骤： 1、对于结点i 找出过其余结点的若干直线； 2、适当选用上述直线，将直线方程的左部以带 参数连乘式作为形函数Ni，这样可使在“它点 为零”的条件自动满足。 3、将I点坐标带入上面假定的Ni，用“本点为1” 的性质确定待定参数。
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系
参考常应变单元位移函数可得：
P
x xi Li x j Lj xm Lm y yi Li y j Lj ym Lm
由于以上两种坐标变换是线性变换，所以面积坐标表示的
多项式
直角坐标中的同阶多项式。
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系 设Li、Lj为独立变量，则Lm=1－L－Lj， 利用：
1)面积坐标：
令：
Li
Ai A
Ai的高 A的高
P
Lj
Aj A
Lm
Am A
即： P Li , Lj , Lm
Li , Lj , Lm 称为面积坐标
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
2）面积坐标的性质
a. 与j-m 边平行的线上的三角形
P
内点有相同的值 Li
b. 角点坐标为:
i ( 1,0,0 ), j ( 0,1,0 ), m ( 0,0,1 )
1. 六结点三角形单元
6) 六结点三角形单元的形函数
形函数矩阵
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
N1 0
0 N1
N2 0
第1章有限元基本理论ppt课件
x dx
li
E i
i
E (ui1ui )
x
x
li
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 外载荷与结点的平衡方程
EA(uiui1 ) li1
EA(ui1ui ) li
q(li1 li ) 2
q(li1li ) 为第i个结点上承受的外载荷
2
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3， 则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
单元: 一组节点自由度间相互作用的 数值、矩阵描述（称为刚度或系数 矩阵)。单元有线、面或实体以及二 维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
1.6 节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
. . . 1 node
1.1 有限元分析 (FEA)
有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理
系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简 单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量 的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
1.2 有限单元法的基本思想
❖ 将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中 设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接 的一组单元的集合体。
I
J
O
N
三维实体结构单元
K UX, UY, UZ
P
M L
J
I
J
K J
O N
K J
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
《有限单元法》PPT课件
➢有限单元法的应用
（2）在土力学、岩石力学、基础工程学等方 面，用来研究填筑和开挖问题、边坡稳定性问 题、土壤与结构的相互作用，坝、隧洞、钻孔、 涵洞、船闸等的应力分析，土壤与结构的动态 相互作用，应力波在土壤和岩石中的传播问题。
（3）在流体力学、水利工程学等方面，研究 流体的势流、流体的粘性流动、蓄水层和多孔 介质中的定常（非定常）渗流、水工结构和大 坝分析，流体在土壤和岩石中的稳态渗流，波 在流体中传播，污染的扩散问题。
➢有限单元法的特性
计算精度的可信性
随着单元数目的增加，近似解不断趋近于精确解。
计算的高效性
适合于计算机编程实现。
➢有限单元法的分析过程
结构物的离散
划分 单元
数据 建立 编码 信息 坐标
单 元 类 型 选 最 优 化 单 最 优 化 单 合适的坐标
择 （ 形 状 、 元 结 点 编 元 结 点 编 系（直角、
建立离散化 计算模型
（二维问题） （三维问题） （二阶问题） （四阶问题） （杆系问题） （组合体问题） （梁弯曲问题） （板弯曲问题）
单元分析 (科学规律)
形成总体方程 （组装总刚度阵） （组装载荷阵）
基础理论 (变分原理) (分片插值)
约束条件处理 (灵活、易错)
有限元方法的组成模块
解方程 (数值积分) (代数方程求解)
结点数等） 码
码
柱、球坐标）
➢有限单元法的分析过程
单元分析（结点位移与结点力的关系）
单元位 移模式
单元特 性分析
单元载 荷分析
形函数
单元刚度矩阵
等效荷载矩阵
➢有限单元法的分析过程
整体分析（结点位移与结点力的关系）
单元刚 度矩阵
平面问题三角形单元有限元课件
(i, j, m)
(1-26）
