有限单元法课件第四章杆件系统的有限元法
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有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
第四章有限元单元法
¾ ADINA
★ FLUENT
¾ ANSYS
★ SAP
(3) 有限单元法的未来
应用需求：技术革新、设计理论、 制造方法
基础产业：汽车、船舶、冶金、飞机 高新产业：航天、微电系统、纳米器
件：
(3) 有限单元法的未来 待发展的方面
1) 新的材料本构模型和单元型式
2) 结构在复杂环境条件下的全寿命过程响应分析
人类认识自然的得力助手
力学或工程领域求解问题的两大法宝：解 析法和离散法
4.1.1 有限单元法的基本概念
解析法：
它从研究连续体中无限小的微分体入手，得出 描述连续体性质的微分方程。然后根据边界条 件、初始条件可解得一个通解。这个解可给出连 续体内任一点上所求参数的值。 核心是微分方程。 微分方程的建立过程是近似的，而微分方程的 求解过程是精确的。
E
• 长度分别为l1、l2 • 桁架的铰链处受到外力 X1、Y1、X2、Y2、X3、Y3
• 在1点和3点固定铰支 求解内力
铰接桁架
求解过程：
(1). 将结构划分成典型单元的集合——离散化(节点力、节点位移)
－－求解过程：
(2).分析每个单元上节点力和节点位移之间的关系 ――单元特性分析
轧机牌坊（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
出钢机部件分析（三维壳体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
万向接轴叉头（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
轧钢机刚度（三维实体问题，多体接触）
稳静态结构问题实例
沧州铁狮子（三维不规则实体，弹性）
稳静态结构问题实例
轧制过程仿真（三维实体，弹塑性、接触）
.500E+09
10000
杆件结构的有限元法
F1 k11 k12 u1 u F k k 2 21 22 2
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧的力—位移关系
F1 k F2 k
k u1 k u2
弹簧的节点力向量和节点位移向量
F
F1 F 2
u
u1 u 2
1
2012/5/24
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力的刚度（矩阵形式表示）
1 2
k11 k12 k 21 k22
1
2
单个弹簧力和位移关系（矩阵形式）
2012/5/24
杆件结构的有限元法
杆件结构的有限元法
单个弹簧的刚度矩阵 组合弹簧的刚度矩阵 铰支杆系的有限元计算格式 单元坐标系统（局部坐标系）、整体坐标系 刚度、单元刚度矩阵、整体刚度矩阵 自由度
基本概念
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力和位移关系（线弹性）
F k
已知力和位移 未知力和位移
F1 K11 X 1 K12 X 2 F2 K 21 X 1 K 22 X 2 X 2 K 22 1 F2 K 21 X 1
4
2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件结构的单元划分、节点定义
节点定义 单元划分 节点力和位移
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件的力与变形关系
等效刚度
F
A E u L
第四章 杆件系统有限元法
K' = T K T
e e
=T K T
e e
eT
总体刚度矩阵组装
a)当整体刚度矩阵中Krs的子矩阵中r=s 时，该节点（节点r）被哪几个单元所 共有，则Krs就是这几个单元的刚度矩 阵中的子矩阵的相加。 b)当Krs中r≠s时，若rs边是组合体的内 边，则Krs就是共用该边的两相邻单元 刚度矩阵中的子矩阵Krse的相加. c)当Krs中r和s不同属于任何单元时，则 Krs=0。
有限元法基础
第四章 杆件系统有限元法
学习要点
杆件结构有限元分析的基本原理与平面 问题有限元分析的基本原理是一致的。 区别在于杆系结构在整体刚度矩阵组装 之前，需要利用坐标变换将局部坐标系 下的单元刚度矩阵变换成整体坐标系下 的单元刚度矩阵。
三节点三角形单元与桁架单元分析比较
ห้องสมุดไป่ตู้ 桁架单元转换矩阵
桁架单元分析过程所选用坐标是局部的 ，不同的单元一般具有不同的局部坐标 系，因而不能进行不同单元刚度矩阵间 的混合运算。 解决这个问题的唯一途径就是建立整体 坐标与局部坐标间的坐标变换，并通过 这种交换来得到单元刚度矩阵在整体坐 标系下的显式。
整体坐标系和局部坐标系中节点力之间 的转换关系：
F' = T F
e e e
