2020-2021高三期中考试数学试卷
数学丨山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试数学试卷及答案
保密★启用前2020－2021学年度第一学期期中考试高三数学试题(B)本试卷共4页，共150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全集U ＝{x|－1≤x<3}，集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，则U A ＝A.{x|－1≤x<2}B.{x|2<x<3}C.{x|2≤x<3}D.{x|x<－1或x>2}2.己知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则1z z + A.32i + B.12i + C.132i - D.132i + 3.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是 A.y ＝x －2B.y ＝2－x C.y ＝|lnx| D.y ＝xsinx4.已知tan α＝2，则sin(α－4π)sin(α＋4π)＝ A.－310 B.－35 C.310 D.35 5.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)。
弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB 等于6米，其弧田弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则sin ∠AOB ＝A.34B.725C.1225D.24256.在△ABC 中，AB AC 2AD +=，AE 2DE 0+=，若EB xAB yAC =+，则A.x ＋2y ＝0B.2x ＋y ＝0C.x －2y ＝0D.2x －y ＝07.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<2π)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)＝Asin ωx 图象A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度 8.定义域为(－2π，2π)的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，其导函数为f'(x)，当0<x<2π时，有f'(x)cosx ＋f(x)sinx<0成立，则关于x 的不等式2f(4π)·cosx 的解集为 A.(－2π，－4π)∪(4π，2π)B.(4π，2π) C.(－4π，0)∪(0，4π) D.(－4π，0)∪(4π，2π) 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021高三数学上期中试卷含答案(14)
2020-2021高三数学上期中试卷含答案(14)一、选择题1)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．22．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B．10C ．D ．3．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．164．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值315．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1406．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞7．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．58．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( )A ．89B ．23C ．6481D ．1252439．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-11．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或712．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-1二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n n n a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．15．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．16．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 17．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 18．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________19．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？20．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △的面积为3，求b ，c ． 23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．24．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围；（3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.2．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.7．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
2020-2021学年北京四中高三(上)期中数学试卷【答案版】
第4页（共18页）
19．（x ．
（Ⅰ）求 f ( ) ；
（Ⅱ）求证：当 x (0, ) 时， f (x) 1 x3 ；
2
3
（Ⅲ）若 f (x) kx − x cos x 对 x (0, ) 恒成立，求实数 k 的最大值． 2
C．{x | 0 x 2}
D．{x | x 2}
2．下列命题中的假命题是 ( )
A． x R ， sin x = 2
B． x R ， lnx = 2
C． x R ， x2 0
D． x R ， 2x 0
3．已知向量 a = (5, m) ， b = (2, −2) ，若 a − b 与 b 共线，则实数 m = ( )
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17．（14 分）已知函数 f (x) = x3 − x ， g(x) = 2x − 3 ． （Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点 (1 ， f （1） ) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f (x) 在 [0 ， 2] 上的最大值； （Ⅲ）求证：存在唯一的 x0 ，使得 f (x0 ) = g(x0 ) ．
7．已知三角形 ABC ，那么“ | AB + AC || AB − AC | ”是“三角形 ABC 为锐角三角形”的 ( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．声音的等级
f (x) （单位： dB) 与声音强度 x （单位：W
/ m2)
满足
x f (x) = 10 lg 110−12
．喷气式飞机起
飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为 60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为
2020-2021高三数学上期中试题(含答案)