由于 A, bi , ci , b j , c j , bm , cm 与x、y无关，都是常量，因此 [B]矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是[B]矩阵
与单元位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元
被称为常应变单元。
2、单元应力
{} [B]{ }
j
bj
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
1
u
2 A [(ai
bi
x
ci
y)ui
(a
j
bj
x
c
j
y)u
j
(am
bm x
cm y)um ]
(1-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
b
j
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
j
式中
ai x j ym xm y j
mi
bi y j ym
(i, j, m) (1-17）
bi
x
ci
y)ui
(a
j
bj
x
c
j
y)u
j
(am
bm
x
cm y)um ]
(1-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
bj
x
c
j
y)
j
(am
第四章有限元单元法
¾ ADINA
★ FLUENT
¾ ANSYS
★ SAP
(3) 有限单元法的未来
应用需求：技术革新、设计理论、 制造方法
基础产业：汽车、船舶、冶金、飞机 高新产业：航天、微电系统、纳米器
件：
(3) 有限单元法的未来 待发展的方面
1) 新的材料本构模型和单元型式
2) 结构在复杂环境条件下的全寿命过程响应分析
人类认识自然的得力助手
力学或工程领域求解问题的两大法宝：解 析法和离散法
4.1.1 有限单元法的基本概念
解析法：
它从研究连续体中无限小的微分体入手，得出 描述连续体性质的微分方程。然后根据边界条 件、初始条件可解得一个通解。这个解可给出连 续体内任一点上所求参数的值。 核心是微分方程。 微分方程的建立过程是近似的，而微分方程的 求解过程是精确的。
E
• 长度分别为l1、l2 • 桁架的铰链处受到外力 X1、Y1、X2、Y2、X3、Y3
• 在1点和3点固定铰支 求解内力
铰接桁架
求解过程：
(1). 将结构划分成典型单元的集合——离散化(节点力、节点位移)
－－求解过程：
(2).分析每个单元上节点力和节点位移之间的关系 ――单元特性分析
轧机牌坊（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
出钢机部件分析（三维壳体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
万向接轴叉头（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
轧钢机刚度（三维实体问题，多体接触）
稳静态结构问题实例
沧州铁狮子（三维不规则实体，弹性）
稳静态结构问题实例
轧制过程仿真（三维实体，弹塑性、接触）
.500E+09
10000
有限元分析基础ppt课件
a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度 数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要 选取多少项，则应视单元的类型而定。
32
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分
量 i， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个 待定系数 1， 2， 3， 4的多项式 v(x) 1 2 x 3 x 2 4 x3
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。
32
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分
量 i， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个 待定系数 1， 2， 3， 4的多项式 v(x) 1 2 x 3 x 2 4 x3
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。
第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则
当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应该趋于常量。 因此，在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可 能使数值解收敛于正确解。 很显然，三角形三节点单元位移模式中 ，与2、3、5、 6 有关的线性项就是提供单元中的常应变的。 ⑶ 位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移 必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续 性要求总是得到满足的，单元间的位移协调性，就是要求单 元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通常，当单 元交界面上的位移取决于该交界面上节点的位移时，就可以 保证位移的协调性。
然后，就用这组维数不变的方程来求解所有的节点位移。显 然，其解答仍为原方程(a)的解答。
