北京市海淀区2017届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)(1)
2017海淀区高三(上)期中数 学(文)
2017海淀区高三（上）期中数学（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1}2．（5分）已知向量=（﹣1，x），=（﹣2，4）．若∥，则x的值为（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）已知命题p：∀x＞0，x+≥2命题q：若a＞b，则ac＞bc．下列命题为真命题的是（）A．q B．￢p C．p∨q D．p∧q4．（5分）若角θ的终边过点P（3，﹣4），则tan（θ+π）=（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y=x a，y=log b x的图象如图所示，则（）A．b＞1＞a B．b＞a＞1 C．a＞1＞b D．a＞b＞16．（5分）设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）给定条件：①∃x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）；②∀x∈R，f（1﹣x）=f（1+x）的函数个数是下列三个函数：y=x3，y=|x﹣1|，y=cosπx中，同时满足条件①②的函数个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=，若方程f（x）=有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．﹣≤a＜B．C．0≤a＜1 D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）计算lg2﹣lg+3lg5= ．10．（5分）已知sinα=，则cos2α= ．11．（5分）已知函数y=f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数y=f（x）在x= 处取得极值．12．（5分）在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若=λ+μ，则λ﹣μ= ．13．（5分）在△ABC中，cosA=，7a=3b，则B= ．14．（5分）去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+φ）（a，b为常数，0＜φ＜）．其中三个月份的月平均气温如表所示：x 5 8 11y 13 31 13则该地2月份的月平均气温约为℃，φ= ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，且a2=﹣1，数列{b n}满足b n﹣b n﹣1=a n（n=2，3，4，…），且b1=b3=1．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．17．（13分）如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求CD的长．18．（14分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．19．（13分）已知{a n}是等比数列，a2=2且公比q＞0，﹣2，a1，a3成等差数列．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）已知b n=a n a n+2﹣λna n+1（n=1，2，3，…），设S n是数列{b n}的前n项和．若S1＞S2，且S k＜S k+1（k=2，3，4，…），求实数λ的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=x3﹣9x，g（x）=3x2+a．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点处具有公共切线，求a的值；（Ⅱ）若存在实数b使不等式f（x）＜g（x）的解集为（﹣∞，b），求实数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，写出实数a的值．（只需写出结果）数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．2．【解答】向量=（﹣1，x），=（﹣2，4）．若∥，可得﹣2x=﹣4，解得x=2．故选：D．3．【解答】∵x＞0时，，当且仅当x=1时取“=”；∴命题p为真命题，则￢p假；若a＞b＞0，c＜0，则ac＞bc不成立；∴命题q为假命题；∴p∨q为真命题．故选C．4．【解答】∵角θ的终边过点P（3，﹣4），则tan（θ+π）=﹣tanθ=﹣=﹣=，故选：C．5．【解答】由图象可知，0＜a＜1，b＞1，故选：A．6．【解答】若|+|＞|﹣|，则等价为|+|2＞|﹣|2，即||2+||2+2•＞||2+||2﹣2•，即4•＞0，则•＞0成立，反之，也成立，即“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的充要条件，故选：C．7．【解答】条件②说明函数的对称轴是x=1，函数y=x3是奇函数，满足条件．①，但不满足条件②，y=|x﹣1|的对称轴是x=1，满足条件．②，不满足条件①，y=cosπx中，当x=1时，y=cos（﹣π）=﹣1，此时函数关于x=1对称，满足条件②，当x=时，f（﹣）=cos（﹣π）=0，f（）=cos（π）=0，即此时满足f（﹣）=﹣f（），满足条件．①，故同时满足条件①②的函数是y=cosπx，故选：B．8．【解答】当x≤0时，a＜f（x）≤1+a，若a≥0，当x＞0时，f（x）=ln（x+a）≥lna，若方程f（x）=有两个不相等的实数根，则，即，得≤a＜，∵a≥0，∴0≤a＜，若a＜0，当x＞0时，f（x）=ln（x+a）∈R，即此时函数f（x）=有一个解，则当x≤0时，f（x）=有一个解即可，此时满足1+a≥＞a，即可，则﹣≤a＜0，综上﹣≤a＜，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】lg2﹣lg+3lg5=3lg2+3lg5=3lg10=3．故答案为：3．10．【解答】∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．11．【解答】函数y=f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，x＜﹣1时，f′（x）＜0，x＞﹣1时，f′（x）≥0，所以函数只有在x=﹣1时取得极值．故答案为：﹣1．12．【解答】如图在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若=λ+μ===，所以，；故答案为：．13．【解答】∵在△ABC中，cosA=，∴sinA==，∵7a=3b，∴sinB==×=，∵B∈（0，π），∴B=或．故答案为：或．14．【解答】∵函数y=a+bsin（x+φ）（a，b为常数），∴当x==8时，sin（x+φ）取得最大或最小值，∴×8+φ=+kπ，k∈Z，解得φ=kπ﹣，k∈Z，又0＜φ＜，∴φ=；∴a﹣b=31，且a+bsinπ=13，解得a=13，b=﹣18；∴y=13﹣18sin（x+），当x=2时，y=13﹣18sin（×2+）=﹣5（°C）．故答案为：﹣5，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=（cos2x+sin2x）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin （2x﹣），∴f（0）=sin（0﹣）=﹣．（Ⅱ）由于函数f（x）=sin（2x﹣），故它的最小正周期为=π，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．16．【解答】（Ⅰ）由数列{b n}满足b n﹣b n﹣1=a n，（n≥2，n∈N*），∴b2﹣b1=a2=﹣1，b1=b3=1，∴b2=0，a3=b3﹣b2=1，∵数列{a n}是等差数列，∴d=a3﹣a2=1﹣（﹣1）=2，∴a1=a2﹣d=﹣1﹣2=﹣3，a1的值﹣3；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{a n}是以﹣3为首项，以2为公差的等差数列，a n=﹣3+2（n﹣1）=2n﹣5，∴当n≥2时，b n﹣b n﹣1=2n﹣5，b n﹣1﹣b n﹣2=2（n﹣2）﹣5，…b2﹣b1=﹣1，将上述等式相加整理得：b n﹣b1=•（n﹣1）=n2﹣4n+3，∴b n=n2﹣4n+4，（n≥2），当n=1时，b1=1也满足，∴b n=n2﹣4n+4（n∈N*）．17．【解答】（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，又∵BC=2CD，∴AC=2CD，∴在△ACD 中，由正弦定理可得：，∴==．