平面类问题有限元分析

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Ansys机械工程应用精华60例第8例平面问题的求解实例—厚壁圆筒问题

8.3.4
创建实体模型
拾取菜单 Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Areas → Circle → By Dimensions。弹出如图 8-8 所示的对话框，在“RAD1” 、 “RAD2” 、 “THETA2”文本框中分别输入 0.1、0.05 和 90，单击“OK”按钮。 77
第8例
平面问题的求解实例——厚壁圆筒问题
“Item, Comp”两个列表中分别选“Stress” 、 “Y-direction SY” ，单击“OK”按钮。注意：该路径上各节点 X、Y 方向上的应力即径向应力r 和切向应力t。
图 8-15
映射数据对话框
8.3.12
作路径图
拾取菜单 Main Menu→General Postproc→Path Operations→Plot Path Item→On Graph。弹出如图 8-16 所示的对话框，在列表中选“SR” 、 “ST” ，单击“OK”按钮。
8.3.6
施加约束
拾取菜单 Main Menu→Solution→Define Loads→Apply→Structural→Displacement→On Lines。弹出拾取窗口，拾取面的水平直线边，单击“OK”按钮，弹出如图 8-11 所示的对话框，在列表中选择“ UY ” ，单击“ Apply”按钮，再次弹出拾取窗口，拾取面的垂直直线边，单击“OK”按钮，在图 8-11 所示对话框的列表中选择“UX” ，单击“OK”按钮。
76
第8例
平面问题的求解实例——厚壁圆筒问题
图 8-3 单元类型对话框
图 8-4
单元类型库对话框
图 8-5

[工学]第4章平面问题的有限元法-3刚度矩阵

* 1 1 * 2 * 3 3
* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16）式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等，即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5

弹性力学平面问题的有限元法实例

分析与决策
(1)何种类型？
平面问题中的结构问题，且为静力问题；
平面问题中具有对称性，为减少[K]，简化模型取
1/4；
简化后加约束，（1）在ox面上，位移u是对称的，
位移v是反对称的；在oy面上，位移u是反对称的，位移v是对称的；（2）在ox面上，载荷对称，在oy 面上，载荷对称；
(1)何种类型？

4.5剖分面（续）
以垂线剖分面。依次单击preprocessor-modelingoperate-booleans-divide-area by line，弹出对话框，选择对话框中的box单选，用窗口选择两个面元素，后单击apply,在窗口中选L6-ok,完成面元素剖分。单击plotctrls菜单中的numbering命令，关闭line numbers –ok; 单击plot菜单中的area命令，用面元素显示模型，剖分的模型如图所示，由2个面变为4个面，面元素的编号同时发生变化。
Preprocessor-material
props-material models-弹出define material model behavior 对话框-列表框material models available中，依次单击structural-linear-elastic-isotropic，添加弹性模量2.1e+11，泊松比0.3-ok;

操作过程
一、建立新文件
二、类型的选择 Structural-ok；
二、前处理
1、添加单元类型选择：Quad 4node 42(单元库编号)；具有厚度：选择 option-plane str w/thk(平面应力有厚度)；
2、设置实常数（Real constants）

有限元分析——平面问题

Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析整体刚度矩阵整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵；将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单元的扩大刚度矩阵；将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1

有限元分析第四章

19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元，分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )

平面单元有限元法

1 x y x x y 1 E 1 2 1 y x y y x y E 1 E
1 2 x E
xy
2(1 ) xy E
23
位移模式的收敛性分析
（2）位移模式必须包含单元的刚体位移
单元位移一般包括两部分
• 本单元变形引起的位移 • 其他单元变形引起的位移-----刚体位移刚体位移：指应变分量εx, εy 和γxy=0时的位移
3 3 u 1 2 x 3 y 1 2 x 5 y 5 y 2 2 3 3 v 4 5 x 6 y 4 6 y 5 x 5 x 2 2
换成 1 即可。