2020-2021高三数学上期中试题(含答案)一、选择题1．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） A．3B．3C．3D．3-2．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1223．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．164．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．137．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．528．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 410．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ） A ．()8,10B ．()22,10C ．()22,10D ．()10,811．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8012．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．2二、填空题13．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 15．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．17．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin2ABC ∠=3AB BC +的最大值为______.18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．19．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ； （2）若3,,2b ac 成等差数列，ABC ∆的面积为23a ．22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 24．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 25．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.26．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()3m a b =r与()cos ,sin n =A B r平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7a =2b =求C ∆AB 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0，∴-（4a +13a ）=3，即4a +13a ≤-3 故1212a x x x x ++的最大值为3-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．3．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 6．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.7．B解析：B 【解析】 【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x +-）min ，由此可得实数m 的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2，当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础9．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<. 11．B 解析：B 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。
2020-2021学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷1. 已知集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x|x 2>4}，则A ∩B =( )A. (2,3)B. [2,3]C. (2,3]D. [2,3]∪{−2}2. 角α的终边经过点(3−sinα,cosα)，则sinα的值为( )A. 15B. 14C. 13D. 343. 在等差数列中，a 1+a 2+a 3=−24，a 18+a 19+a 20=78，则此数列前20项和等于( )A. 160B. 180C. 200D. 2204. 函数“f(x)=√x 2+2x +1+a 的定义域为R ”是“a ≥1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要的条件5. 函数f(x)=(e x −e −x )cosxx 2的部分图象大致是( )A. B. C. D.6. 已知函数f(x)=xlnx ，若直线l 过点(0,−e)，且与曲线y =f(x)相切，则直线l 的斜率为( )A. −2B. 2C. −eD. e7. 衣柜里的樟脑丸会随着时间的挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V =a ⋅e −kt .若新丸经过50天后，体积变为49a ，则一个新丸体积变为827a 需经过的时间为( )A. 125天B. 100天C. 50天D. 75天8. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a n >0,a 1=12，S n <2，则{a n }的公比的取值范围是( )A. (0,34]B. (0,23]C. (0,34)D. (0,23)9. 已知函数f(x)=cosx −√3sinx,g(x)=f′(x)，则( )A. g(x)的图象关于点(π6,0)对称 B. g(x)的图象的一条对称轴是x =π6C. g(x)在(−5π6,π6)上单调递减D. g(x)在(−π3,π3)值域为(0,1)10.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1>0，公差d≠0，则()A. 若S5>S9，则S15>0B. 若S5>S9，则S7是S n中最大的项C. 若S6>S7，则S7>S8D. 若S6>S7，则S5>S611.已知函数f(x)=|lg(x−1)|，b>a>1且f(a)=f(b)，则()A. 1<a<2B. a+b=abC. ab的最小值为1+√2D. 1a−1+1b−1>212.函数f(x)=e x−lnx+kx−1在(0,+∞)上有唯一零点x0，则()A. x0e x0=1B. 12<x0<1 C. k=1 D. k>113.已知函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数，则不等式(x−2)f(x)<0的解集为．14.对任意正数x，满足xy+yx=2−4y2，则正实数y的最大值为．15.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为元(取1.211=7.5，1.212=9)．16.已知定义在R上的函数f(x)关于y轴对称，其导函数为f′(x)，当x≥0时，xf′(x)>1−f(x).若对任意x∈R，不等式e x f(e x)−e x+ax−axf(ax)>0恒成立，则正整数a的最大值为17.已知函数f(x)=sin(ωx−φ)(ω>0,|φ|≤π2)的最小正周期为π．(1)求ω的值及g(φ)=f(π6)的值域；(2)若φ=π3，sinα−2cosα=0，求f(α)的值．18.已知函数f(x)=−13x3+a2x2−2x(a∈R)(1)当a=3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a−1)成立，求实数a的取值范围．19.在①csin B+C2=asinC，②2cosA(bcosC+ccosB)=a，③(sinB−sinC)2= sin2A−sinBsinC中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c=(√3−1)b，_____．