（Ⅱ）设CD=x，则BC=2x，∴BD=3x，∵△ABD中，AD=，AB=2x，∠B=，∴由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠B，即：7=4x2+9x2﹣2x×3x，解得：x=1，∴CD=1．18．【解答】（Ⅰ）a=1时，f（x）=，x∈R，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，∴f（x）在（﹣∞，2）递增，在（2，+∞）递减；（Ⅱ）由f（x）=得：f′（x）=，x∈[0，1]，令f′（x）=0，∵a＜0，解得：x=1+＜1，①1+≤0时，即﹣1≤a＜0时，f′（x）≥0对x∈[0，1]恒成立，∴f（x）在[0，1]递增，f（x）min=f（0）=﹣1；②当0＜1+＜1时，即a＜﹣1时，x，f′（x），f（x）在[0，1]上的情况如下：x 0 （0，1+）1+（1+，1）1f′（x）﹣0 + f（x）递减极小值递增∴f（x）min=f（1+）=；综上，﹣1≤a＜0时，f（x）min=﹣1，a＜﹣1时，f（x）min=．19．【解答】（Ⅰ）由﹣2，a1，a3成等差数列，∴2a1=﹣2+a3，∵{a n}是等比数列，a2=2，q＞0，∴a3=2q，a1==，代入整理得：q2﹣q﹣2=0，解得：q=2，q=﹣1（舍去），∴q=2，（Ⅱ）由（Ⅰ）a n=2n﹣1，b n=a n a n+2﹣λna n+1=4n﹣λn2n，由S1＞S2，∴S2﹣S1＜0，即b2＜0，∴42﹣2λ•22＜0，解得：λ＞2，S k＜S k+1（k=2，3，4，…）恒成立，b n=a n a n+2﹣λna n+1，即λ＜，设c k=（k≥2，k∈N*），只需要λ＜（c k）min（k≥2，k∈N*）即可，∵=×=＞1，∴数列{c n}在k≥2且k∈N*上单调递增，∴（c k）min=c2==，∴λ＜，∵λ＞2，∴λ∈（2，）．20．【解答】（Ⅰ）设f（x）与g（x）的交点坐标为（x0，y0），由，解得x0=﹣1或x0=3，解得a的值为：5或﹣27．（Ⅱ）令h（x）=x3﹣3x2﹣9x，则y=h（x）的图象在直线y=a下方的部分对应点的横坐标x∈（﹣∞，b），由h′（x）=3x2﹣6x﹣9=0，解得x的值．h′（x），h（x）的情况如下：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞） h（x）+ 0 ﹣0 + h′（x）增极大值减极小值增因为h（a2+5）=（a2+5）（a4+7a2+1）＞a2+5≥2|a|≤a，即h（a2+5）＞a；h（﹣a2﹣2）=﹣（a2+2）（a4+7a2+1）＜﹣（a2+2）≤﹣2|a|≤a，即h（﹣a2﹣2）＜a，（或者：因为当x→+∞时，h（x）→+∞，当x→﹣∞时，h（x）→﹣∞），又因为：h（x）max=h（﹣1）=5，h（x）min=h（3）=﹣27．所以当a＞5或a≤﹣27满足条件．（Ⅲ）由（Ⅱ）h（x）=x3﹣3x2﹣9x，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，则h′′（x）=6x﹣6，令6x﹣6=0，可知x=1，此时y=﹣11，函数h（x）的对称中心为：（1，﹣11），方程f（x）=g（x）有三个不同的解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，实数a的值：﹣11．11 / 11。
2017年高考真题(全国Ⅲ卷)数学理科含解析
2017年普通高等学校招生统一考试全国卷Ⅲ理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={}22x y y x│，则A B=(,)(,)1│，B={}x y x y+=中元素的个数为A．3 B．2 C．1D．0【答案】B【解析】【考点】交集运算；集合中的表示方法。
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。
集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。
2．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣= A ．12 BCD ．2【答案】C 【解析】【考点】 复数的模；复数的运算法则 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有： (1)1212z zz z ±=± ；(2) 1212z z z z ⨯=⨯；(3)22z z z z⋅== ；(4)121212z z z z z z -≤±≤+ ；(5)1212z zz z =⨯ ；(6)1121z z z z =。
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】动性大，选项D说法正确；故选D。
【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。
北京市西城区161中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题
北京一六一中学2017届高三年级第一学期期中考试理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{A x y ==，{}220B x x x =-<，则AB =（ ）．A ．{}0x x >B ．{}0x x ≥C ．{}01x x <<D ．{}12x x <≤【答案】A【解析】∵{}1A x x =≥，{}02B x x =<<， ∴{}0A B x x =>，选择A ．2．极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ）．A ．直线、直线B ．圆、圆C ．直线、圆D ．圆、直线 【答案】D【解析】∵cos x ρθ=，cox ρθ=， ∴2x ρ=，∴22x y x =+是极坐标方程表示的曲线． 即221124x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭+，表示圆，参数方程表示的是10x y =++，表示一条直线． ∴选D ．3．设2ii(,)12i x y x y +=+∈+R ，则i x y +=（ ）．A．1BCD ．2【答案】A 【解析】∵2i (2i)(12i)43i 43i 12i (12i)(12i)555--===--++++，∴|1x y +， ∴选择A ．4．若非零平面向量a ，b 满足a b a b +=-，则（ ）． A ．a b =B ．a b =C ．a b ∥D ．a b ⊥【答案】D【解析】∵||||a b a b =-+，∴222222a a b b a a b b ⋅⋅=-⋅⋅+++，∴0a b ⋅=，∵a ，b 均为非零向量， ∴a b ⊥．综上所述，答案为D ．5．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）．图①图②图③图④A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和② 【答案】D 【解析】在坐标中，标出已知点，可知选择④和②， ∴选择D ．6．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，在一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）．A．24B．18C．12D．9【答案】B【解析】从E到F，东西向街道被分为2段，每条南北向也分为2段，无论怎么走，一定包括4段，其中2段相同，另2段相同，∴共有24C6=种．同理F到G最短有13C3=种，∴共有6318⨯=种，选择B．7．设抛物线22y x=的焦点为F，过点M的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，2BF=，则BCF△与ACF△的面积之比BCFACFSS=△△（）．A．23B．34C．45D．56【答案】A【解析】如图所示过A，B分别作准线1:2l x=-的垂线，垂足分别为1A，1B．∵BCFACFS BCS AC=△△，又∵11B BC A AC△∽△，∴11||||BC BBAC AA=．根据抛物线定义知11||||2||||||BB BFAA AF AF==，由1||||2BF BB ==知32B x =，B y =∴直线:02AB y x -．将22y x =代入上式，可得2A y =，2A x =，∴15||||2AF AA ==，∴||245||52BCF ACF S BF S AF ===△△．∴选择A ．8．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格1P 低于均衡价格0P 时，供求量大于供应量，价格会上升为2P ；当产品价格2P 高于均衡价格0P 时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格0P ．