平面问题有限元解法公式推导讲解
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弹性力学—第六章—用有限单元法解平面问题
- 在整体刚度矩阵中引入边界条件
1
需求解的结点还剩：
2
I III IV II 4 5 3
因此关于这六个零分量的六个平衡方程不 用建立，须将整体刚度矩阵的第1，3，7， 8，10，12以及同序列的各列去掉。最后 得到：
6
结构整体分析（10）
- 结点载荷
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
2
例如，设单元 ij 边上受有x方向上的均布面力q，试求等效 结点载荷
载荷向结点移臵（7）
结构整体分析（1）
对于每个单元，我们已经知道了如何计算单元的劲度矩 阵以及载荷列阵：
结构整体分析（2）
根据虚功原理，我们也推导了结点力与结点位移的关系：
对于 i 点, 一个单元上的结点力为:
i 点的力平衡要求围绕 i 点的各单元产生的结点力与各单 元分配到 i 点的结点载荷相等。
3
6
结构整体分析（15）
1. 有限元法的求解步骤： 2. 划分有限元， 3. 利用已知的结点坐标以及结构的物理特性写出单元劲度 矩阵， 4. 利用整体编码与局部编码的关系写出整体刚度矩阵以及 力列阵， 5. 在整体刚度矩阵以及力列阵中将对应于零位移的行与列 划去，得到引入边界条件后的平衡方程组。 6. 求解平衡方程组，得到结点位移，并由此分析应力分布。
有限单元法的单元划分（2）
当结构具有凹槽或孔洞时，为了正确地描述应力集中效 应，必须把该处的网格画得很密。
当计算容量不允许时，可以分两次计算。第一次计算时， 将需要细化网格的目标区域的网格画得稀疏一点，甚至 和其他区域的网格大致相同，第二次计算时，将需要细 化的部分区域（区域边界上的结点位移是第一次计算后 的已知值）取出，利用第一次计算的计算结果，就可以 计算分析网格很密的目标区域了。
1
需求解的结点还剩：
2
I III IV II 4 5 3
因此关于这六个零分量的六个平衡方程不 用建立，须将整体刚度矩阵的第1，3，7， 8，10，12以及同序列的各列去掉。最后 得到：
6
结构整体分析（10）
- 结点载荷
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
2
例如，设单元 ij 边上受有x方向上的均布面力q，试求等效 结点载荷
载荷向结点移臵（7）
结构整体分析（1）
对于每个单元，我们已经知道了如何计算单元的劲度矩 阵以及载荷列阵：
结构整体分析（2）
根据虚功原理，我们也推导了结点力与结点位移的关系：
对于 i 点, 一个单元上的结点力为:
i 点的力平衡要求围绕 i 点的各单元产生的结点力与各单 元分配到 i 点的结点载荷相等。
3
6
结构整体分析（15）
1. 有限元法的求解步骤： 2. 划分有限元， 3. 利用已知的结点坐标以及结构的物理特性写出单元劲度 矩阵， 4. 利用整体编码与局部编码的关系写出整体刚度矩阵以及 力列阵， 5. 在整体刚度矩阵以及力列阵中将对应于零位移的行与列 划去，得到引入边界条件后的平衡方程组。 6. 求解平衡方程组，得到结点位移，并由此分析应力分布。
有限单元法的单元划分（2）
当结构具有凹槽或孔洞时，为了正确地描述应力集中效 应，必须把该处的网格画得很密。
当计算容量不允许时，可以分两次计算。第一次计算时， 将需要细化网格的目标区域的网格画得稀疏一点，甚至 和其他区域的网格大致相同，第二次计算时，将需要细 化的部分区域（区域边界上的结点位移是第一次计算后 的已知值）取出，利用第一次计算的计算结果，就可以 计算分析网格很密的目标区域了。
平面问题的有限元法
图3-2 直角坐标系下平面三角形单 元的节点位移和节点力
3.1 平面三角形单元矩阵推导
1 . 选择合适的单元，建立坐标系统，进行结构离散
三角形单元的6个节点位移分量用列阵表示为
δe
δδ12
{u1, v1, u2 , v2 , u3, v3}T
δ3
(3.1)
三角形单元的节点载荷列阵表示为
dxdy ，单元刚度矩阵可以简化为
k e BT DBt
(3.28)
3.1 平面三角形单元矩阵推导
单元刚度矩阵的物理意义是，其任一列的元素分别等于该 单元的某个节点沿坐标方向发生单位位移时，在各节点上所引 起的节点力。单元的刚度取决于单元的大小、方向和弹性常数 ，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改 变。单元刚度矩阵一般具有如下三个特性：对称性、奇异性和 具有分块形式。对于平面三角形单元，按照每个节点两个自由 度的构成方式，可以将单元刚度矩阵列写成3×3个子块、每个 子块为2×2阶的分块矩阵的形式。
Re 2n1
1
i Ri eT
j R j eT
m Rm eT
nT
(3.31)
3.2 利用平面三角形单元进行整体分析
各单元的节点力列阵经过扩充之后就可以进行相加。把全部单元的
节点力列阵叠加在一起，便可得到整个弹性体的载荷列阵R。结构整 体载荷列阵记为
N
R2n1
Re 2 n1
利用上式就可求出未知的多项式系数 α ，即 α A1δ，e 可以求得，
1
1 2
u1 u2
x1 x2
y1 y2
有限元分析——平面问题
Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1
东南大学 有限元分析课程 第二章 平面问题有限元法
12
（2）单元分析 1）位移函数和形函数 由于有限元法采用位移法进行求解，因而必须事先设定位移函数。 “位移函数”也称 “位移模式”，是单元内部位移变化的数学表达式， 设为坐标的函数。 一般而论，位移函数选取会影响计算结果的精度。在弹性力学中， 恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分 得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得较好的精确 度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。
u v x 2 , y 6 , xy 3 5 x y
14
位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于这些点处的位移分量的数值。 假设节点i、j、m的坐标分别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 三角形位移函数得： ui xi yi ui 1 2 xi 3 yi uj xj yj v j 4 5 xi 6 yi 1 2 xi 3 yi ui D1 um xm ym u j 1 2 x j 3 y j 1 1 2 x j 3 y j u j 1 xi yi D x y u v j 4 5 x j 6 y j 1 xj yj 2 m 3 m m 1 1 xm ym um 1 2 xm 3 ym vm 4 5 xm 6 ym
