有限单元法初步课程课件
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平面问题的有限单元法.ppt
5.3.3 单元分析 （略）
对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。
vm
m
um
vvi
Vm
(a)
i ui m
Um
Vj
j
Uj
e
Vi
i Ui
(b)
结点位移
ui
vi
qe
u
v
j j
um
vm
• 结点力
•
平面应力问题
平面应变问题
y
平面
应力
问题
0
y
t/2
t/2
z x
ͼ 1-10
厚度为 t 的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且 不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于 薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均 有：
3) 对于现在的单元插值函数是线性的，在单元内部及单元的 边界上位移也是线性的，可由节点上的位移唯一确定。由于 相邻的单元公共节点的节点位移相等，因此保证了相邻节点 在公共边界上位移的连续性。
• 选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收 敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛 于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下 列条件：
Ui
Vi
ui*
vi*
uj*
vj*
um*
vm*
Uj Vj
Um
q* eTFe
Vm
28
根据虚功原理，得
q* eT Fe * T tdxdy
有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
有限单元法电子课件(平面桁架)
3
x
图1 平面桁架示意图
α 2 = ui , α 2 = (−ui + u j ) / le
u ( x ) = [ N ]{de }
ui [ N ] = [ Ni N j ], {de } = u j
Ni = 1 − x x , Nj = le le
u1 F1
u2
(e)
F2
x
i
j
j
Fj
F jx
Fix
Fi
α
o x
Fiy
或
{F}2×1 = [T]2×4 {F}4×1
坐标转矩阵
图4 单元结点力的坐标转换 整体坐标系中的结点载荷向量
2、结点位移矢量的坐标转换 、
{de } = [T]{d e }
cos α [T] = 0
sin α 0 0 cos α
0 sin α
1m
x
(2) (1)
(3)
P = 1kN
x x 1 2 1m
x
整体刚度方程： 整体刚度方程：
F1x K11 F 1 y K 21 F2 x K 31 = F2 y K 41 F3 x K 51 F3 y K 61 K12 K13 K14 K15 K16 u1 K 22 K 23 K 24 K 25 K 26 v1 K 32 K 33 K 34 K 35 K 36 u2 K 42 K 43 K 44 K 45 K 46 v2 K 52 K 53 K 54 K 55 K 56 u3 K 62 K 63 K 64 K 65 K 66 v3
有限单元法
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
《有限单元法》PPT课件
➢有限单元法的应用
（2）在土力学、岩石力学、基础工程学等方 面，用来研究填筑和开挖问题、边坡稳定性问 题、土壤与结构的相互作用，坝、隧洞、钻孔、 涵洞、船闸等的应力分析，土壤与结构的动态 相互作用，应力波在土壤和岩石中的传播问题。
（3）在流体力学、水利工程学等方面，研究 流体的势流、流体的粘性流动、蓄水层和多孔 介质中的定常（非定常）渗流、水工结构和大 坝分析，流体在土壤和岩石中的稳态渗流，波 在流体中传播，污染的扩散问题。
➢有限单元法的特性
计算精度的可信性
随着单元数目的增加，近似解不断趋近于精确解。
计算的高效性
适合于计算机编程实现。
➢有限单元法的分析过程
结构物的离散
划分 单元
数据 建立 编码 信息 坐标
单 元 类 型 选 最 优 化 单 最 优 化 单 合适的坐标
择 （ 形 状 、 元 结 点 编 元 结 点 编 系（直角、
建立离散化 计算模型
（二维问题） （三维问题） （二阶问题） （四阶问题） （杆系问题） （组合体问题） （梁弯曲问题） （板弯曲问题）
单元分析 (科学规律)
形成总体方程 （组装总刚度阵） （组装载荷阵）
基础理论 (变分原理) (分片插值)
约束条件处理 (灵活、易错)
有限元方法的组成模块
解方程 (数值积分) (代数方程求解)
结点数等） 码
码
柱、球坐标）
➢有限单元法的分析过程
单元分析（结点位移与结点力的关系）
单元位 移模式
单元特 性分析
单元载 荷分析
形函数
单元刚度矩阵
等效荷载矩阵
➢有限单元法的分析过程
整体分析（结点位移与结点力的关系）
单元刚 度矩阵
有限元法PPT课件
和时间。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
第三章平面问题的有限单元法PPT课件
1
2A
ai aj am
bi bj bm
x ci c j cm
y
1
简记为
Ni N j Nm 1
这说明，三个形函数中只有二个是独立的。
(3-11)
2. 形函数在各单元结点上的值，具有“本点是1、它点
为零”的性质，即
在结点i上，
N i xi
,
yi
1 2A
ai
bi xi
ci yi
若令
Ni
1 2A
ai
bi x
ci y
（i , j , m轮换） (3-9)
这样，位移模式 就可以写为
u Niui Njuj Nkmukm Niui v Nivi Njvj Nkmvkm Nivi
[N] 形函数矩阵
u
u
v
Ni I
Nj I
NkmI e Ne
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它 们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形
y
Ym vm
m( xm
,
ym
)
X m um
Yi vi Xi
Fy Fx
Yj vj
i(xi , yi ) ui
j
(
x
j
,
X y
j j
u )
j
0
x
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
1
bi
1
yj ym
y j ym
（i , j , m轮换） (3-5)
1
ci 1
xj xm
x j xm
u N e
（3-1）
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N e
u (a若xx) l01,N1 uub2((el0))(20Nl2111 N2a)、0b称为0 广义坐标
N1 1 形(状)函数 N2
N1 1 1, 2 0 时的
杆中位移.
u (x)
(1
x l
)1
x l
2
令 x ---自然坐标
l
N2 2 1,1 0 时的
杆中位移.