Te称之为桁架单元 称之为桁架单元 转换矩阵
整体坐标系下的单元刚度矩阵
转换矩阵Te的逆矩阵等于其转制矩阵
T
e −1
=T
eT
整体坐标系下单元刚度矩阵与局部坐标 系下单元刚度矩阵的关系：
K =T
e e −1
K 'e T e
e e −1
桁架单元转换矩阵
整体坐标系中的节点位移用局部坐标系 中的节点位移表示为：
杆件系统有限单元法
e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
有限单元法课件第四章 杆件系统的有限元法
桁杆 梁
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
4 杆件系统有限元法
杆件系统有限元法 4.1.5 算例
用有限元法求解图示结构的桁架内力，设各杆的EA为常数。
y ② 2 ⑤ 3 P
①
⑥ ④ 1 l 4 x
l
③
杆件系统有限元法 4.1.5 算例
解： （1）单元和节点编码如图所示，图中箭头的指向为局部坐 标系的正向。
y ② 2 ⑤ 3 P
①
⑥ ④ 1 l 4 x
l
③
杆件系统有限元法 4.1.5 算例
第四章 杆件系统有限元法
杆件系统有限元法 第四章 杆件系统有限元法
§ 4.1 平面及空间桁架结构有限元
§ 4.2 平面及空间刚架结构有限元
杆件系统有限元法 4.1.1 桁架单元刚度矩阵
1.单元位移模式 如图所示的杆单元，横截面面积为A ，长度为 l ，材料弹 性模量为E，设单元有两个节点i , j，由于该单元只承受轴向 载荷，故节点位移只有轴向位移，节点位移向量为
e （2）计算各单元的单元刚度矩阵K 。
900 ；单元②， 单元①， 900 ；单元 00 ；单元③， 450 ，则 450 ；单元⑥， ④， 00 ；单元⑤，
0 0 EA 0 1 l 0 0 0 1
1 EA 0 l 1 0
式中：
的方向余弦。
cos 和 cos ——局部坐标 x 轴在整体坐标系下 cos 、
杆件系统有限元法 4.1.4 总体刚度矩阵
在组装桁架结构总体刚度矩阵时，首先要计算每一个单 元在整体坐标系下的刚度矩阵，这里需要强调的是：单元刚 度矩阵一定是在整体坐标系下的，而不是局部坐标系下的； 然后进行总体刚度的组装，桁架结构总体刚度矩阵的组装过 程与第3章中的平面问题（如三角形单元）是一致的。
有限元法PPT课件
重工业
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
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y
ui
uj
i i vi l
j j vj
x
二节点六自由度梁单元
1.单元位移函数 假定单元的位移函数如下多项式
u v
1 3
2x 4x
5x 2
6 x 3
式中, u 为沿 x 方向的位移; v 为沿 y 方向的位移; i 为广
义坐标,共有6个,可由单元的6个节点位移确定。
将节点i,j的位移和坐标值代入上式,便可求出1,2 , ,6 ,经
效节点载荷分别为
R
e P
RiP R jP
R
lP
Rlx Rly
Rl
l
NlT
Px
Py
dx
(l i, j)
(4-12)
R
e F
RiF R jF
R
Ni
N1 0
0 N2
0
N3
N
j
N 0
4
0 N5
0
N
6
其中每个矩阵元素称为形函数,表达式为
N1
1
x l
N2
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N3
x
2 l
x2
1 l2
x2
N4
x l
N5
3 l2
x2
2 l3
x3
N6
1x2 l
1 l2
x3
单元的节点位移向量qe 为
qe
qi q j
式中
qi
uvii
在杆件结构中,垂直于长度方向的截面称为横截面, 横截面中心的连线称为轴线,如图所示。
如果杆的轴线是直线,则称为直杆;如果轴线为曲线, 则称为曲杆;如果杆的各个横截面尺寸和形状不变, 则称为等截面杆,反之则称为变截面杆。
曲杆
直杆
变截面杆
杆件结构
杆件结构可分为桁杆和梁两类。 和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆,如图(a)所示。 桁杆的连接处可以自由转动,因此这类结构只承受拉 压作用,内部应力为拉压应力。影响应力的几何因素 主要是截面面积,与截面形状无关;
整理得到用节点位移表示的单元位移函数为
u N1ui N4u j
v N2vi N3i N5v j N6 j
即单元位移可写成如下矩阵形式
d
u
v
Ni qi
N jqj
N qe
式中, N 称为形函数矩阵, qe 为单元节点位移列阵。
形函数矩阵 N 的表达式为
N Ni N j
式中, Ni , N j 是它的分块矩阵,分别为
1 第一章 绪论 2 第二章 有限元法的基本原理 3 第三章 轴对称问题的有限元解法 4 第四章 杆件系统的有限元法 5 第五章 空间问题的有限元法
第四章 杆件系统有限元法
第一节 引言
