八年级下册期中考试数学试卷(有答案)-名师版
广东省广州市执信中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题(解析版)
2022－2023 学年度第二学期初二级数学科期中考试试卷命题人：徐昊平审题人：赖清华本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑：如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列式子是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的定义即可判定答案．【详解】解：A=，因此不是最简二次根式，不合题意；B=C是最简二次根式，符合题意；D，因此不是最简二次根式，不合题意；故选C．【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，能熟记最简二次根式的定义是解题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．2. 下列运算正确的是（ ）A. (23=B.C. −D. 【答案】A【解析】 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【详解】解：A 、(23=，故选项正确，符合题意；B +不能合并，故选项错误，不符合题意；C 、−不能合并，故选项错误，不符合题意；D 、18=，故选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．3. 如图，点A 表示的数为x ，则x =（ ）A. 1−B. 1−C. 1−D.【答案】D【解析】【分析】根据图示（见详解）得，点C 在原点处，点B 表示的数是1−，则1BC =，且1BD =，则有等腰直角三角形BCD ，由此可知CD 的长，且弧 AD 是以CD 长为半径的圆的一部分，所以CA CD =，由此即可求解．【详解】解：根据题意得，如图所示，∵Rt BCD 是等腰直角三角形，且1BC BD ==，∴CD ，又∵弧 AD 是以CD 长为半径的圆的一部分，∴CA CD ==∵是在数轴上原点的坐标，∴点A 表示的数是，即x =，故选：D ．【点睛】本题主要考查数轴表示无理数，理解腰为1，由此圆的半径是，则在数轴上即可表示出无理数，解题的关键的解等腰直角三角形的斜边的长．4. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在网格的格点上，则下列结论错误的是（ ）A. AB =B. 5AC =C. BC =D. 30ACB ∠=°【答案】D【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出,,AB AC BC 的长度即可判断A ，B ，C 选项，然后利用勾股定理逆定理得到90ABC ∠=°，最后根据30°度角直角三角形的性质即可判断D 选项．【详解】根据勾股定理可得，AB ==，故A 选项正确，不符合题意；根据勾股定理可得，5AC ，故B 选项正确，不符合题意；根据勾股定理可得，BC，故C 选项正确，不符合题意；∵222AB BC AC +=，∴90ABC ∠=°，∵2AC AB ≠， ∴30ACB ∠≠°，故D 选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了勾股定理和网格的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5. 下列四个命题中，假命题是（ ）A. 有三个角是直角的四边形是矩形B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点，得到一个矩形【答案】D【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可．【详解】A ．有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，故不符合题意；B ．对角线互相垂直平分且相等四边形是正方形，是真命题，故不符合题意；C ．四条边都相等的四边形是菱形，是真命题，故不符合题意；D ．顺次连接对角线相等的四边形各边中点，得到一个菱形，原命题是假命题，故符合题意；故选D ．【点睛】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．6.是整数，则正整数n 的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 18 【答案】B【解析】是整数，则18n 是平方数求解即可．是整数，∴18n 是平方数， 的∴2n=．故选B．(0)(0)a aaa a≥=−<是解答本题的关键．7. 如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=，CD=2，BC=3，AB=5，求四边形ABCD的面积为( )．A.B. 12+C. 6+D. 10+【答案】C【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵连接AC，如图所示：∵∠D=90°，AD=，CD=2，∴AC=4．∵BC=3，AB=5，32+42=52，∴△ABC直角三角形，∠ACB=90°，∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=12××2+12×4×3=．故答案选C【点睛】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算．8. 如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度()cmy与注水时间()s x之间的函数图象大致是（）是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意判断出大烧杯的液面高度()cm y 随时间()s x 的变化情况即可．【详解】解：先大烧杯的液面高度y 随时间x 的增加而增大，当大烧杯的液面高度达到小烧杯的高度时，大烧杯的液面高度y 保持不变，所以B 选择项不符合题意；当小烧杯水注满后，大烧杯的液面高度y 随时间x 的增加而增大，所以A C 选择项不符合题意，D 项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，函数值是增大还是减小是解题的关键．9. 如图，ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是AD 中点，若8AC =，AOE △的周长为10，则ABCD 的周长为（ ）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，得到O 是AC 的中点，进而得到OE 为ACD 的中位线，得到ACD 的周长是AOE △的周长的2倍，用ACD 的周长减去AC 的长，得到AD CD +的长，即可得解． 【详解】解：∵ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ， ∴12AO OC AC ==， ∵点E 是AD 中点， ∴11,22AE ED AD OE CD ===， ∴ACD 的周长()2AC AD CD AO OE AE =++=++，∵AOE △的周长10AO OE AE =++=，∴20AC AD CD ++=，∴20812AD CD +−，∴ABCD 的周长()224AD CD =+=；故选B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，是解题的关键．10. 如图，在矩形ABCD 中，1210AB AD ==，，点P 在AD 上，点Q 在BC 上，且AP CQ =，连接CP QD 、，则PC QD +的最小值为（ ）A. 22B. 24C. 25D. 26【答案】D【解析】 【分析】连接BP ，则PC QD +的最小值转化为PC PB +的最小值，在BA 的延长线上截取12AE AB ==，连接PE CE 、，则PC QD PC PB PC PE CE +=+=+≥，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，连接BP ，在矩形ABCD 中，10AD BC AD BC ==，∥，∵AP CQ =，∴AD AP BC CQ −=−，∴DP QB DP BQ =，∥，∴四边形DPBQ 是平行四边形，∴PB DQ PB DQ =∥，，则PC QD PC PB +=+，则的最小值转化为PC PB +的最小值，在BA 的延长线上截取12AE AB ==，连接PE ，则224BE AB ==，∵PA BE ⊥，∴PA 是BE 的垂直平分线，∴PB PE =，∴PC PB PC PE +=+，连接CE ，则PC QD PC PB PC PE CE +=+=+≥，∴26CE =，∴PC PB +的最小值为26，即PC QD +的最小值为26，故选：D ．【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC QD PC PB PC PE CE +=+=+≥是解题的关键．第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 函数54=−y x 中自变量x 的取值范围是________． 【答案】4x ≠【解析】【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得，x-4≠0，解得，x≠4，故答案为x≠4．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式分母不为0是解题的关键．12. 如果一直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和4cm，那么这个直角三角形斜边上的中线等于________cm．【答案】5 2【解析】【分析】先根据勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：∵两条直角边的长分别是3cm和4cm，∴斜边，∴斜边上的中线=52 cm，故答案为：52．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．13.与最简二次根式=a___________．【答案】4【解析】化为最简根式，然后根据同类次根式的定义列出方程求解即可．与最简二次根式=，∴13a−=，解得：4a=．故答案为：4【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．14. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得4mAO=，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也向右滑1m，则梯子AB的长度为________.【答案】5m ##5米【解析】【分析】设m BO x =，利用勾股定理用x 表示出AB 和CD 的长，进而求出x 的值，然后由勾股定理求出AB 的长度．【详解】解：设m BO x =，由题意得：1m =AC ，1m BD =，4m AO =，在Rt AOB △中，根据勾股定理得：222224AB AO OB x =+=+，在Rt COD 中，根据勾股定理得：()()22222411CD CO OD x =+=−++，∴()()22224411x x +=−++，解得：3x =，∴()5m AB == ，即梯子AB 的长为5m ．故答案：5m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 15. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧交AD 于点E ，分别以点C 、E 为圆心，大于12CE 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AD 的延长线于点F ，60CBE ∠=°，4BC =，则BF 的长为______．【答案】【解析】为【分析】连接CE 交BF 于G ，连接CF ．根据平行四边形的性质，平行线的性质确定EFB CBF ∠=∠，根据题目中作图过程确定BP 是CBE ∠的平分线，根据等角对等边和等价代换思想确定BC BE =，根据菱形的判定定理和性质确定BF CE ⊥，2BF BG =，根据角平分线的定义，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出BG 的长度，进而即可求出BF 的长度．【详解】解：如图所示，连接CE 交BF 于G ，连接CF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，即EF BC ∥．∴EFB CBF ∠=∠．∵以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧交AD 于点E ，∴BC BE =．根据作图过程可知BP 是CBE ∠平分线．∴CBF EBF ∠=∠．∴EBF EFB ∠=∠．∴BE EF =．∴BC EF =．∴四边形BCFE 是平行四边形．∴平行四边形BCFE 是菱形．∴BF CE ⊥，2BF BG =．∵60CBE ∠=°，∴30CBF ∠=°．∵4BC =， ∴122CG BC ==．∴BG ．∴2BF BG ==．故答案为：的【点睛】本题考查平行四边形的判定定理和性质，平行线的性质，角平分线作图，等角对等边，菱形的判定定理和性质，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键． 16. 如图，点E 在正方形ABCD 外，连接AE 、BE 、DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点F，若AE AF ==10BF =，则下列结论：①AFD AEB ≌ ；②EB ED ⊥；③点B 到直线AE的距离为④40ABF ADF S S ∆∆+=其中正确的结论是___．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②④【解析】【分析】由正方形性质可知AB AD =，90BAD ∠=°，得出90BAF DAF ∠+∠=°，结合题意可得出90EAB BAF ∠+∠=°，即证明EAB FAD ∠=∠，从而可用“SAS ”证明AFD AEB ≌，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得出45AEF AFE ∠=∠=°，结合全等的性质可得135AFD AEB ∠=∠=°，进而即可求出90BEF ∠=°，故②正确；过点B 作BG AE ⊥，交AE 延长线于点G ，则BG 的长即为点B 到直线AE 的距离．根据勾股定理可求出8EF =，从而可求出6BE．又易证GBE为等腰直角三角形，即得出BG EG ===AFD AEB S S = ，即得出ABF ADF ABF AEB AEF BEF S S S S S S +==++ ，结合三角形的面积公式即可求出162440ABF ADF S S +=+= ，故④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90BAD ∠=°，∴90BAF DAF ∠+∠=°，的∵EA AF ⊥，∴90EAB BAF ∠+∠=°，∴EAB FAD ∠=∠，又∵AE AF =，∴(SAS)AEB AFD ≌，故①正确；∵AFD AEB ≌，∴AFD AEB ∠=∠，∵90EAF ∠=°，AE AF =，∴45AEF AFE ∠=∠=°，∴180135AEB AFD AFE ∠=∠=°−∠=°，∴1354590BEF AEB AEF ∠=∠−∠=°−°=°，∴EB ED ⊥，故②正确；如图，过点B 作BG AE ⊥，交AE 延长线于点G ，则BG 的长即为点B 到直线AE 的距离．∵90EAF ∠=°，AE AF ==∴8EF =，∵10BF =，90BEF ∠=°，∴6BE ，∵135AEB ∠=°，∴45GBE GEB ∠=∠=°，∴BG EG BE ===，故③错误； ∵AFD AEB ≌，∴AFD AEB S S = ，∴ABF ADF ABF AEB AEF BEF S S S S S S +==++ ．∵111622AEF AE AF S =⋅=×=，11682422BEF BE E S F =⋅=××= ， ∴162440ABF ADF S S +=+= ，故④正确．综上分析可知，正确的结论有①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．熟练掌握上述知识，并能够正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤）17.【答案】−【解析】【分析】先进行二次根式的乘除运算，再化简合并，即可求解．−−＝−−=−【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混和运算的顺序，并注意二次根式的化简是解题的关键．18. 已知1x =+，1y =，求下列各式的值：（1）222x xy y ++；（2）22x y −．【答案】（1）8 （2）【解析】【分析】（1）将x 、y 的值代入原式2()x y =+计算即可；（2）将x 、y 的值代入原式()()x y x y =+−计算即可． 【小问1详解】解：当1x =，1y =时，原式2()x y =+211)=++−2=8=；【小问2详解】当1x =+，1y =−时，原式()()x y x y =+−111)=++−2=【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 19. 8米，一阵强风将竹子从C 处吹折，竹子的顶端A 刚好触地，且与竹子底端的距离AB 是4米．求竹子折断处与根部的距离CB ．【答案】3米【解析】【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x 米，则斜边为（8-x ）米．利用勾股定理解题即可．【详解】解：由题意知BC ＋AC ＝8，∠CBA ＝90°，∴设BC 长为x 米，则AC 长为（8x −）米，∴在Rt △CBA 中，有222BC AB AC +=，即：2216(8)x x +=−，解得：3x =，∴竹子折断处C 与根部的距离CB 为3米．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．20. 在ABCD 中．（1）尺规作图：作B ∠的平分线BE ，E 为AD 与BE 的交点（保留痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若2,3AB BC ==，求DE 【答案】（1）见解析 （2）1【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；（2）证明ABE CBE ∠=∠AE =，进而可求出DE 的长．【小问1详解】如图所示，【小问2详解】∵BE 平分ABC ∠，∴ABE CBE ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，3AD BC ==，∴CBE AEB ∠=∠，∴ABE AEB ∠=∠，∴2AB AE ==．∴1DE AD AE =−=．【点睛】本题考查了尺规作图-作角的平分线，平行四边形的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定，证明ABE AEB ∠=∠是解（2）的关键．21. 在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上一点，且CB CP =.（1）求证：PB PD =；（2）求BPD ∠的度数．【答案】（1）见解析 （2）135BPD ∠=°【解析】【分析】（1）根据正方形性质，证明()SAS BCP DCP ≌△△，得出PB PD =即可；（2）根据等腰三角形性质求出()11804567.52BPC PBC ∠=∠=°−°=°，根据全等三角形性质求出67.5DPC BPC ∠=∠=°，即可得出答案．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴CD CB =，1452BCP DCP BCD ∠=∠=∠=°， ∵PC PC =，∴()SAS BCP DCP≌△△，∴PB PD =；【小问2详解】解：∵CB CP =，45BCP ∠=°， ∴()11804567.52BPC PBC ∠=∠=°−°=°， ∵BCP DCP ≌△△，∴67.5DPC BPC ∠=∠=°，∴135DPC B BPD PC ∠+∠=°∠=．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，证明BCP DCP ≌△△是解题的关键．22. 如图，把矩形ABCD 沿AE 所在的直线对折后点D 落在BC 边的点F 处，10,8BC AB ==．求：（1）CF 的长；（2）EF 的长．【答案】（1）4 （2）5【解析】【分析】（1）首先求出BF 的长度，进而求出CF 的长度；（2）根据勾股定理列出关于线段EF 的方程，即可解决问题．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，∴8,10,90AD AB AD BC B C °====∠=∠=， ∵长方形沿AE 对折后点D 落在BC 边的F 处，∴ADE AFE △≌△，∴,5DEEF AF AD ===， 在Rt ABC △中，有222AB BF AF +=，6BF =，∴4CF BC BF =−=；【小问2详解】由（1）知：10,BCAD DE EF ===， 在Rt CEF △中，设EF x =，则(8)CEx =−， 由勾股定理得：222+=CF CE EF ，2224(8)x x +−=，解得5x =，即：5EF =．【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理，解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系；根据有关定理灵活分析、正确判断、准确求解．23. 在Rt ABC 中，90ACB ∠=°．点D 是边AB 上的一点，连接C D ．作AE DC ∥，CE AB ∥，连接E D ．（1）如图1，当CD AB ⊥时，求证：AC ED =；（2）如图2，当D 是边AB 的中点时，若10AB =，8ED =，求四边形ADCE 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】【分析】（1）根据AE ∥DC ，CE ∥AB ，可以得到四边形AECD 是平行四边形，再根据CD ⊥AB ，即可得到结论成立；（2）根据题意，先判断四边形AECD 是菱形，然后求出AC 的长，再计算四边形ADCE 的面积即可．【小问1详解】证明：∵AE ∥DC ，CE ∥AB ，∴四边形AECD 是平行四边形，∵CD ⊥AB ，∴∠CDA ＝90°，∴四边形AECD 是矩形，∴AC ＝ED ；【小问2详解】解：∵D 是边AB 的中点，∠ACB ＝90°，AB ＝10，∴CD ＝AD ＝5，∵AE ∥DC ，CE ∥AB ，∴四边形AECD 是平行四边形，∴四边形AECD 是菱形， ∴12DE ＝4，∴12AC 3=，∴AC ＝6，∴四边形ADCE 的面积是12AC •DE ＝12×6×8＝24，即四边形ADCE 的面积是24．【点睛】本题考查勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 折叠，点A 的对应点为点G .（1）如图1，当点G 恰好在BC 边上时，求证：四边形ABGE 为正方形；（2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F .①求证：BF AB DF =+；②若AD =，试探索线段DF 与FC 的数量关系.