(1)求C的值；(2)若△ABC的面积为3−√3，求b的值．20.已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且满足a1=b1=2，a3+a5+a7=30，b2b3=a16．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．①是否存在正整数k.使得T k+1=T k+b k+32成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；②解关于n的不等式S n≥b n．21.若函数f(x)在x∈[a,b]时，函数值y的取值区间恰为[kb ,ka],(k>0)，则称[a,b]为f(x)的一个“k倍倒域区间“.定义在[−4,4]上的奇函数g(x)，当x∈[0,4]时，g(x)=−x2+4x．(1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)在[2,4]内的“8倍倒域区间”；(3)若g(x)在定义域内存在“k(k≥8)倍倒域区间”，求k的取值范围．22.已知函数f(x)=e x+ax⋅sinx．(1)求曲线C：y=f(x)在x=0处的切线方程；(2)当a=−2时，设函数g(x)=f(x)x，若x0是g(x)在(−π,0)上的一个极值点，求证：x0是函数g(x)在(−π,0)上的唯一极大值点，且0<g(x0)<2．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|−2≤x≤3}，B={x|x<−2或x>2}，∴A∩B=(2,3]．故选：C．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系，属于基础题．由题可得tanα=sinαcosα=cosα3−sinα，利用同角三角函数的基本关系，求得sinα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点(3−sinα,cosα)，∴tanα=sinαcosα=cosα3−sinα，∴cos2α=3sinα−sin2α，∴sinα=13，故选：C．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用．考查等差数列的性质．先根据a1+a2+a3=−24，a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．【解答】解：∵a1+a2+a3=−24，a18+a19+a20=78，∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20)，∴a1+a20=18，=180，∴S20=20(a1+a20)2故选：B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的定义域问题，及充要条件的的判定，属于基础题．先求解函数f(x)=√x2+2x+1+a的定义域为R时a的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可．【解答】解：f(x)=√(x+1)2+a定义域为R⇒a≥0，∵{a|a≥1}⫋{a|a≥0}，∴函数“f(x)=√x2+2x+1+a的定义域为R”是“a≥1”的必要不充分条件．故选：B．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象识别，考查函数奇偶性的性质及其应用，属于基础题．判断函数为奇函数排除C，D，再由f(π)<0得答案．【解答】解：由题知，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且，∴f(x)是奇函数，排除C和D，将x=π代入f(x)，得f(π)<0，排除B，故选：A．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，考查直线的斜率公式，属于基础题．求得f(x)的导数，设出切点(m,n)，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，即可得到所求斜率．【解答】解：函数f(x)=xlnx的导数为f′(x)=lnx+1，设切点为(m,n)，可得切线的斜率为k=1+lnm，则1+lnm=n+em =mlnm+em，解得m=e，k=1+lne=2，故选：B．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数运算在生产生活中的应用，是中档题．由题意得a⋅e−50k=49a，可令t天后体积变为827a，即有a⋅e−kt=827a，由此能求出结果．【解答】解：由题意得a⋅e−50k=49a，①可令t天后体积变为827a，即有a⋅e−kt=827a，②由①可得e−50k=49，③又②÷①得e−(t−50)k=23，两边平方得e−(2t−100)k=49，与③比较可得2t−100=50，解得t=75，即经过75天后，体积变为827a.故选：D．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设等比数列{a n}的公比为q，则q≠1，由已知条件可得12×q n−1>0，12(1−q n)1−q<2，则1>q>0，1≤4−4q，可得q范围．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q≠1．∵a n>0,a1=12，S n<2，∴12×q n−1>0，12(1−q n)1−q<2，∴1>q>0．∴1≤4−4q，解得q≤34．综上可得：{a n}的公比的取值范围是：(0,34]．故选：A．9.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查三角函数的导数，两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．由题意利用三角函数的导数，两角和差的正弦公式，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：∵函数f(x)=cosx−√3sinx，g(x)=f′(x)=−sinx−√3cosx=−2sin(x+π3)，令x=π6，求得g(x)=−2，为最小值，故A错误、B正确；当x∈(−5π6,π6)，x+π3∈(−π2,π2)，函数g(x)单调递减，故C正确；当x∈(−π3,π3)，x+π3∈(0,2π3)，函数g(x)∈[−2,0)，故D错误，故选：BC．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质、前n项和公式及单调性的应用，属于中档题．利用题设条件及等差数列的性质和前n项和公式，逐个选项判断正误即可．【解答】解：若S5>S9，则5a3>9a5，即5(a1+2d)>9(a1+4d)，即a1+13d2<0，∴d<−213a1<0，数列{a n}是递减数列，又S15=15a8=15(a1+7d)<15(a1−213a1×7)=−1513a1<0，故选项A错误；又d<−213a1<0，不妨取d=−15a1，则a7=a1+6d=−15a1<0，故选项B错误；若S6>S7，则a7<0，又a1>0，∴数列{a n}是递减数列，所以a8<0，∴S8<S7，故选项C正确；又当a7<0时，a6有大于0的情形，故选项D错误，故选：C．11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了函数的图象以及函数的最值问题，考查基本不等式的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．先画出函数f(x)的图象，根据图象可得a，b的范围，再由f(a)=f(b)可得a，b的关系式，再结合基本不等式可以判断四个选项是否正确．【解答】解：函数f(x)的图象如图所示：因为b>a>1，则由图知1<a<2<b，A正确，且由f(a)=f(b)可得：lg(b−1)=−lg(a−1)，则(a−1)(b−1)=1，故a+b=ab，B正确，因为ab=a+b⩾2√ab，解得ab⩾4，当且仅当a=b时取等号，因为a≠b，故取不到等号，则ab>4，故C错误，所以1a−1+1b−1=(a−1)+1a−1≥2√(a−1)×1a−1=2，当且仅当a=2时取等号，因为1<a<2，故取不到等号，故1a−1+1b−1>2，D正确，故选：ABD．