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时,这 类结构称为杆件。
工程中常见的轴,支柱,螺栓,加强肋以及各类型钢等 都属于杆件。
12EI l3
0
k
e
EA
6EI l2
0
4EI l
0
EA
l
l
12EI 6EI
12EI
0
l3
l2
0
l3
0
6EI 2EI
l2
l
0
6EI 4EI
l2
l
4.局部坐标系中的单元等效节点载荷列阵 R
等效节点载荷 Rix 、Riy 和 Ri 分别对应于该节点的节点位
移 ui 、vi 和 i .分布载荷P,集中力F和集中力偶矩M产生的等
二、单元分析
通常采用的梁单元有两个节点,单元形状为一条直线。每个节 点具有三个自由度,包括2个移动自由度和1个转动自由度,
即 u , v , ,如图所示。以节点i为原点,以杆件的轴线为局部 坐标系的 x 轴,以 x 轴的正向逆时针旋转90℃为 y 轴的正向。
符号中的上划线表示是局部坐标系中的物理量,没有上划线的 则是总体坐标系中的物理量。
惯性矩;E是材料弹性模量。
3.局部坐标系中的单元刚度矩阵 对杆件系统同样可以由虚位移原理推导出单元的刚度方程
k e qe R e (4-9)
其中, k e为杆件在局部坐标系中的单元刚度矩阵,其表达式 为
k e
T
B D B dx
BiT
B
T j
D
Bi
kii k ji
kij k jj
Bj dx
其中矩阵元素为
kst
BsT
T
D
Bt
dx
as
0
0
0
bs cs
EA 0
0 at
EI
0
0 bt
0
ct
dx
EAas at
0
0
0 EIbsbt EIcsbt
0 EIbsct dx EIcsct
将式(4-7)代入上式并积分,得到单元刚度矩阵为
EA
l
0
梁 桁杆
(a)
(b)
和其他结构采用固定连接的杆称为梁,如图(b)所示。 梁的连接处不能自由转动,因此梁不仅能够承受拉压, 而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件的内部应力 状态比较复杂,应力大小和分布不仅与截面大小有关, 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时,这两类杆件结构可用相应的杆单 元和梁单元离散。
x
x
dx d2v
B
qe
Bi
dx2
Bj qe
其中
Bi
ai 0
0 bi
0
ci
Bj
a j 0
0 bj
0
c
j
(4-6)
ai
a j
1 l
bi
bj
12 l3
x
6 l2
ci
4 l
6 l2
x
cj
2 l
6 l2
x
(4-7)
单元应力为
N M
D
D Bqe
D
EA
0
0
EI
式中, N , M 是杆的轴向力和弯矩;A,I是杆的截面积和截面
梁 桁杆
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
qj
u v
j j
i
Hale Waihona Puke j2.单元应变矩阵和应力矩阵
对于长细比较大的杆件可以忽略其切应变变形,此时单 元应变只包含轴向变形和弯曲变形两部分,即
du
x
x
dx d2v
B
qe
Bi
Bj qe
dx2
式中, k 变形。
d2v dx2
,即为弯曲变形,它是垂直于杆件轴线方向的
du
第二节 平面刚架有限元法
如果结构中各杆件的轴线以及所有外力的作用线都位于 同一平面内,并且杆件之间是刚性连接,则此类杆件系统称为 平面刚架。
一、结构离散
平面刚架通常用平面梁单元离散。刚架中各杆件(单元)有各 自的局部坐标,其方向即为该杆件的轴线方向。对于不同的 杆件,其局部坐标系可能不相同。由于结构的刚度方程是在 统一的坐标系(即总体坐标系)中建立并求解的,因此需要将每 个单元在局部坐标系中的各个量转换到总体坐标系中。
ui
uj
i i vi l
j j vj
x
二节点六自由度梁单元
1.单元位移函数 假定单元的位移函数如下多项式
u v
1 3
2x 4x
5x 2
6 x 3
式中, u 为沿 x 方向的位移; v 为沿 y 方向的位移; i 为广
义坐标,共有6个,可由单元的6个节点位移确定。
将节点i,j的位移和坐标值代入上式,便可求出1,2 , ,6 ,经
效节点载荷分别为
R
e P
RiP R jP
R
lP
Rlx Rly
Rl
l
NlT
Px
Py
dx
(l i, j)
(4-12)
R
e F
RiF R jF
R
Ni
N1 0
0 N2
0
N3
N
j
N 0
4
0 N5
0
N
6
其中每个矩阵元素称为形函数,表达式为
N1
1
x l
N2
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N3
x
2 l
x2
1 l2
x2
N4
x l
N5
3 l2
x2
2 l3
x3
N6
1x2 l
1 l2
x3
单元的节点位移向量qe 为
qe
qi q j
式中
qi
uvii
在杆件结构中,垂直于长度方向的截面称为横截面, 横截面中心的连线称为轴线,如图所示。
