平面问题有限单元法
插值公式（a）在结点 xi , yi (i, j , m) 应等于结
点位移值 ui , vi (i, j , m) 。由此可求出 1 ~ 6。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
1 ~ 6 • 其中
xi , yi ,及ui , vi ,。 包含
将式（a）按未知数 ui , vi , 归纳为:
求解方法
2.单元分析
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、 各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体， 应按弹性力学方法进行分析。 取各结点位移 δ i (ui v i )T (i 1,2,) 为基本未 知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均 用 δ (i 1,2,) 来表示。 i
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
或用矩阵表示为:
（ b）
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
u Ni d v 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
为了保证FEM的收敛性：
•
（1）和（2）是必要条件， 而加上（3）就为充分条件。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题
• 1.应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么
必须从低次项开始选取？
2.试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的
问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析 （1）单元的位移模式 （2）单元的应变列阵
（3）单元的应力列阵
（4）单元的结点力列阵 （5）单元的等效结点荷载列阵 3.整体分析 建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题
•
1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角 形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。 前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性
三角形单元
•
三结点三角形单元的位移模式，略去了2次
以上的项，因而其误差量级是 o( x 2 ); 且其中只 包含了 布如图
x, y 的1次项，所以在单元中
u和 v
m
N i 的分
（a）所示，
1
i
的分布如图（ vm um b）、（c）所示。 ui
m i
uj
j
vi
i
m
vj
j
(a)
j
(b)
(c)
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
单元分析的主要内容： （1）应用插值公式, 由单元结点位移
δ ( δ i δ j δ m ) ，求单元的位移函数
e T
d (u( x, y), v( x, y)) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，为：
d Νδ 。
e
第六章 用有限单元法解平面问题
应用插值公式，可由 因此称为位移模式。
δ
e 求出位移
d。
这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
•
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。 所以三角形单元的位移模式，可取为：
u 1 2 x 3 y , （ a） v 4 5 x 6 y。
力学方法求解，为什么？
2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
第六章 用有限单元法解平面问题
位移模式
§6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移
δi 为基本未知数的。问
题是如何求应变、应力。
e T δ ( δ δ δ 首先必须解决：由单元的结点位移 i j m 来求出单元的位移函数 d (u( x, y) v( x, y)T 。
各单位移置到i 结点上的结点荷载 FLi , 其中
表示对围绕i 结点的单元求和；
e
F F
i e e
Li
,
(i 1,2,)
FLi 为已知值, Fi 是用结点位移表示的值。 通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求 出各单元的应变和应力。
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
归纳起来，FEM分析的主要步骤：
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节
结构的整体分析结点平衡方程组
第八节
第九节 第十节
解题的具体步骤 单元的划分
计算成果的整理 计算实例
第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章
用有限单元法解平面问题
概述
1.有限元法（Finite Element Method）
ui vi 0 u j N m v j （ c） u m v m
Nδ e。
• N －－ 称为形（态）函数矩阵。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
• 其中:
N i (ai bi x ci y ) 2 A ,
5 3
与刚体位移相比，
u u 0 y , v v0 x,
可见刚体位移项在式（a）中均已反映。
第变，得：
x 2 ,
y 6 ,
xy 3 5 ,
可见常量应变也已反映。
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。在三角形单元内部，位移为连续；在两 单元边界ij 上， 之间均为线性变化， 也为连续。 δ i 和δ j
FEM的概念
§6-2
有限单元法的概念
• FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 值计算方法。 其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析；
3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
虚功方程:
(δ ) F
* T
y
Fiy ,vi*
i
Fjy , v* j
j
其中:
• δ*
A
(ε* )T ζdxdyt
Fjx ,u* j
Fix ,ui*
--结点虚位移;
o
x
图6-1
ε * --对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡 微分方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
• FEM中以后的一系列工作，都是以位移
模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x, y 0 时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保 证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。 （2）位移模式必须能反映单元的常量应变。
u v u v T ε( ) x y x y
(a)
物理方程: ζ Dε
(b)
0 0 1 μ 2
