数学平面问题有限单元法
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5.3.3 单元分析 （略）
对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。
vm
m
um
vvi
Vm
(a)
i ui m
Um
Vj
j
Uj
e
Vi
i Ui
(b)
结点位移
ui
vi
qe
u
v
j j
um
vm
• 结点力
•
平面应力问题
平面应变问题
y
平面
应力
问题
0
y
t/2
t/2
z x
ͼ 1-10
厚度为 t 的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且 不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于 薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均 有：
3) 对于现在的单元插值函数是线性的，在单元内部及单元的 边界上位移也是线性的，可由节点上的位移唯一确定。由于 相邻的单元公共节点的节点位移相等，因此保证了相邻节点 在公共边界上位移的连续性。
• 选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收 敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛 于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下 列条件：
Ui
Vi
ui*
vi*
uj*
vj*
um*
vm*
Uj Vj
Um
q* eTFe
Vm
28
根据虚功原理，得
q* eT Fe * T tdxdy
弹性力学平面问题的有限单元法
(c)
深梁（离散化结构）
14
§6.2 有限单元法的概念
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这
些单元仅在角点用铰连接起来。
图（c）与图( a）相比，两者都是离散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
15
§6.2 有限单元法的概念
2.单元分析
f y )T 。
f y )T 。
T
面力: f ( f x 应变:
应力:
位移函数: d (u ( x, y ) , v( x, y )) 。
ε (ε x ε y γxy )T 。 σ (σ x σ y τ xy )T 。
F ( Fix Fiy Fjx Fjy )T 。
T δ ( u v u v ) 。 结点位移列阵: i i j j
5.本章介绍平面问题的FEM 仅叙述按位移求解的方法。 且一般都以平面应力问题来表示。
7
§6.1 基本量和基本方程的矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
8
§6.1 基本量和基本方程的矩阵表示
基本物理量： 体力: f ( f x
25
§6.3 单元的位移模式与解答的收敛性
1 ~ 6
xi , yi ,及ui , vi ,。
将式（a）按未知数 ui , vi , 归纳为:
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
或用矩阵表示为:
结点力列阵:
9
§6.1 基本量和基本方程的矩阵表示
6-用有限单元法解平面问题
2、有限单元的基本思想
3、有限单元法的基本步骤
4、有限单元法的基本术语
5、有限单元法的特点 6、有限单元法的分类 7、有限单元法的发展方向
2019/2/24
土木工程与力学学院 蒋一萱
3
§6.1
有限元法基本思想
1.有限单元的发展：
有限单元法是一种数值计算方法，是1960年 Clough在分析飞机结构时提出并命名的，并 在弹性力学中得到广泛应用
注： cos ( x j xi ) / l sin ( y j yi ) / l
1 [cos (u j ui ) sin (v j vi )] l AE N AE [cos (u j ui ) sin (v j vi )] l
土木工程与力学学院 蒋一萱
Байду номын сангаас
fi k ii ui k ij uj
22
§6.2 有限元的直观方法
fi k ii ui k ij uj
节点平衡方程： Fi
e= j,m,p
k u k u
ii i e j , m, p ie
e
把所有节点平衡方程组成系统方程组
2.整体刚度矩阵
Fxi、Fyi是作用在 节点i上的节点力
根据节点力平衡 节点i的平衡
Fe Ke Ue
以杆ij为例
fi k ii Fe f , K e k j ji
2019/2/24
k ij ui , Ue k jj u j
KU = F
整体刚度 矩阵
土木工程与力学学院 蒋一萱 23
2019/2/24
平面问题的有限元法
图3-2 直角坐标系下平面三角形单 元的节点位移和节点力
3.1 平面三角形单元矩阵推导
1 . 选择合适的单元，建立坐标系统，进行结构离散
三角形单元的6个节点位移分量用列阵表示为
δe
δδ12
{u1, v1, u2 , v2 , u3, v3}T
δ3
(3.1)
三角形单元的节点载荷列阵表示为
dxdy ，单元刚度矩阵可以简化为
k e BT DBt
(3.28)
3.1 平面三角形单元矩阵推导
单元刚度矩阵的物理意义是，其任一列的元素分别等于该 单元的某个节点沿坐标方向发生单位位移时，在各节点上所引 起的节点力。单元的刚度取决于单元的大小、方向和弹性常数 ，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改 变。单元刚度矩阵一般具有如下三个特性：对称性、奇异性和 具有分块形式。对于平面三角形单元，按照每个节点两个自由 度的构成方式，可以将单元刚度矩阵列写成3×3个子块、每个 子块为2×2阶的分块矩阵的形式。
Re 2n1
1
i Ri eT
j R j eT
m Rm eT
nT
(3.31)
3.2 利用平面三角形单元进行整体分析
各单元的节点力列阵经过扩充之后就可以进行相加。把全部单元的
节点力列阵叠加在一起，便可得到整个弹性体的载荷列阵R。结构整 体载荷列阵记为
N
R2n1
Re 2 n1
利用上式就可求出未知的多项式系数 α ，即 α A1δ，e 可以求得，
1
1 2
u1 u2
x1 x2
y1 y2
平面问题的有限元法
(3-11)
也可写成矩阵形式
f
u v
NiI
N jI
NmI e N e
(3-12)