能正确表示上述供求关系的图形是（ ）．A ．P P PB ．P P P 数量C ．PP PD ．P P P【答案】D【解析】当1P 低于0P 时，需求大于供应量，排除B ，C ，且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除A ，选择D ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为__________．【答案】22(1)(1)2x y -=++ 【解析】∵圆心在0x y =+上， ∴设圆心坐标为(,)a a -．∵C 与0x y -=和4x y --都相切， r =，解得1a =，22r =， ∴C 的方程为22(1)(1)2x y -=++．10．5(2x 的展开式中，72x 的系数是__________．（用数字填写答案） 【答案】40-【解析】通项公式5552155C (2)(2C (1)r r rr rr rr T x x---+==-⋅，令7522r -=，解得3r =， ∴72x 系数为3354C (1)40-=-．11．双曲线221916x y -=的右焦点F 坐标为__________，过右焦点F 且平行于该双曲线渐近线的直线方程是__________．【答案】(5,0)，43200x y --=或43200x y --+= 【解析】∵3a =，4b =，∴5c =，∴右焦点(5,0)，双曲线渐进方程为43y x =±，∴过右焦点F 且与渐进线平行的直线方程为4(5)3y x =±-，即43200x y --=和43200x y --+=．12．函数π()2sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则ω=__________，ϕ=__________．【答案】2π3；π6 【解析】由图可知3T =，∵2πT ω=，2π3ω=． 由函数图象经过(0,1)， ∴2π12sin 043⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，∴π2π6k ϕ=+或5π2π6k ϕ=+，(k ∈Z )， ∵π||2ϕ<，∴π6ϕ=．13．已知11,1,()ln ,01,x f x x x x ⎧-⎪=⎨⎪<<⎩≥若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的取值范围是__________．【答案】(,1][0,1]-∞-【解析】由题可画出()y f x =的图像，和(1)y k x =-只有一个交点．(x-1)∵(1)y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k ． ∵01x <<时，1()1f x x'=>， 当1x ≥时，21()[1,0)f x x '=∈-，∴[](,1]0,1k ∈-∞-．14．已知点(1,1)A ，若曲线G 上存在两点B ，C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：①2y x =--；②0)y x ≤；③1(0)y x x=->．其中，是Γ型曲线的有__________．【答案】①③【解析】∵(1,1)A 在2y x =--之外，∴①正确，是Γ型曲线．对于曲线②，表示圆222x y =+的第二象限的14部分，显然不存在，故②不是Γ型曲线． 对于曲线③，表示位于第四象限的一支双曲线，以A 为圆心做顶角为60︒的圆弧，易知与之相交时，符合条件，∴③是Γ型曲线．∴答案为①③三、解答题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （I ）求tan α的值． （Ⅱ）求sin 2cos sin cos2αααα-的值．【答案】【解析】（Ⅰ）∵π1tan tan 41tan 2ααα⎛⎫= ⎪-=⎝⎭++，∴1tan =22tan αα-+，∴1tan 3α=．（Ⅱ）∵sin2cos sin 2sin cos sin cos2cos2a ααααααα--= 2sin (2cos 1)cos2ααα-=sin α=．∵1tan =3α，∴cos 3sin αα=．又∵22sin cos 1αα=+，∴21sin 10α=，又α为锐角，∴sin α=∴sin 2cos sin cos2αααα-=16．（13分）某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ，两车分属于两个独立业务部分．对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A 车日出车频率0.6，B 车日出车频率0.5．该地区汽车限行规定如下：（I ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率．（II ）设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望()E X ． 【答案】【解析】（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1i =，2，3，4，5，由图可知()0.6i P A =，()0.5i P B =．设该单位在星期一恰好出车一台的事件为C ， 则11111111()()()()()PC P A B AB P A P B P A P B ==++ 0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯--⨯+0.5=．（Ⅱ）X 的取值为0，1，2，3，则112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=，2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ===⨯⨯⨯=++． 1122(2)()()(C)()0.60.50.40.50.60.42P X P AB P A P P A ===⨯⨯+⨯=+．112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=．∴X 的分布列为()10.3220.423E X =⨯+⨯+17．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，2AC BC ==，AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．M NA BCC 1B 1A 1（I ）求证：BC AM ⊥．（II ）若M ，N分别是1CC ，AB 的中点，求证：CN ∥平面1AB M ．（III ）若二面角1A MB C --的大小为π4，求线段1C M 的长．【答案】【解析】（I ）∵1CC ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ， ∴1CC BC ⊥．∵2AC BC ==，AB =， ∴ABC △中，2228AC BC AB ==+， ∴BC AC ⊥．∵1AC CC C =，∴BC ⊥面11ACC A ． ∵AM ⊂面11ACC A ， ∴BC AM ⊥．（II ）连接1A B 交1AB 于点P ． ∵四边形11AA B B 是平行四边形， ∴P 是1A B 的中点．又∵M ，N 分别是1CC ，AB 的中点， ∴NP CM ∥，且NP CM =，∴四边形MCNP 是平行四边形，可得CN MP ∥． ∵CN ⊄面1AB M ，MP ⊂面1AB M ， ∴CN ∥面1AB M ．（III ）∵BC AC ⊥，且1CC ⊥平面ABC ，∴以C 为原点，CA ，CB ，1CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C xyz -． 设CM t =，可得：(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，1(0,2,4)B ，(0,0,)M t ，∴(2,0,)MA t =-，1(0,2,4)AB t =-，(0,0,)MC t =-．设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，故0n MA ⋅=，10n MB ⋅=， 则有202(4)0x tz y t z -=⎧⎨-=⎩+，取x t =，则(,4,2)n t t =-，平面1MB C 的法向量(1,0,0)m =． ∵二面角1A MB C --的大小为π4， ∴2π||cos 4||||m n m n t ⋅==⋅+，∴52t =， ∴52CM =，1322C M CM =-=，∴132C M =．18．（13分）设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （I ）若1a =，求函数()f x 的单调区间．（II ）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围． （III ）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，求切线的横坐标． 