【答案】（1）正方形 （2）①见解析；②3CF DF =【解析】【分析】（1）先根据有三个角直角的四边形是直角得四边形ABGE 是矩形，再由角平分线性质定理可知：AE EG =，从而得四边形ABGE 是正方形；（2）①如图2，连接EF ，由ABCD 为矩形，得到两组对边相等，四个角为直角，再由E 为AD 中点，得到AE DE =，由折叠的性质得到BG AB EG AE ED ===，，且90EGB A ∠=∠=°，利用HL 得到直角三角形EFG 与直角EDF 全等，利用全等三角形对应边相等得到DF FG =，由BF BG GF =+，等量代换即可得证；②CF DF =，理由为：不妨假设AB DC a DF b ===，，表示出AD BC =，由①得：BF AB DF =+，进而表示出BF CF ，，在直角BCF △中，利用勾股定理列出关系式，整理得到2a b =，由CD DF FC −=，代换即可得证．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，90A ABC ∴∠=∠=°，由折叠得：90BGE A ∠=∠=°，45ABE EBG ∠=∠=°，∴四边形ABGE 是矩形，ABE EBG AE AB EG BG ∠=∠⊥⊥ ，，，AE EG ∴=，∴矩形ABGE 是正方形；故答案为：正方形；【小问2详解】①如图2，连接EF ，在矩形ABCD 中，90AB DC AD BC A C D ==∠=∠=∠=°，，，∵E 是AD 的中点，AE DE ∴=，ABE 沿BE 折叠后得到GBE ，90BG AB EG AE ED A BGE ∴===∠=∠=°，，90EGF D ∴∠=∠=°，在Rt EGF 和Rt EDF 中，EG ED EF EF == ，，Rt EGF Rt EDF ∴ ≌，DF FG ∴=，BF BG GF AB DF ∴=+=+；②不妨假设AB DC a ==， DF b =，AD BC ∴==，由①得：BF AB DF =+BF a b ∴=+， CF a b =−，在Rt BCF 中，由勾股定理得：222BC B F F C =+∴())()222a b a b +=+−， ∴243ab a =，∵0a ≠， ∴43a b =，即： 43CD DF =， 43CF DF DF =− ， 3.CF DF ∴=【点睛】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握图形的判定与性质是解本题的关键．25. 已知矩形ABCD 中，5cm,10cm AB BC ==，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿AFB △和DE △各边匀速运动一周．即点P 自A F B A →→→停止，点Q 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值；②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，0ab ≠），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．【答案】（1）见解析 （2）①53；② 【解析】【分析】（1）利用SAS 证明AOE COF △≌△，得OE OF =，可知四边形AFCE 是平行四边形，再说明AC EF ⊥即可证明是菱形；（2）①设菱形的边长cm AF CF x ==，在Rt ABF 中，利用勾股定理求出x 的值．通过判断可知因此只有当点P 在BF 上，Q 点在ED 上，才能构成平行四边形，根据QA PC =，从而得出答案；②由题意得：四边形APCQ 是平行四边形时，点P ，Q 在互相平行的对应边上，分三种情况分别画出图形，从而解决问题．【小问1详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴,CAD ACB AEF CFE ∠=∠∠=∠， ∵O 为AC 中点，∴OA OC =，∴(AAS)△≌△AOE COF ，∴OE OF =，∴四边形AFCE 是平行四边形，又∵AC 平分EAF ∠，∴AC EF ⊥，∴四边形AFCE 为菱形；【小问2详解】①设菱形的边长cm AF CF x ==，则(16)cm BFx =−， 在Rt ABF 中，由勾股定理得：2228(16)x x +−=，解得10x =，∴10AF ；如图，显然当点P 在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A ，C ，P ，Q 的四点不可能构成平行四边形，同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上也不能构成平行四边形，因此只有当点P 在BF 上，Q 点在ED 上，才能构成平行四边形，∴以A ，C ，P ，Q 的四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA =，∵点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，∴5,4154PC t QA CD AD t t ==+−=−，即QA =24-4t ，∴5t =15-4t ， ∴53t =， ∴当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t 的值为53； ②由题意得：四边形APCQ 是平行四边形时，点P ，Q 在互相平行的对应边上．∵四边形AFCE 为菱形，∴AF CF CE AE ===．如图，当P 点在AF 上，Q 点在CE 上时，∵AP CQ =，∴15a b =−，∴15a b +=；如图，当P 点在BF 上，Q 点在DE 上时，∵AQ CP =，即15b a −=，∴15a b +=；如图，当P 点在AB 上，Q 点在CD 上时，∵AP CQ =，∴.15a b −=，∴15a b +=，综上所述，a 与b 满足的数量关系为15(0)a b ab +=≠． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解（2）的关键．。
江苏省南通市通州区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)
2023~2024学年（下）初二期中学业水平质量监测数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 已知中，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题重点考查平行四边形的性质．由平行四边形的性质得，因为，所以，于是得到问题的答案．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，故选：A ．2. 下列各点在函数图象上的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．【详解】解：A 、当时，，点不在函数图象上；B 、当时，，ABCD Y 60A ∠=︒C ∠60︒80︒100︒120︒C A ∠=∠60A ∠=︒60C ∠=︒ ABCD C A ∴∠=∠60A ∠=︒ 60C ∴∠=︒21y x =-()0,1()1,1-()1,3--()2,50x =2011y =⨯-=-∴()0,121y x =-1x =2111y =⨯-=点不在函数图象上；C 、当时，，点在函数图象上；D 、当时，，点不在函数图象上；故选：C ．3. 如图，，分别是，的中点，测得，则池塘两端，的距离为（ ）A. 45mB. 30mC. 22.5mD. 7.5m【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形中位线等于第三边的一半．根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：，分别是，的中点，是的中位线，，故选：B ．4. 若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】通过经过的象限判断比例系数k 的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限，∴，∴的值可为2，故选：D．∴()1,1-21y x =-=1x -2(1)13y =⨯--=-∴()1,3--21y x =-2x =2213y =⨯-=∴()2,521y x =-D E AC BC 15m DE =A B D E AC BC DE ∴ABC 221530(m)AB DE ∴==⨯=y kx =k 0k ≠k 2-1-12-y kx =k 0k ≠0k >k【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．5. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项正确，符合题意；C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．6. 如图，四边形中，E ，F ，G ，H 分别是，，，的中点．若四边形是菱形，则四边形需满足的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，，，，再根据菱形的判定定理解答即可．【详解】解：，，，分别是，，，的中点，、、、分别为、、、的中位线，ABCD Y AC BD O AC BD=OA OC =AC BD ⊥ADC BCD∠=∠ABCD AC BD O AC BD =OA OC =AC BD ⊥ADC BCD ∠=∠ABCD AD BC BD AC EGFH ABCD AB DC=AB DC ⊥AC BD =AC BD ⊥12EG AB =12FH AB =12FG CD =12EH CD =E F G H AD BC BD AC EG ∴GF FH EH ABD △BCD △ABC ACD，，，，，，四边形为平行四边形，当时，，平行四边形为菱形，故选：A ．7. “漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度．不考虑水量变化对压力的影响，下列图象最适合表示y 与x 对应关系的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象．根据题意，可知随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．【详解】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，随的增大而减小，符合一次函数图象，故选：D ．8. 两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，，与交于点G ，与交于点H ．若，，则四边形的面积为（）12EG AB ∴=12FH AB =12FG CD =12EH CD =EG FH ∴=F G E H =∴EGFH AB CD =EG FG =EGFH y x x y y ∴x ABCD AECF AB AF =AE BC =AE BC AD CF 30AGB ∠=︒2AB =AGCHA. 4B. C. 8 D. 16【答案】C【解析】【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形是菱形是解题的关键．证明四边形是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，即可求解．【详解】解：∵两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，，∴，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．四边形的面积．故选：C ．9. 如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，，的长为（ ）AGCH AGCH AG ABCD AECF AB AF =AE BC =30AGB ∠=︒AD BC ∥FC AE ∥90B F ∠=∠=︒30HAG AGB ∴∠=∠=︒30FHA HAG ∠=∠=︒2AG AB ∴=2AH AF=2AB = 4AG AH ∴==AG HC ∥AH GC∥∴AGCH AG AH =∴AGCH ∴AGCH 248AB AH =⋅=⨯=ABCD Y B BA BC F G F G 12FG H BH AD E CE CE AD ⊥3AD =BE =ABA. 1.5B. C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、勾股定理．由作图过程可知，为的平分线，则，再结合平行四边形的性质可得．在中，由勾股定理得，．设，则，，在中，由勾股定理得，，代入求出的值，即可得出答案．【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，，四边形为平行四边形，，，，，，．在中，由勾股定理得，．设，则，，在中，由勾股定理得，，即，解得，的长为2．故选：C ．10. 对于一次函数，其自变量和函数的两组对应值如表所示，则的值为（ ）x4kBE ABC ∠ABE CBE ∠=∠AB AE=Rt BCECE ==AB x =CD AE x ==3DE x =-Rt CDE △222CD CE DE =+x BE ABC ∠ABE CBE ∴∠=∠ ABCD AB CD ∴=3AD BC ==AD BC ∥AEB CBE ∴∠=∠ABE AEB ∴∠=∠AB AE =∴Rt BCECE ===AB x =CD AE x ==3DE x =-Rt CDE △222CD CE DE =+()2223x x =+-2x =AB ∴y kx b =+b c -y c A. B. C. 2 D. 7【答案】A【解析】分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法得到，据此求出，进而可得．【详解】解：由题意得，，∴，即，∴，∴，∴，故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第13~18小题每小题4分，共30分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11. 函数中，自变量的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x -3≥0，解得：x ≥3．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12. 若正比例函数的图象经过点，则______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．将点代入函数解析式即可求得．【4c -8-2-244k b c k b c +=⎧⎨+=-⎩2k =8b c -=-244k b c k b c +=⎧⎨+=-⎩2440k k -+=()220k -=2k =8b c +=8bc -=-y =x 3x ≥y kx =()1,2-k =2-()1,2-【详解】解：点代入函数解析式得：，即，故答案为：．13. 如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A 的坐标是，则菱形的周长为______．【答案】40【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理等知识．于点D ，根据勾股定理求出，根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，作于点D ，∵点A 的坐标是，∴，∴菱形的周长为40．故答案为：4014. 将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答．【详解】解：函数的图象向下平移2个单位长度为，()1,2-y kx =2k -=2k =-2-xOy AOBC ()6,8AD OB ⊥10OA =AD OB ⊥()6,810OA ===AOBC 23y x =+21y x =+23y x =+23221y x x =+-=+故答案为：．15. 我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是________．【答案】【解析】【分析】设图象交点的纵坐标是m ，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：设图象交点的纵坐标是m ，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．∴，解得，经检验是方程的根且符合题意，∴两图象交点的纵坐标是．故答案为：【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．16. 如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为______．【答案】21y x =+s t P 250P 35P 3510035m m -=250m =250m =P 250250Rt ABC △90ACB ∠=︒67.5B ∠=︒8AB =CD AB ⊥D E AB DE【解析】【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出．【详解】解：在中，，，则，在中，，，是斜边的中点，则，，，，，，故答案：17. 如图，直线分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，C 是线段上一点，，则点C 的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定，熟练掌握一线三垂直证明全等是解答本题的关键．首先得，，作，交直线于点，作，垂足为点，利用证明得到，，设，则，，将点为A ∠142CE AB AE ===22.5ECA A ∠=∠=︒45BEC ∠=︒DE Rt ABC △90ACB ∠=︒67.5B ∠=︒9067.522.5A ∠=︒-︒=︒Rt ABC △90ACB ∠=︒8AB =E AB 142CE AB AE ===22.5ECA A ∴∠=∠=︒45BEC A ECA ∴∠=∠+∠=︒CD AB ⊥ 90CDE \Ð=°DE ∴==122y x =+OA =45ABC ∠︒2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭(0,2)B (4,0)A -CD BC ⊥AB D DE x ⊥E AAS CDE BCO △≌△DE CO =CE OB =(,0)C m -(2,0)E m --(2,)D m m --代入直线解析式解出值即可．【详解】解：如图，作，交直线于点，作，垂足点，，，，，，，直线解析式为直线，，，设则，，点在直线的图象上，解得：，．故答案为：．18. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长的最大值为______．为D m CD BC ⊥AB D DE x ⊥E 45ABC ∠=︒ CD CB ∴=90DEC BCO DCE CBOCD CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=⎨⎪=⎩(AAS)CDE BCO ∴ ≌DE CO ∴=CE OB = AB 122y x =+(0,2)B ∴(4,0)A -(,0)C m -(2,0)E m --(2,)D m m -- (2,)D m m --122y x =+1(2)22m m ∴=--+23m =2(3C ∴-0)2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ABCD 2AB =3BC =E F AD BC AE CF =B EF H BH【解析】【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质．由矩形的性质推出，，，，由推出，得到，由勾股定理求出，得到，又，即可得到线段长的最大值为．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，线段．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 已知y 是x 的一次函数，且当时，；当时，．AD BC =2DC AB ==AD BC ∥90DBC ∠=︒ASA ODE OBF △≌△OB OD =BD ==12OB BD ==BH OB ≤BH ABCD AD BC ∴=2DC AB ==AD BC ∥90DBC ∠=︒ODE OBF ∴∠=∠OED OFB ∠=∠AE CF = AD AE BC CF ∴-=-DE BF ∴=()ASA ODE OBF ∴≌ OB OD ∴=BD === 12OB BD ∴==BH OB ≤ ∴BH 2x =4y ==1x -1y =（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点在该一次函数的图象上，求a 的值．【答案】（1）该一次函数的解析式为（2）【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征；（1）设一次函数解析式为，再把两组对应值代入得到的方程组，然后解方程组即可；（2）把代入（1）中的解析式得到的方程，然后解方程即可．【小问1详解】解：设该一次函数的解析式为，分别把代入得：解得：所以，该一次函数的解析式为．【小问2详解】把代入，得：，解得：a 的值：20. 如图，在中，E 是上一点，，点F 在上，．求证：．【答案】见解析【解析】(),1a a -2y x =+12a =-()0y kx b k =+≠k b 、(),1a a -a ()0y kx b k =+≠2,4;1,1x y x y ===-=y kx b =+241k b k b +=⎧⎨-+=⎩12,k b =⎧⎨=⎩2y x =+(),1a a -2y x =+12a a -=+12a =-12a =-ABCD Y BC DE DA =DE DAF EDC ∠=∠DF EC =【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．先根据平行四边形的定义得到，再证明，即可证明．【详解】证明：四边形是平行四边形，，，又∵，，，．21. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线l 经过点A ，交y 轴于点．（1）求m 的值和直线l 的函数表达式；（2）若点在直线l 上，点在直线上．若，求t 的取值范围．【答案】（1），直线的解析式为（2）【解析】【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先将代入，代入得到，，然后根据求解即可．【小问1详解】把点代入得：，设直线的解析式为，把和分别代入ADF DEC ∠=∠ADF DEC △≌△DF EC = ABCD AD BC ∴∥ADF DEC ∴∠=∠DE AD =DAF EDC ∠=∠ADF DEC ∴ ≌DF EC ∴=()2,A m -22y x =--()0,4B ()1,P t y ()2,Q t y 22y x =--120y y -<2m =AB 4y x =+2t <-()1,t y 4y x =+()2,t y 22y x =--14y t =+222y t =--120y y -<()2,A m -22y x =--()2222m =-⨯--=AB y kx b =+()2,2-()0,4y kx b=+得：解得：所以，直线的解析式为．【小问2详解】把代入，代入，得：，因为，所以，解得．22. 如图，在菱形中，过点作于点，延长至点，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）的长为【解析】【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．（1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形；（2）根据矩形的性质和菱形的性质，以及勾股定理即可得到结论．