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:
1 E D μ 2 1 μ 0 μ 1 0 (c )
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能
进行了。
第六章 用有限单元法解平面问题
位移函数
§6-4
单元的应变列阵和应力列阵
单元中的位移函数用位移模式表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
其中，
N i (ai bi x ci y ) / 2 A。 (i, j, m)
(c)
深梁（离散化结构）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。 • 图（c）与图( a）相比，两者都是离散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
第六章 用有限单元法解平面问题
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
基本物理量： 体力: f ( f x
f y )T 。
f y )T 。
T
面力: f ( f x
应变: 应力:
位移函数: d (u ( x, y ) , v ( x, y )) 。
3. FEM简史
FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用 于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和 非线性问题，并得到迅速发展。
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。
首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
2. FEM的特点
（1）具有通用性和灵活性。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程序， 应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。
•
1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应 用和发展。
点位移值 ui , vi (i, j , m) 。由此可求出 1 ~ 6。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
1 ~ 6 • 其中
xi , yi ,及ui , vi ,。 包含
将式（a）按未知数 ui , vi , 归纳为:
求解方法
2.单元分析
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、 各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体， 应按弹性力学方法进行分析。 取各结点位移 δ i (ui v i )T (i 1,2,) 为基本未 知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均 用 δ (i 1,2,) 来表示。 i
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
或用矩阵表示为:
（ b）
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
u Ni d v 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
为了保证FEM的收敛性：
•
（1）和（2）是必要条件， 而加上（3）就为充分条件。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题
• 1.应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么
必须从低次项开始选取？
2.试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的
问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析 （1）单元的位移模式 （2）单元的应变列阵
（3）单元的应力列阵
（4）单元的结点力列阵 （5）单元的等效结点荷载列阵 3.整体分析 建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题
•
1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角 形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。 前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性
三角形单元
•
三结点三角形单元的位移模式，略去了2次
以上的项，因而其误差量级是 o( x 2 ); 且其中只 包含了 布如图
x, y 的1次项，所以在单元中
u和 v
m
N i 的分
（a）所示，
1
i
的分布如图（ vm um b）、（c）所示。 ui
m i
uj
j
vi
i
m
vj
j
(a)
j
(b)
(c)
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
单元分析的主要内容： （1）应用插值公式, 由单元结点位移
δ ( δ i δ j δ m ) ，求单元的位移函数
e T
d (u( x, y), v( x, y)) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，为：
d Νδ 。
e
第六章 用有限单元法解平面问题
应用插值公式，可由 因此称为位移模式。
δ
e 求出位移
d。
这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
•
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。 所以三角形单元的位移模式，可取为：
u 1 2 x 3 y , （ a） v 4 5 x 6 y。
力学方法求解，为什么？
2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
第六章 用有限单元法解平面问题
位移模式
§6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移
δi 为基本未知数的。问
题是如何求应变、应力。
e T δ ( δ δ δ 首先必须解决：由单元的结点位移 i j m 来求出单元的位移函数 d (u( x, y) v( x, y)T 。
各单位移置到i 结点上的结点荷载 FLi , 其中
表示对围绕i 结点的单元求和；
e
F F
i e e
Li
,
(i 1,2,)
FLi 为已知值, Fi 是用结点位移表示的值。 通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求 出各单元的应变和应力。
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
归纳起来，FEM分析的主要步骤：
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节
结构的整体分析结点平衡方程组
第八节
第九节 第十节
解题的具体步骤 单元的划分
计算成果的整理 计算实例
第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章
用有限单元法解平面问题
概述
1.有限元法（Finite Element Method）
ui vi 0 u j N m v j （ c） u m v m