【答案】【解析】（I ）1a =时，2()ln (0)f x x x x x =->+，∴1(21)(1)()21(0)x x f x x x x x -'=-=>++． ∵当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f A 为单调减函数．当1,2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭+，()0f x '>，()f x 为单调增函数．∴()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭+．（II ）∵1()2f x x a x '=-+，()f x 在区间(0,1]上是减函数，∴()f x '≤0对任意(0,1]x ∈恒成立．即120x a x-≤+对任意(0,1]x ∈恒成立． 令1()2g x x x=-，()min a g x ≤． 易知()g x 在(0,1]上单调递减，∴min ()(1)1g x g ==-． ∴1a -≤．（III ）不妨设tP 点为(,())M t f t ，1()2f x x a x'=-+， ∴切线方程为()()()y f t f t x t '-=-， 即21(ln )(2)()y t at t t a x t t--=--++． 又∵切线过原点， ∴210ln (2)(0)t at t t a t t--=--++， 即2ln 10t t -=+，设2()ln 1t t t ϕ=-+， 则1()20t t tϕ'=>+恒成立，()t ϕ在(0,)∞+上单调递增， 又∵(1)0ϕ=，∴()t ϕ在(0,)∞+上只有一个零点，1t =， ∴切点的横坐标恒为1．19．（14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过左焦点(F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线:40l x ky +=交椭圆E 于C ，D 两点．（I ）求椭圆E 的方程．（II ）求证：点M 在直线l 上．（III ）是否存在实数k ，使得BDM △的面积是ACM △面积的3倍？若存在，求出k 的值．若不存在，说明理由．【答案】【解析】（I）由题意可知=c e a =c 2a =．∴2222221b a c =-=-=，∴E 的方程为2214x y =+． （II ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立22(14y k x x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩+，可得：2222(41)1240k x x k -=+++，12x x =+，1202x x x ==+，00(y k x ==， ∴M点坐标为⎝⎭．40k =， ∴M 在直线l 上．（III ）由（2）可知A 到CD 的距离等于B 到CD 的距离． 若3BDM ACM S S =△△，则||3||DM CM =．∵||||OD OC =，M 为OC 的中点，设C 点坐标33(,)x y ，则302y y =， 联立22414x ky x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩+，解得3y =．=218k =，∴k =． 20．（13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意n ∈N *，都有n a ∈N *，1n n a a +<，设m ∈N *，记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ．（I ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值． （II ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ． （III ）设p a q =，12p a a a A +++=，求12q b b b +++的值．（用p ，q ，A 表示） 【答案】【解析】（I ）∵1n a ≤，则11b =，2n a ≤，则21b =，3n a ≤，则33b =； ∴11b =，21b =，33b =．（II ）有题可得1231n a a a a =<<<<，可得n a n ≥．又∵使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m ≤+成立的n 的最大值为m 1b +，∴11b =，m m 1b b ≤+．设2a k =，则2k ≥．若2k >，则22a k =>．则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n a k ≥+， ∴21b =，2k b =．∵{}n b 为等差数列，∴公差210d b b =-=，∴1n b =， 这与2(2)k b k =>矛盾， ∴2n a =．又∵12n a a a <<<<， ∴22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =． ∵使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， ∴n a n ≤，又∵n a n ≥，∴n a n =．（III ）设2(1)a k k =>． ∵12n a a a <<<<， ∴1211k b b b -===且2k b =， ∴数列{}n b 中等于1的项共有(1)k -个， 即21()a a -个，设3a l =，()l k >，则112k k l b b b ==-=+，且3l b =， ∴数列{}n b 等于2的项有()l k -个，即32()a a -个，以此类推：数列{}n b 中等于1p -的项共有()P q a a -个． ∴1221321()2()(1)()q p q b b b a a a a p a a p -=----++++++ 12(1)p p a a a p a p =-----++12()p p p pa a a a =-++++ (1)p q A =-+．即：12(1)q b b b p q A =-++++．。
北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=m a x {,}k k k d c c -(m a x {,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =-的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB -⋅-=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=. 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
2017-2018学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，集合B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）2．（5分）命题“?x≥0，sinx≤1”的否定是（）A．?x＜0，sinx＞1 B．?x≥0，sinx＞1 C．?x＜0，sinx＞1 D．?x≥0，sinx＞1 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=﹣x2B．f（x）=3﹣x C．f（x）=ln|x|D．f（x）=x+sinx4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=05．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若，则点A的横坐标为（）A．B．C．﹣3 D．36．（5分）已知向量，是两个单位向量，则“=”是“||=2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数（）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．B． C．D．8．（5分）若函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A．（0，e） B．（e，+∞）C．（0，e]D．[e，+∞）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知等差数列{a n}满足a1=2，a2+a4=a6，则公差d=．10．（5分）已知向量=（1，0），=（m，n），若与平行，则n的值为．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=．12．（5分）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：h=cost，t∈[0，+∞），则小球在开始振动（即t=0）时h的值为，小球振动过程中最大的高度差为厘米．13．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为．14．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（ⅰ）A∪B={1，2，3，4}，A∩B=?；（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求的值；。