【小问1详解】证明：在菱形中，，，224k b b -+=⎧⎨=⎩14k b =⎧⎨=⎩AB 4y x =+()1,t y 4y x =+()2,t y 22y x =--14y t =+222y t =--120y y -<()()4220t t +---<2t <-ABCD A AE BC ⊥E BC F CF BE =DF AEFD 6BF =3DF =AD AD 154CF BE =EF BC =EF AD =AD BC ∥AEFD AE BC ⊥AEFD ABCD AD BC ∥AD BC CD AB ===，，，，∵，四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形；【小问2详解】解：设，，，，，解得，．23. 如图，有两个全等的直角三角形，直角边长分别为2和4，我们知道，用这样的两个直角三角形可以拼成平行四边形．（1）请画出所有可能拼成的平行四边形：（要求：用直尺画图，并在图上标出平行四边形每一条边的长度．）（2）在所有拼成的平行四边形中，求最长对角线的长度．【答案】（1）共有3种拼法，画图见解析（2）（1）中图（3）中一条对角线最长，长度为【解析】【分析】本题考查图形的剪拼，涉及矩形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形性质，作辅助线构造直角三角的CF BE = CF EC BE EC ∴+=+EF BC ∴=EF AD ∴=AD BC ∥∴AEFD AE BC ⊥ ∴AEFD AD BC EF CD x ====6CF BE BF EF x ∴==-=-90F ∠=︒ 222CD CF DF ∴=+222(6)3x x ∴=-+154x =154AD ∴=形求解是解答的关键．（1）根据平行四边形的性质求解即可；（2）分情况分别利用平行四边形和矩形的性质和勾股定理求解即可．【小问1详解】共有3种拼法，如下图：【小问2详解】如图①所示：其对角线长；如图②所示：∴∴∴如图③所示：∴∴∴．∴图③中的一条对角线最长，长度为．24. 家电超市出售某品牌手机充电器，每个进价50元，了解到有A ，B 两个厂家可供选择，为了促销、两个厂家给出了不同的优惠方案：A 厂家：一律打8折出售；B 厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折．该家电超市计划购买充电器x 个，设去A 厂家购买应付元，去B 厂家购买应付元．AB ==4CD ==122OD CD ==OA ==2AB OA ==2C D ==112OD CD ==OB ==2AB OB ==1y 2y（1）分别求出、与x 之间的函数关系；（2）若该商家只在一个厂家购买，怎样买过算？【答案】（1），（2）当时，厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在厂家购买划算【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键．（1）根据“去厂家购买应付款进价折扣购买数量”求出与之间的函数关系；分别求出当且为整数时、当且为整数时与之间的函数关系即可；（2）根据不同的取值范围，分别求出当、、时对应的的取值范围即可．【小问1详解】解：根据题意，得且为整数）；当且为整数时，；当且为整数时，；综上，，与之间的函数关系为，与之间的函数关系为．【小问2详解】解：当且为整数时：；当且为整数时：若，得，解得；若，得，解得；若，得，解得；综上，当时，；当时，；当时，．在1y 2y ()1400y x x =≥()25002035300(20)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩060x <<A 60x =60x >B A =⨯⨯1y x 020x ≤≤x 20x >x 2y x x 12y y <12y y =12y y >x 10.85040(0y x x x =⨯=≥x 020x ≤≤x 250y x =20x >x 250200.750(20)35300y x x =⨯+⨯-=+()25002035300(20)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩1y ∴x ()1400y x x =≥2y x ()25002035300(20)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩020x ≤≤x 12y y <20x >x 12y y <4035300x x <+60x <12y y =4035300x x =+60x =12y y >4035300x x >+60x >060x ≤<12y y <60x =12y y =60x >12y y >当时，选择厂家购买比较划算；当时，选择厂家和厂家一样划算；当时，选择厂家购买比较划算．25. 已知四边形是正方形，点E 是射线上一点，连接，点D 关于直线的对称点为M ，射线与直线相交于点G ．（1）若点M 在对角线上，则 度；（2）如图，若E 是的中点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；（3）若点E 在边的延长线上，，求的长．【答案】（1）（2），证明见解析（3）【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质和判定：（1）根据正方形的性质以及对称的性质得到结果；（2）先作辅助线，根据正方形的性质以及中点得到角度和边长之间的关系，证明出两个三角形全等，得到对应边以及对应角，再根据边长之间的关系可得到结果；（3）先作辅助线，根据勾股定理得到，然后根据对称性以及正方形的特点证明出，即可得到结果；作出正确的辅助线是解题的关键．【小问1详解】解：若点M 在对角线上，如图所示：，此时，∵点D 关于直线的对称点为M，∴060x ≤<A 60x =A B 60x >B ABCD DC AE AE AM BC AC DAE ∠=CD AG AD CG DC 4,3AD BG ==DE 22.5AG AD CG =+8DE =5AG =ABN ECN △≌△AC 45DAC ∠=︒AE∴，故答案为：；【小问2详解】解：，证明如下：延长交的延长线于点，如图所示：，四边形是正方形，，，点是中点，在和中，，，点与点关于直线对称，，，，，而，；【小问3详解】解：设与相交于点，如图所示：122.52DAE EAC DAC ∠=∠=∠=︒22.5AG AD CG =+AE BC F ABCD ,90AD BC ADC ∴∠=︒∥90DCF ADC ∴∠=∠=︒ E CD DE EC∴=ADE V FCE △ADC DCF DE CEAED FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ADE FCE ∴ ≌,AD CF DAE CFE ∴=∠=∠ D M AE GAF DAE ∴∠=∠GAF CFE ∴∠=∠AG FG ∴=FG CF CG =+ CF AD =AG AD CG ∴=+AE BC N，在中，，，，点与点关于直线对称，，四边形是正方形，，，，，，，，，四边形是正方形，，，在和中，，，Rt ABG △222AB BG AG +=22243AG ∴+=5AG ∴= D M AE DAE GAE ∴∠=∠ ABCD AD BC ∴∥DAE ANG ∴∠=∠GAE ANG ∴∠=∠5GN AG ∴==3GB = 532BN GN GB ∴=-=-=4BC AD == 2BN NC ∴== ABCD AB DC ∴ ABC BCE ∴∠=∠ABN ECN ABC BCE BN NCANB ENC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ABN ECN ∴ ≌4CE AB ∴==．26. 如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点．（1）求点D 的坐标；（2）如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点．①若，求的长；②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式．【答案】（1）（2）①的长为2；②【解析】【分析】（1）直线，令，求出，即可得点的坐标；（2）①过作轴于，证明，可得，，设，则，代入直线即可求解；②在上截取，连接，证明，在中，利用勾股定理求解即可．【小问1详解】解：，轴，直线与交于点，点的纵坐标为6，直线，令得，解得，点的坐标为；【小问2详解】448DE DC CE ∴=+=+=xOy ()8,6B x y C A 26y x =-AB D y M E AO O E ED DM F DE EF =AE COM ∠EF H OH m =OE n =m n ()6,6AE m =+26y x =-6y =6x =D F FG y ⊥G ()AAS EFG DEA ≌FG EA =6EG DA ==AE a =(),F a a -26y x =-AD AN AE =NE EOH DNE ≌Rt NAE (8,6)B BA y ⊥26y x =-AB D ∴D 26y x =-6y =266x -=6x =∴D ()6,6解：①过作轴于，，，，，，，，，，设，则，，，，，代入得，解得，的长为2；②在上截取，连接，∵平分，∴，F FG y ⊥G 90EGF A ∴∠=∠=︒90FEG EFG ∠+∠=︒EF DE ⊥ 90FEG DEA ∴∠+∠=︒EFG DEA ∴∠=∠DE EF = ()AAS EFG DEA ∴ ≌FG EA ∴=6EG DA ==AE a =FG EA a ==6OA AE OE =+= 6EG OG OE =+=OG AE a ∴==(,)F a a ∴-26y x =-26a a -=-2a =AE ∴AD AN AE =NE OH COM ∠11904522MOH COM ∠=∠=⨯︒=︒∴，∵，，∴∴，∴，由（1）中D 的坐标可知，∴，即．∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，能够通过作垂线构造全等三角形是解题的关键．180********EOH MOH ∠=︒-∠=︒-︒=︒AN AE ==90DAE ∠︒45ANE ∠=︒180********END ANE ∠=︒-∠=︒-︒=︒EOH END ∠=∠()6,6AD AO =AD AN AO AE -=-DN EO =EOH DNE ≌NE OH m ==NAE 90NAE ∠=︒222AE AN NE +=AN AE =222AE AE NE +=222AE NE =NE =m ∴=+。
2017-2018学年青岛市胶州市八年级下期中数学试卷(有答案)(必备优质)
2017-2018学年山东省青岛市胶州市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知实数a、b满足a+2＞b+2，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+1＞b+1 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点5．下列关于等腰三角形的叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合C．等腰三角形的三边相等D．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形6．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移2个单位长度，得到△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12＝15，则CD的长7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD 为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（）A．30 B．36 C．45 D．729．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．B．C．D．10．已知＝﹣2x﹣1，|x+2|＝x+2，那么x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣C．﹣2D．﹣二、填空题（每小题3分，共24分）11．已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是．12．将一个等边三角形至少绕其中心旋转°，就能与本身重合．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，则∠B＝．14．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝3，则BC的长度为．15．如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（a，1），则关于x的不等式（k﹣3）x+3＞0的解集为．16．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝3，将△ABC沿AB方向平移得△DEF，若△ABC与△DEF重叠部分的面积为2，则AD＝．18．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝15，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，则CD＝．三、解答题（本大题共7小题，满分66分）19．尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，保留痕迹．已知：如图，线段a，h．求作：△ABC，使AB＝AC，且∠BAC＝∠α，高AD＝h．20．（20分）解答下列各题：（1）解不等式﹣x+1＜7x﹣3；（2）解不等式；（3）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．（4）已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，试确定实数a的取值范围．21．（6分）已知：如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G在AC上，且DG＝DB，FG＝BE．求证：CD平分∠ACB．22．（6分）列不等式（组）解答：用20根长度相同的小木棍首尾相接，围成一个等腰三角形，最多可以围成多少种不同的等腰三角形？说明理由并分别写出能摆出的等腰三角形的边长．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．（1）求证：△BDC≌△EFC；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PCE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PCE为等腰三角形时BE的长）；若不能，请说明理由．25．（12分）某服装店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款T恤衫，下表中是近两天的销售情况：（1）求A、B两款T恤衫的销售单价；（2）若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，求A款T恤衫最多能采购多少件？（3）在（2）的条件下，在销售完这30件T恤衫能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．2017-2018学年山东省青岛市胶州市八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知实数a、b满足a+2＞b+2，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+1＞b+1 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+1＞b+1，﹣a＜﹣b．【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+1＞b+1，﹣a＜﹣b．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，关键是根据不等式的性质解答2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】观察图形可知：b＝2c；a＞b．【解答】解：依题意得b＝2c；a＞b．∴a＞b＞c．故选：A．【点评】此题考查不等式的性质，渗透了数形结合的思想，属基础题．4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：C．【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为D．5．下列关于等腰三角形的叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合C．等腰三角形的三边相等D．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形【分析】直接利用等腰三角形的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、等腰三角形两底角相等，正确，不合题意；B、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，正确，不合题意；C、等腰三角形的三边相等，错误，符合题意；D、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，正确，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确掌握等腰三角形的性质是解题关键．6．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移2个单位长度，得到△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据平移的性质可得DF＝AC、AD＝CF＝2，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD、CF的和，再求解即可．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴DF＝AC，AD＝CF＝2，∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD＝AB+BC+CF+AC+AD＝△ABC的周长+AD+CF＝8+2+2＝12．故选：D．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．＝15，则CD的长7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD 为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，＝AB•DE＝×10•DE＝15，∴S△ABD解得DE＝3．故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．8．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（）A．30 B．36 C．45 D．72【分析】由CA＝CB，可以设∠A＝∠B＝x．想办法构建方程即可解决问题；【解答】解：∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，设∠A＝∠B＝x．∵DF＝DB，∴∠B＝∠F＝x，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝∠B+∠F＝2x，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．B．C．D．【分析】连接AD，根据已知和等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD＝6，根据怪怪的求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：连接AD，∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝12，∴AD⊥BC，BD＝DC＝6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD＝＝＝8，＝，∵S△ADB∴DE＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．10．已知＝﹣2x﹣1，|x+2|＝x+2，那么x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣C．﹣2D．﹣【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：＝﹣2x﹣1，|x+2|＝x+2，∴﹣2x﹣1≥0，x+2≥0，解得：﹣2≤x≤﹣．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题关键．二、填空题（每小题3分，共24分）11．已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是22 ．【分析】根据腰为4或9，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．【解答】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，4+4＜9，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为4+9+9＝22．故答案为：22．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边那个为腰，分类讨论．12．将一个等边三角形至少绕其中心旋转120 °，就能与本身重合．【分析】一个正三角形的三个顶点中，每两个相邻顶点与中心的角度是，即120°，因此，一个正三角形至少绕其中心旋转120°，就能与本身重合．【解答】解：360°÷3＝120°，因此，一个正三角形至少绕其中心旋转120度，就能与本身重合，故答案为：120【点评】本题主要是考查正三角形的特征．一个正多边形每两个相邻顶点与中心构成的角度是360°除以这个多边形的边数，绕中心每旋转这个数度或这个度数的整数倍时，就能与自身重合．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，则∠B＝22.5°．【分析】由DE是AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线的性质得∠B＝∠BAD，结合∠CAD：∠DAB＝2：1与直角三角形两锐角互余，可以得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分线∴∠B＝∠BAD∵∠CAD：∠DAB＝2：1∴4∠B＝90°∴∠B＝22.5°故答案为22.5°．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由已知条件得出4∠B＝90°是正确解答本题的关键．14．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝3，则BC的长度为．【分析】根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，计算得到BC．【解答】解：在△ADB中，∠B＝30°，AB＝3，∴AD＝，由勾股定理得，BD＝，在△ADC中，∠C＝45°，AD＝，∴CD＝，∴BC＝BD+CD＝，故答案为：，【点评】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．15．如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（a，1），则关于x的不等式（k﹣3）x+3＞0的解集为x＞3 ．【分析】把点A（a，1）代入正比例函数，进而利用一次函数与一元一次不等式的关系解答即可．