1 xi ui 1 , 3 1 xj uj 2A 1 xm um 1 xi vi 1 , 6 1 xj vj 2A 1 xm vm
令：
ai =
xj xm
yj ym
, bi -
1
yj
1 ym
, ci
1 xj 1 xm
xm aj xi xi am xj
（2）单元分析 1）位移函数和形函数 由于有限元法采用位移法进行求解，因而必须事先设定位移函数。 “位移函数”也称 “位移模式”，是单元内部位移变化的数学表达式， 设为坐标的函数。 一般而论，位移函数选取会影响计算结果的精度。在弹性力学中， 恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分 得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得较好的精确 度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。
u v x 2 , y 6 , xy 3 5 x y
14
位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于这些点处的位移分量的数值。 假设节点i、j、m的坐标分别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 三角形位移函数得： ui xi yi ui 1 2 xi 3 yi uj xj yj v j 4 5 xi 6 yi 1 2 xi 3 yi ui D1 um xm ym u j 1 2 x j 3 y j 1 1 2 x j 3 y j u j 1 xi yi D x y u v j 4 5 x j 6 y j 1 xj yj 2 m 3 m m 1 1 xm ym um 1 2 xm 3 ym vm 4 5 xm 6 ym
1 xi ui 1 , 3 1 xj uj 2A 1 xm um 1 xi vi 1 , 6 1 xj vj 2A 1 xm vm
令：
ai =
xj xm
yj ym
, bi -
1
yj
1 ym
, ci
1 xj 1 xm
xm aj xi xi am xj
有限元分析——平面问题
⑵单元分析与单元刚度矩阵求解 根据三节点三角形单元分析过程，可得各单元的相关参数如下：
1 A1121
x1 x2
y1 y2
1 11
2
0 25
0 0
62m 5 m2
1 x4 y4 1 0 50
1 25 0
同理，A2
1 2
1
25
5 0 6 25mm2
1 0 50
对①单元，有
同理，对于②单元，有
b1=-50，c1=-25 b2=50， c2=0 b3=0， c3=25
N=
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0 0 N3
其中
Ni=
2
1 A
(ɑi +bix
+
ciy)
，i=1、2、3。
⑵单元的应变与应力
单元应变
ε=B qe
式中应变矩阵B为
B= 21Ab01
0 c1
b2 0
0 c2
b3 0
0 c3
c1 b1 c2 b2 c3 b3
节点位移列阵qe
qe=[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T
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一、平面问题的定义
1、平面应力问题
平面应力问题满足以下两个条件。
(1)几何条件 结构是一很薄的等厚度薄板；
(2)载荷条件 作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布，而在
两板面上无外力作用。
Y
结论：板面不受力，则有
σZ Z= + t/2 =0
τYZ Z= + t/2 =0
有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处 受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。
1 A1121
x1 x2
y1 y2
1 11
2
0 25
0 0
62m 5 m2
1 x4 y4 1 0 50
1 25 0
同理，A2
1 2
1
25
5 0 6 25mm2
1 0 50
对①单元，有
同理，对于②单元，有
b1=-50，c1=-25 b2=50， c2=0 b3=0， c3=25
N=
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0 0 N3
其中
Ni=
2
1 A
(ɑi +bix
+
ciy)
，i=1、2、3。
⑵单元的应变与应力
单元应变
ε=B qe
式中应变矩阵B为
B= 21Ab01
0 c1
b2 0
0 c2
b3 0
0 c3
c1 b1 c2 b2 c3 b3
节点位移列阵qe
qe=[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T
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一、平面问题的定义
1、平面应力问题
平面应力问题满足以下两个条件。
(1)几何条件 结构是一很薄的等厚度薄板；
(2)载荷条件 作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布，而在
两板面上无外力作用。
Y
结论：板面不受力，则有
σZ Z= + t/2 =0
τYZ Z= + t/2 =0
有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处 受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。
9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元
v u v 2 ， y 6 ， xy 3 5 都是常量，即线性位移模式反映 x y y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
第五章 有限元法求解平面问题
差分法
即把微分dx，dy，dz变成差分Δ x，Δ y，Δ z， 把微分方程变成代数方程组。如果是一般规则的 曲面，对方程和边界条件的表达都要增加很多困 难，差分法计算模型可给出其基本方程的逐点近 似值（差分网格上的点）。但是对于不规则的几 何形状和不规则的特殊边界条件差分法就难于应 用了。因此这种方法的适用性有限制，特别对有 不同构件组合成的结构，很难使用差分方法。