北京市东城区27中2017届高三上学期期中考试数学(理)试题
北京市第27中学2016-2017学年第一学期期中试卷高三数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设13log 2a，121log 3b，0.312c ，则a ，b ，c 大小关系是（）．A ．acbB ．abcC ．ba cD ．bca2．如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z 等于（）．123123123123xy O A BA ．2B ．1C ．5D ．53．如果0x ，那么函数22643y x x有（）．A ．最小值462B ．最大有462C ．最大值462D ．最小值4624．“x R ，210xax ≥成立”是“||2a ”的（）．A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．将函数cos y x 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）．A ．1πcos26y xB ．1πcos212yxC．πcos 26yxD ．πcos 23yx6．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数偶数的个数为（）．A ．324B ．328C ．360D ．6487．已知定义域为R 的函数()f x 在区间(8,)上为减函数，且函数(8)y f x为偶函数，则（）．A ．(6)(7)f f B ．(6)(9)f f C ．(7)(9)f f D ．(7)(10)f f 8．函数()f x 的定义域为1,1，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为2,2，图象如图2所示，方程(())0f g x 有m 个实数根，方程(())0g f x 有n 个实数根，则m n（）．1111图1xO y 221111图2xOy A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．化简22log 3333log 5272lg 2log 10__________．10．已知π,π2，3sin 5，则πtan4__________．11．在极坐标中，设0，02π≤，曲线2与曲线sin2交点的极坐标为__________．12．已知二次函数()yf x 的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为__________．111xy13．已知函数32,2()(1),2x f x xx x≥，若函数()()g x f x k 有两个零点，则实数k 的取值范围是__________．。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5 分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆+ =1 有公共焦点，则C 的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5 分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则{a n}前6 项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5 分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0 相切，则C 的离心率为（）A．B．C．D．11．（5 分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ 的最大值为（）A．3 B．2C．D．2二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
2017年高考真题全国1卷理科数学(附答案解析)
（2）若 PA=PD=AB=DC， ∠APD = 90o，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
19．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正
( ) 常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N µ,σ 2 ．
x − y ≤ 0
15．已知双曲线 C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的右顶点为
A ，以
A 为圆心， b
为半径作
圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线于交 M 、 N 两点，若 ∠MAN = 60o，则 C 的离心
率为__________．
16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的 等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB， 使得 D，E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3) 的最大值为______．
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
【数学】2017年高考真题——全国III卷(理)(解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ)理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22(,)1=+=A x y x y ，{}(,)==B x y y x ，则A B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=( )A ．12B ．22C ．2D ．23.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4. 5()(2)+-x y x y 的展开式中33x y 的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.805.已知双曲线C:22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆 221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为( ) A.221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．28.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.π B.3π4 C.π2 D.π49.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3 D.810.已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )C.3D.1311.已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =( )A.12-B.13C.12D.1 12. 在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上． 若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A.3C. D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34=-z x y 的最小值为________．14.设等比数列{}n a 满足121+=-a a ，133-=-a a ，则4=a ________．15.