试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）
设路径为 y=y（x）
ds dx2 dy2
ds 1 y2
v
dx
dt
dt
v 2gh
1 y2
dt
dx
2gh
所需时间 T[ y(x)] a 0
1 y2 dx
2gh
a
A
X
y
Y
B
称T为y（x）的泛函， y（x）为自变函数。
即以函数作自变量以积 分形式定义的函数为泛函。
§1.1 泛函与变分
y*(x) y(x) y(x)
称 y(x)为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。
变分运算在形式上与微分运算相同。
y2 (x) 2 y(x)y(x)
微分与变分运算次序可以交换。
x x+dx
A
X
d (y) ( dy )
dx
dx
y* y*(x)
积分与变分运算次序也可以交换。
y
0
0
§1.3 势能原理
y（x）
平衡位置
1.应变能
弯曲应变能
拉压应变能
Ve P / 2
1 2
l Mdx
0
Ve P / 2
1
l
Ndx
20
剪切应变能 Ve P / 2
1
l
Qdx
20
2.外力势能
对于线弹性杆件体系
M Q N
EI
GA
EA
EP
1 2
l M2 [ 0 EI
Q2
N2 ]dx
GA EA
y
0
0
§1.3 势能原理
y（x）
平衡位置
4.势能原理
对于线弹性杆件体系
对于线弹性杆件体系,虚功方程为:
M Q N
l
q(x)y(x)dx
l
[M
M
Q
Q
N
N ]dx
0
0 EI GA EA
EI
GA
1 l M 2 Q2
EA
N2
或
EP 2
[ 0 EI
]dx GA EA
l
qydx
l[ M 2
---用杆端位移表示杆中内力
杆中任一点应变
du
dx
d N e dx
dN1 dx
dN2 dx
e
B e
B B1 B2 ---应变矩阵
杆中任一点应力
E
EB e
杆中任一截面的轴力
N A
EAB e
§1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
一、建立位移模式
F1
---用杆端位移表示杆中位移 1
Y
x2 f [x, y(x)]dx x2 [ f (x, y(x))]dx
x1
x1
dy
y( x) y=y（x）
q(x)
§1.2 变形体虚位移原理
外力虚功
l
y
We
内力虚功
q( x)y ( x)dx
0
l
Wi 0 [M (x)k(x) Q(x) N (x) ]dx
虚功方程
y（x）
平衡位置
有限单元法初步
有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。
有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。
离散化：
2
3
1
4
5
Hale Waihona Puke 水坝6单元分析：
整体分析： 求应力：
§1 杆系结构的有限单元法
§1.1 泛函与变分
“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下，
虚功方程
l
q(x)y(x)dx
l
[M (x)k(x) Q(x) N (x) ]dx
y
0
0
§1.3 势能原理
y（x）
平衡位置
1.应变能
弯曲应变能
拉压应变能
Ve P / 2
1 2
l
Mdx
0
Ve P / 2
1
l
Ndx
20
剪切应变能 Ve P / 2
1
l
Qdx
20
2.外力势能
P
P
P
外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功.
P1
P2 P3
Ve*
Pi i
Ve*
l 0
q(x) y(x)dx
3.结构势能
1 2
3
q(x)
EP Ve VP*
1
l
[M Q N ]dx
l
qydx
20
0
y(x)
q(x)
§1.2 变形体虚位移原理
虚功方程
l
q(x)y(x)dx
l
[M (x)k(x) Q(x) N (x) ]dx
Wi We
l
l
0 q(x)y(x)dx 0 [M (x)k(x) Q(x) N (x) ]dx
§1.3 势能原理
1.应变能
弯曲应变能
Ve P / 2
1 2
l
Mdx
0
拉压应变能
Ve P / 2
1 2
l
Ndx
0
剪切应变能 Ve P / 2
1
l
Qdx
20
P
P
P
q(x)
§1.2 变形体虚位移原理
N N1 N2 ---形函数矩阵
§1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
一、建立位移模式
F1
---用杆端位移表示杆中位移 1
q(x)
EA,l e
F2
2
x
u N e
N N1 N2
N1 1 N2
1
2
B1 1/ l B2 1/ l
二、应变分析
三、应力分析
---用杆端位移表示杆中应变
Q2
N 2 ]dx
0
0 2EI 2GA 2EA
l
0 qydx
[ l ( M 2
Q2
N 2 )dx
l
qydx] 0
0 2EI 2GA 2EA
0
即 EP 0
在弹性结构的一切可能位移中，真实位移 使结构势能取驻值。
满足结构位移边界条件的位移
§1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
q(x)
EA,l e
F2
2
x
u N e
N N1 N2
N1 1 N2
二、应变分析 ---用杆端位移表示杆中应变
B e
B1 1/ l
B B1 B2 B2 1/ l
三、应力分析
---用杆端位移表示杆中内力
单元1 应变能
2
Ve
1 2
l
N (x) (x)dx
形函F 数e 性FF质12 :e
单元杆端力
F1 1
q(x)
EA,l e
F2
2
x
1.
NNe 21((00))12
1e 0
N单1元(1)杆端0位移 N2 (1) 1
1
2
u ( ) (1 )1 2
一、建立位移模式
2. N1-(--)用杆N2端(位) 移 1表示杆中位移
N1
N
2
12
设杆u中(任) 中一点包位含移刚体u位(移x) a bx
外力从变形状态退回到移的
原始状态中所作的功.
Ve*
Pi i
Ve*
l 0
q(x) y(x)dx
3.结构势能
l
0 qydx
EP Ve VP*
1
l
[M Q N ]dx
l
qydx
20
0
q(x)
§1.2 变形体虚位移原理
虚功方程
l
q(x)y(x)dx
l
[M (x)k(x) Q(x) N (x) ]dx