⒉将[K]中与指定的节点位移有关的主对角元素乘上一个 大数，如1015，同时将{R}中的对应元素换成指定的节点位 移值与该大数的乘积。实际上，这种方法就是使[K]中相应 行的修正项远大于非修正项。 若把此方法用于上面的例子，则方程(a)就变成
一般情况下，求解的问题，其边界往往已有一点的位移 约束条件，本身已排除了刚体运动的可能性。否则的话，就 必须适当指定某些节点的位移值，以避免出现刚体位移。这 里介绍两种比较简单的引入已知节点位移的方法，这两种方 法都可保持原[K]矩阵的稀疏、带状和对称等特性。
⒈ 保持方程组为2n×2n系统，仅对[K]和{R}进行修正。 例如，若指定节点i在方向y的位移为vi ，则令[K]中的元素 k2i, 2i 为1，而第2i行和第2i列的其余元素都为零。{R}中 的第2i个元素则用位移 vi 的已知值代入，{R}中的其它各 行元素均减去已知节点位移的指定值和原来[K]中该行的相 应列元素的乘积。
二. 节点的选择及单元的划分 节点的布置是与单元的划分互相联系的。通常，集中载 荷的作用点、分布载荷强度的突变点，分布载荷与自由边界 的分界点、支承点等都应该取为节点。并且，当物体是由不
第4章有限元法讲解
有限元法、边界元法和 有限差分法
2
石家庄铁道大学
第4章 有限元法
4.1 有限元法概述
有限元法诞生于20世纪中叶，随着计算机技术和计算 方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最 为有效的方法，几乎适用于求解所有连续介质和场的问 题。
概念：有限元法是将连续体理想化为有限个单元集 合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，即用 有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的 连续体。
0 0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0
0
0
k4
k4
10
石家庄铁道大学
第4章 有限元法
4.1.2 有限元法的历史
• 1943年Courant第一次尝试应用定义在三角形区域上的分片 连续函数和最小位能原理相结合研究了St.Venant体扭转问 题,这是有限元思想的提出。但当时没有引起人们4
uu43
0 0
0
0
0
k4 k4 u5 P
6
石家庄铁道大学
第4章 有限元法
R1 k1
0
k1
0 0
0
0
0 0
k1 k1 k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 0
0
u2
0
0 k4
uu43
0 0
k4 u5 P
反作用 力矩阵
刚度 矩阵
位移矩阵
负荷矩阵
应用边界条件： u1 = 0
7
R = KU - F
1 0
0
k1 k1 k2 k2
0
0
2
石家庄铁道大学
第4章 有限元法
4.1 有限元法概述
有限元法诞生于20世纪中叶，随着计算机技术和计算 方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最 为有效的方法，几乎适用于求解所有连续介质和场的问 题。
概念：有限元法是将连续体理想化为有限个单元集 合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，即用 有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的 连续体。
0 0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0
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k4
k4
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石家庄铁道大学
第4章 有限元法
4.1.2 有限元法的历史
• 1943年Courant第一次尝试应用定义在三角形区域上的分片 连续函数和最小位能原理相结合研究了St.Venant体扭转问 题,这是有限元思想的提出。但当时没有引起人们4
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k4 k4 u5 P
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石家庄铁道大学
第4章 有限元法
R1 k1
0
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0 k2 k2 k3 k3
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0 u1 0
0
u2
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0 k4
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0 0
k4 u5 P
反作用 力矩阵
刚度 矩阵
位移矩阵
负荷矩阵
应用边界条件： u1 = 0
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R = KU - F
1 0
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k1 k1 k2 k2