Nδ e。
• N －－ 称为形（态）函数矩阵。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
• 其中:
N i (ai bi x ci y ) 2 A ,
5 3
与刚体位移相比，
u u 0 y , v v0 x,
可见刚体位移项在式（a）中均已反映。
第变，得：
x 2 ,
y 6 ,
xy 3 5 ,
可见常量应变也已反映。
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。在三角形单元内部，位移为连续；在两 单元边界ij 上， 之间均为线性变化， 也为连续。 δ i 和δ j
FEM的概念
§6-2
有限单元法的概念
• FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 值计算方法。 其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析；
3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
虚功方程:
(δ ) F
* T
y
Fiy ,vi*
i
Fjy , v* j
j
其中:
• δ*
A
(ε* )T ζdxdyt
Fjx ,u* j
Fix ,ui*
--结点虚位移;
o
x
图6-1
ε * --对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡 微分方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
• FEM中以后的一系列工作，都是以位移
模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x, y 0 时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保 证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。 （2）位移模式必须能反映单元的常量应变。
u v u v T ε( ) x y x y
(a)
物理方程: ζ Dε
(b)
0 0 1 μ 2
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:
1 E D μ 2 1 μ 0 μ 1 0 (c )
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能
进行了。
第六章 用有限单元法解平面问题
位移函数
§6-4
单元的应变列阵和应力列阵
单元中的位移函数用位移模式表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
其中，
N i (ai bi x ci y ) / 2 A。 (i, j, m)
(c)
深梁（离散化结构）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。 • 图（c）与图( a）相比，两者都是离散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
第六章 用有限单元法解平面问题
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
基本物理量： 体力: f ( f x
f y )T 。
f y )T 。
T
面力: f ( f x
应变: 应力:
位移函数: d (u ( x, y ) , v ( x, y )) 。
3. FEM简史
FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用 于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和 非线性问题，并得到迅速发展。
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。
首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
2. FEM的特点
（1）具有通用性和灵活性。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程序， 应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。
•
1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应 用和发展。
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弹性力学—第六章—用有限单元法解平面问题
- 在整体刚度矩阵中引入边界条件
1
需求解的结点还剩：
2
I III IV II 4 5 3
因此关于这六个零分量的六个平衡方程不 用建立，须将整体刚度矩阵的第1，3，7， 8，10，12以及同序列的各列去掉。最后 得到：
6
结构整体分析（10）
- 结点载荷
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
2
例如，设单元 ij 边上受有x方向上的均布面力q，试求等效 结点载荷
载荷向结点移臵（7）
结构整体分析（1）
对于每个单元，我们已经知道了如何计算单元的劲度矩 阵以及载荷列阵：
结构整体分析（2）
根据虚功原理，我们也推导了结点力与结点位移的关系：
对于 i 点, 一个单元上的结点力为:
i 点的力平衡要求围绕 i 点的各单元产生的结点力与各单 元分配到 i 点的结点载荷相等。
3
6
结构整体分析（15）
1. 有限元法的求解步骤： 2. 划分有限元， 3. 利用已知的结点坐标以及结构的物理特性写出单元劲度 矩阵， 4. 利用整体编码与局部编码的关系写出整体刚度矩阵以及 力列阵， 5. 在整体刚度矩阵以及力列阵中将对应于零位移的行与列 划去，得到引入边界条件后的平衡方程组。 6. 求解平衡方程组，得到结点位移，并由此分析应力分布。
有限单元法的单元划分（2）
当结构具有凹槽或孔洞时，为了正确地描述应力集中效 应，必须把该处的网格画得很密。
当计算容量不允许时，可以分两次计算。第一次计算时， 将需要细化网格的目标区域的网格画得稀疏一点，甚至 和其他区域的网格大致相同，第二次计算时，将需要细 化的部分区域（区域边界上的结点位移是第一次计算后 的已知值）取出，利用第一次计算的计算结果，就可以 计算分析网格很密的目标区域了。
1
需求解的结点还剩：
2
I III IV II 4 5 3
因此关于这六个零分量的六个平衡方程不 用建立，须将整体刚度矩阵的第1，3，7， 8，10，12以及同序列的各列去掉。最后 得到：
6
结构整体分析（10）
- 结点载荷
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
2
例如，设单元 ij 边上受有x方向上的均布面力q，试求等效 结点载荷
载荷向结点移臵（7）
结构整体分析（1）
对于每个单元，我们已经知道了如何计算单元的劲度矩 阵以及载荷列阵：
结构整体分析（2）
根据虚功原理，我们也推导了结点力与结点位移的关系：
对于 i 点, 一个单元上的结点力为:
i 点的力平衡要求围绕 i 点的各单元产生的结点力与各单 元分配到 i 点的结点载荷相等。
3
6
结构整体分析（15）
1. 有限元法的求解步骤： 2. 划分有限元， 3. 利用已知的结点坐标以及结构的物理特性写出单元劲度 矩阵， 4. 利用整体编码与局部编码的关系写出整体刚度矩阵以及 力列阵， 5. 在整体刚度矩阵以及力列阵中将对应于零位移的行与列 划去，得到引入边界条件后的平衡方程组。 6. 求解平衡方程组，得到结点位移，并由此分析应力分布。
有限单元法的单元划分（2）
当结构具有凹槽或孔洞时，为了正确地描述应力集中效 应，必须把该处的网格画得很密。