12.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，函数的零点，属于一般题．换元令t=xe x，(t>0)，构造新函数g(t)，利用函数的单调性，表示出函数唯一的零点，即可解决．【解答】解：∵函数f(x)=e x−lnx+kx−1在(0,+∞)上有唯一零点x0，∴e x⋅x−(lnx+k)−x=0，∴xe x−k−ln(xe x)=0，令t=xe x，(t>0)，则g(t)=t−k−lnt，(t>0)，此函数只有一个零点，∴g′(t)=1−1t，可知g(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；∴g(1)=0，∴k=1，此时x0e x0=1，由t′=(x+1)e x，得t在(0,+∞)上单调递增，∴x0e x0=k=1,√e2<x0e x0<e⇒x0∈(12,1)．故选：ABC．13.【答案】(−√2,√2)∪(2,+∞)【解析】【分析】本题主要考查了偶函数的定义的应用及高次不等式的求解，属于中档题．由已知结合偶函数定义可求a，然后结合高次不等式的求法即可求解．【解答】解：因为f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数，所以f(−x)=f(x)对任意的x都成立，即ax2−(a+2)x+a2=ax2+(a+2)x+a2，所以−(a+2)x=(a+2)x恒成立，所以a+2=0，即a=−2，f(x)=−2x2+4，由(x−2)f(x)=−2(x−2)(x−√2)(x+√2)<0，解得，−√2<x<√2或x>2．故答案为：(−√2,√2)∪(2,+∞)．14.【答案】12【解析】【分析】本题考查了基本不等式，为基础题．2−4y2=xy+yx ≥2√xy⋅yx=2y，当且仅当xy=yx，即x=1时，等号成立．得到关于y的不等式，解不等式即可．【解答】解：2−4y2=xy+yx ≥2√xy⋅yx=2y，当且仅当xy=yx，即x=1时，等号成立．所以4y2+2y−2≤0，即2y2+y−1≤0，解得−1≤y≤12，又∵y>0，故0<y≤12．所以y的最大值为12．故答案为12．15.【答案】40000【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的实际应用，属于中档题．设1月月底小王手中有现款为a1=(1+20%)×10000−1000=11000元，n月月底小王手中有现款为a n，n+1月月底小王手中有现款为a n+1，由题意可知a n+1−5000= 1.2(a n−5000)，所以数列{a n−5000}是首项为6000，公比为1.2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可算出结果．【解答】解：设1月月底小王手中有现款为a1=(1+20%)×10000−1000=11000元，n月月底小王手中有现款为a n，n+1月月底小王手中有现款为a n+1，则a n+1=1.2a n−1000，即a n+1−5000=1.2(a n−5000)，所以数列{a n−5000}是首项为6000，公比为1.2为公比的等比数列，∴a12−5000=6000×1．211，即a12=6000×1．211+5000=50000，年利润为50000−10000=40000元，故答案为：40000．16.【答案】2【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查构造函数法和转化思想、分类讨论思想和运算能力，属较难题．设F(x)=xf(x)−x，判断F(x)为R上的奇函数且单调递增，将原不等式转化为e x>ax 对任意x∈R恒成立，再由y=e x−ax的导函数，判断单调性，求得最值，解不等式可得a的范围，从而得到正整数a的最大值．【解答】解：根据题意构造函数F(x)=xf(x)−x，由定义在R上的函数f(x)关于y轴对称，可得f(x)为偶函数，又F(−x)=−xf(−x)+x=−xf(x)+x=−F(x)，所以F(x)为奇函数，当x≥0时，xf′(x)>1−f(x)，即xf′(x)+f(x)>1，即F′(x)=f(x)+xf′(x)−1>0，所以F(x)在[0,+∞)递增，所以F(x)为R上的奇函数且单调递增，因为对任意x∈R，不等式e x f(e x)−e x+ax−axf(ax)>0恒成立，即F(e x)−F(ax)>0，即F(e x)>F(ax)，可得e x>ax对任意x∈R恒成立．又y=e x−ax的导函数为y′=e x−a，当a≤0时，y′=e x−a>0，函数y=e x−ax为增函数，e x>ax对任意x∈R不恒成立；当a>0时，x>lna时，y′>0，函数单调递增；x<lna时，y′<0，函数单调递减．可得x=lna时，函数取得最小值，且为a−alna，则a−alna>0，解得0<a<e，故正整数a的最大值为2．故答案为：2．17.【答案】解：(1)函数f(x)=sin(ωx−φ)(ω>0,|φ|≤π2)的最小正周期为2πω=π，∴ω=2，f(x)=sin(2x−φ)．∵|φ|≤π2，∴π3−φ∈[−π6,5π6]，g(φ)=f(π6)=sin(π3−φ)∈[−12,1]．(2)若φ=π3，则f(x)=sin(2x−φ)=sin(2x−π3).∵sinα−2cosα=0，∴tanα=2，∴sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45，cos2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α=1−tan2αtan2α+1=−35，故f(α)=sin(2α−π3)=12sin2α−√32cos2α=12×45−√32×(−35)=4+3√310．【解析】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，二倍角公式、两角和差的三角公式，属于中档题．(1)由题意根据正弦函数的周期性求得ω，再利用正弦函数的定义域和值域求出g(φ)= f(π6)的值域．(2)由题意先求得tanα的值，从而求得sin2α、cos2α的值，再利用两角和差的三角公式，求得f(α)的值．18.【答案】解：(1)当a=3时，函数f(x)=−13x3+32x2−2x，∴f′(x)=−x2+3x−2，由f′(x)>0，解得1<x<2由f′(x)<0，解得x>2或x<1．所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(−∞,1)，(2,+∞)(2)函数f(x)=−13x3+a2x2−2x，∴f′(x)=−x2+ax−2，对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a−1)成立，即−x2+ax−2<2(a−1)，即x2−ax+2a>0，令g(x)=x2−ax+2a，当△=a2−8a<0时0<a<8，不等式恒成立．当△=a2−8a≥0时，即a≥8或a≤0时，有g(1)>0且a2≤1解得：−1<a≤0，综上，实数a的取值范围为：(−1,8)．【解析】本题考查了导数在求解函数单调性中的运用，用二次函数解决最值，恒成立问题．(1)求解f′(x)>0，得到函数的单调递增区间，求解f′(x)<0，得到函数的单调递减区间；(2)转化为二次函数问题求解，讨论对称轴，单调性．19.【答案】解：(1)选①，csin B+C2=asinC，由正弦定理可得sinCsin B+C2=sinAsinC，因为C为三角形内角，sinC>0，所以sin B+C2=sinA，即cos A2=2sin A2cos A2，因为A为三角形内角，A2∈(0,π2)，所以sin A2=12，可得A2=π6，可得A=π3，可得B=2π3−C，又c=(√3−1)b，由正弦定理可得sinC=(√3−1)sinB，即sinC=(√3−1)sin(2π3−C)=3−√32cosC+√3−12sinC，可得sinC−cosC=0，即√2sin(C−π4)=0，又C∈(0,π)，所以C−π4∈(−π4,3π4)，所以C−π4=0，即C=π4．选②，2cosA(bcosC+ccosB)=a，由正弦定理可得2cosA(sinBcosC+sinCcosB)=sinA，所以2cosAsin(B+C)=2cosAsinA=sinA，因为sinA≠0，所以cosA=12，又A为三角形内角，A∈(0,π)，所以A=π3，可得B=2π3−C，又c=(√3−1)b，由正弦定理可得sinC=(√3−1)sinB，即sinC=(√3−1)sin(2π3−C)=3−√32cosC+√3−12sinC，可得sinC−cosC=0，即√2sin(C−π4)=0，又C∈(0,π)，所以C−π4∈(−π4,3π4)，所以C−π4=0，即C=π4．