【解答】解：把点A（a，1）代入正比例函数y＝x，可得：a＝3，即点A的坐标为（3，1），所以关于x的不等式（k﹣3）x+3＞0的解集为x＞3；故答案为：x＞3【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．16．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是（1，0）．【分析】先画出旋转后的图形，然后写出B′点的坐标．【解答】解：如图，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，点B的对应点B′的坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝3，将△ABC沿AB方向平移得△DEF，若△ABC与△DEF重叠部分的面积为2，则AD＝．【分析】依据△ABC与△DEF重叠部分的面积为2，即可得到DG＝BG＝2，再根据勾股定理可得BD＝＝2，即可得出AD＝AB﹣BD＝．【解答】解：由平移可得∠BDG＝∠A＝45°＝∠ABC，∴△BDG是等腰直角三角形，∵△ABC与△DEF重叠部分的面积为2，∴DG×BG＝2，∴DG＝BG＝2，∴BD＝＝2，∴AD＝AB﹣BD＝3﹣2＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了平移的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．18．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝15，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，则CD＝5 ．【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质得到AD＝BD，计算即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝30°，AD＝BD，∴DA＝DC，∴BC＝DC+2DC＝15，∴CD＝5，故答案为5．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，满分66分）19．尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，保留痕迹．已知：如图，线段a，h．求作：△ABC，使AB＝AC，且∠BAC＝∠α，高AD＝h．【分析】作∠CAB＝∠α，再作∠CAB的平分线，在角平分线上截取AD＝h，可得点D，过点D作AD 的垂线，从而得出△ABC．【解答】解：如图所示，△ABC即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，掌握做一个角等于已知角、作角平分线及过直线上一点作已知直线的垂线的基本作图和等腰三角形的性质是解题的关键．20．（20分）解答下列各题：（1）解不等式﹣x+1＜7x﹣3；（2）解不等式；（3）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．（4）已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，试确定实数a的取值范围．【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（4）首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．【解答】解：（1）﹣x﹣7x＜﹣3﹣1，﹣8x＜﹣4，x＞；（2）2（1﹣2x）≥4﹣3x，2﹣4x≥4﹣3x，﹣4x+3x≥4﹣2，﹣x≥2，（3）3（x+1）﹣2（x﹣2）≤6，3x+3﹣2x+4≤6，3x﹣2x≤6﹣3﹣4，x≤﹣1，将解集表示在数轴上如下：（4）解不等式3+4（x+1）＞1，得：x＞﹣，解不等式a﹣＞﹣1，得：x＜2a+1，∵不等式组恰有2个整数解，∴0＜2a+1≤1，解得：﹣＜a≤0．【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．21．（6分）已知：如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G在AC上，且DG＝DB，FG＝BE．求证：CD平分∠ACB．【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，∴∠DEB＝∠DFG＝90°，在Rt△DBE与Rt△DGF中，∴Rt△DBE≌Rt△DGF（HL），∴CD平分∠ACB．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△DBE≌Rt△DGF．22．（6分）列不等式（组）解答：用20根长度相同的小木棍首尾相接，围成一个等腰三角形，最多可以围成多少种不同的等腰三角形？说明理由并分别写出能摆出的等腰三角形的边长．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系，可以求得腰长的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：设腰长为x根，那么底边长为（20﹣2x）根，，得5＜x＜10，∵x为整数，∴x＝6，7，8，9，∴最多可以围成四种不同的等腰三角形，它们的边长分别为：6，6，8；7，7，6；8，8，4；9，9，2．【点评】本题考查等腰三角形的判定、由实际问题抽象出一元一次不等式、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．（1）求证：△BDC≌△EFC；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．【分析】（1）根据旋转的性质可得CD＝CF，∠DCF＝90°，然后根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠ECF，再利用“边角边”证明即可；（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠F＝90°，再根据全等三角形对应角相等可得∠BDC＝∠F．【解答】证明：（1）由旋转的性质得，CD＝CF，∠DCF＝90°，∴∠DCE+∠ECF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS）；（2）∵EF∥CD，∴∠F+∠DCF＝180°，∵∠DCF＝90°，∴∠F＝90°，∵△BDC≌△EFC，∴∠BDC＝∠F＝90°．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转前后对应边相等，此类题目难点在于利用同角的余角相等求出相等的角．24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PCE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PCE为等腰三角形时BE的长）；若不能，请说明理由．【分析】（1）PD＝PE，通过证△DPC≌△PEB，可得结论（2）分三种情况讨论，可求解．【解答】解：（1）PD＝PE如图连接PB∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中点∴CP⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°∴∠ACP＝∠B＝∠BCP＝45°∴BP＝CP∵∠DPC+∠CPE＝90°＝∠BPE+∠CPE∴∠DPC＝∠PBE且BP＝CP，∠ACP＝∠B∴△DPC≌△PEB∴DP＝PE（2）∵AC＝BC＝2，∠C＝90°∴AB＝2∴AP＝BP＝CP＝△PCE是等腰三角形当PC＝PE＝时，即B，E重合，BE＝0当PC＝CE＝时，E在线段BC上，则BE＝2﹣E在线段BC的延长线上，则BE＝2+当PE＝EC，且∠PCB＝45°∴∠PEC＝90°∴EC＝1∴BE＝1【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论思想，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．25．（12分）某服装店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款T恤衫，下表中是近两天的销售情况：（1）求A、B两款T恤衫的销售单价；（2）若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，求A款T恤衫最多能采购多少件？（3）在（2）的条件下，在销售完这30件T恤衫能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【分析】（1）设A款T恤衫的销售单价为x元/件，B款T恤衫的销售单价为y元/件，根据总价＝单价×销售数量结合表格中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A款T恤衫a件，则购进B款T恤衫（30﹣a）件，根据总进价＝进价×进货数量结合总进价不多于5400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其内的最大值即可得出结论；（3）设购进A款T恤衫a件，则购进B款T恤衫（30﹣a）件，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之再与（2）的结论进行比较即可得出结论．【解答】解：（1）设A款T恤衫的销售单价为x元/件，B款T恤衫的销售单价为y元/件，根据题意得：，解得：．答：A款T恤衫的销售单价为250元/件，B款T恤衫的销售单价为210元/件．（2）设购进A款T恤衫a件，则购进B款T恤衫（30﹣a）件，根据题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，解得：a≤10．答：A款T恤衫最多能采购10件．（3）设购进A款T恤衫a件，则购进B款T恤衫（30﹣a）件，根据题意得：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）＝1400，解得：a＝20．∵a≤10，∴在（2）的条件下不能实现利润为1400元的目标．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．。
安徽省六安市金寨县城区四校联考2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)
金寨县城区四校联考2022-2023学年八年级第二学期期中考试数学试卷（满分150分，时间120分钟）姓名： 班级： 得分： 一、单选题(共10题；共40分)1．（4分）要使8+2x有意义，则（ ）A．x<−4B．x≤−4C．x≥−4D．x>−4 2．（4分）下列式子计算结果正确的是（ ）A．2+6=8B．62−2=6C．22×32=62D．22÷2=23．（4分）方程2x2＝3(x－6)化为一般形式二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）A．2，3，－6B．2，－3，18C．2，－3，6D．2，3，64．（4分）用配方法解方程x2+6x+4=0，配方正确的是（ ）A．(x+3)2=5B．(x+3)2=13C．(x+6)2=5D．(x+6)2=135．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A．k>1B．k=1C．k<1D．k≤1 6．（4分）若一元二次方程5x−1=4x2的两根为x1和x2，则x1·x2的值等于（ ）A．1B．14C．−14D．547．（4分）估算125−45的值应在（ ）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间8．（4分）嘉淇准备解一元二次方程4x2+7x+■=0时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（ ）A．3B．5C．6D．8 9．（4分）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（ ）A．x+x(1+x)=64B．1+x+x2=64C．(1+x)2=64D．x(1+x)=6410．（4分）某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨，预计2023年蔬菜产量将达到121吨.若蔬菜产量的年平均增长率相同，则年平均增长率为（ ）A．-210%B．-10%C．5%D．10%二、填空题(共4题；共20分)11．（5分）最简二次根式3a−4与2是同类二次根式，则a的值是 . 12．（5分）关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m的值为 .13．（5分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2−7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长为 .14．（5分）如图所示，在一幅长50cm、宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是3036c m2，则金色纸边的宽为 cm.三、解答题(共9题；共90分)15．（8分）计算：（1）（4分）8−32+52（2）（4分）(33−26)(33+26)16．（8分）解下列一元二次方程：（1）（4分）x2﹣4x＝1；（2）（4分）（x-5）2﹣2x（x-5）＝0.17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+2m=0有一个实根为-2，求m的值及方程的另一个实根．18．（8分）已知|x−3|+x−y+1=0，求x2y+xy2+1y3的值．419．（10分）把方程(2t+3)2−2(t−5)2=−41先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0．求证：方程总有两个实数根．21．（12分）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：a2−|a−b|+ (c−a)2+|b+c|．22．（12分）读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？（提示：三十而立，四十而不惑）23．（14分）某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为24元/件．”成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：要使8+2x有意义，则有8+2x≥0，解得：x≥−4.故答案为：C.【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则8+2x≥0，求解可得x的范围. 2．【答案】D【解析】【解答】A．2和6不能合并，A不符合题意；B．62−2=52，B不符合题意；C．22×32=12，C不符合题意；D．22÷2=2，D符合题意．故答案为：D．【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘除分别计算，再判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：方程2x2=3（x﹣6），去括号，得2x2=3x﹣18，整理，得2x2﹣3x+18=0，所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18，故答案为：B.【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵x2+6x+4=0，∴x2+6x+32=-4+32，∴（x+3）2=5.故答案为：A.【分析】将常数项移到方程的右边，然后配方(方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“32”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即4−4k>0，解得k<1.故答案为：C.【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意，列出不等式，求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：将5x−1=4x2变形为4x2−5x+1=0根据根与系数的关系：x1·x2=ca=14故答案为：B.【分析】先将方程化为一般式，再利用根与系数的关系求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵125−45=55−35=25=20，∴4＜20＜5∴125−45的值应在4和5之间.故答案为：B【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再合并，利用估算无理数的大小可知4＜20＜5，即可求解.8．【答案】A【解析】【解答】解：设被污染的数为a，根据题意可得：72−4×4a≥0，解得：a≤49 16，则被污染的数可能是3，故答案为：A．【分析】设被污染的数为a，根据题意列出不等式72−4×4a≥0，再求出a的取值范围即可。
北京市顺义区2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(word版,含答案)
北京市顺义区2022-2023学年八年级下学期期中考试数 学2023.4考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟。
2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将答题卡交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．若分式的值为0，则的值为(A)0(B)1(C) -1(D) 0或12．在平面直角坐标系xOy 中，点A （-3，-2）到y 轴的距离是(A)3 (B)2 (C)-3 (D)-23．函数中，自变量x 的取值范围是(A) (B) (C) (D) 4．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的边数是(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 5．下列关于菱形的描述不正确的是(A) 菱形是特殊的四边形 (B) 菱形是特殊的平行四边形(C) 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (D) 有一个角是直角的平行四边形是菱形6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列结论正确的是(A) AH =BH (B) EH =FC (C) BE =CH (D) AF =CH7．列车从甲地出发去往乙地，在乙地停留一段时间后返回，列车与甲地的距离y （单位：km ）与时间x （单位：h ）的对应关系如图所示，下列叙述错误的是(A) 甲乙两地间的距离为720千米(B) 列车在乙地停留了18小时 (C) 列车从乙地返回甲地用了6小时(D) 列车从甲地去乙地的速度为80千米/小时，从乙地返回甲地的速度为120千米/小时1xx-x y =2x >2x <2x ≥2x ≤A8．下面表格中给出了三个变化过程中的两个变量x 和y ，在这三个变化过程中，y 是x 的函数的个数是YX1正方形的面积这个正方形的边长2矩形的面积这个矩形一边的长3多边形的内角和这个多边形的边数(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．计算=___________．10．下图是由射线AB ，BC ，CD ，DA 组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4= °．11．学习了四边形之后，若用如图所示的方式表示四边形与特殊四边形的关系，则图中的“A ”表示 ，“B ”表示 ．12．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B =73°，则∠A = °，∠D = °．13．在平面直角坐标系xOy 中，若一次函数的图象在第二、三、四象限，则b 的值可以是 （写出一个即可）．14．在平面直角坐标系xOy 中，若一次函数的图象经过点P （3，5），则随着x 的增大，y 的值 （填“增大”或“减小”）．15．在平面直角坐标系xOy 中， A ，B 两点的坐标分别为（5，0），（2，3），若以O ，A ，P ，B 为顶点的四y/ABC D4321梯形四边形B矩形A 平行四边形222a a b ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x b =-+1y kx =+DCBA边形为平行四边形，则点P 的坐标为 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，函数和的图象交于点P ，下面有四个结论：①关于x ，y 的二元一次方程组的解是②关于x 的不等式的解集为③关于x 的方程的解为④当时，上述结论中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．18．计算：．19．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠BCD 的平分线交AD 于点F ．求证：BE =DF ．20．已知一次函数．（1）在给定的平面直角坐标系xOy 中，画出一次函数的图象，求出它与x ，y 轴交点的坐标；（2）根据图象，直接写出y ≥0时x 的取值范围，并把图象上对应的部分描粗．y ax b =+y kx =y ax b y kx =+⎧⎨=⎩42x y =⎧⎨=-⎩4ax b +>-0x >0ax b +=8x =4x >ax b kx+<3a a a b b a+--1112mm m m m m-⎛⎫-⋅⎪-+⎝⎭23y x =-+23y x =-+ABCDEF21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过（-1，-3），（1，5）两点，求这个一次函数的表达式．22．如图，线段AB和BC，请在下图中画出平行四边形ABCD，并简述画图的过程及四边形ABCD是平行四边形的依据．（可以使用圆规、直尺、刻度尺、三角尺、量角器等作图工具）23．阅读材料，并完成任务．“平行四边形的判定”这节课上，研究了平行四边形的三个判定定理之后，老师问：“还有其它能够判定平行四边形的方法吗？”小禹说：“我发现一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”．老师说：“这个命题是真命题”．要证明这个命题是真命题，需要先分清命题的题设和结论，然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明，请你在下表中完成相应的任务．已知：求证：四边形ABCD是平行四边形．画图：证明：DCBACB24．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，BA ⊥AC 于点A ， AC =6，BD =10，求平行四边形ABCD 的各边长．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线与直线 交于点A （2，m ），直线与x 轴交于点B ．（1）求k ，m 的值及△OAB 面积；（2）点P 为直线上一点，若△POB 的面积是△OAB 面积的2倍，直接写出点P 的坐标．26．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线交AB 边于点E ，交CD 边于点F ．连接EC ，ED ，FA ，FB ．（1）依题意补全图形；（2）①直接写出图中除平行四边形ABCD 外所有的平行四边形（可以标记字母）； ②选择①中的一个平行四边形加以证明．ODCBABD12y x =3y kx =+3y kx =+3y kx =+27． 