当计算容量不允许时，可以分两次计算。第一次计算时， 将需要细化网格的目标区域的网格画得稀疏一点，甚至 和其他区域的网格大致相同，第二次计算时，将需要细 化的部分区域（区域边界上的结点位移是第一次计算后 的已知值）取出，利用第一次计算的计算结果，就可以 计算分析网格很密的目标区域了。
第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则
1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 9 11 13
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序 在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的 面积 不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时 针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排 的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可 得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元 分析软件的使用要求。 五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵 的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位 移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最 多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。 例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点 总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行 编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号 方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三 个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当 节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生 应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力 ，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起 单元刚体位移的能力。 例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就 是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变 一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标 位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位 置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序 在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的 面积 不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时 针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排 的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可 得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元 分析软件的使用要求。 五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵 的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位 移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最 多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。 例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点 总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行 编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号 方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三 个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当 节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生 应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力 ，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起 单元刚体位移的能力。 例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就 是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变 一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标 位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位 置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，
平面问题有限单元法教程
4、 Ni 1
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
5) 利用面积坐标求三角形单元的形函数 试凑法的步骤： 1、对于结点i 找出过其余结点的若干直线； 2、适当选用上述直线，将直线方程的左部以带 参数连乘式作为形函数Ni，这样可使在“它点 为零”的条件自动满足。 3、将I点坐标带入上面假定的Ni，用“本点为1” 的性质确定待定参数。
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系
参考常应变单元位移函数可得：
P
x xi Li x j Lj xm Lm y yi Li y j Lj ym Lm
由于以上两种坐标变换是线性变换，所以面积坐标表示的
多项式
直角坐标中的同阶多项式。
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系 设Li、Lj为独立变量，则Lm=1－L－Lj， 利用：
1)面积坐标：
令：
Li
Ai A
Ai的高 A的高
P
Lj
Aj A
Lm
Am A
即： P Li , Lj , Lm
Li , Lj , Lm 称为面积坐标
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
2）面积坐标的性质
a. 与j-m 边平行的线上的三角形
P
内点有相同的值 Li
b. 角点坐标为:
i ( 1,0,0 ), j ( 0,1,0 ), m ( 0,0,1 )
1. 六结点三角形单元
6) 六结点三角形单元的形函数