δ ( δ i δ j δ m ) ，求单元的位移函数
e T
d (u( x, y), v( x, y)) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，为：
d Νδ 。
e
（2）应用几何方程，由单元的位移函数d， e 求出单元的应变，表示为 ε Bδ 。
（3）应用物理方程，由单元的应变 ε ， 求出单元的应力，表示为 ζ Sδ e。 （4）应用虚功方程，由单元的应力 求出单元的结点力，表示为
导、压缩与不可压缩流体动力学分析、流-固耦合分析。 在中国，美国的ADINA R&D公司与亚得科技有限公司 进行全面的合作，由亚得科技有限公司负责在中国的 市场销售、技术培训、技术支持。据网站信息，8.0版
本已问世。
4.MSC.NASTRAN
MSC.NASTRAN是世界上首屈一指的大型通 用有限元软件，其使用者已遍布全球，并成 功地应用于我国的宇航、汽车、电子、承重 设备、自行车部件设计、半导体、消费产品、 运输、机械等工业部门。 1996年美国国家航天航空局（NASA）为了 满足当时航空业对结构分析的迫切需求，主 持开发大型应用有限元程序的招标，美国 MSC公司参与了整个ASTRAN的开发过程。
动力分析
包括质量和阻尼效应。 模态分析，用于计算固有
平面问题的有限元法
ym
1
在节点j、m上，
Ni x j , y j
1 2
ai bi x j ci y j
0
Ni xm
,
ym
1 2
ai
bi xm
ci
ym
0
(a)
(b) (c)
返回
类似地有
N j xi , yi 0 , N j x j , y j 1 , N j xm , ym 0 Nm xi , yi 0 , Nm x j , y j 0 , Nm xm , ym 1
由（3-19）、（3-20）式不难看出，[S]中的诸元素都
是常量，所以每个单元中的应力分量也是常量。
可见，对于常应变单元，由于所选取的位移模式是线
性的，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单
元的公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移却是
连续的。
返回
第三节
形函数的性质
在上节中，提出了形函数的概念，即
x j xm
（i , j , m轮换） (3-9)
v
1 2
ai
bi x ci yvi
aj
bjx cj y
vj
am bm x cm yvm
(f)
若令
Ni
1 2
ai
bi x
ci y
（i , j , m轮换） (3-10)
这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为
返回
u Ni ui N j u j N mum v Nivi N jv j Nmvm
, v j 4 5xi 6 yi
uj 1 2xj 3yj , vj 4 5xj 6yj
um 1 2 xm 3 ym , vm 4 5 xm 6 ym
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将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。 结构的离散化是有限元法分析地第一步，关系到计算精度和效率，包括以下 三个方面：
单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、 节点自由度数等。
单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算 量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应 力变化平缓区域不必要细分网格。
平面问题的有限单元法求解
将连续体变换成为离散化结构。即将连续体划分为有限多个有限大小的单元， 这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散化结构。（对于平面问 题，常用的单元是三角形单元）
用结构力学方法进行求解
2020/6/16
南京农业大学工学院机械工程系
有限元单元法分析步骤（一）
结构离散化
分析单元力学性质 根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元 节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位 移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。
计算等效节点力 作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到 节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。
2020/6/16
载荷
作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力）
载荷
约束
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
2020/6/16
南京农业大学工学院机械工程系
单元 节 点
节点力
平面问题有限单元法基本概念
有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广泛应用而发展起 来的一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。
△F的方向，矢量f在坐标轴x,y,z上的投影fx,fy,fz称为该物体在P点
的体力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
2020/6/16
南京农业大学工学院机械工程系
弹性力学中的几个基本概念
面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和 接触力。
为了表明物体在某一点P所受面力的大小和方 向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含
南京农业大学工学院机械工程系
有限元单元法分析步骤（三）
整体分析
集成整体节点载荷矢量 F 。结构离散化后，单元之间通过节点传递 力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移 到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编 码顺序组集成整体节点载荷矢量。
组成整体刚度矩阵K ，得到总体平衡方程：