某电器厂生产A 、B 两种家用小电器，若每天生产A 、B 两种电器共60件，这两种电器每件的成本和售价如下表：成本（元）售价（元）A 种电器85105B 种电器7085设每天生产A 种电器x 件，每天获得的利润为 y 元.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果该电器厂每天最多投入成本为4590元，那么每天生产多少件 A 种电器时，所获利润最大？并求出这个最大利润．28．在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴交于点．（1）求b 的值；（2）过点（n ≠1），作垂直于x 轴的直线，交直线于点B ，交直线于点C ．①当时，用等式表示线段PB 与PC 数量关系，并说明理由；②若点在第一象限，且，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．的2y x b =+()1,0A -(),2P n n 2y x b =+2y =12n =(),2P n n PB PC >数学答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案AACBDDBC二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．； 10．360； 11．正方形、菱形； 12．107、73； 13．-1（答案不唯一）； 14．增大； 15．（-3，3），（7，3），（3，-3），； 16．①②③． 三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分）17．解：原式……………………………….…….…….………….……2分…………………….…….…….…….…….……….………….….5分18．解：原式…………………………….1分…………………………. 2分 ……………………………………………...……4分……………………………………………………………………….5分19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD =∠BCD ，∠B =∠D ，AB=CD ． ……………………………..…….2分又∵AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，∴∠1=∠2．…………………………………...3分∴△ABE ≌△CDF ．…………………………...4分∴ BE=DF ．…………………………………...5分20．解： （1）………………..…….……………………………………2分b4-3a aa b a b=---2ab a=-()()()()()()11111112m m m m m m m m m m ⎛⎫+--=-⋅⎪ ⎪+-+-⎝⎭()()()()22111112m m m mm m m m m m ⎛⎫+--=-⋅ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭()()21112m m m m m-=+-g 11m =+12ABCDEF令y =0，则-2x +3=0，，∴一次函数的图象与x 轴交点坐标为，令x =0，则y =3，∴一次函数的图象与y 轴交点坐标为（0，3），…...4分（2）y ≥0时x 的取值范围是．………..……………………………………….5分21．解：（1）设一次函数的表达式为……………………..……………………………1分∵图象经过（-1，-3），（1，5）两点，∴ 解得………………………..………………………4分∴一次函数的表达式为．…………………………………………………...5分 22．………..…….………………………………………3分画图过程：（1）连接线段AC ；（2）用刻度尺量出线段AC 的长，并取线段AC 中点O ；（3）连接线段BO 并延长到点D ，使OD =OB （4）连接线段AD ，CD ．则四边形ABCD 是平行四边形．………………………..………... ……………………5分依据：四边形ABCD 是平行四边形的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．…...6分23．已知：AB ∥CD ，∠B =∠D ， ………...2分求证：四边形ABCD 是平行四边形．画图：证明：∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2．…………………………………………………………...3分AB CDODCBA2132x =23y x =-+302⎛⎫ ⎪⎝⎭，23y x =-+32x ≤y kx b =+3,5.k b k b -+=-⎧⎨+=⎩4,1.k b =⎧⎨=⎩41y x =+又∵∠B =∠D ，AC =AC ，∴△ABC ≌△CDA ．…………………………………………………...4分∴ AB=CD ．…………………………………………………………...5分∴四边形ABCD 是平行四边形． …………………………………...6分24．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=AC ，BO=BD ，AB=CD ，AD=BC ．......... ……................…..2分∵AC =6，BD =10， ∴AO=3，BO=5． 又∵BA ⊥AC 于点A ，∴在Rt △ABO 中，AB=4，................................ .. .... .... .... . ……... .....…..3分∴在Rt △ABC 中，BC=................................ .. .... .... .... .... .....…..4分∴CD=4，AD=.．....... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..............…..6分25．（1）∵直线与直线 交于点A （2，m ），∴，，A 点坐标为（2，1），点A （2，1∴，，.……3分∴B 点坐标为（3，0），OB =3．∴△OAB 的面积=．………..4分（2）点P 的坐标为（1，2）或（5，-2）． …...6分26．（1）…..………………………………………………………1分（2）①平行四边形AECF ，平行四边形EBFD ，平行四边形ENFM ．……………….2分②选择平行四边形EBFD ．证明：∵点O 是对角线BD 的中点， ∴OB=OD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，121212y x=3y kx =+122m =⨯1m =123k =+1k =-3y x =-+133122⨯⨯=ODCBA∴AB ∥CD ，∴∠1=∠2，又∵∠BOE =∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF ． ……………………………………………………………..4分∴ BE=DF ．………………………………………………………………………..5分∴四边形EBFD 是平行四边形．………………………………………………….6分27．（1）依题意可列 ……………………….…..2分∴y 与x 之间的函数关系式…………………………………......3分（2）…………………………………………………………...4分 解得 …………………………………………………………………………....5分 ∵函数中，y 随x 的增大而增大，∴x =26时，利润y 最大．∴最大利润为元………………………………………..........6分答：每天生产26件 A 种电器时所获利润最大，最大利润是1030元．28．（1）∵直线与x 轴交于点．∴，，.……………………………………………….1分（2）①PB 与PC 数量关系为PB =2PC ．∵过点垂直于x 轴的直线交直线于点B交直线于点C ．∴时，P （，1），C （，2），B （，3），……3分∴PB =2，PC =1，PB =2PC ．.…………………………………5分②n 的取值范围是0<n <2（n ≠1）．.……………………………7分以上评标仅供参考！的()()()10585857060y x x =-+--5900y x =+()8570604590x x +-≤26x ≤5900y x =+5269001030y =⨯+=2y x b =+()1,0A -02b =-+2b =22y x =+(),2P n n 2y x b =+2y =12n =121212。
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)
人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习说明：1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，24道小题，满分100分，考试时间90分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共24分，每题3分）1. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ）A. 6，7，8B. 2，3，4C. 3，4，6D. 6，8，10【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可．【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，能构成直角三角形，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．2. 如图，中，于点，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由在□ABCD 中，∠EAD ＝35°，得出∠D 的度数，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠B 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵∠EAD ＝35°，AE ⊥CD ，∴∠D ＝55°，A 222678+≠ ∴B 222234+≠ ∴C 222346+≠ ∴D 2226810+= ∴D a b c 222+=a b c ABCD Y AE CD ⊥E 35EAD ∠=︒B ∠35︒55︒65︒125︒∴∠B ＝55°，故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3. 下列各式中，运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算．熟练掌握算术平方根，二次根式的加减运算是解题的关键．根据算术平方根，二次根式的加减运算求解作答即可．【详解】解：AB ．，错误，故不符合要求；C ．D，错误，故不符合要求；故选：A ．4. 在菱形中，点分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据菱形的周长公式列式计算即可得到答案．【详解】解：点分别是的中点，是的中位线，，菱形的周长，=3=2=2=-=3=≠2+≠22=≠-ABCD E F ，AC DC ，3EF =ABCD 26AD EF == E F ，AC DC ，EF ∴ACD 2236AD EF ∴==⨯=∴ABCD 44624AD ==⨯=【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形性质，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半及菱形的四条边都相等，是解题的关键．5. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，与交于点，则的长为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由正方形的性质得出∠DAF ＝∠B ＝90°，AB ＝AD ＝2，由E 是BC 的中点，得出BE ＝1，由勾股定理得出AEADF ≌△BAE（ASA ），即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF ＝∠B ＝90°，BC ＝AB ＝AD ＝2，∴∠BAE ＋∠2＝90°，∵AB ＝2，E 是BC 的中点，∴BE ＝1，∴AE ，∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵DF ⊥AE ，∴∠1＋∠ADF ＝90°，∴∠ADF ＝∠BAE ，在△ADF 和△BAE 中，，的ABCD E BC DF AE ⊥AB F DF =DAF B AD ABADF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△BAE （ASA ），∴DF ＝AE故选：A ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6. 一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（ ）A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间【答案】C 【解析】【分析】设正方形的边长为，根据其面积公式求出的值，估算出的取值范围即可．【详解】解：设正方形的边长为，正方形的面积是22.73，，，，它的边长大小在4与5之间，故选：C ．【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．7. 要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是 （ ）A. 测量两组对边是否分别相等B. 测量两条对角线是否互相垂直平分C. 测量其中三个内角是作都为直角D. 测量两条对角线是否相等【答案】C【解析】【分析】根据矩形的判定和平行四边形的判定以及菱形的判定分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；a a a a a ∴=1622.7325<< <<45<<∴A、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选：．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形和菱形的判定，主要考查学生的推理能力和辨析能力．8. 如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，，，，连接DE ，设，，，给出下面三个结论：①；②；．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟记勾股定理是解题的关键．①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将用和表示出来，再进行比较．【详解】解：①过点作，交于点；过点作，交于点．∵，，，又，，B C D C AB BC <90A C ∠=∠=︒EAB BCD ≌△△AB a =BC b =DE c =a b c +<a b +>)a b c +>c a b D DF AC ∥AE F B BG FD ⊥FD G DF AC ∥AC AE ⊥DF AE ∴⊥BG FD ⊥ BG AE ∴四边形为矩形，同理可得，四边形也为矩形，，在中，则，故①正确，符合题意；②∵，，在中，，，故②正确，符合题意；③∵，，，又，，．，，，，，．故③正确，符合题意；故选：D第二部分 非选择题二、填空题（共24分，每题3分）∴ABGF BCDG FD FG GD a b ∴=+=+∴Rt EFD DF ED<a b c +<EAB BCD ≌△△AE BC b ∴==Rt EAB△BE ==AB AE BE +>a b ∴+>EAB BCD ≌△△AEB CBD ∠∠∴=BE BD =90AEB ABE ∠+∠=︒ 90CBD ABE ∴∠+=∠︒90EBD ∴∠︒=BE BD = 45BED BDE ∴∠=∠=︒sin 45BE c ∴==⋅︒=c ∴= 22222222()2(2)2()42()a b a ab b a b ab a b +=++=++>+∴)a b +>∴)a b c +>9.有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数．有意义，∴，解得：，故答案为：．10. 如图，在中，若，点D 是的中点，，则的长度是_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长度．【详解】解：∵在中，，点D 是的中点，，∴．故答案为：2．11. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是_____．【解析】【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．【详解】解：如图，1x ≥10x -≥1x ≥1x ≥ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =CD CD ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =114222CD AB ==⨯=BD AB B A根据勾股定理得：，，点【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．12. 如图，在四边形中，对角线相交于点O ．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是______________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定作答即可．【详解】解：由题意知，可添加的条件为，∵，，∴四边形平行四边形，故答案为：．13. 如图，矩形的对角线相交于点O ，，，则矩形对角线的长为___________，边的长为___________．【答案】①. 8 ②. 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，先由矩形对角线相等且互相是BD ==∴AB BD ==∴A ABCD AC BD ，AB CD ∥ABCD AD BC ∥AD BC ∥AD BC ∥AB CD ∥ABCD AD BC ∥ABCD AC BD ，60AOB ∠=︒4AB =BD BC平分得到，再证明是等边三角形，得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得故答案为：8；14. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为________．【答案】【解析】【分析】如图1，2中，连接AC ．在图2中，利用勾股定理求出BC ，在图1中，只要证明△ABC 是等边三角形即可解决问题．【详解】解：如图1，2中，连接AC ．如图1中，∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝30，在图2中，∵四边形ABCD 是正方形，2290AC BD OA BD ABC ====︒，∠AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===BC ABCD 2290OA OB AC BD OA BD ABC =====︒，，∠60AOB ∠=︒AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===Rt ABC △BC ===60B ∠︒AC 30cm AC cm∴AB ＝BC ，∠B ＝90°，∵AB ＝BC ＝30cm ，∴AC ＝cm ，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15. 如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D ＝80°，则∠ECF 的度数是________．【答案】40°【解析】【分析】根据题意由折叠的性质可得∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，由菱形的性质可得BC ∥AD ，BC =CD ，可求∠BCF =∠CFD =80°，即可求解．【详解】解：∵将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，∴∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ∥AD ，BC =CD ，∴CF =CD ，∴∠CFD =∠D =80°，∵BC ∥AD ，∴∠BCF =∠CFD =80°，∴∠ECF =40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查翻折变换以及菱形的性质，熟练掌握并运用折叠的性质是解答本题的关键．16. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为___________．【答案】9【解析】【分析】设直角三角形另一直角边为，然后分别用表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．【详解】解：设直角三角的另一直角边为，则，，，．故答案为：9三、解答题（共52分，第17题8分，第18-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题7分，第24题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：（1）；（2）．【答案】（1（2）【解析】【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算是解题的关键．（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可；1S 2S 12S S -a a a 2211(3)4392S a a a =+-⨯⨯=+22S a a a =⋅=221299S S a a ∴-=+-=(1-（2）先分别计算二次根式的乘除，然后进行加减运算即可．【小问1详解】解：【小问2详解】解：．18. 如图，四边形为平行四边形，，是直线上两点，且，连接，．求证：．【答案】见详解【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，根据可得，再根据平行四边形的性质可得，且，即，即可证明，即可得到结论．【详解】证明：∵，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，且，∴，在和中，2=⨯=(32=+1=-ABCD E F BD BE DF =AF CE AF CE =BE DF =ED FB =AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠()SAS DEC BFA ≌BE DF =BE BD DF BD +=+ED FB =ABCD AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠DEC BFA V，∴，∴．19. 已知，求的值．【答案】11【解析】【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，平方差公式，先整理，再代入计算，即可作答．【详解】解：依题意，20. 如图，在中，点D 是线段的中点．求作：线段，使得点E 在线段上，且．作法：①连接，②以点A 为圆心，长为半径作弧，再以C 为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点M ；③连接，交于点E ；所以线段即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接∵，，∴四边形是平行四边形．（①）（填推理的依据）∵交于点E ，∴，即点E 是的中点．