Chapter_22

由式（2.25）及（2.26） ，就可很容易得到
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《 Linear System Theory and Design 》教案
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0 0 0 &1 0 1 x mg 1 x 0 − & 2 0 0 M = x + M u 0 0 0 1 0 &3 x 1 & 0 0 ( M + m ) g 0 x4 Me Me y = [1 0 0 0]x & 均很小时来描述系统。 此 4 维状态方程，可在 θ 和 θ
如果，我们将 2H 电感两端的电压及流经 2Ω电阻的电流作为输出，则有 & 3 = x1 − x 2 − x3 = [ 1 − 1 − 1 ] x y1 = 2 x 中国科学技术大学 自动化系
(2.30)
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y 2 = 0.5(u1 − x1 ) = [ 0.5 0 0 ] x + [ 0.5 0 ]u
Procedure for developing state-space equations normal tree
[注 4]：读者可跳过此步骤直接倒 2.13
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例 2.12 考虑如图 2.16 所示的网络。所选择的正规树如图中粗线所示。它由电 压源，两个电容和一个 1Ω的电阻组成。正规树中的电容电压和链中的电感电流 &1 ；1F 电容两端的 选作为状态变量。若 3F 电容两端的电压记作 x1，则其电流为 3x & 2 ；流经 2H 电感的电流记作 x3 则其电压为 2 x & 3 。因 2 电压记作 x2，则其电流为 x Ω电阻是一个链， （将 KVL 用于）它的基本回路，可见其电压为 u1 − x1 。这样流 经它的电流为 (u1 − x1 ) 2 。1Ω电阻是一个树支， （将 KCL 用于）它的基本割集， 可见其电流为 x3，这样它两端的电压为 1 ⋅ x3 = x3 。至此完成了第三步。
&1 = − x &2 = x
x x1 u − 3 + RC1 C1 RC1
1 x3 C2
对右回路使用基尔霍夫电压定理则得到 & 3 = x1 − x 2 Lx 即
&3 = x
输出由下式给出
x1 − x 2 L
& 3 = x1 − x 2 y = Lx
它们可以合并在一起并写成矩阵形式，即
− 1 / C1 0 − 1 / RC1 1 / RC1 &= 0 0 1 / C2 x + 0 u x − 1 / 1 / 0 0 L L y = [1 − 1 0]x + 0 ⋅ u
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graph concept tree branch
systematically link node
the algebraic sum of all voltages along every loop is zero
the algebraic sum of all branch currents in every cutset is zero tree branch fundamental loop fundamental cutset
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它们也可以写成矩阵形式： − 1 − 1 1 0 0 y= x+ u − 0.5 0 0 0.5 0 方程（2.30）与（2.31）就是题给网络的状态空间描述。 该网络的传递矩阵可以由网络直接求得，或用式（2.16） ： − 1 ˆ ( s ) = C ( sI − A) B + D G 此式的计算，亦可用 MATLAB 语言，我们只须键入： a=[-1/6 0 -1/3;0 0 1;0.5 -0.5 -0.5];b=[1/6 1/3;0 0;0 0]; c=[1 -1 -1;-0.5 0 0];d=[0 0;0.5 0] [n1,d1]=ss2tf(a,b,c,d,1) 就会得到 n1= 0.0000 0.5000 d1= 1.0000 （以下略） 0.6667 0.7500 0.0833 0.1667 -0.0000 -0.0000 0.2500 0.3333 -0.0000
图 2.12 倒摆车 设 H 和 V 分别表示小车给予摆的水平和垂直方向的作用力。 应用牛顿定律于直线 运动得： d2y M 2 =u−H dt d2 H = m 2 ( y + e sin θ ) = my ′′ + meθ ′′ cosθ − meθ ′′) 2 sin θ dt 2 d mg − v = m 2 (e cosθ ) = me[−θ ′′ sin θ − (θ ′′) 2 cosθ ] dt 将牛顿定理应用于摆的旋转运动得： 中国科学技术大学 自动化系 06-10-24