P点，而它的面积为△S，作用于其上的面力为 △F，则面力的平均集度为△F/ △S。当△S不 断减小，假定体力为连续分布，则△F/ △S将 趋于一定的极限 f ，即:
lim S 0
F S
＝f
这个极限矢量 f 就是该物体在P点所受面力在集度。 f 的方向就是 △F的方向，矢量 f 在坐标轴x,y,z上的投影 f x , f y , f z 称为该物体
在P点的面力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为
负。
2020/6/16
南京农业大学工学院机械工程系
弹性力学中应力的方向规定
每一个面上的应力可以分解为一个正应力和两个切应力。
正应力用σ表示，加上一个下标字母，表示作用面和作用方向。
切应力用τ表示，并加上两个下标字母，表示作用面和作用方向。前 一个字母表示作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表示作用方 向沿着哪一个坐标轴。
有限单元法的分析步骤如下：
物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
2020/6/16
南京农业大学工学院机械工程系
物体变形及受力情况的描述
基本变量
u
εσ
σ =E ε
（位移） （应变） （应力）
E 弹性模量
基本方程
力的平衡方程 几何方程 物理方程
2020/6/16
南京农业大学工学院机械工程系
弹性力学中的基本假定
连续性——假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质 所填满，不留任何空隙。
完全弹性——假定物体在引起形变的外力被除去之后能恢 复原形，而没有任何剩余形变。
K＝F
引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。
通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是 为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。
2020/6/16
南京农业大学工学院机械工程系
弹性力学中的几个基本概念
作用于物体的外力可以分为体积力和表面力。 体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性
平面问题的有限单元解法
南京农业大学工学院机械工程系
有限元单元法基本思想
有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一 定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从 而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解 的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元 分析，最终得到对整个物体的分析。
即： 三大方面
三大方程
求解方法
经典解析 半解析 传统数值解法 现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）
2020/6/16
南京农业大学工学院机械工程系
有限元单元模型中几个重要概念
单元
网格划分中每一个小的块体
节点
单元
确定单元形状、单元之间相互联结的 点
节点力
单元上节点处的结构内力
节点编码。
注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材 料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。所以，用有限元分析计 算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。
2020/6/16
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有限元单元法分析步骤（二）
单元特性分析
选择未知量模式 选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法； 选节点力作为基本未知量时，称为力法； 取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。
力。 为了表明物体在某一点P所受体力的大小和方
向，在这一点取物体的一小部分，它包含P点，
而它的体积为△V，作用于其上的体力为△F， 则体力的平均集度为△F/ △V。当△V不断减 小，假定体力为连续分布，则△F/ △V将趋于
一定的极限f，即:
lim V 点所受体力在集度。 f的方向就是
单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、 节点自由度数等。
单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算 量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应 力变化平缓区域不必要细分网格。
平面问题的有限单元法求解
将连续体变换成为离散化结构。即将连续体划分为有限多个有限大小的单元， 这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散化结构。（对于平面问 题，常用的单元是三角形单元）
用结构力学方法进行求解
2020/6/16
南京农业大学工学院机械工程系
有限元单元法分析步骤（一）
结构离散化
分析单元力学性质 根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元 节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位 移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。
计算等效节点力 作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到 节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。
2020/6/16
载荷
作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力）
载荷
约束
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
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单元 节 点