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数， 它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简 称形函数。矩阵 [N] 叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的 形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍
x j xm
（i , j , m轮换） (3-9)
v
1 2
ai
bi x ci yvi
aj
bjx cj y
vj
am bm x cm yvm
(f)
若令
Ni
1 2
ai
bi x
ci y
（i , j , m轮换） (3-10)
这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为
返回
u Ni ui N j u j N mum v Nivi N jv j Nmvm
e
T i
T j
T m
T
ui
vi
uj
vj
um
vm T (3-7)
其中的子矩阵
i ui vi T （i，j，m 轮换） (a)
式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。
返回
选择一个单元位移模式，单元内各点的位移可按此位移 模式由单元节点位移通过插值而获得。线性函数是一种 最简单的单元位移模式，故设
, v j 4 5xi 6 yi
uj 1 2xj 3yj , vj 4 5xj 6yj
um 1 2 xm 3 ym , vm 4 5 xm 6 ym
由 (c) 式左边的三个方程可以求得
1
1 2
第七章 平面问题的有限单元法(Q4)
b y3 y2 y y1 4 2 2
8
4节点四边形单元
y, v
u1 v 1 u2 u de 2 u3 u3 u4 u 4 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
1 N (1 )(1 ) 1 4 N 1 (1 )(1 ) 2 4 1 N (1 )(1 ) 3 4 N 1 (1 )(1 ) 4 4
1 4
Nj 1 4 (1 j )(1 j )
4 ( 1, +1) ( u4, v4)
1
N3 1 4 (1 )(1 ) N4 1 4 (1 )(1 )
N 3 at node 1 1 4 (1 )(1 ) 1 0 N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
同理：
1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 4 3 y3 1 1 1 1 y4 4
K e B DBtd
e
T
11
等参单元
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通 过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形 单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（ 包括高次曲边四边形单元）。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实
8
4节点四边形单元
y, v
u1 v 1 u2 u de 2 u3 u3 u4 u 4 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
1 N (1 )(1 ) 1 4 N 1 (1 )(1 ) 2 4 1 N (1 )(1 ) 3 4 N 1 (1 )(1 ) 4 4
1 4
Nj 1 4 (1 j )(1 j )
4 ( 1, +1) ( u4, v4)
1
N3 1 4 (1 )(1 ) N4 1 4 (1 )(1 )
N 3 at node 1 1 4 (1 )(1 ) 1 0 N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
同理：
1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 4 3 y3 1 1 1 1 y4 4
K e B DBtd
e
T
11
等参单元
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通 过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形 单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（ 包括高次曲边四边形单元）。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实
有限元2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)分析
第2章弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为：相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x yααα==++546(,)v v x y x yααα==++(2-1-2)a式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=mjimeddddmjjivuvuvui{}iijjmXYX(2-1-1)YXYiejmmFF FF⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭确定。
将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++ 123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++ 546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j j m m x u A x u x u = 2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为: m m i j ia x y x y =-m ij by y =- (,,)i j m u u u u ruu u u r m i jc x x =-(,,)i j m u u u u ru u u u r表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
第五章 平面问题有限元分析
u a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 ...
v b1 b2 x b3 y b4 x 2 b5 xy b6 y 2 ...