选③，(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC，由正弦定理可得(b−c)2=a2−bc，即b2+c2−a2=bc，因此cosA=b2+c2−a22bc =12，又A为三角形内角，A∈(0,π)，所以A=π3，可得B=2π3−C，又c=(√3−1)b，由正弦定理可得sinC=(√3−1)sinB，即sinC=(√3−1)sin(2π3−C)=3−√32cosC+√3−12sinC，可得sinC−cosC=0，即√2sin(C−π4)=0，又C∈(0,π)，所以C−π4∈(−π4,3π4)，所以C−π4=0，即C=π4．(2)因为△ABC 的面积为3−√3=12bcsinA =√34bc =3−√34b 2，所以解得b =2．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)选①，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC >0，可得cos A2=2sin A2cos A2，结合范围A2∈(0,π2)，可得A ，可得B =2π3−C ，由正弦定理，两角差的正弦函数公式可得√2sin(C −π4)=0，结合范围C −π4∈(−π4,3π4)，可求C 的值．选②，由正弦定理，两角和的正弦公式，结合sinA ≠0，可得cosA =12，结合A ∈(0,π)，可求A ，可得B =2π3−C ，由正弦定理，两角差的正弦函数公式可得√2sin(C −π4)=0，结合范围C −π4∈(−π4,3π4)，可求C 的值．选③，由正弦定理，余弦定理可求cosA =12，结合范围A ∈(0,π)，可求A ，可得B =2π3−C ，由正弦定理，两角差的正弦函数公式可得√2sin(C −π4)=0，结合范围C −π4∈(−π4,3π4)，可求C 的值．(2)由(1)利用三角形的面积公式即可解得b 的值．20.【答案】解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比是q ，由题意得{a 3+a 5+a 7=3a 1+12d =30a 1=2，解得：d =2，故a n =a 1+(n −1)d =2n ，由题意得{b 2b 3=b 12q 3=a 16=32b 1=2，解得：q =2，故b n =b 1q n−1=2n ；(2)①假设存在T k+1=T k +b k +32， 即T k+1−T k =b k +32，即b k+1=b k +32， 即2k+1=2k +32，解得：k =5， 故存在k =5符合题意；②令f(n)=S n −b n ，即解不等式f(n)≥0，f(n +1)−f(n)=S n+1−S n −(b n+1−b n )=a n+1−(b n+1−b n )=2(n +1)−2n ，令F(n)=2(n +1)−2n ，n ∈N ∗， F(n +1)−F(n)=2−2n ，当n =1时，F(n +1)−F(n)=0，即F(1)=F(2)=2， 当n ≥2时，F(n +1)−F(n)<0，即F(2)>0=F(3)>F(4)>⋯>F(n)>⋯， 故n =1，2时，f(n +1)−f(n)>0， n =3时，f(n +1)−f(n)=0， n ≥4时，f(n +1)−f(n)<0， 又f(1)=S 1−b 1=a 1−b 1=0，f(4)=f(3)=S 3−b 3=a 1+a 2+a 3−b 3=4， f(5)=S 5−b 5=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5−b 5=−2<0，故0=f(1)<f(2)<f(3)=f(4)>0>f(5)>f(6)>⋯>f(n)>⋯， 故f(n)≥0即S n ≥b n 的解为n ∈{1,2，3，4}．【解析】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及求和，考查数列的综合应用以及不等式问题，属于拔高题．(1)根据等差数列和等比数列的通项公式求出公差和公比，从而求出数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)①假设存在T k+1=T k +b k +32，结合等比数列的通项公式与前n 项和的关系求出k 的值即可；②令f(n)=S n −b n ，得到f(n +1)−f(n)=2(n +1)−2n ，令F(n)=2(n +1)−2n ，n ∈N ∗，得到F(n +1)−F(n)=2−2n ，对n 取值，求出不等式的解集即可．21.【答案】解：(1)设x ∈[−4,0)时，−x ∈(0,4]，所以g(−x)=−x 2−4x ，又函数g(x)是奇函数， 所以g(x)=−g(−x)=x 2+4x ，所以函数g(x)的解析式为：g(x)={x 2+4x,x ∈[−4,0)−x 2+4x,x ∈[0,4]；(2)设该区间为[a,b]⊆[2,4]，则g(x)=−x 2+4x =−(x −2)2+4，g(x)在区间[a,b]上单调递减，由题意可得：{g(a)=−a 2+4a =8a g(b)=−b 2+4b =8b 2≤a <b ≤4，解得a =2，b =√5+1，所以函数g(x)在[2,4]上的“8倍倒域区间”为[2,√5+1]；(3)由g(x)={x 2+4x,x ∈[−4,0)−x 2+4x,x ∈[0,4]，则函数g(x)在[−4,−2]，[2,4]上单调递减，在区间[−2,2]上单调递增，设g(x)的“k 倍倒域区间”为[a,b]，且k ≥8，则{ka >kb ,k ≥8a <b ，解得ab >0，①当2≤a <b ≤4时，{g(a)=−a 2+4a =kag(b)=−b 2+4b =kb ，即方程x 3−4x 2+k =0在[2,4]上有两个不同的根，令ℎ(x)=x 3−4x 2+k ，x ∈[2,4]，ℎ′(x)=x(3x −8)，当x ∈[2,83)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，x ∈(83,4]时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， 又ℎ(2)=−8+k ⩾0，ℎ(4)=k ⩾8， 要使得ℎ(x)在[2,4]上有两个不同的零点， 只需ℎ(83)=−25627+k <0，解得k ∈[8,25627)，同理可得：−4≤a <b ≤−2时，k ∈[8,25627)；②−4≤a ≤−2<b <0时，kb =−4可得b =−k4≤−2，矛盾，舍去， ③0<a <2<b ≤4时，ka =4可得a =k4≥2，矛盾，舍去，④−2≤a <b <0时，g(x)在[a,b]上单调递增，则{g(a)=a 2+4a =kbg(b)=b 2+4b =k a ， 两式相减可得：a 2−b 2+4(a −b)=k(a−b)ab，又a ≠b ，故a +b +4=kab ，即kb =a 2+4a +ab ，代入a 2+4a =kb ，可得ab =0，矛盾，舍去， 同理，0<a <b ≤2也不符，舍去， 综上，k ∈[8,25627)．【解析】本题考查了函数的新定义问题，考查了函数与方程的应用以及求解函数解析式的方法，考查了函数的奇偶性，属于难题．(1)根据奇函数的定义以及求函数解析式的方法即可求解；(2)设该区间为[a,b]⊆[2,4]，根据已知条件结合函数g(x)的单调性列出方程组，求解即可；(3)根据已知定义设出区间，根据函数g(x)的性质对a，b在已知定义域上分类讨论，使得满足题意，进而可以求解．22.