ˆyu ( s ) 和 u 到θ的传递 根据这两个等式我们可以很快地求得从 u 到 y 的传递函数 g ˆθu ( s ) : 函数 g
ˆ yu ( s ) = g s2 − g s 2 [ MS 2 ( M + m) g ] ˆθu ( s ) = g −1 MS − ( M + m) g
2
& ，然后 为了导出状态空间方程，我们选择状态变量： x1 = y , x2 = y , x3 = θ, x 4 = θ
这个三维状态方程所描述的网络如图 2.15 所示
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《 Linear System Theory and Design 》教案 用上例中使用的步骤可以导出简单的 RLC 网络的状态方程。步骤相当简单： 指定状态变量，然后用支路特性及基尔霍夫定律来建立状态方程。我们将指出， 用图论的概念可以将上述步骤表述得更为系统化。当然，跳过步骤的叙述及随后 的例 2.12，并不影响连续性。 首先，简单介绍一下有关网络的树，链，割集等概念。我们仅考虑联通网络。 所有的电容，电感，电阻，电压流，电流源均被看作是支路。支路与支路在节点 处相连。这样，网络可认为是仅由支路和节点组成。回路是支路的一种连接，即 从某点出发，又回到同一点，途中任何一点都只经过一次。沿任一回路,其电压 的代数和为零（基尔霍夫电压定律） ，连接到一个节点上的所有支路的集合称作 割集。 更一般地， 连通网络的割集是一类支路的最小集合： 如果将该集合中的 （所 有）支路移去，则网络的剩余部分就将成为非连通网络。例如：将与某节点连接 的所有支路移去，则该节点与剩下的网络即失去连通。流入每一个割集的支路电 流的代数和为零（基尔霍夫电流定律） 。 网络的树定义为：能连接网络中所有节点，但又不构成回路的任意一种支路 的连接方式。对于一个给定的树，若某支路在树上（用来构成树）则称之为树支, 否则称为链。对于一个选定的树，每一个链（和该树的若干树支）可构成唯一的 回路，称之为基本回路，该回路的剩余部分均为树支。每一个树支对应一个唯一 的割集，称之为基本割集，其中除该树支外的所有支路均为链。换言之：每个基 本回路仅包含一个链，每一个基本割集紧包含一个树支。
3F 电容是一个树支，其基本割集如图所示，该割集电流的代数和为零，即 u1 − x1 &1 + u2 − x3 = 0 − 3x z 它意味着： 1 1 1 1 &1 = − x1 − x3 + u1 + u2 x 6 3 6 3 & 1F 电容是一个树支，从它的基本割集，我们有 x2 − x3 = 0 ，即 & 2 = x3 x & 3 + x3 − x1 + x 2 = 0 ，即 2F 电感是一个链，沿其基本回路的电压是 2 x 1 1 1 & 3 = x1 − x2 − x3 x 2 2 2 它们可用矩阵形式表示为 1 0 −1 − 1 1 6 3 6 3 &= 0 0 1 x + 0 0 u x −1 −1 1 0 0 2 2 2
V=mg
和
My ′′ = u − my ′′ − meθ ′′ gθ = eθ ′′ + y ′′
这就意味着： My ′′ = u = mgθ Meθ ′′ = ( M + m) gθ − u （2.25） （2.26）
用这些线性化的方程，便可得到输入输出描述和状态空间描述。设初始条件为 零，对（2.25）和（2.26）式应用拉普拉斯变换可得： ˆ( s) ˆ ( s) = u ˆ ( s ) − mgθ MS 2 y ˆ( s ) = ( M + m) gθ ˆ( s) − u ˆ (s) Mes 2 .θ
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mge sin θ = meθ ′′.e + mg ′′e cosθ
此乃一非线性方程组，因本例的目的是要保持摆位于垂直位置，故作θ和 ` θ 甚小 的假设是合理的。在此假设下，就可要用 sin θ =θ和 cosθ =1 的近似式。若在θ和 θ 式中仅保留线性项亦即舍弃 θ 2 , ` θ 2,θ` θ ，θ θ ′′ 诸项，我们就得到 `
2.5.1 RLC 网络
RLCnetworks
capacitance inductance
在 RLC 网络中，电容和电感可以储存能量，故通常与状若电感的电流 capacitor 容的电压被指定为状态变量 x，则其电流就是 Cx & 其中 L 为电感值。 被指定为状态变量 x， 则其电压为 Lx 注意， 电阻为非储能元件， inductor 故不需要特别指定它的电流或电压为状态变量。 对大多数简单的 RLC 网络， 一旦 指定了状态变量，则其状态方程便可通过基尔霍夫电流定律和电压定律导出我们 将通过下面的例子来说明。 考虑如图 2.15 所示的网络，记电容 Ci 的电压为 xi , i = 1, 2 、电感的电流 &1 , C 2 x & 2 以及 L x & 3 ，极性如 为 x3，指定其极性很重要。它们的电流和电压分别为 C1 x 例 2.11 图所示。由图可见，电阻两端的电压是 u − x1 ，极性如图示，于是，电流为 (u − x1 ) R 。 中国科学技术大学 自动化系