有限单元法
5-1-2
达式为
平面问题的总势能表达式
将第二章的原理用于平面问题单元分析时，其总势能表
u i Fix
i
图5-2为任一的典型单元。
单元局部坐标结点编号记作1，
2，3逆时针进行标记，其对应
j k 的整体结点编号记作i ，，。由
y
Fiy
vi
于平面问题局部坐标和整体坐
标是一致的，因此没有坐标转 换问题，故也可只标记整体编 号以便形成点位向量，如图所 示单元每个结点有两个位移分 量，称作结点位移，记作 有限单元法
k
Ai APjk Aj APik Ak APji
i
Aj P Ai Ak
j
图5-3a 面积坐标示意
有限单元法
Ai 等坐标轴线
Ak等坐标轴线 i
P
k
Aj等坐标轴线
j
图5-3b 面积坐标示意
则显然存在如下恒等关系
A Ai Aj Ak Aijk
（5-8）
有图5-3b可见，P点位置除了可用直角表示外，也可以 用 Ai ， j ， Ak 中的任意两个来确定。 A
单元面积 Aijk 为
1 A xj 2 xk
xi
yi yk
1 1
yj 1
有限单元法
因此有
xj 1 xj yj Ai 1 yj 1 Li y 1 x xk 1 xk yk A 2 A yk 1 1 ai bi x ci y i j k 2A 式中ai , bi , ci 分别为 a i x j yk xk y j b i y j yk c i xk x j (i j k i )
v b1 b2 x b3 y b4 x 2 b5 xy b6 y 2 ...
有限单元法
5-1-2
达式为
平面问题的总势能表达式
将第二章的原理用于平面问题单元分析时，其总势能表
u i Fix
i
图5-2为任一的典型单元。
单元局部坐标结点编号记作1，
2，3逆时针进行标记，其对应
j k 的整体结点编号记作i ，，。由
y
Fiy
vi
于平面问题局部坐标和整体坐
标是一致的，因此没有坐标转 换问题，故也可只标记整体编 号以便形成点位向量，如图所 示单元每个结点有两个位移分 量，称作结点位移，记作 有限单元法
k
Ai APjk Aj APik Ak APji
i
Aj P Ai Ak
j
图5-3a 面积坐标示意
有限单元法
Ai 等坐标轴线
Ak等坐标轴线 i
P
k
Aj等坐标轴线
j
图5-3b 面积坐标示意
则显然存在如下恒等关系
A Ai Aj Ak Aijk
（5-8）
有图5-3b可见，P点位置除了可用直角表示外，也可以 用 Ai ， j ， Ak 中的任意两个来确定。 A
单元面积 Aijk 为
1 A xj 2 xk
xi
yi yk
1 1
yj 1
有限单元法
因此有
xj 1 xj yj Ai 1 yj 1 Li y 1 x xk 1 xk yk A 2 A yk 1 1 ai bi x ci y i j k 2A 式中ai , bi , ci 分别为 a i x j yk xk y j b i y j yk c i xk x j (i j k i )
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有限元分析及应用
Finite Element Analysis and Application
思考题
• 简述形函数的特点
• 等腰三角形如图所示，求其形态矩 阵和单元刚度矩阵。
• 简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵 的特点、性质和它们中每一项的物 理意义。
• 写出三节点三角形单元、矩形单元 的位移模式及其各系数的求解公式、 写出形函数的表达式。
有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成 若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化 情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一 个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位 移函数，即单元内任一点的位移，被表述为其坐标的函数。
对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示： u a1 a2x a3 y a4x2 a5xy a6 y2 ...