【答案】解：(1)f(0)=1，f′(x)=e x+asinx+axcosx，f′(0)=1，故所求切线方程为：y=x+1；(2)证明：a=−2，f(x)=e x−2xsinx，g(x)=e xx−2sinx，x∈(−π,0)，g′(x)=(x−1)e x−2x2cosxx2，x∈[−π2,0)时，g′(x)<0，故g(x)在[−π2,0)递减，令ℎ(x)=(x−1)e x−2x2cosx，x∈(−π,−π2)，ℎ′(x)=xe x−4xcosx+2x2sinx=x(e x−4cosx+2xsinx)，x∈(−π,−π2)时，ℎ′(x)<0，故ℎ(x)在(−π,−π2)递减，ℎ(−π)=2π2−π+1eπ>0，ℎ(−π2)=(−π2−1)e−π2<0，ℎ(−π)ℎ(−π2)<0，由零点存在性定理知：ℎ(x)在(−π,−π2)上有唯一零点，即g′(x)在(−π,−π2)上有唯一零点，该零点即为x0，x∈(−π,x0)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，x∈(x0,−π2)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，又x∈[−π2,0)时，g′(x)<0，故g(x)在(−π,x0)递增，在(x0,0)递减，∵x0∈(−π,−π2)，∴g(x)>g(−π2)=2−2πeπ2=2(πeπ2−1)πeπ2>0，∵x0∈(−π,−π2)，∴g(x0)=e x0x0−2sinx0<−2sinx0<2，故x0是函数g(x)在(−π,0)上的唯一的极大值点，且0<g(x0)<2．【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．(1)求出函数的导数，计算f(0)，f′(0)，求出切线方程即可；(2)代入a的值，求出函数的导数，得到g(x)在(−π,x0)递增，在(x0,0)递减，得到g(x0)=e x0x0−2sinx0<−2sinx0<2，从而证明结论．第21页，共21页。
2020-2021学年安徽省合肥六中高三上学期期中(理科)数学试卷(解析版)
2020-2021学年安徽省合肥六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．36．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣4418．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．610．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．4811．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）二、填空题（共4小题）.13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{0＜x＜1}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，故A，C，D均错误，B正确，故选：B．2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°解：与角2021°终边相同的角是：k•360°+2021°，k∈Z，当k＝﹣5时，与角2021°终边相同的角是221°．故选：A．3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m解：∵0＜0.92020＜0.90＝1，20200.9＞20200＝1，log0.92020＜log0.91＝0，∴p＜m＜n．故选：C．4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：∵，，且，∴，解得．故选：B．5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．3解：函数f（x）＝lnx+x﹣4是在x＞0时，函数是连续的增函数，∵f（e）＝1+e﹣4＜0，f（3）＝ln3﹣1＞0，∴函数的零点所在的区间为（e，3），g（x0）＝[x0]＝2．故选：C．6．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．解：∵A，B选项中，图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，即f（x）+f（﹣x）＝0，即，∴k＝±1，当k＝1时，f（x）的图象为选项A；当k＝﹣1时，f（x）的图象为选项B；而C，D选项中，图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，即f（x）＝f（﹣x），即，∴k＝0，当k＝0时，f（x）≥0，故f（x）的图象为选项D，不可能为选项C．故选：C．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣441解：公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，可得2a1+12d﹣（a1+12d）＝1，即a1＝1，a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，可得（a3﹣1）2＝a1（a6+5），即为（1+2d﹣1）2＝1+5d+5，解得d＝2（负值舍去）则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+...+a19﹣a20+a21＝1﹣3+5﹣7+ (37)39+41＝﹣2×10+41＝21．故选：A．8．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．解：函数满足，所以φ）＝0，由于，故φ＝．所以f（x）＝A sin（2x+），令（k∈Z），解得（k∈Z）．当k＝1时，解得．故选：D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．6解：如图所示，过点P作PF∥AC，交VC于点F，过点F作FE∥VB交BC于点E，过点E作EQ∥AC，交AB于点Q；由作图可知：EQ∥PF，所以四边形EFPQ是平行四边形；可得EF＝PQ＝VB＝2，EQ＝PF＝AC＝1；所以截面四边形EFPQ的周长为2×（2+1）＝6．故选：D．10．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．48解：∵a n+2＝a n+1+a n，∴a3＝a2+a1，a4＝a3+a2＝2a2+a1，a5＝a4+a3＝3a2+2a1，a6＝a5+a4＝5a2+3a1，a7＝a6+a5＝8a2+5a1，a8＝a7+a6＝13a2+8a1，a9＝a8+a7＝21a2+13a1，∴a1+a2+…+a9＝54a2+34a1＝2×（27a2+17a1），∵4a5+3a6＝16，∴4（3a2+2a1）+3（5a2+3a1）＝16，即27a2+17a1＝16，∴a1+a2+…+a9＝2×（27a2+17a1）＝2×16＝32，故选：C．11．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．解：交点O既在平面ECF上，又在平面D1DBB1上，∴O在面ECF与面D1DBB1的交线上，延展平面ECF，得到面ECHF，H在C1D1上，则K，M都即在面ECFH上，又在平面D1DBB1上，∴KM为面ECFH与面D1DBB1的交线，∴O在KM上，∵O在DB1上，∴DB1∩KM＝O，取出平面D1DBB1，∵△KOB1∽△MOD，∴＝．由△DMC∽△BME，得DM＝，设G为C1D1的中点，由三角形相似可得，再由题意可得A1G∥FH，则，则．∴＝＝．故选：A．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）解：不等式在（0，+∞）上恒成立，即不等式＞lnx在（0，+∞）上恒成立，则（eλx+1）λx＞（x+1）lnx＝（e lnx+1）lnx恒成立，设f（x）＝（e x+1）x（x＞0），则f（λx）＞f（lnx），∵f′（x）＝e x（x+1）+1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴λx＞lnx，∴λ＞，设g（x）＝（x＞0），∴g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝e，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（e）＝，∴λ＞．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为2．解：（cos x+sin x）dx＝（sin x﹣cos x）＝（sin﹣cos）﹣（sin0﹣cos0）＝（1﹣0）﹣0+1＝2．故答案为：2．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x+y ＝0．