E 1 2
返回章节目录，
1 E (1 u ) D (1 )(1 2 ) 1 0

1 1 0
0 1 2 2(1 ) 0
12
第四章平面结构问题的有限单元法
其中，是三角形单元的面积，当三角形单元结点i、j、m按逆时针次序排列时，则有 1 1 1 ( xi y j x j y m x m y i ) ( x j y i x m y j xi y m ) 2 2 2
19
第四章平面结构问题的有限单元法
x j ym x m y xm y m 1 yj bi y j ym 1 ym 1 xj ci xm x j 1 xm ai xj yj
22
位移模式的收敛性分析
（1）位移模式必须包含单元的常应变状态

平面问题的有限元分析

4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义
Ai Apjm Aj Apmi Ak Apij
恒等关系：
A Ai Aj Am Aijm
P点位置可由3个比值来确定：
p(Li , Lj , Lm )
其中面积坐标：
Li Ai / A Lj Aj / A Lm Am / A
4)：单元推导。对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中
包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或柔度阵)。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约
束。 5)总装集成。将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似
0
Nm
Ni
I22
单元内任意一点的位移可由节点位移表示为：
N j I22
d
u
v
Nδe
e ui vi u j v j um
Nm I22
T
vm
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
2）单元应变和单元应力
d
u
v
Nδe
代入
ε
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
其中
K rs
BrT DBshA
Eh
4(1 2 ) A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
4.1 三角形常应变单元

第5章平面问题和轴对称问题有限元法

ANSYS提供了轴对称模型和计算结果旋转扩展功能，使用户仅仅计算截面结果就可以获得部分或全部模型及其结果显示。
Utility Menu>Plotctrls>Style>Symmetry Expansion>2D Axis-Symmetric Expansion
5.3 具有对称性结构的分析
几何建模
1. 生成矩形：Main Menu>Preprocessor>Modeling> Create >Areas>Rectangle>By 2 Corners，输入：X=0，Y=0，Width=0.04，Heighth=0.075，单击Apply按钮。再输入：X=0，Y=0.015，Width=0.025，Heighth=0.012，单击OK按钮。
第5章平面问题和轴对称问题的有限元法
5.1 平面问题基本知识 5.2 轴对称问题基本知识 5.3 具有对称性结构的分析 5.4 练习题
5.1 平面问题基本知识
• 一、平面应变问题
1. 特点： 1) z向尺寸远大于x，y向尺寸，且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同。 2) 受有平行于横截面（x、y平面）且不沿z向变化的外载荷（包括体力x、y，但z=0），约束条件沿z向也不变。即，所有内在因素和外来作用都不沿长度变化。 y
P
x
受内压的圆柱管道
长水平巷道等
5.1 平面问题基本知识
• 一、平面应变问题 • 在ANSYS中，总是将几何尺寸很大的方向制定为
总体坐标系的Z方向，模型需要在总体坐标系的 XOY平面内建立模型，这时Z方向的应变为0，但存在应力；
• 常用结构单元类型有：plane42、 plane82、 plane182、 plane183等，设置单元KEYOPT(3) 为Plane strain.

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【问题描述】如图I所示的长方形板，板厚b=0.04m，孔半径r=0.2m。

材料弹性模量E=210GPa，泊松比μ=0.3，约束条件为长方形底边AB约束全部自由度，CD边施加垂直向下的均布载荷g=100000N/m。

图I 平板结构示意图
【要求】在ANSYS Workbench软件平台上，建立该零件的几何模型，进行网格划分、施加边界条件以及静力有限元分析，最终得到长方形版位移云图以及应力云图。

1.分析系统选择
（1）运行ANSYS Workbench，进入工作界面，首先设置模型单位。

在菜单栏中找到Units下拉菜单，依次选择Units>Metric（kg,m,s,℃，A，N,V）命令。

（2）在左侧工具箱【Toolbox】下方“分析系统”【Analysis Systems】中双击“静力结构分析”【Static Structural】系统，此时在右侧的“项目流程”【Project Schematic】中会出现该分析系统共7个单元格。