节点力
平面问题有限单元法基本概念
有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广泛应用而发展起 来的一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。
△F的方向，矢量f在坐标轴x,y,z上的投影fx,fy,fz称为该物体在P点
的体力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
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弹性力学中的几个基本概念
面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和 接触力。
为了表明物体在某一点P所受面力的大小和方 向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含
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有限元单元法分析步骤（三）
整体分析
集成整体节点载荷矢量 F 。结构离散化后，单元之间通过节点传递 力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移 到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编 码顺序组集成整体节点载荷矢量。
组成整体刚度矩阵K ，得到总体平衡方程：
P点，而它的面积为△S，作用于其上的面力为 △F，则面力的平均集度为△F/ △S。当△S不 断减小，假定体力为连续分布，则△F/ △S将 趋于一定的极限 f ，即:
lim S 0
F S
＝f
这个极限矢量 f 就是该物体在P点所受面力在集度。 f 的方向就是 △F的方向，矢量 f 在坐标轴x,y,z上的投影 f x , f y , f z 称为该物体
在P点的面力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为
负。
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弹性力学中应力的方向规定
每一个面上的应力可以分解为一个正应力和两个切应力。
正应力用σ表示，加上一个下标字母，表示作用面和作用方向。
切应力用τ表示，并加上两个下标字母，表示作用面和作用方向。前 一个字母表示作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表示作用方 向沿着哪一个坐标轴。
有限单元法的分析步骤如下：
物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
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物体变形及受力情况的描述
基本变量
u
εσ
σ =E ε
（位移） （应变） （应力）
E 弹性模量
基本方程
力的平衡方程 几何方程 物理方程
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弹性力学中的基本假定
连续性——假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质 所填满，不留任何空隙。
完全弹性——假定物体在引起形变的外力被除去之后能恢 复原形，而没有任何剩余形变。
K＝F
引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。
通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是 为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。
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弹性力学中的几个基本概念
作用于物体的外力可以分为体积力和表面力。 体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性
平面问题的有限单元解法
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有限元单元法基本思想
有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一 定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从 而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解 的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元 分析，最终得到对整个物体的分析。
即： 三大方面
三大方程
求解方法
经典解析 半解析 传统数值解法 现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）
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有限元单元模型中几个重要概念
单元
网格划分中每一个小的块体
节点
单元
确定单元形状、单元之间相互联结的 点
节点力
单元上节点处的结构内力
节点编码。
注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材 料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。所以，用有限元分析计 算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。
2020/6/16
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有限元单元法分析步骤（二）
单元特性分析
选择未知量模式 选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法； 选节点力作为基本未知量时，称为力法； 取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。
力。 为了表明物体在某一点P所受体力的大小和方
向，在这一点取物体的一小部分，它包含P点，
而它的体积为△V，作用于其上的体力为△F， 则体力的平均集度为△F/ △V。当△V不断减 小，假定体力为连续分布，则△F/ △V将趋于
一定的极限f，即:
lim V 点所受体力在集度。 f的方向就是