解：由，得f′（x）＝2f′（）+sin x，取x＝，得f′（）＝2f′（）+sin，解得f′（）＝﹣1，∴f′（x）＝﹣2+sin x，得f′（0）＝﹣2，又f（0）＝﹣cos0+1＝0，∴f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣2x，即2x+y＝0．故答案为：2x+y＝0．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为18．解：∵，∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝sin＝，设x＝sinαcosβ，y＝cosαsinβ，则x+y＝，∵α、β均为锐角，∴x＞0，y＞0，∴＝+＝2（x+y）（+）＝2（1+4+）≥2×（5+2）＝18，当且仅当＝，即＝，即x＝，y＝时，等号成立．∴的最小值为18．故答案为：18．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为11π．解：如图：点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，∴点M为正方形CDD1C1对角线的交点，∴MCC1是等腰直角三角形，M是直角顶点，设E是CC1的中点，则E是△MCC1的外心，取F是BB1的中点，则EF∥BC，而BC⊥平面CDD1C1，∴EF⊥平面CDD1C1，∴三棱锥M﹣A1CC1的外接球的球心O在直线EF上，由已知可计算FC＝＝，A1F＝＝＞FC，∴点O在EF的延长线上，设OF＝x，则由OA1＝OC，可得（）2+x2＝（x+1）2+（）2，解得x＝，∴OC＝＝，∴外接球表面积是S＝4π×（）2＝11π，故答案为：11π．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为sinθ+cosθ＝，所以（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+sin2θ＝（）2＝，即sin2θ＝，又θ∈（﹣，），所以2，所以2θ＝﹣，θ＝﹣．（2）由（1）可得θ＝﹣，则f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣），所以f（x）＝（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]＝cos2x﹣+cos（2x﹣）＝﹣cos2x+（cos2x+sin2x）＝sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则k≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数的单调增区间为[k，kπ+]，k∈Z．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，当n＝1时，解得a1＝1，当n≥2时，，两式相减得：a n＝3n﹣2．数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．所以log3b n＝1﹣n，所以．（2）c n＝a2n+1+b2n+1＝，所以＝19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．解：（1）证明：在△ABC中，AB2+BC2＝20＝AC2，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC．因为BC＝BB1，AC＝AB1，AB＝AB，所以△ABC≌△ABB1．所以∠ABB1＝∠ABC＝90°，即AB⊥BB1．又BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面BCC1B1．又AB⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面BCC1B1．（2）解：由题意知，四边形BCC1B1为菱形，且∠BCC1＝60°，则△BCC1为正三角形，取CC1的中点D，连接BD，则BD⊥CC1．以B为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系B﹣xyz，则B（0，0，0），B1（0，4，0），A（0，0，2），，．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），，．由，得取x＝1，得＝（1，0，）．由四边形BCC1B1为菱形，得BC1⊥B1C；又AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C；又AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1，所以平面ABC1的法向量为．所以cos＜＞＝＝＝．设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，则sinθ＝＝．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由，即，∴，sin A≠0，∴a2﹣c2＝bc，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴a2﹣c2＝b2﹣2bc cos A，∴b2﹣2bc cos A＝bc，∴b﹣2c cos A＝c，∴sin B﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin（A+C）﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin A cos C﹣cos A sin C＝sin C，∴sin（A﹣C）＝sin C，∵A，B，C∈（0，π），∴A＝2C．（Ⅱ）解：∵A＝2C，∴B＝π﹣3C，∴sin B＝sin3C．∵且b＝2，∴，∴＝＝，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴，∴，∵为增函数，∴．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．解：（1）∵函数f（x）＝cos x，α，β为锐角，＝cos（α+β），∴sin（α+β）＝＝，∴tan（α+β）＝＝﹣2．∵，∴cos2α＝＝＝＝﹣．tan2α＝＝＝﹣，故2α为钝角．tan（β﹣α）＝tan[（α+β）﹣2α]＝＝＝．（2）∵函数g（x）＝3f（2x）+1＝3cos2x+1∈[﹣2，4]，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3＝（a+1）[g（x）+3]有解，令t＝g（x）+3，则t∈[1，7]，且（t﹣3）2≥（a+1）t有解，即a+1≤t+﹣6能成立，即a+7≤（t+）能成立．由于函数h（t）＝t+在[1，3]上单调递减，在[3，9]上单调递增，h（1）＝10，h（9）＝10，故h（t）在[1，7]上的最大值为10，故有a+7≤10，即a≤3，故a的最大值为3．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）解：（1）由f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1），得f′（x）＝m﹣1﹣lnx．当m﹣1≤0，即m≤1时，f′（x）＞0对x＞1恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，f（x）无极值；当m﹣1＞0，即m＞1时，令f′（x）＝0，得x＝e m﹣1，由f′（x）＞0，得1＜x＜e m﹣1，由f′（x）＜0，得x＞e m﹣1，∴f（x）在x＝e m﹣1处取得极大值，且极大值为f（e m﹣1）＝me m﹣1﹣（m﹣1）e m﹣1＝e m﹣1．综上所述，当m≤1时，f（x）无极值；当m＞1时，f（x）的极大值为e m﹣1，无极小值．（2）∵当x＞1时，f（x）＜2x+m恒成立，∴当x＞1时，mx﹣xlnx＜2x+m，即m＜对x＞1恒成立，令h（x）＝，得h′（x）＝，令g（x）＝x﹣lnx﹣3，则g′（x）＝1﹣，∵x＞1，∴g′（x）＝1﹣＞0，得g（x）是增函数，由g（x1）＝x1﹣lnx1﹣3＝0，得lnx1＝x1﹣3，∵g（4）＝4﹣ln4﹣3＝1﹣ln4≈1﹣1.39＝﹣0.39＜0，g（5）＝5﹣ln5﹣3＝2﹣ln5≈2﹣1.61＝0.39＞0．∵g（x1）＝0，g（x）为增函数，∴4＜x1＜5，当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴x＝x1时，h（x）取得最小值为h（x1），∴m＜h（x1）＝，又m为正整数，∴m≤4，故m的最大值为4．。