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有限元分析第四章
第四章 一些数学概念和结论本章介绍关于有限元方法的一些数学概念和结论，目的在于使读者对于有限元解的收敛性以及单元精度问题能有确切的了解。
以后各章的内容在本章提供的基础之上进行。
对于有限元方法的数学研究，目前已进行得相当充分，对这方面有兴趣的读者可进一步查阅有关的专著。
本章介绍的主要对象是函数：真实解是一个函数；基函数是一组函数；试探函数是某一类函数，有限元解是这类函数中使 取驻值（最小值）的那一个函数。
下面讨论中的 “元素”实际指的就是函数，“空间”实际指的就是某种函数的集合，即函数空间。
§4-1线性空间（向量空间）１、线性空间的定义满足下列条件的空间E 为线性空间 （１）∀ x , y , z ∈E 有如下“加法”运算 （i ） （ii ） （iii ）存在“零元素” θ ∈E ∀ x ∈E 有（iv ）∀ x ∈E 存在逆元素－x ∈E 使（２）设Ｅ中的元素与实数域的元素有“数乘”运算，即∀ x , y ∈E ，α,β ∈K （实数域） （i ） （ii ） （iii ） （iv ） 若Ｋ为实数域则Ｅ称为实线性空间，Ｋ为复数域则Ｅ称为复线性空间。
例１ C[a,b]若、 是[a, b]上的连续函数，则 也是[a, b]上的连续函数。
故定义在[a, b]上的所有连续函数组成一个线性空间。
记作C[a, b]。
例２ L 2（a,b ） 若 、 是（a, b ）上平方可积的函数，即， 存在，则所以 也是（a, b ）上平方可积的函数。
所有（a, b ）上平方可积的函数组成一个线性空间，记作L 2 (a, b) 。
例３ C 1[a,b]若 、 、 、 在[a, b]上连续，则πP )(1x ϕ)(2x ϕ2211ϕϕc c +)(1x ϕ)(2x ϕdx x b a 21)(⎰ϕdx x ba 22)(⎰ϕ()()22222212121212222212122211)()(2)()(2)()()()(x c x c x x c c x c x c x c x c ϕϕϕϕϕϕϕϕ+≤++=+)()(2211x c x c ϕϕ+)(1x ϕ)(2x ϕ)(1x ϕ')(2x ϕ'2211ϕϕc c +2211ϕϕ'+'c c x y y x +=+ z x y z y x ++=++)()( x x =+θ θ=-+)(x x ()()E ∈=x x αββαxx =⋅1()x x x βαβα+=+()yx y x ααα+=+也在（a, b ）上连续。
有限元方法平面三角形单元公开课获奖课件省赛课一等奖课件
彼此间只在数目有限旳指定点（结点）出相互连结，构成 一种单元旳集合体以替代原来旳连续体，再在结点上 引进等效力以替代实际作用于单元上旳外力。选择一种 简朴旳函数来近似地表达位移分量旳分布规律，建立位 移和节点力之间旳关系。
有限元法旳实质是：把有无限个自由度旳连续体， 理想化为只有有限个自由度旳单元集合体，使问题简化 为适合于数值解法旳构造型问题。
平面问题可知，每个节点在其单元平面内旳位移能够有 两个分量，所以整个三角形单元将有六个节点位移分量， 即六个自由度。用列阵可表达为：
e
T i
T j
T m
T
ui
vi
uj
vj
um
vm T (4-7)
其中旳子矩阵
i ui vi T （i，j，m 轮换） (a)
式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向旳位移。
uj 1 2xj 3yj , vj 4 5xj 6yj
(c)
um 1 2 xm 3 ym , vm 4 5 xm 6 ym
由 (c) 式左边旳三个方程能够求得
1
1 2
ui uj
xi xj
yi yj
1
, 2
1 2
1
ui uj
yi yj
1
, 3
1 2
1
xi xj
ui uj
(d)
vi (Vi )
i ui (Ui )
m
um (Um )
o
x
图4-2 平面三角形单元
将 (d) 式代入 (b) 式旳第一式，经整顿后得到
u
1 2
ai
bi x ci yui
aj
bjx cj y
uj
am bm x cm yum
有限元法旳实质是：把有无限个自由度旳连续体， 理想化为只有有限个自由度旳单元集合体，使问题简化 为适合于数值解法旳构造型问题。
平面问题可知，每个节点在其单元平面内旳位移能够有 两个分量，所以整个三角形单元将有六个节点位移分量， 即六个自由度。用列阵可表达为：
e
T i
T j
T m
T
ui
vi
uj
vj
um
vm T (4-7)
其中旳子矩阵
i ui vi T （i，j，m 轮换） (a)
式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向旳位移。
uj 1 2xj 3yj , vj 4 5xj 6yj
(c)
um 1 2 xm 3 ym , vm 4 5 xm 6 ym
由 (c) 式左边旳三个方程能够求得
1
1 2
ui uj
xi xj
yi yj
1
, 2
1 2
1
ui uj
yi yj
1
, 3
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xi xj
ui uj
(d)
vi (Vi )
i ui (Ui )
m
um (Um )
o
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图4-2 平面三角形单元
将 (d) 式代入 (b) 式旳第一式，经整顿后得到
u
1 2
ai
bi x ci yui
aj
bjx cj y
uj
am bm x cm yum