设函数10()20xx xf xx+≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x+->的x的取值范围是_________.16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所称角的最小值为45°；④直线AB与a所称角的最小值为60°；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A cos A=0，a,b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求△ABD的面积.18.（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处学科#网理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABD ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．20.（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.21.（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ，求m 的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ， M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围.参考答案1.【答案】B 【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB 元素的个数为22．【答案】C 【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z + 3．【答案】A 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误， 4．【答案】C 【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．【答案】B 【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y =，则5b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B. 6．【答案】D 【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.7．【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S Mt初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10-2 第2次循环结束9013此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8． 【答案】B 【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．【答案】A 【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 10．【答案】A 【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222ab d a a b==+又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴63c e a ==，故选A 11．【答案】C【解析】因为f （x ）=x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e﹣x +1）=﹣1+（x ﹣1）2+a （e x ﹣1+）=0，所以函数f （x ）有唯一零点等价于方程1﹣（x ﹣1）2=a （e x ﹣1+）有唯一解，等价于函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象与y =a （e x ﹣1+）的图象只有一个交点．①当a =0时，f （x ）=x 2﹣2x ≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a ＜0时，由于y =1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y =a （e x ﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y =a （e x ﹣1+）的图象的最高点为B （1，2a ），由于2a ＜0＜1，此时函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象与y =a （e x ﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；③当a ＞0时，由于y =1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y =a （e x ﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y =a （e x ﹣1+）的图象的最低点为B （1，2a ），由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a =1，即a =，符合条件；综上所述，a =，故选：C ． 12．【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =． ∴22125BD =+=． ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C∵P 在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5-+-=x y．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴112xμθ==+，1yλθ==．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sinϕcosϕ=)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小． 由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．14．【答案】8-【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16． 【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)=a ，||1=a ．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)=b ，||1=b ． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=． 设AB '与a 所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]22a AB θθαθ--⋅==∈'． 故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)|cos |2'⋅='-⋅='=βθθθAB b b AB b AB .当AB'与b 夹角为60︒时，即π3α=，sin 32πθα===． ∵22cos sin 1θθ+=，∴|cos |θ=∴1cos |cos |22βθ==． ∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒． ∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分．17． 解:（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD 又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△18．解:(1)易知需求量x 可取200,300,500()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯ ()257425003035P X ++===⨯.则分布列为：⑵①当200n ≤时：，此时max 400，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+=此时max 520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n-=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.19． 解:(1)取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；ABC ∆为等边三角形∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆ABD CBD . ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形， ADC ∠为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：22OD a =，32OB a = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 (2)由题意可知--=D ACE B ACE V V 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,02B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,44a E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 易得：3,,244a a AE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为n 1，平面AEC 的法向量为n 2，则110⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE n AD n ，解得()13,1,3=n220⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE n OA n ，解得()20,1,3=-n 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos 7⋅==⋅θn n n n20．解:(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OBx x y y ⋅=+ 12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． (2)若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++= 化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ， 12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．解:(1) ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意 综上所述1a =．(2)当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1)...112222222n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为3．22．解:(1)将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k =+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=；(2)将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=即M．23．解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.(2)不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥. ①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max 3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。
2017高考全国卷1数学试题及答案解析(理科)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=<A B x x B ．AB =RC ．{}1=>A B x xD ．A B =∅2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．π8C ．12D ．π43. 设有下面四个命题，则正确的是（）1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ， 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．85. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x的取值范围是（） A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，6.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．357. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16 8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．1011. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x<<D ．325y x z <<12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学（理科） 2016.11
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合{2}Axx，{(1)(3)0}Bxxx，则AB A. {1}xx B. {23}xx C. {13}xx D. {2xx或1}x 2. 已知向量(1,2),(2,4)ab，则a与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向
3. 函数222xxy的最小值为 A. 1 B. 2 C. 22 D. 4 4. 已知命题:p0c，方程20xxc 有解，则p为 A. 0c，方程20xxc无解 B. c≤0，方程20xxc有解 C. 0c，方程20xxc无解 D. c≤0，方程20xxc有解 5. 已知函数,,logxbcyayxyx的图象如图所示，则
A. abc B. acb C. cab D. cba 6. 设,ab是两个向量，则“abab”是“0ab”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数42()cossinfxxx，下列结论中错误．．的是
A. ()fx是偶函数 B. 函数()fx最小值为34 C. π2是函数()fx的一个周期 D. 函数()fx在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A是函数()2xfx的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数2()2xgx的图象于点B，若函数()2xfx的图象上存在点C使得ABC为等边三角形，则称A为函数()2xfx上的好位置点. 函数()2xfx上的好位置点的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于2
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9. 已知数列{}na的前n项和31nnS，则23aa_____. 10. 若角的终边过点(3,4)P，则sin(π)____. 11. 已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则AEBD____. 12. 去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数ππsin()66yabx（,ab为常数）. 若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.
13. 设函数2,1,()(0log,1,xaaxfxaxx≤，且1)a. ①若32a，则函数()fx的值域为______； ②若()fx在R上是增函数，则a的取值范围是_____. 14. 已知函数()fx的定义域为R. ,abR，若此函数同时满足： ①当0ab时，有()()0fafb； ②当0ab时，有()()0fafb， 则称函数()fx为函数. 在下列函数中： ①sinyxx；②13()3xxy；③0,0,1,0xyxx. 是函数的为____.（填出所有符合要求的函数序号）
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分） 已知数列{}na是公差为2的等差数列，数列{}nb满足1nnnbba，且2318,24bb. （Ⅰ）求数列{}na的通项公式； （Ⅱ）求nb取得最小值时n的值.
16.（本小题满分13分） 已知函数π()cos(2)cos23fxxx. （Ⅰ）求π()3f的值； （Ⅱ）求函数()fx的最小正周期和单调递增区间.