（② ）（填推理的依据）DE BF EDC FBA DC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DEC BFA ≌AF CE=1x =-227x x ++()22727x x x x ++=++()))2272711751711x x x x ++=++=⨯++=-+=ABC AB DE AC 12DE BC =CD CD AD DM AC DE AM CM ，，AM CD =AD CM =ADCM AC DM ，AE CE =AC∵点D 是AB 的中点，∴．（③ ）（填推理的依据）【答案】见详解【解析】【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）先证明四边形是平行四边形，得出点E 是的中点，再结合然后点D 是的中点，即三角形中位线性质得到．【详解】解：（1）如图，；（2）证明：连接AM ，CM ，∵，，∴四边形是平行四边形．（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）∵AC ，DM 交于点E ，∴，即点E 是中点．（②平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）∵点D 是的中点，∴（③中位线的性质）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；中位线的性质．21. 如图，四边形中，，，．的12DE BC =-ADCM AC AB 12DE BC =AM CD =AD CM =ADCM AE CE =AC AB 12DE BC =ABCD 90BAD ∠=︒AB AD ==4BC =CD =（1）求的度数；（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由题意得，，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，计算求解即可；（2）根据，计算求解即可．【小问1详解】解：∵，∴，由勾股定理得，，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴的度数为；【小问2详解】解：由题意知，，∴四边形的面积为5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理是解题的关键．ABC ∠ABCD 135︒1802BADABD ADB ︒-∠∠=∠=2BD =222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒ABC ABD CBD ∠=∠+∠1122ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯ 四边形90BAD ∠=︒AB AD ==180452BAD ABD ADB ︒-∠∠=∠==︒2BD ==(2222420+==222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒135ABC ABD CBD ∠=∠+∠=︒ABC ∠135︒11522ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯= 四边形ABCD22. 在中，，点D 是边上的一个动点，连接．作，，连接．（1）如图1，当时，求证：；（2）当四边形是菱形时，①在图2中画出四边形，并回答：点D 的位置为 ．②若，，则四边形的面积为 ．【答案】（1）见解析，（2）①见解析，为的中点；②【解析】【分析】（1）由，，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形，进而结论得证；（2）①由题意作图如图2，由四边形是菱形，可得，则，由，可得，则，，即为的中点；②如图2，记的交点为，则，，，由勾股定理求，则，根据，计算求解即可．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形，∴；【小问2详解】①解：如图2，Rt ABC △90ACB ∠=︒AB CD AE DC ∥CE AB ∥DE CD AB ⊥AC DE =ADCE ADCE 10AB =8DE =ADCE D AB 24AE DC ∥CE AB ∥AECD 90CDA ∠=︒AECD ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O 5AD =142DO DE ==AC DE ⊥3AO =26AC AO ==12ADCE S AC DE =⨯四边形AE DC ∥CE AB ∥AECD CD AB ⊥90CDA ∠=︒AECD AC DE =∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴为的中点；②解：如图2，记的交点为，∵四边形是菱形，为的中点，，，∴，，，由勾股定理得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理是解题的关键．23. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A 作的垂线，分别交，于点E ，O ，连接．（1）求证：四边形菱形；（2）连接，若，，求的长．是ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O ADCE D AB 10AB =8DE =5AD =142DO DE ==AC DE⊥3==AO 26AC AO ==1242ADCE S AC DE =⨯=四边形24ABCD AD BC ∥90BCD ∠=︒BD ABC ∠BD AE BC BD DE ABED CO 3AB =2CE =CO【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）由勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形为菱形；【小问2详解】解：∵四边形为菱形，∴，，CO =AB AD =OB OD =()ASA OBE ODA ≌OE OA =ABED CD =BD =CO =AD BC ∥ADB DBE ∠=∠BD ABC ∠ABD DBE ∠=∠ABD ADB ∠=∠AB AD =AE BD ⊥BO DO =AD BC ∥OBE △ODA V DBE ADB OB ODBOE DOA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA OBE ODA ∴ ≌OE OA ∴=∴ABED AB AD = ∴ABED ABED 3BE DE AB ===BO DO =∵，，，∴在中，根据勾股定理得：，∵，为直角三角形，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．24. 在中，，，点D 为射线上一动点（不与点B 、C 重合），点B 关于直线的对称点为E ，作射线，过点C 作的平行线，与射线交于点F ．连接（1）如图1，当点E 恰好在线段上时，用等式表示与的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D 在线段的延长线上时，①依题意补全图形；②用等式表示和的数量关系，并证明．【答案】（1），证明见详解（2）①见详解②，证明见详解【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定，矩形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由轴对称性质，得出再证明，因为，得出得证即可作答．90BCD ∠=︒CD =∴=325BC BE CE =+=+=Rt BCDBD ===BO DO =BCD△12CO BD ==ABC 90ABC ∠=︒AB BC =BC AD DE AB DE AE AF ，．AC DF BD BC ADB ∠AFE ∠2DF BD =45ADB AFE ∠+︒=∠AB AE BD ED ==，，()SSS ADE ADB ≌CF AB ∥45ECD ECF ∠=∠=︒，()ASA CED CEF ≌，（2）①根据题意的描述作图即可；②易得，过点作于点，四边形是正方形，证明，则，再通过角的运算，即可作答．【小问1详解】解：，证明如下：如图：当点E 恰好在线段上时，∵在中，∴，∵点B 关于直线的对称点为E ，∴在和中，∴，∴，∴，，∵，∴在和中，∴ADE ADB ≌A AG CF ⊥G ABCG ()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2DF BD =AC ABC 90ABC AB BC∠=︒=，45BAC ACB ∠=∠=︒AD AB AE BD ED ==，，ADE V ADB AE AB ED BD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ADE ADB ≌90AED ABD ∠=∠=︒AC DF ⊥90CED CEF ∠=∠=︒CF AB ∥45ECF BAC ∠=∠=︒，45ECD ECF ∴∠=∠=︒，CED △CEF △CED CEF CE CEECD ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA CED CEF ≌，∴ ∴，即有；【小问2详解】解：当点在线段的延长线上时①依题意补全图形如下②用等式表示和的数量关系是，证明如下∵点关于直线的对称点为E ，∴，∴，过点作于点，如上图，则，∵，∴∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，在和中，∴，∴，即有，12DE EF DF ==，12BD DE DF ==2DF BD =D BC ADB ∠AFE ∠45ADB AFE ∠+︒=∠B AD ADE ADB ≌90AE AB AEF ABC =∠=∠=︒，12EAD BAD BAE ∠=∠=∠，A AG CF ⊥G 90AGF AGC ∠=∠=︒CF AB ∥90BAG AGF ABC AGC∠=∠=︒=∠=∠ABCG AB BC =ABCG AG AB AE ==Rt AFG △Rt AFE AG AE AF AF=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2EAG FAE ∠=∠∵∴，∴，∴∴在中，，∴∴．人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习附加题说明：1．附加题共4页，共两道大题，9道小题，满分40分，考试时间30分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．一、填空题（共15分，第1题4分，第2-4题，每题3分，第5题2分）25. 矩形中，，，点E 是边上一点，连接，将沿折叠，使点B 落在点处，连接．（1）如图1，当时，的长为___________．（2）如图2，当点恰好在矩形的对角线上，则的长为___________．【答案】①. 4 ②. 【解析】【分析】（1）由矩形性质得，由折叠得：，，由平行线的性质得：，，进而得出：，，即；90AFE FAE ∠+∠=︒90FAE AFE ∠=︒-∠21802EAG FAE AFE ∠=∠=︒-∠2702BAE BAG EAG AFE∠=∠+∠=︒-∠135.BAD BAE AFE ∠=∠=︒-∠Rt △ABD 90ADB BAD ∠+∠=︒13590ADB AFE ∠+︒-∠=︒45ADB AFE ∠+︒=∠ABCD 6AB =8BC =BC AE ABE AE B 'CB 'CB AE '∥BE B 'ABCD ACAE 90ABE ∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠AEB ECB '∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∠=∠B E EC '=142BE EC BC ===（2）利用勾股定理可得，由折叠得：，，，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可；本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，折叠变换的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识，学会添加辅助线是解题关键．【详解】解：（1）四边形是矩形，，由折叠得：，，，，，，，，，，故答案为：4；（2）如图，点恰好在矩形的对角线上，四边形是矩形，，，，，由折叠得：，，，，，设，则，，在中，，10AC ===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒BE x =B E x '=8CE x =- ABCD 90ABE ∴∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠CB AE ' AEB ECB '∴∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∴∠=∠B E EC '∴=12BE EC BC ∴==8BC = 4BE ∴=B 'ABCD AC ABCD 90ABC ∴∠=︒=6AB 8BC=10AC ∴===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒1064B C AC AB ''∴=-=-=18090CB E AB E ''∠=︒-∠=︒BE x =B E x '=8CE x =-Rt CB E '△222B E B C CE ''+=，解得：，，在中，；故答案为：4，26. 如图，四边形中， ，的平分线交于点E ，连接．在以下条件：①平分；②E 为中点；③中选取两个作为题设，另外一个作为结论，组成一个命题．（1）请写出一个真命题：题设为___________，结论为___________．（填序号）（2）可以组成真命题的个数为___________．【答案】①. ②， ②. ③， ③. 6【解析】【分析】（1）根据挑选题设为②，结论为③，结合，的平分线交这个两个条件，先证明，再进行边的等量代换，即可作答．（2）注意分类讨论以及逐个分析，不管取哪个作为条件都可以证明，从而利用全等三角形的性质进行边的等量代换或者角的等量代换，即可作答．【详解】解：（1）题设为②，结论为③；理由如下：延长交的延长线于点，∵∴，()22248x x ∴+=-3x =3BE ∴=Rt ABEAE ===ABCD AD BC ∥BAD ∠CD BE BE ABC ∠CD AD BC AB +=AD BC ∥BAD ∠CD ()AAS AED FEC ≌AED FEC △≌△AE BC F AD BC∥DAE F ∠=∠∵E 为中点，∴，在和中，∴，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴（2）由（1）知，题设为②，结论为③是真命题，同理：题设为③，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵∴∴∵CD DE CE =AED △FEC DAE F DEA CEFDE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AED FEC ≌CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=AD BC AB+=AD BC AB BF+==AD CF=AD BC∥∴∵∴∴即E 为中点；当题设为①，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵平分∴∵∴∴即E 为中点；同理：当题设为②，结论①为是真命题，同理，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴DAE F∠=∠DEA CEF∠=∠ ≌DEA CEFDE CE=CD AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=BE ABC∠EB AF AE EF⊥=，DEA CEF DAE F∠=∠∠=∠， ≌DEA CEFDE CE=CD CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=则当题设为①，结论为③是真命题，同理：当题设为③，结论为②是真命题，综上共有6个命题：分别是题设为②，结论为③；题设为③，结论为②；题设为①，结论为②；题设为②，结论①；题设为①，结论为③，题设为③，结论为②．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、真命题，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．27. 如图，在正方形中，，点E 为对角线上的动点（不与A ，C 重合），以为边向外作正方形，点P 是的中点，连接，则的取值范围为___________．【解析】【分析】先取的中点O，结合正方形的性质，得证，当时，有最小值，在中，，计算即可作答．【详解】解：如图，取的中点O ，连接，∵四边形、是正方形，∴，，∴，则在和中ABCD 4AB =AC DE DEFG CD PG PG PG ≤<AD ()SAS ODE PDG ≌OEAC ⊥OE Rt AOE △2224OE AE AO +==AD OE DEFG ABCD 90ODE EDC ︒∠+∠=90PDG EDC ∠+∠=︒ODE PDG ∠=∠ODE PDG △OD OP ODE PDGDE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴，当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，，∵，∴，在中，，即，解得，∴．当点运动到点的时候，如图：此时即为点H 的位置，此时正方形的边长最大且为则的值最大，此时∴则．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．28.如图，正方形ABCD 边长为2，点E 是射线AC 上一动点(不与A ，C 重合)，点F 在正方形ABCD 的外角平分线CM 上，且CF=AE ，连接BE ， EF ， BF 下列说法：①的值不随点E 的运动而改变的()SAS ODE PDG ∴ ≌OE PG =OE AC ⊥OE AOE △OE AE =4AD AB ==122AO AB ==Rt AOE △2224OE AE AO +==224OE =OE =OE E C G DEFG 4CD AD ==PH PH ===PG PG ≤<PG ≤<②当B ，E ， F 三点共线时，∠CBE=22.5°；③当△BEF 是直角三角形时，∠CBE=67.5°；④点E 在线段AC 上运动时，点C 到直线EF 的距离的最大值为1；其中正确的是__________（填序号）．【答案】①②④【解析】【分析】连接、，由正方形的对称性可知，，，证明，得出，，证出，证出是等腰直角三角形得出，因此，得出①正确；当，，三点共线时，证出，，，四点共圆，由圆周角定理得出，证出，得出，求出，②正确；当是直角三角形时，证出，得出，，③不正确；当点在线段上运动时，过点作于，则，最大时，与重合，即，证出是的中位线，得出，④正确；即可得出结论．【详解】解：连接、，如图1所示：由正方形的对称性可知，，四边形是正方形，，，点是正方形外角平分线上一点，，，在和中，，，，，ED DF BE DE =CBE CDE ∠=∠()ABE CDF SAS ∆≅∆BE DF =ABE CDF ∠=∠DE DF =EDF∆EF=EF B E F E C F D BFC CDE ∠=∠CDE CBE =∠∠CBF CFB ∠=∠22.5CBF ∠=︒BEF ∆9045135BED ∠=︒+︒=︒1(36013590)67.52CBE ∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ CQ CH CD EF ⊥QE ACD ∆112CQ DQ CD ===ED DF BE DE =CBE CDE∠=∠ ABCD AB CD ∴=45BAC ∠=︒ F ABCD CM 45DCF ∴∠=︒BAC DCF ∴∠=∠ABE ∆CDF ∆AB CD BAC DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴∆≅∆BE DF ∴=ABE CDF ∠=∠，，，即，是等腰直角三角形，，的值不随点的运动而改变，①正确；当，，三点共线时，如图2所示：，，，，四点共圆，，，，，，，，②正确；当是直角三角形时，如图3所示：是等腰直角三角形，，DE DF ∴=90ABE CBE ∠+∠=︒ 90CDF CDE ∴∠+∠=︒90EDF ∠=︒EDF∴∆EF ∴=EF ∴=∴EF BEE B EF 90ECF EDF ∠=∠=︒ E ∴C F D BFC CDE ∴∠=∠ABE ADE ∠=∠ 90ABC ADC ∠=∠=︒CDE CBE ∴∠=∠CBF CFB ∴∠=∠45FCG CBF CFB ∠=∠+∠=︒ 22.5CBF ∴∠=︒BEF ∆EDF ∆ 9045135BED ∴∠=︒+︒=︒，，③不正确；当点在线段上运动时，如图4所示：过点作于，则，最大时，与重合，即，当时，，，是的中位线，，④正确；综上所述，①②④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．29. 如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E ，使，连接，点M ，N 分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________．1(36013590)67.52CBE ∴∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∴∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ ∴CQ CH CD EF ⊥CD EF ⊥//EF AD CF CE AE ==QE ∴ACD ∆112CQ DQ CD ∴=== ABCD 3AB =4BC =60ABC ∠=︒AD 1DE =BE AE BE ，MN 12MN BN +【解析】【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值，【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形，∴，∵平行四边形中，，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴当三点共线且时，最小，为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG AH 12MN BN +NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =ABCD 3AB =4BC =1DE =60ABC ∠=︒3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG =30BAH ∠︒1322BH AB ==AH ==12MN BN +30︒等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键．二、解答题（共25分，第6题5分，第7题4分，第8-9题，每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．30. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为，其顶点称为格点，四边形的四个顶点都在格点上，请运用课本所学知识，仅用无刻度的直尺，在给定网格中按要求作图．（1）①线段的长为 个单位长度；②在图1中求作边的中点E ；（2）在图中求作边上一点，使平分．注：保留作图痕迹，同时标出必要的点；当你感觉方法比较复杂时，可用文字简要说明作法．【答案】（1）①；②作图见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①利用勾股定理即可求解；②取格点、，连接交于点，则点为所求；（2）取格点、，连接、相交于点，作射线交于点，则点为所求．【小问1详解】解：①，故答案为：；②如图，点为所求作图形，【小问2详解】解：如图，点为所求，87⨯1ABCD CD CD 2AB F CF BCD ∠5M N MN AC E E G H AQ DH Q CF AB FF 5CD ==5E F。