如果杆的轴线是直线,则称为直杆;如果轴线为曲线, 则称为曲杆;如果杆的各个横截面尺寸和形状不变, 则称为等截面杆,反之则称为变截面杆。
曲杆
直杆
变截面杆
杆件结构
杆件结构可分为桁杆和梁两类。 和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆,如图(a)所示。 桁杆的连接处可以自由转动,因此这类结构只承受拉 压作用,内部应力为拉压应力。影响应力的几何因素 主要是截面面积,与截面形状无关;
整理得到用节点位移表示的单元位移函数为
u N1ui N4u j
v N2vi N3i N5v j N6 j
即单元位移可写成如下矩阵形式
d
u
v
Ni qi
N jqj
N qe
式中, N 称为形函数矩阵, qe 为单元节点位移列阵。
形函数矩阵 N 的表达式为
N Ni N j
式中, Ni , N j 是它的分块矩阵,分别为
1 第一章 绪论 2 第二章 有限元法的基本原理 3 第三章 轴对称问题的有限元解法 4 第四章 杆件系统的有限元法 5 第五章 空间问题的有限元法
第四章 杆件系统有限元法
第一节 引言
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时,这 类结构称为杆件。
工程中常见的轴,支柱,螺栓,加强肋以及各类型钢等 都属于杆件。
12EI l3
0
k
e
EA
6EI l2
0
4EI l
0
EA
l
l
12EI 6EI
12EI
0
l3
l2
0
l3
0
6EI 2EI
l2
l
0
6EI 4EI
l2
l
4.局部坐标系中的单元等效节点载荷列阵 R
等效节点载荷 Rix 、Riy 和 Ri 分别对应于该节点的节点位
移 ui 、vi 和 i .分布载荷P,集中力F和集中力偶矩M产生的等
二、单元分析
通常采用的梁单元有两个节点,单元形状为一条直线。每个节 点具有三个自由度,包括2个移动自由度和1个转动自由度,
即 u , v , ,如图所示。以节点i为原点,以杆件的轴线为局部 坐标系的 x 轴,以 x 轴的正向逆时针旋转90℃为 y 轴的正向。
符号中的上划线表示是局部坐标系中的物理量,没有上划线的 则是总体坐标系中的物理量。
惯性矩;E是材料弹性模量。
3.局部坐标系中的单元刚度矩阵 对杆件系统同样可以由虚位移原理推导出单元的刚度方程
k e qe R e (4-9)
其中, k e为杆件在局部坐标系中的单元刚度矩阵,其表达式 为
k e
T
B D B dx
BiT
B
T j
D
Bi
kii k ji
kij k jj
Bj dx
其中矩阵元素为
kst
BsT
T
D
Bt
dx
as
0
0
0
bs cs
EA 0
0 at
EI
0
0 bt
0
ct
dx
EAas at
0
0
0 EIbsbt EIcsbt
0 EIbsct dx EIcsct
将式(4-7)代入上式并积分,得到单元刚度矩阵为
EA
l
0
梁 桁杆
(a)
(b)
和其他结构采用固定连接的杆称为梁,如图(b)所示。 梁的连接处不能自由转动,因此梁不仅能够承受拉压, 而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件的内部应力 状态比较复杂,应力大小和分布不仅与截面大小有关, 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时,这两类杆件结构可用相应的杆单 元和梁单元离散。
x
x
dx d2v
B
qe
Bi
dx2
Bj qe
其中
Bi
ai 0
0 bi
0
ci
Bj
a j 0
0 bj
0
c
j
(4-6)
ai
a j
1 l
bi
bj
12 l3
x
6 l2
ci
4 l
6 l2
x
cj
2 l
6 l2
x
(4-7)
单元应力为
N M
D
D Bqe
D
EA
0
0
EI
式中, N , M 是杆的轴向力和弯矩;A,I是杆的截面积和截面
梁 桁杆
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
qj
u v
j j
i
Hale Waihona Puke j2.单元应变矩阵和应力矩阵
对于长细比较大的杆件可以忽略其切应变变形,此时单 元应变只包含轴向变形和弯曲变形两部分,即
du
x
x
dx d2v
B
qe
Bi
Bj qe
dx2
式中, k 变形。
d2v dx2
,即为弯曲变形,它是垂直于杆件轴线方向的
du
第二节 平面刚架有限元法
如果结构中各杆件的轴线以及所有外力的作用线都位于 同一平面内,并且杆件之间是刚性连接,则此类杆件系统称为 平面刚架。
一、结构离散
平面刚架通常用平面梁单元离散。刚架中各杆件(单元)有各 自的局部坐标,其方向即为该杆件的轴线方向。对于不同的 杆件,其局部坐标系可能不相同。由于结构的刚度方程是在 统一的坐标系(即总体坐标系)中建立并求解的,因此需要将每 个单元在局部坐标系中的各个量转换到总体坐标系中。