17.（本小题满分13分） 已知函数3()9fxxx，函数2()3gxxa. （Ⅰ）已知直线l是曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线，且l与曲线()ygx相切，求a的值； （Ⅱ）若方程()()fxgx有三个不同实数解，求实数a的取值范围. 18. （本小题满分13分） 如图，ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且2BCCD,7AD. （Ⅰ）求CD的长； （Ⅱ）求sinBAD的值.
19. （本小题满分14分） 已知函数2()e()xfxxaxa. （Ⅰ）求()fx的单调区间； （Ⅱ）求证：当4a≥时，函数()fx存在最小值.
20.（本小题满分14分） 已知数列{}na是无穷数列，满足11lg|lglg|nnnaaa（2,3,4,n）. （Ⅰ）若122,3aa，求345,,aaa的值；
（Ⅱ）求证：“数列{}na中存在*()kakN使得lg0ka”是“数列{}na中有无数多项是1”的充要条件；
（Ⅲ）求证：在数列{}na中*()kakN,使得12ka≤.
ABDC海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学（理科）答案解析 2016.11
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合{2}Axx，{(1)(3)0}Bxxx，则AB A. {1}xx B. {23}xx C. {13}xx D. {2xx或1}x 【考点】集合的运算，一元二次不等式。 解析：集合B＝{x|1＜x＜3}，所以，AB{23}xx，故选B。 2. 已知向量(1,2),(2,4)ab，则a与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向 【考点】平面向量的定义，考查向量平行的判定。 解析：因为2(1,2)2ba，所以，两个向量平行，且方向相反。选D。
3. 函数222xxy的最小值为 A. 1 B. 2 C. 22 D. 4 【考点】基本不等式，指数函数的性质。
解析：因为2x＞0，所以，有222222222xxxxy，当且仅当222xx，即12x时取得最小值。选C。 4. 已知命题:p0c，方程20xxc 有解，则p为 A. 0c，方程20xxc无解 B. c≤0，方程20xxc有解 C. 0c，方程20xxc无解 D. c≤0，方程20xxc有解 【考点】命题的否定。 解析：命题的否定，把“存在”改为“任意“，并否定结论，所以，选A。
5. 已知函数,,logxbcyayxyx的图象如图所示，则 A. abc B. acb C. cab D. cba 【考点】指数函数、幂函数、对数函数的图象。 解析：根据幂函数的性质，由图可知：0＜b＜1，由指数函数图象的性质，知：1a，又当x＝1时，1ya＜2，所以，12a；由对数函数图象的性质，知1c，又x＝2时，由图象可知：log21c，
所以，c＞2，所以，选C。 6. 设,ab是两个向量，则“abab”是“0ab”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】平面向量，充分必要条件。
解析：若||||abab，则22||||abab，化简，可得：0ab，反过来也成立，故选C。
7. 已知函数42()cossinfxxx，下列结论中错误．．的是
A. ()fx是偶函数 B. 函数()fx最小值为34 C. π2是函数()fx的一个周期 D. 函数()fx在π0,2（）内是减函数 【考点】三角函数的图象及其性质。 解析：由42()cos()sin()()fxxxfx，知函数()fx是偶函数，故A正确。
所以，C也正确，选D。 8．如图所示，A是函数()2xfx的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数2()2xgx的图象于点B，若函数()2xfx的图象上存在点C使得ABC为等边三角形，则称A为函数()2xfx上的好位置点. 函数()2xfx上的好位置点的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于2 【考点】指数函数的图象及其性质，应用知识解决问题的能力。
解析：设A（,2xx），B（2,2xx），若ABC为等边三角形，则C（11,2xx）， 且AC＝AB＝2，即121(22)xx＝2，即222x＝3，又因为y＝222x单调递增，所以，方程有唯一解。
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9. 已知数列{}na的前n项和31nnS，则23aa_____. 【考点】数列的前n项和。 解析：2331aaSS＝（27＋1）－（3＋1）＝24。故填空24。
10. 若角的终边过点(3,4)P，则sin(π)____. 【考点】三角函数的定义。
解析：角的终边过点(3,4)P，所以，4sin5，sin(π)4sin5，答案：45
11. 已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则AEBD____. 【考点】平面向量。 解析：以B为原点，BC向右方向为x轴正方向，BA向上方向为y轴正方向，建立直角坐标系，则
各点坐标为：A（0,1），B（0,0），D（1,1），E（1，12），
所以，AEBD＝（1，－12）（1,1）＝12，答案：12
12. 去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数ππsin()66yabx（,ab为常数）. 若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃. 【考点】：三角函数的图象，三函数的运算。
解析：将（6,22），（12,4）代入函数，解得13,18ab，所以，1318sin()66yx，
当x＝8时，1318sin(8)66y＝31。填31。 13. 设函数2,1,()(0log,1,xaaxfxaxx≤，且1)a.