2019-2020学年河南省洛阳市涧西区东升第三中学八年级(下)期中数学试卷 解析版
2019-2020学年河南省洛阳市涧西区东升三中八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．（3分）下列各式中一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．（3分）若y＝+﹣3，则P（x，y）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）下列计算正确的是（）A．＝﹣2B．C．D．4．（3分）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中正确的是（）A．AB＝CD B．BO＝OD C．∠BAD＝∠BCD D．AB⊥AC6．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数的解析式为（）A．y＝﹣x﹣2B．y＝﹣x﹣6C．y＝﹣x﹣1D．y＝﹣x+10 7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．48．（3分）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．B．C．D．10．（3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）11．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是．12．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为．13．（3分）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h （厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝（0≤t≤5）．14．（3分）已知关于x的一次函数y＝mx+n的图象如图所示，则可化简为．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，已知AD＝3，当点F为线段OC的三等分点时，点E的坐标为．三．解答题（共8小题）16．计算：（1）；（2）．17．已知a＝﹣，b＝+，求下列各式的值；（1）+；（2）a2b+ab2．18．实验中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD＝8米，CD＝6米，∠ADC＝90°，AB＝26米，BC＝24米，求这块四边形空地的面积是多少？19．如图，在一棵树CD的6m高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树12m处的池塘的A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，请问这棵树有多高？20．如图，函数y＝﹣2x+3与y＝﹣x+m的图象交于P（n，﹣2）．（1）求出m、n的值；（2）直接写出不等式﹣x+m＞﹣2x+3的解集；（3）求出△ABP的面积．21．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB＝时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．22．某学校计划在总费用为3200元的限额内，租用汽车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师；现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：甲种客车乙种客车载客量（单位：人/辆）4530租金（单位：元/辆）400280（1）通过计算与分析后，直接写出共需租用辆汽车；（2）求出有哪几种租车方案；（3）求出最节省的租车费用是多少元．23．已知正方形ABCD与正方形CEFG（点C、E、F、G按顺时针排列），M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，求证：DM＝EM，DM⊥EM．简析：由M是AF的中点，AD∥EF，不妨延长EM交AD于点N，从而构造出一对全等的三角形，即≌．由全等三角形性质，易证△DNE是三角形，进而得出结论．（2）如图2，E在BC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．（3）当AB＝5，CE＝3时，正方形CEFG的顶点C、E、F、G按顺时针排列．若点E 在直线CD上，则DM＝；若点E在直线BC上，则DM＝．2019-2020学年河南省洛阳市涧西区东升三中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（3分）下列各式中一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断．【解答】解：A、被开方数为负数，二次根式无意义，故选项错误；B、6＞0，被开方数是正数，故选项正确C、是三次根式，故选项错误；D、当x＝﹣2时，二次根式无意义，故选项错误；故选：B．2．（3分）若y＝+﹣3，则P（x，y）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出P点坐标的位置．【解答】解：∵y＝+﹣3，∴x＝2，则y＝﹣3，∴P（2，﹣3）在第四象限．故选：D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．＝﹣2B．C．D．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝2，故A错误．（B）与不是同类二次根式，故B错误．（C）原式＝，故C错误．故选：D．4．（3分）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答．【解答】解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，运用勾股定理得：BC2＝（15﹣3）2+（20﹣4）2＝122+162＝400，所以BC＝20．则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．故选：D．5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中正确的是（）A．AB＝CD B．BO＝OD C．∠BAD＝∠BCD D．AB⊥AC【分析】由平行四边形的性质容易得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BO＝OD，∠BAD＝∠BCD，∴选项A、B、C、正确，D不一定正确；故选：D．6．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数的解析式为（）A．y＝﹣x﹣2B．y＝﹣x﹣6C．y＝﹣x﹣1D．y＝﹣x+10【分析】根据平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把点P（﹣1，2）的坐标代入一次函数解析式计算即可得解．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，∴k＝﹣1，∵一次函数过点（8，2），∴2＝﹣8+b解得b＝10，∴一次函数解析式为y＝﹣x+10．故选：D．7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．4【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC＝8，DB＝6，∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝5，∵S菱形ABCD＝，∴，∴DH＝，故选：A．8．（3分）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC＝3×16÷2＝24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝30cm．故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．【解答】解：连接AP，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴∠BAC＝90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP．∵M是EF的中点，∴AM＝AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴S△ABC＝，∴，∴AP最短时，AP＝，∴当AM最短时，AM＝AP＝．故选：A．10．（3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，把（5，300）代入可求得k＝60，∴y甲＝60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，∴y乙＝100t﹣100，令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③正确；令|y甲﹣y乙|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50，即|100﹣40t|＝50，当100﹣40t＝50时，可解得t＝，当100﹣40t＝﹣50时，可解得t＝，又当t＝时，y甲＝50，此时乙还没出发，当t＝时，乙到达B城，y甲＝250；综上可知当t的值为或或或t＝时，两车相距50千米，故④不正确；综上可知正确的有①②③共三个，故选：C．二．填空题（共5小题）11．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是x≥且x≠1．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：2x﹣1≥0且x﹣1≠0，解得：x≥且x≠1．故答案为：x≥且x≠1．12．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为2．【分析】根据作图过程可得得BE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB＝∠CBE，证出AE＝AB＝3，即可得出DE的长．，【解答】解：根据作图的方法得：BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2；故答案为：2．13．（3分）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝20﹣4t（0≤t≤5）．【分析】蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，则t小时燃掉4t厘米，已知蜡烛的总高度，即可表达出剩余的高度．【解答】解：∵蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，∴t小时燃掉4t厘米，由题意知：h＝20﹣4t．14．（3分）已知关于x的一次函数y＝mx+n的图象如图所示，则可化简为n．【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定m、n的符号，然后由绝对值、二次根式的化简运算法则解得即可．【解答】解：根据图示知，关于x的一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0；又∵关于x的一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于正半轴，∴n＞0；∴＝n﹣m﹣（﹣m）＝n．故答案是：n．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，已知AD＝3，当点F为线段OC的三等分点时，点E的坐标为（3，）或（3，）．【分析】设CE＝x，分两种情况讨论：①当CF＝1时，OF＝2；②当CF＝2时，OF＝1，在Rt△CEF中，依据勾股定理可得CE2+CF2＝EF2，据此可得方程，即可得到CE的长，进而得出点E的坐标．【解答】解：∵AD＝OC＝3＝AF，而点F为线段OC的三等分点，∴CF＝1或2，设CE＝x，①当CF＝1时，OF＝2，在Rt△AOF中，AO＝＝，∴CD＝，DE＝﹣x＝EF，∵Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，∴x2+12＝（﹣x）2，解得x＝，即CE＝，∴E（3，）；②当CF＝2时，OF＝1，在Rt△AOF中，AO＝＝2，∴CD＝，DE＝﹣x＝EF，∵Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，∴x2+22＝（2﹣x）2，解得x＝，即CE＝，∴E（3，）；故答案为：（3，）或（3，）．三．解答题（共8小题）16．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；（2）利用完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+＝+3；（2）原式＝2+2+1﹣2+2＝5．17．已知a＝﹣，b＝+，求下列各式的值；（1）+；（2）a2b+ab2．【分析】（1）先通分，值代入即可计算．（2）提公因式法后，代入即可计算．【解答】解：∵a＝﹣，b＝+，∴a+b＝2，ab＝2，（1）原式＝＝＝．（2）原式＝ab（a+b）＝2×＝4．18．实验中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD＝8米，CD＝6米，∠ADC＝90°，AB＝26米，BC＝24米，求这块四边形空地的面积是多少？【分析】根据勾股定理，可以得到AC的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到△ACB的形状，然后即可得到四边形ABCD的面积．【解答】解：连接AC，∵AD＝8米，CD＝6米，∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝10米，∵AB＝26米，BC＝24米，∴BC2+AC2＝102+242＝100+576＝676，AB2＝262＝676，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∴四边形ABCD的面积是：＝＝96（平方米），即这块四边形空地的面积是96平方米．19．如图，在一棵树CD的6m高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树12m处的池塘的A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，请问这棵树有多高？【分析】由题意知AD+DB＝BC+CA，设BD＝x米，则AD＝（18﹣x）米，且在直角△ACD中CD2+CA2＝AD2，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝6+x．【解答】解：由题意知AD+DB＝BC+CA，且CA＝12米，BC＝6米，设BD＝x米，则AD＝（18﹣x）米，在Rt△ACD中：CD2+CA2＝AD2，即（18﹣x）2＝（6+x）2+122，解得x＝3，故树高为CD＝6+3＝9米．答：树高为9米．20．如图，函数y＝﹣2x+3与y＝﹣x+m的图象交于P（n，﹣2）．（1）求出m、n的值；（2）直接写出不等式﹣x+m＞﹣2x+3的解集；（3）求出△ABP的面积．【分析】（1）根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式把P点坐标代入y＝﹣2x+3可得n的值，进而可得P点坐标，再把P点坐标代入y＝﹣x+m可得m的值；（2）根据函数图象可直接得到答案；（3）首先求出A、B两点坐标，进而可得△ABP的面积．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+3过P（n，﹣2）．∴﹣2＝﹣2n+3，解得：n＝，∴P（，﹣2），∵y＝﹣x+m的图象过P（，﹣2）．∴﹣2＝﹣×+m，解得：m＝﹣；（2）不等式﹣x+m＞﹣2x+3的解集为x＞；（3）∵当y＝﹣2x+3中，x＝0时，y＝3，∴A（0，3），∵y＝﹣x﹣中，x＝0时，y＝﹣，∴B（0，﹣），∴AB＝3；∴△ABP的面积：AB×＝×＝．21．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．【分析】（1）根据矩形的性质可得AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，再根据M是AD的中点，可得AM＝DM，然后再利用SAS证明△ABM≌△DCM；（2）四边形MENF是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE∥MF，NE＝MF，可得四边形MENF是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM可得BM＝CM进而得ME＝MF，从而得到四边形MENF是菱形；（3）当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形，证明∠EMF＝90°根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，又∵M是AD的中点，∴AM＝DM．在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS）．（2）解：四边形MENF是菱形．证明如下：∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，∴NE∥MF，NE＝MF．∴四边形MENF是平行四边形．由（1），得BM＝CM，∴ME＝MF．∴四边形MENF是菱形．（3）解：当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．理由：∵M为AD中点，∴AD＝2AM．∵AD：AB＝2：1，∴AM＝AB．∵∠A＝90，∴∠ABM＝∠AMB＝45°．同理∠DMC＝45°，∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°．∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．故答案为：2：1．22．某学校计划在总费用为3200元的限额内，租用汽车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师；现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：甲种客车乙种客车载客量（单位：人/辆）4530租金（单位：元/辆）400280（1）通过计算与分析后，直接写出共需租用8辆汽车；（2）求出有哪几种租车方案；（3）求出最节省的租车费用是多少元．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到需要租用多少辆汽车，本题得以解决；（2）根据（1）中的结果和表格中的数据可以得到有几种租车方案，并写出相应的租车方案；（3）根据题意可以得到租车费用和租用甲种客车的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得到最节省的租车费用是多少元．【解答】解：（1）如果全部租用甲种客车，则需要（312+8）÷45＝7（辆），如果全部租用乙种客车，则需要（312+8）÷30＝10（辆），∵汽车辆数为整数，且有8名教师，每辆汽车上至少要有1名教师，∴共租用8辆汽车，故答案为：8；（2）设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车（8﹣x）辆，则租车费用y＝400x+280（8﹣x）＝120x+2240，∵，解得，5≤x≤8，∵x为整数，∴x＝6或7或8，∴共有3种租车方案，方案一：6辆甲种客车，2辆乙种客车；方案二：7辆甲种客车，1辆乙种客车；方案三：8辆甲种客车；（3）∵y＝120x+2240中，k＝120＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝6时，y有最小值，最节省的租车费用是2960元，答：最节省的租车费用是2960元．23．已知正方形ABCD与正方形CEFG（点C、E、F、G按顺时针排列），M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，求证：DM＝EM，DM⊥EM．简析：由M是AF的中点，AD∥EF，不妨延长EM交AD于点N，从而构造出一对全等的三角形，即△AMN≌△FME．由全等三角形性质，易证△DNE是等腰直角三角形，进而得出结论．（2）如图2，E在BC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．（3）当AB＝5，CE＝3时，正方形CEFG的顶点C、E、F、G按顺时针排列．若点E 在直线CD上，则DM＝或4；若点E在直线BC上，则DM＝．【分析】（1）根据全等三角形的性质推出MN＝ME，AN＝EF＝EC，推出DN＝DE，因为∠EDH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；（2）结论不变，证明方法类似；（3）分别分两种情况讨论，由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于点N，∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，在△MNA和△MEF中，，∴△MNA≌△MEF（ASA），∴MN＝ME，AN＝EF＝EC，∴DN＝DE，且∠EDN＝90°，∴△DEN是等腰直角三角形，∴DM＝ME，DM⊥EM；故答案为：△AMN，△FME，等腰直角；（2）结论仍成立，如图2，延长EM交DA的延长线于点H，∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME（ASA），∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（3）若点E在直线CD上，由（1）（2）可知，DE＝AB﹣CE＝2，或DE＝AB+CE＝8，∵DM⊥EM，DM＝ME，∴DE＝DM，若点E在直线BC上，如图3，当点E在BC延长线上时，延长EM交DA于点H，连接DH，∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADC＝∠GCE＝90°＝∠BAD，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME（ASA），∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∵AH＝CE，∠HAD＝∠ECD，AD＝CD，∴△ADH≌△CDE（SAS），∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，∵∠ADH+∠HDC＝90°，∴∠EDN＝90°，且HM＝ME，∴DM⊥EM，DM＝ME，∴DE＝DM，∵AB＝CD＝5，CE＝3，∴DE＝＝＝，∴DM＝如图4，若点E在线段BC上时，延长EM，BA交于点H，连接DH，同理可求DM＝，故答案为：或4，。
2023-2024学年全国初中八年级下数学人教版期中考试试卷(含答案解析)
