有限元-梁系结构的有限元法

4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
拉压杆问题的回顾
1、杆的基本概念：
杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受 拉（压）载荷； 杆模型--平面假设将杆简化为一维问题， 可由杆轴线代表； 杆变形特点--只与轴向位移相关；
拉压杆问题的回顾
2、杆有限元的基本概念
节点位移—轴向位移，每节点1个自由度； 节点力—轴力； 结构离散：轴线划分为若干直线段； 单元分析：建立节点力与节点位移关系； 节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与 外力的平衡关系，得到一线性方程组； 约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解
梁系结构实例
2、平面梁系
1、节点力平衡的需求--单元节点力（在 局部坐标系中）向整体坐标系的变换； 2、单元分析的需求--节点位移（在整体 坐标系中）向局部坐标系的变换； 3、结构对称性的利用（练习，作业3）。
l2 2EI
l
0
Vi
i
u
j
（3-4）
6EI l2
4EI
V
j j
l
（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系
式（3-4）还可写成：
F
e
K e
e
（3-5）
e
F
——称为局部坐标下的节点力列向量
e ——称为局部坐标下的节点位移列向量
e
K
——称为梁单元的单元刚度矩阵
(3 -1a) (3 -1b)
确定待定系数：
u( x) v(x)
1 3
2x 4x
5
x2
6
x3
x 0： u(x) ui v(x) vi (x) i
x l： u(x) u j v(x) v j
(x) j
1 ui
i (M i ) vi (Fyi )
u i (Fxi )
3 vi
梁单元的基本概念
➢ 节点位移--平面梁：挠度和弯角，2自由度； 广义平面梁：增加1个轴向位移（拉压），3 自由度；空间梁：两向挠度和两向转角，4 自由度；广义空间梁（略）；
➢ 节点力—按做功方式与节点位移一一对应， 如：挠度对应剪力，弯角对应弯矩，等等。
梁结构有限元法的基本步骤
❖ 结构离散--梁结构离散为若干个单元，之间以节 点相连，节点为相邻单元共有（连续性）；
第三章 梁系结构的有限元法
梁的基本概念
➢ 梁--承受弯曲变形的杆形构件； ➢ 梁模型--平面假设将梁简化成一维问题，可由
截面上两中性轴交点的连线（梁轴线）代表； ➢ 梁的变形特点—既与挠度关联，也与弯角关联；
（分别展示四种基本情况）； ➢ 挠度与弯角的关联性：弯角为挠度沿轴线方向
的一阶导数（斜率，小变形）。
i
(e)
4 i
l
ui 2l u j
2
1 l (u j
ui )
vi il l 25 l 36 v j
i 2l5 3l 26 j
5
j
2i
l
3 v j vi l2
6
j i
l2
2 v j vi l3
j(M j )
X
v j (Fyj )
j u j(Fxj )
把 1 6 待定系数代入位移插值函数，有：
l
0
Fyi
M i Fxj
0 EA
Fyj
M j
l
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI
l3 6EI
l2
0
6EI
u
i
2、单元刚度矩阵的性质
（1）单刚主元素km(em) >0
（2）单刚对称 （3）单刚为奇异矩阵，其逆不存在
Ke 为奇异矩阵的物理解释
位移约束引入的必要性
梁系结构实例
1、直梁
（一）概要
1、单元划分； 2、约束条件（固支、简支）； 3、载荷处理（集中力、分布力）。
（二）算例
一端固支一端简支梁，简支端受已知弯矩 作用（一个单元） 。
u
v
ui
1 (u l
(1
3x 2 l2
j
u
2x l3
i )x (1
3
)vi
x2 l2
x l )ui
x l
u
j
(3
2
x l )v j
x(1
2x l
x2 l2
) i
x2 l
(x l
1)
j
(3 2a) (3 2b)
dv dx
6x l2
(x l
1)vi
6x l2
(1
x l )v j
(1
Fyi Fyj
12 EI l3 Vi
12 l
EI
3
Vi
6EI l2
i
6EI l2
i
12 EI l3 Vj
12 l
EI
3
V
j
6EI l2
6EI l2
j
j
(3 - 3e) (3 - 3f)
三、梁单元的单元刚度矩阵
1、单元刚度矩阵
用矩阵形式把式 （3-3a）-（3-3f）写在一起有：
EA
Fxi
❖ 单元分析--建立单元节点力与节点位移的关系； 包括：单元位移插值、应变与应力分析，节点 力合成；
❖ 节点平衡--对于每一节点，建立所有相关的节点 力与外力的平衡关系；得到一线性方程组；
❖ 约束处理—引入已知节点位移（约束条件）， 使上述方程组成为可解方程组；
❖ 求解节点位移，进一步可计算单元应变和应力 以及约束节点力。
因为：
du dx
1 l
ui
1u l
j
所以：Fx
EA
EA l
ui
uj
在局部坐标中：
Fx
i
EA l
ui
uj
Fx
j
EA l
uj
ui
(3 - 3a) (3 - 3b)
2、弯矩节点力
由梁截面正应力合成 （简明推导）可得 ：
对节点i(X=0)有：
M d 2v EI dx2
v 3 4x 5x2 6x3
EI
2
2i j
l
3
V
j
l2
Vi
6l
i
j
l2
2
V
j
l3
Vi
M
j
6EI l2
Vi
2
E l
I
i
6E l2IV来自j4EI lj
3、剪切节点力
由梁微元的平衡关系（简明推导）有： F dM dx
在节点i和j分别有： x 0, F x l, F
M
EI
d 2v dx2
F
EI
d 3v dx2
6EI6
梁单元分析
一、平面梁单元的位移函数
1.梁单元的局部坐标系
i (M i ) vi (Fyi )
ui (Fxi )
i
X
j(M j ) vj(Fyj )
(e)
j u j(Fxj )
l
设单元的位移函数为：
vu((xx))3142xx 5x2 6x3
有：
(x)
dv(x) dx
4
2 5 x
36
x2
其中 1 6 为待定系数
d 2v dx2
2 5
66 x
x0
5
2i
j
l
3V j Vi l2
6
i j
l2
2
V
j
l3
Vi
Mi
EI
d 2v dx2
2EI5
2EI
2i
j
l
3
V
j
l2
Vi
Mi
6EI l 2 Vi
4EI l
i
6EI l2 Vj
2EI l
j
对节点j(X=L)有：
Mj
EI
d 2V dx2
EI 25 66l