2020-2021学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|x﹣3≤0}，B＝{0，2，4}（）A．{0，2}B．{0，2，4}C．{x|x≤3}D．{x|0≤x≤3} 2．（4分）已知向量＝（m，2），＝（2，﹣1）．若∥，则m的值为（）A．4B．1C．﹣4D．﹣13．（4分）命题“∃x＞0，使得2x≥1”的否定为（）A．∃x＞0，使得2x＜1B．∃x≤0，使得2x≥1C．∀x＞0，都有2x＜1D．∀x≤0，都有2x＜14．（4分）设a，b∈R，且a＜b＜0，则（）A．＜B．＞C．＞D．+＞2 5．（4分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y＝2lnx B．y＝|x3|C．y＝x﹣D．y＝cos x6．（4分）已知函数f（x）＝lnx+x﹣4，在下列区间中（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n（n＝1，2，3，…），则a2020＝（）A．0B．1C．2020D．20218．（4分）已知函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（t ＞0），得到函数y＝f（x）的图象．若函数y＝f（x），则t的最小值是（）A．B．C．D．9．（4分）设x，y是实数，则“0＜x＜12x+log2y＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（4分）对于函数f（x），若集合{x|x＞0，f（x）＝f（﹣x），则称函数f（x）是“k阶准偶函数”．若函数f（x）＝，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[0，2）C．[0，4）D．[2，4）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）若复数z＝（1+i）i，则|z|＝．12．（5分）已知tan（θ﹣）＝2，则tanθ＝．13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝9，公差d＝﹣2，则S n的最大值为．14．（5分）在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若＝x+y；②＝．15．（5分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，它以1rad/s的角速度逆时针旋转．轮子外边沿有一点P，点P到船底的距离是H（单位：m）（单位：s）．当t＝0时，点P在轮子的最高点处．①当点P第一次入水时，t＝；②当t＝t0时，函数H（t）的瞬时变化率取得最大值0的最小值是．三、解答题共6小题，共85分。
西安中学2020-2021学年度高三理科数学第一学期期中考试(word版含答案)
注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效,考试结束，需将答题卡交回。
第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，A ={x|0<x <2}，B ={x|x ≥1}，则A ⋂(∁U B)=( ) A. (−∞,2) B. (0,+∞) C. (−∞,1) D.(0,1)2.若复数z 满足131iz i i+=--(其中i 为虚数单位)，则z =( ) A. 2B. 3C. √10D. 43.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8n D.S n ＝12n 2－2n 4.给出下列四个结论：①对于命题:p x ∀∈R ，210x x ++>，则0:p x ⌝∃∈R ，20010x x ++≤ ②命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”；③“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；④若命题p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题；其中正确结论的个数为（ ）A.1B.2C. 3D.4西安中学2020-2021学年度第一学期期中考试高三 数学（理科）试题（时间：120分钟 满分：150分）5.如图程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A. A >1000和n =n +1B. A >1000和n =n +2C. A ≤1000和n =n +1D. A ≤1000和n =n +26.在等比数列{a n }中，已知3a ，7a 是方程2610x x -+=的两根，则5a =（ ）A.1-B.1C. 1±D.3 7.某单位组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分，统计20人的得分情况如图所示，若该20人成绩的中位数为a ，平均数为b ，众数为c ，则下列判断错误的是（ ） A. a=92B. b=92C. c=90D. b+c<2a8.函数()2sin(2)3f x x π=-的图像为C ,以下结论中正确的是（ ） ①图像C 关于直线512x π=对称; ②图像C 关于点(,0)3π-对称; ③由y = 2sin2x 的图像向右平移个单位长度可以得到图像C. A.①B.①②C.②③D.①②③9.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是 截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体， 如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( ).. . . 10.为缓解城市道路交通压力，促进城市道路交通有序运转，减少机动车尾气排放对空气质量的影响，西安市人民政府决定：自2019年3月18日至2020年3月13日在相关区域实3πA 325B 165C 6D 3施工作日机动车尾号限行交通管理措施．已知每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行.某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两辆车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )A ．A 车周三限行B ．今天是周六C ．今天是周四D ．C 车周五限行 11.已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+≤<的图像有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．2935[,)2424 B ．2935[,]2424 C ．2935(,)2424 D ．2935(,]242412. 平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,α平面ABCD =m ,α平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为（ ）A ．2B ． 2C ．3D ．13第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.若5(n x-的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x 的系数为_____.14.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________.15．2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有不同救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有________种。