• 写出六节点三角形单元各节点的面 积坐标和形函数。
• 写出刚度矩阵的集成规则。 • 简述载荷移置的原则和方法。 • 单元刚度矩阵的计算过程。
y j(0,a)
a
m(0,0)
a
x i(a,0)
有限元分析及应用
Finite Element Analysis and Application
第二章 平面问题的有限单元法
2-1 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单元分析 4、整体分析与求解 5、结果分析
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
有限单元法的基础是必须将连续体简化为由有 限个单元组成的离散体。
对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三 角形单元。
m
e
i j
m
vi
u
v
j j
um
vm
• [I]是单位矩阵，
• [N]称为形函数矩阵，
• Ni只与单元节点坐标有关，称 为单元形状函数,是由单元节 点位移求单元内部各点位移的 转换式
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
• 据弹性力学几何方程得
•
单元的应变分量
由于三节点三角形单元 的位移函数为线性函数， 则单元的应变分量均为
aa34
a5
a6
• 将水平位移分量和结点坐标代入第一式，
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
• 写成矩阵形式：
u u
i j
1 1
xi xj
um 1 xm
yi yj
aa12
ym a3
最终确定六个待定系数
1 xi yi
aa12 a3
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
ui uj
cm um
其中 2A 1 1
ai x j ym xm y j
xj yj xm ym
m
aa54 a6
1 2A
ai bi
ci
aj bj cj
am bm
•令
1 xi 1 x j 1 xm
yi
y
j
T
ym
则有
aa12
T1
uuij
a3
um
[T]1 [T]* T
• A为三角形的面积 • [T]的伴随矩阵为，
T 2A
T
*
x j ym xm yi
xm y j xi ym
xi y j x j yi
y j ym ym yi yi y j
xm xi
xj xm
T
x j xi
ai
• 令 [T]*
a
j
bi bj
ci T
c
j
abii
aj bj
am bm
am bm cm ci c j cm
•则
aa12
a3
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
u u
i j
cm um
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
u v
a1 a4
a2 a5
x x
a3 a6
y y
该位移函数，将单元内部任一点的
位移设定为坐标的线性函数，该位
移模式很简单。其中数，可据节点i、j、m
的位移值和坐标值求出。 a1
a2
位移函数写成矩阵形式为：
u v
1 0
x 0
y 0
0 1
0 x
0 y
第二章 平面问题的有限单元法
2-1、有限单元法的计算步骤 2-2、平面问题的常应变(三角形)单元 2-3、单元刚度矩阵 2-4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 2-5、平面问题的矩形单元 2-6、六节点三角形单元 2-7、单元载荷移置 2-8、整体分析 2-9、整体刚度矩阵的形成 2-10、支承条件的处理 2-11、整体刚度矩阵的特点
vi vj
cm vm
bi y j ym ci xm x j
ij
为 2A 第 1 行 各 个 元 素 的
代数余子式，
1 u 2A [(ai bix ci y)ui (aj bj x cj y)u j (am bmx cm y)um ]
1
v 2A[(ai bix ci y)vi (aj bjx cj y)vj (am bmx cm y)vm]
v b1 b2x b3 y b4x2 b5xy b6 y2 ...
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精 确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
六个节点位移只能确定六个多项式 三结点三角形单元 的系数，所以平面问题的3节点三角
形单元的位移函数如下：
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
•
令
1 Ni 2A (ai bi x ci y)
（下标i，j，m轮换）
ui
vi
u
v
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
• 简写为
N e INi
IN j
IN m
i j
um
vm
ui
平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点 有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作 用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。 如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节 点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
1、位移函数
如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何 方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续 体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。
Finite Element Analysis and Application
思考题
• 简述形函数的特点
• 等腰三角形如图所示，求其形态矩 阵和单元刚度矩阵。
• 简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵 的特点、性质和它们中每一项的物 理意义。
• 写出三节点三角形单元、矩形单元 的位移模式及其各系数的求解公式、 写出形函数的表达式。
有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成 若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化 情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一 个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位 移函数，即单元内任一点的位移，被表述为其坐标的函数。
对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示： u a1 a2x a3 y a4x2 a5xy a6 y2 ...