形函数矩阵
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
N1 0
0 N1
N2 0
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
5) 利用面积坐标求三角形单元的形函数 试凑法的步骤： 1、对于结点i 找出过其余结点的若干直线； 2、适当选用上述直线，将直线方程的左部以带 参数连乘式作为形函数Ni，这样可使在“它点 为零”的条件自动满足。 3、将I点坐标带入上面假定的Ni，用“本点为1” 的性质确定待定参数。
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系
参考常应变单元位移函数可得：
P
x xi Li x j Lj xm Lm y yi Li y j Lj ym Lm
由于以上两种坐标变换是线性变换，所以面积坐标表示的
多项式
直角坐标中的同阶多项式。
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系 设Li、Lj为独立变量，则Lm=1－L－Lj， 利用：
1)面积坐标：
令：
Li
Ai A
Ai的高 A的高
P
Lj
Aj A
Lm
Am A
即： P Li , Lj , Lm
Li , Lj , Lm 称为面积坐标
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
2）面积坐标的性质
a. 与j-m 边平行的线上的三角形
P
内点有相同的值 Li
b. 角点坐标为:
i ( 1,0,0 ), j ( 0,1,0 ), m ( 0,0,1 )
1. 六结点三角形单元
6) 六结点三角形单元的形函数
形函数矩阵
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
N1 0
0 N1
N2 0
第七章 平面问题的有限单元法(Q4)
b y3 y2 y y1 4 2 2
8
4节点四边形单元
y, v
u1 v 1 u2 u de 2 u3 u3 u4 u 4 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
1 N (1 )(1 ) 1 4 N 1 (1 )(1 ) 2 4 1 N (1 )(1 ) 3 4 N 1 (1 )(1 ) 4 4
1 4
Nj 1 4 (1 j )(1 j )
4 ( 1, +1) ( u4, v4)
1
N3 1 4 (1 )(1 ) N4 1 4 (1 )(1 )
N 3 at node 1 1 4 (1 )(1 ) 1 0 N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
同理：
1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 4 3 y3 1 1 1 1 y4 4
K e B DBtd
e
T
11
等参单元
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通 过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形 单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（ 包括高次曲边四边形单元）。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实
8
4节点四边形单元
y, v
u1 v 1 u2 u de 2 u3 u3 u4 u 4 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
1 N (1 )(1 ) 1 4 N 1 (1 )(1 ) 2 4 1 N (1 )(1 ) 3 4 N 1 (1 )(1 ) 4 4
1 4
Nj 1 4 (1 j )(1 j )
4 ( 1, +1) ( u4, v4)
1
N3 1 4 (1 )(1 ) N4 1 4 (1 )(1 )
N 3 at node 1 1 4 (1 )(1 ) 1 0 N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
同理：
1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 4 3 y3 1 1 1 1 y4 4
K e B DBtd
e
T
11
等参单元
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通 过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形 单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（ 包括高次曲边四边形单元）。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实
有限元分析第四章
19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )
结构力学第六章平面应力问题的有限单元法
结构力学第六章平面应力问题的有限单元法引言平面应力问题是结构力学中的重要内容之一。
为了求解这类问题，目前广泛应用的方法之一是有限元方法。
有限元方法通过将复杂的问题离散为多个简单的有限元单元，在每个单元上进行计算，最后得到整个问题的近似解。
本文将介绍平面应力问题的有限单元法的基本原理，并讨论其在结构力学中的应用。
有限单元法概述有限单元法是一种通过将连续问题离散为有限数量的简单单元，再通过求解这些单元的位移和应力来近似求解原始问题的方法。
在平面应力问题中，我们通常将结构物在平面上分割为多个有限单元，并在每个单元上进行力学分析。
有限单元法的基本思想是，先在每个单元上假设位移场的近似形式，然后将位移场的近似形式与力学原理相结合，得到每个单元上的平衡方程。
通过求解这些平衡方程，我们可以得到每个单元上的位移场和应力场。
在有限元分析中，我们通常选择线性三角形单元或矩形单元作为平面应力问题的有限单元。
这些单元通常具有简单的几何形状和计算形式，便于计算机求解。
平面应力问题的有限单元法步骤平面应力问题的有限单元法通常包括以下几个步骤：1.离散化 - 将结构物划分为多个有限单元。
在平面应力问题中，我们通常选择三角形或矩形作为单元。
2.选取近似函数 - 在每个单元上选择位移场的近似函数形式，通常选择多项式形式。
3.建立单元刚度矩阵 - 通过应用平衡方程和力学原理，建立每个单元上的刚度矩阵。
4.组装总刚度矩阵 - 将所有单元的刚度矩阵组装成总刚度矩阵。
要注意，由于每个单元的自由度不同，需要将刚度矩阵根据单元的连接关系进行组装。
5.施加边界条件 - 根据实际情况，对总刚度矩阵和载荷向量进行修正，将边界条件考虑在内。
6.求解位移场 - 通过求解线性代数方程组，得到每个单元上的位移场。
7.计算应力场 - 根据位移场，计算每个单元上的应力场。
应用案例为了进一步说明平面应力问题的有限单元法的应用，以下是一个简单的应用案例。
假设有一块矩形薄板，长为L，宽为W。
有限元分析第4章 平面问题有限单元法1
1
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等 节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element） 节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v
N
e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j
(am
bmx
cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)ui
(a j
bj x
cj
y)u j
(am