20232024学年全国初中八年级下数学人教版期中考试试卷(含答案解析)（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=62. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=63. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=64. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8D. 4x2y=65. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=66. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=67. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=68. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=69. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10C. 5x+3y=15D. 4x2y=610. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=6二、填空题（每题2分，共20分）1. 2x+3y=6，求x的值。
2. 3x+5y=10，求y的值。
3. 4x2y=6，求x的值。
4. 5x+3y=15，求y的值。
5. 2x4y=8，求x的值。
6. 3x+5y=10，求y的值。
7. 4x2y=6，求x的值。
8. 5x+3y=15，求y的值。
9. 2x4y=8，求x的值。
10. 3x+5y=10，求y的值。
三、解答题（每题5分，共25分）1. 解方程组：2x+3y=63x+5y=102. 解方程组：5x+3y=153. 解方程组：2x4y=83x+5y=104. 解方程组：3x+5y=104x2y=65. 解方程组：5x+3y=152x4y=8四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算：2x+3y=63x+5y=102. 计算：4x2y=65x+3y=153. 计算：2x4y=83x+5y=10五、应用题（每题10分，共20分）1. 应用题：2x+3y=62. 应用题： 4x2y=6 5x+3y=15答案解析：一、选择题1. A2. B3. C4. D5. A6. B7. C8. D9. A10. B二、填空题1. x=12. y=23. x=24. y=35. x=26. y=27. x=28. y=39. x=210. y=2三、解答题1. x=1, y=22. x=2, y=33. x=2, y=24. x=2, y=35. x=2, y=2四、计算题1. x=1, y=22. x=2, y=33. x=2, y=2五、应用题1. x=1, y=22. x=2, y=38. 简答题（每题5分，共25分）1. 简述一元二次方程的一般形式。
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八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对应题目上．（注意：在试题卷上作答无效）．1．下列各式中，属于分式的是（）A．B．C．D．﹣2．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列计算正确的是（）A．2﹣2＝﹣4B．2﹣2＝4C．2﹣2＝D．2﹣2＝﹣4．下列约分中，正确的是（）A．＝x3B．＝0C．D．5．王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中．下面图形表示王大爷离时间x（分）与离家距离y（米）之间的关系是（）A．B．C．D．6．如果分式的值为零，则a的值为（）A．±1B．2C．﹣2D．以上全不对7．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S＝1，则S1+S2阴影＝（）A．3B．4C．5D．68．如图，直线y＝x﹣1与x轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线y＝交于点C，且AB＝AC，则k的值为（）A．2B．3C．4D．6二、填空题：（每小题3分，共24分）请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．9．当x时，分式有意义．10．点P（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．11．若函数y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，则a＝．12．用科学记数法表示：0.000204＝．13．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），则k的值为．14．若关于x的方程有增根，m．15．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么x＝．16．如图，过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线交反比例函数y＝和y＝﹣的图象于A，B两点，C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）计算：①﹣4×（）﹣2+|﹣5|+（π﹣3）0②﹣．18．（10分）解下列分式方程（1）＝1（2）＝19．（7分）先化简，再求值：，当a＝﹣3时，求代数式的值．20．（7分）蓬溪芝溪玉液酒厂接到生产480件芝溪玉液酒的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天生产的件数比原来每天多50%，提前10天完成任务．原来每天生产多少件？21．（8分）“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是多少米？（2）小明在书店停留了多少分钟？（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？22．（8分）某商场欲购进一种商品，当购进这种商品至少为10kg，但不超过30kg时，成本y（元/kg）与进货量x（kg）的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（2）若该商场购进这种商品的成本为9.6元/kg，则购进此商品多少千克？23．（10分）如图，直线y＝x﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，O是原点．（1）求△AOB的面积．（2）过△AOB的顶点B画一条直线把△AOB分成面积相等的两部分，求出直线解析式．24．（12分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y ＝的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对应题目上．（注意：在试题卷上作答无效）．1．下列各式中，属于分式的是（）A．B．C．D．﹣【分析】根据分式的定义，可得答案．【解答】解：A、是整式，故A错误；B、是分式，故B正确；C、是整式，故C错误；D、﹣是整式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意π是常数不是字母．2．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限．【解答】解：∵﹣2＜0，3＞0，∴（﹣2，3）在第二象限，故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，四个象限内坐标的符号：第一象限：+，+；第二象限：﹣，+；第三象限：﹣，﹣；第四象限：+，﹣；是基础知识要熟练掌握．3．下列计算正确的是（）A．2﹣2＝﹣4B．2﹣2＝4C．2﹣2＝D．2﹣2＝﹣【分析】2﹣2表示2的平方的倒数，依据表示的意义即可求解．【解答】解：2﹣2＝＝．故选：C．【点评】本题只需熟练掌握：负整数指数幂应把其化为正整数指数幂的倒数，进行计算即可．4．下列约分中，正确的是（）A．＝x3B．＝0C．D．【分析】根据分式的基本性质，分别对每一项进行解答，即可得出答案．【解答】解：A、＝x4，故本选项错误；B、＝1，故本选项错误；C、＝＝，故本选项正确；D、＝，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．5．王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中．下面图形表示王大爷离时间x（分）与离家距离y（米）之间的关系是（）A．B．C．D．【分析】对四个图依次进行分析，符合题意者即为所求．【解答】解：A、从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天20分钟后，用20分钟返回家中，故本选项错误；B、从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天0分钟后，用20分钟返回家中，故本选项错误；C、从家中走30分钟到离家900米的公园，与朋友聊天0分钟后，用20分钟返回家中，故本选项错误；D、从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．6．如果分式的值为零，则a的值为（）A．±1B．2C．﹣2D．以上全不对【分析】根据分式的值为零的条件可得：|a|﹣2＝0且a+2≠0，从而可求得a的值．【解答】解：由题意得：|a|﹣2＝0且a+2≠0，解得：a＝2．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，分式的值为零需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．7．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S＝1，则S1+S2阴影＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求出S1+S2．【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．8．如图，直线y＝x﹣1与x轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线y＝交于点C，且AB＝AC，则k的值为（）A．2B．3C．4D．6【分析】由题意得：BC垂直于x轴，点A在BC的垂直平分线上，则B（2，0）、C（2，），A （4，），将A点代入直线y＝x﹣1求得k值．【解答】解：由于AB＝AC，BC垂直于x轴，则点A在BC的垂直平分线上，由直线y＝x﹣1，可得B（2，0），A、C均在双曲线y＝上，则C（2，），A（4，），将A点代入直线y＝x﹣1得：k＝4．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，这里AB＝AC是解决此题的突破口，题目比较好，有一定的难度．二、填空题：（每小题3分，共24分）请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．9．当x≠1时，分式有意义．【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0可得：x﹣1≠0，解可得答案．【解答】解：分式有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1，故答案为：≠1．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．10．点P（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4）．【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．填空即可．【解答】解：点P（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），故答案为（﹣3，4）．【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．11．若函数y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，则a＝3．【分析】由正比例函数的定义可得a2﹣9＝0，a+3≠0，再解可得a的值．【解答】解：∵函数y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，∴a2﹣9＝0，a+3≠0，解得：a＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．12．用科学记数法表示：0.000204＝ 2.04×10﹣4．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法表示：0.000204＝2.04×10﹣4．故答案为：2.04×10﹣4．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），则k的值为﹣6．【分析】将点（﹣2，3）代入解析式可求出k的值．【解答】解：把（﹣2，3）代入函数y＝中，得3＝，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y＝，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．14．若关于x的方程有增根，m3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x＝5代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：去分母得：2﹣x+m＝0，将x＝5代入得：2﹣5+m＝0，解得：m＝3．故答案为：3．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．15．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么x＝4．【分析】根据已知得出分式方程﹣＝1，求出分式方程的解，再代入x﹣1和1﹣x进行检验即可．【解答】解：∵，∴﹣＝1，方程两边都乘以x﹣1得：2+1＝x﹣1，解得：x＝4，检验：当x＝4时，x﹣1≠0，1﹣x≠0，即x＝4是分式方程的解，故答案为：4．【点评】本题考查了分式方程的应用，解此题的关键是根据材料得出分式方程，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．16．如图，过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线交反比例函数y＝和y＝﹣的图象于A，B两点，C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为3．【分析】设P（a，0），由直线APB与y轴平行，得到A和B的横坐标都为a，将x＝a代入反比例函数y＝和y＝﹣中，分别表示出A和B的纵坐标，进而由AP+BP表示出AB，三角形ABC 的面积＝×AB×OP，求出即可．【解答】解：设P（a，0），a＞0，则A和B的横坐标都为a，将x＝a代入反比例函数y＝中得：y＝，故A（a，）；将x＝a代入反比例函数y＝﹣中得：y＝﹣，故B（a，﹣），∴AB＝AP+BP＝+＝，＝AB•OP＝××a＝3．则S△ABC故答案为3．【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及坐标与图形性质，其中设出P的坐标，表示出AB是解本题的关键．三、解答题：本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）计算：①﹣4×（）﹣2+|﹣5|+（π﹣3）0②﹣．【分析】（1）根据负整数指数幂、绝对值、零指数幂可以解答本题；（2）先对原式通分然后再化简即可解答本题．【解答】解：①﹣4×（）﹣2+|﹣5|+（π﹣3）0＝3﹣4×4+5+1＝3﹣16+5+1＝﹣7；②﹣＝＝＝＝＝．【点评】本题考查实数的运算、分式的加减法、负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是明确它们各自的计算方法．18．（10分）解下列分式方程（1）＝1（2）＝【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：4﹣1＝x﹣1，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解；（2）去分母得：4+x2+5x+6＝x2﹣3x+2，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19．（7分）先化简，再求值：，当a＝﹣3时，求代数式的值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝﹣•＝﹣＝，当a＝﹣3时，原式＝＝﹣．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌分式的混合运算顺序和运算法则．20．（7分）蓬溪芝溪玉液酒厂接到生产480件芝溪玉液酒的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天生产的件数比原来每天多50%，提前10天完成任务．原来每天生产多少件？【分析】直接根据题意表示出原计划和实际生产的件数，进而利用提前10天完成任务得出等式求出答案．【解答】解：设原来每天生产x件，根据题意可得：＝+10，解得：x＝16，检验得：当x＝16是原方程的根，答：原来每天生产16件．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意利用生产的天数得出等式是解题关键．21．（8分）“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是多少米？（2）小明在书店停留了多少分钟？（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，克的答案；（3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；（4）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度．【解答】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米；（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从（8分）到（12分），故小明在书店停留了4分钟．（3）一共行驶的总路程＝1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝1200+600+900＝2700米；共用了14分钟．（4）由图象可知：0～6分钟时，平均速度＝＝200米/分，6～8分钟时，平均速度＝＝300米/分，12～14分钟时，平均速度＝＝450米/分，所以，12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系．22．（8分）某商场欲购进一种商品，当购进这种商品至少为10kg，但不超过30kg时，成本y（元/kg）与进货量x（kg）的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（2）若该商场购进这种商品的成本为9.6元/kg，则购进此商品多少千克？【分析】（1）设出成本y（元/kg）与进货量x（kg）的函数解析式，由图象上的点的坐标利用待定系数法即可求得结论；（2）令成本y＝9.6，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）设成本y（元/kg）与进货量x（kg）的函数解析式为y＝kx+b，由图形可知：，解得：．故y关于x的函数解析式为y＝﹣0.1x+11，其中10≤x≤30．（2）令y＝﹣0.1x+11＝9.6，即0.1x＝1.4，解得：x＝14．故该商场购进这种商品的成本为9.6元/kg，则购进此商品14千克．【点评】本题考查了一次函数的图象以及用待定系数法求函数解析式，解题的关键：（1）设出解析式在图象上找出点的坐标利用待定系数法去求系数；（2）令y＝9.6，得出关于x的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该类题型的方法是利用图象得出点的坐标，结合待定系数法求出结论．23．（10分）如图，直线y＝x﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，O是原点．（1）求△AOB的面积．（2）过△AOB的顶点B画一条直线把△AOB分成面积相等的两部分，求出直线解析式．【分析】（1）分别令直线解析式中x＝0、y＝0求出相对于的y、x值，由此即可得出点A、B的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（2）找出线段OA的中点C，连接BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），由点A的坐标可得出点C的坐标，结合点B、C的坐标利用待定系数法即可得出结论．【解答】解：（1）令y＝x﹣2中x＝0，则y＝﹣2，∴点B（0，﹣2）；令y＝x﹣2中y＝0，则x﹣2＝0，解得：x＝3，∴点A（3，0）．S＝OA•OB＝×2×3＝3．△AOB（2）作出线段AO的中点C，连接BC，如图所示．∵点A（3，0），∴点C（，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点B（0，﹣2）、C（，0）代入y＝kx+b中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及待定系数法求出函数解析式，解题的关键是：（1）求出点A、B的坐标；（2）利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．24．（12分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y ＝的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．【分析】（1）先把B点坐标代入代入y＝，求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；+S （2）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOC进行计算；△BOC（3）观察函数图象得到当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．【解答】解：∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝2×（﹣4）＝﹣8，∴反比例函数解析式为：y＝﹣，把A（﹣4，n）代入y＝﹣，得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则A点坐标为（﹣4，2）．把A（﹣4，2），B（2，﹣4）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；（2）∵y＝﹣x﹣2，∴当﹣x﹣2＝0时，x＝﹣2，∴点C的坐标为：（﹣2，0），△AOB的面积＝△AOC的面积+△COB的面积＝×2×2+×2×4＝6；（3）由图象可知，当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值．【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．。