• 写出六节点三角形单元各节点的面 积坐标和形函数。
• 写出刚度矩阵的集成规则。 • 简述载荷移置的原则和方法。 • 单元刚度矩阵的计算过程。
y j(0,a)
a
m(0,0)
a
x i(a,0)
有限元分析及应用
Finite Element Analysis and Application
第二章 平面问题的有限单元法
2-1 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单元分析 4、整体分析与求解 5、结果分析
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
有限单元法的基础是必须将连续体简化为由有 限个单元组成的离散体。
对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三 角形单元。
m
e
i j
m
vi
u
v
j j
um
vm
• [I]是单位矩阵，
• [N]称为形函数矩阵，
• Ni只与单元节点坐标有关，称 为单元形状函数,是由单元节 点位移求单元内部各点位移的 转换式
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
• 据弹性力学几何方程得
•
单元的应变分量
由于三节点三角形单元 的位移函数为线性函数， 则单元的应变分量均为
aa34
a5
a6
• 将水平位移分量和结点坐标代入第一式，
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
• 写成矩阵形式：
u u
i j
1 1
xi xj
um 1 xm
yi yj
aa12
ym a3
最终确定六个待定系数
1 xi yi
aa12 a3
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
ui uj
cm um
其中 2A 1 1
ai x j ym xm y j
xj yj xm ym
m
aa54 a6
1 2A
ai bi
ci
aj bj cj
am bm
•令
1 xi 1 x j 1 xm
yi
y
j
T
ym
则有
aa12
T1
uuij
a3
um
[T]1 [T]* T
• A为三角形的面积 • [T]的伴随矩阵为，
T 2A
T
*
x j ym xm yi
xm y j xi ym
xi y j x j yi
y j ym ym yi yi y j
xm xi
xj xm
T
x j xi
ai
• 令 [T]*
a
j
bi bj
ci T
c
j
abii
aj bj
am bm
am bm cm ci c j cm
•则
aa12
a3
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
u u
i j
cm um
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
u v
a1 a4
a2 a5
x x
a3 a6
y y
该位移函数，将单元内部任一点的
位移设定为坐标的线性函数，该位
移模式很简单。其中数，可据节点i、j、m
的位移值和坐标值求出。 a1
a2
位移函数写成矩阵形式为：
u v
1 0
x 0
y 0
0 1
0 x
0 y
第二章 平面问题的有限单元法
2-1、有限单元法的计算步骤 2-2、平面问题的常应变(三角形)单元 2-3、单元刚度矩阵 2-4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 2-5、平面问题的矩形单元 2-6、六节点三角形单元 2-7、单元载荷移置 2-8、整体分析 2-9、整体刚度矩阵的形成 2-10、支承条件的处理 2-11、整体刚度矩阵的特点
vi vj
cm vm
bi y j ym ci xm x j
ij
为 2A 第 1 行 各 个 元 素 的
代数余子式，
1 u 2A [(ai bix ci y)ui (aj bj x cj y)u j (am bmx cm y)um ]
1
v 2A[(ai bix ci y)vi (aj bjx cj y)vj (am bmx cm y)vm]
v b1 b2x b3 y b4x2 b5xy b6 y2 ...
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精 确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
六个节点位移只能确定六个多项式 三结点三角形单元 的系数，所以平面问题的3节点三角
形单元的位移函数如下：
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
•
令
1 Ni 2A (ai bi x ci y)
（下标i，j，m轮换）
ui
vi
u
v
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
• 简写为
N e INi
IN j
IN m
i j
um
vm
ui
平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点 有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作 用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。 如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节 点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
1、位移函数
如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何 方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续 体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。