bm x
cm
y)um ]
v x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)vi
(a j
插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等 节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element） 节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v
N
e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j
(am
bmx
cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)ui
(a j
bj x
cj
y)u j
(am
bm x
cm
y)um ]
v x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)vi
(a j
插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
弹性力学第6章---用有限单元法求平面问题
2.FEM分析的主要步骤：
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析 位移模式 应变列阵 应力列阵
结点力列阵 等效结点荷载列阵 3.整体分析
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
e T
位移模式 三角形单元
FEM是取结点位移δi 为基本未知数的。问题是如何求 应变、应力。
( δ 来求出单元 首先,必须解决由单元的结点位移 δ i δ j δ m T d ((, u xy ) v (, xy ) 。 的位移函数 e 该插值公式表示了单 δ 应用插值公式,可由 求出位移 d 。 元中位移的分布形式,因此称为位移模式。 在结点三角形单元中,可以假定位移分量只是坐标的线性 函数,也就是假定：
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
求解方法
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同 性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学 方法进行分析。 T 取各结点位移 δ 为基本未知量，然后 ( uv ) ( i 1 , 2 , ) i i i 对每个单元,分别求出各物理量,并均用 δ i 1 ,2 , )来表示。 i( 单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
e T δ ( δ δ δ ) i j m 求单元的位移函数
,
T d ((, u xyvxy ) , (, ) ) .
该插值公式称为单元的位移模式,记为 d Νδe .
(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变 ε Bδe .
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
FEM的分析过程(3) 3.整体分析
求解方法
作用于结点i上的力有：
第4章 平面问题的有限元法-1离散化
e
T i
T j
T T m
u
i
vi
T
uj
vj
um
vm
T
(4-7)
其中的子矩阵
i ui
vi
（i，j，m 轮换） (a)
式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。
在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来 的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，所以在其 内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本 方程在每个单元内部同样适用。 从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性 体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就 确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分 量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因 此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。 由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难 在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的 复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那 么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数 来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接
结构离散化后，要用单元内节点的位移通过插值(?)来 获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定 单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式 的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常 数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元 的类型而定。 （4-1） f N e
(c)
由(c)式左边的三个方程可以求得
1
1 uj 2 um ui xi xj xm 1 y j ,2 1 uj 2 ym 1 um yi 1 ui 1 y j , 1 1 xj 2 ym 1 xm yi 1 xi ui uj um
有限元2-弹性力学平面问题(24矩形单元,25六节点三角形单元)
u 1 1 2 3 4 u 2 1 2 3 4
u 3 1 2 3 4
u 4 1 2 3 4
有限单元法
土木工程学院
P-9/44
解方程组便可求得待定常数。将这些参数代回式 （2-4-4），经整理得：
(1,1)
有限单元法
土木工程学院
P-6/44
二、结点位移列阵和结点力列阵
每个结点2个位移分量，共８个位移分量， 设结点位移和结点力列阵分别为：
d u v u v u v u v
e
2 4 2 e T F X Y X Y X Y X Y 1 1 2 2 3 3 4 4 2 4 3
有限单元法
土木工程学院
P-18/44
第2章 弹性力学平面问题有限单元法
2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的讨论 2.3 平面问题有限元程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元 2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元 2.8 几个问题的补充
有限单元法
土木工程学院
3
1
2
(1 ,1 )
(1,1)
有限单元法
土木工程学院
P-11/44
如果引进参数: ξ0=ξiξ, η0=ηiη(i=1, 2, 3, 4), (ξi, ηi)是矩形单元4个结点的局部坐标。结点i(ξi, ηi)的 坐标值分别是 (-1,-1), (1,-1),(1,1), (-1,-1)。代入 上式，则可将上式简记成：
Ai Li A
Lj Aj A
Am Lm A
i
m
Aj