第4章 杆梁结构的有限元分析原理.
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杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
第4章__梁理论与实例分解
Euler-Bernoulli梁理论没有考虑横向剪切变形的影响，而对于短而 粗的梁，这个影响显然不应被忽略。
2018/10/24
24-18
Timoshenko梁理论正是针对这一问题而提出的。该理论仍然保留 了前面的基本假定，即平截面假定，但认为梁变形后由于横向剪 力所产生的剪切变形引起梁的附加挠度，使原来垂直于中面的截 面变形后不再与其垂直。值得一提的是，这种假定的存在实际上 暗含了剪应力和剪应变在截面上均匀分布的假定，这与截面实际 的剪应力及剪应变分布显然并不相符，因此通常的做法是引入不 均匀程度校正因子加以修正。
在 ANSYS 中的6种梁单元 ( Beam3/ 4、beam23、beam54/44、beam24) 都可用定义实常数的方法按第一种方案考虑剪切变形的影响，而 直接应用方案二开发的则是beam188/ 189单元。
2018/10/24
24-20
4.2 ANSYS梁单元
ANSYS提供了多种梁单元库以适应不同的需要，它们的特点和适 用范围各不相同。了解这些单元之间的异同，有助于正确选择单 元类型和得到较为理想的计算结果。其中beam44为4-D 渐变非对 称截面梁，beam188和beam189为4-D有限应变梁，ANSYS的梁单 元在非线性分析方面具有先进性独特优势。
2018/10/24 24-23
4.3 位移函数推导梁单元的有限元格式
梁的有限元单元可以用直接刚度法和虚功原理两种。而杆的分析 主要采用直接刚度法，梁的分析主要采用虚功原理进行分析。下 面是对虚功原理的有限元分析的一般过程进行介绍。
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Euler-Bernoulli梁理论即经典梁理论(也称工程梁理论)，建立在如 下假定的基础上:
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Timoshenko梁理论正是针对这一问题而提出的。该理论仍然保留 了前面的基本假定，即平截面假定，但认为梁变形后由于横向剪 力所产生的剪切变形引起梁的附加挠度，使原来垂直于中面的截 面变形后不再与其垂直。值得一提的是，这种假定的存在实际上 暗含了剪应力和剪应变在截面上均匀分布的假定，这与截面实际 的剪应力及剪应变分布显然并不相符，因此通常的做法是引入不 均匀程度校正因子加以修正。
在 ANSYS 中的6种梁单元 ( Beam3/ 4、beam23、beam54/44、beam24) 都可用定义实常数的方法按第一种方案考虑剪切变形的影响，而 直接应用方案二开发的则是beam188/ 189单元。
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24-20
4.2 ANSYS梁单元
ANSYS提供了多种梁单元库以适应不同的需要，它们的特点和适 用范围各不相同。了解这些单元之间的异同，有助于正确选择单 元类型和得到较为理想的计算结果。其中beam44为4-D 渐变非对 称截面梁，beam188和beam189为4-D有限应变梁，ANSYS的梁单 元在非线性分析方面具有先进性独特优势。
2018/10/24 24-23
4.3 位移函数推导梁单元的有限元格式
梁的有限元单元可以用直接刚度法和虚功原理两种。而杆的分析 主要采用直接刚度法，梁的分析主要采用虚功原理进行分析。下 面是对虚功原理的有限元分析的一般过程进行介绍。
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Euler-Bernoulli梁理论即经典梁理论(也称工程梁理论)，建立在如 下假定的基础上:
杆梁结构的有限元分析原理[详细]
![杆梁结构的有限元分析原理[详细]](https://img.taocdn.com/s3/m/a4e2b56776eeaeaad1f330d6.png)
le
EAe
le
EAe
u1 u2
P1
le
P2
u1 u2
1 qeTK eqe PeTqe 2
刚度矩阵
节点力列阵
3）离散单元的装配
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以
求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
第4章 杆系结构的有限元分析原理
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统. 从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件成为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 承受轴力或扭矩的杆件称为杆 将承受横向力和弯矩的杆件称为梁 变截面杆和弯曲杆件
单元节点条件：u(0)=u1， u(l)=u2
从而得
a0 ui ,
a1
uj
le
ui
i
1,
j
2
回代得
u(x) a0 a1x
ui
u j ui le
x
1
x le
ui
x le
u
j
Niui N ju j
其中Ni，Nj是形函数。
写成矩阵形式为
q Niu Nqe
N
ju
ui u j
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
EA2
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
培训教程(有限元仿真分析 )(4)
五 载荷与边界条件
惯性载荷
1．加速度：Acceleration
2．重力加速度：Standard earth Gravity
♣施加在整个喂型上，单位是长度比上时间的平方。 ♣加速度可以定义为分量或矢量的形式。 ♣物体运动方向为加速度的反方向。
3．角加速度：Rotational Velocity
♣根据所选的单位制系统确定它的值。 ♣重力加速度的方向定义为整体坐标系或局部坐标系的其中一个坐标轴方向。 ♣物体运动方向与重力加速度的方向相同。 ♣整个模型以给定的速率绕轴转动。 ♣以分量或矢量的形式定义。 ♣输入单位可以是弧度每秒(默认选项)，也可是度每秒。
与面正交的方向施加在面上，指向面内为正，反之为 负。单位是单位面积的力。
2．静水压力：Hydrostatic Pressure
在面(实体或壳体)上施加一个线性变化的力，模拟结构 上的流体载荷。流体可能处于结构内部或外部，另外还需 指定：加速度的大小和方向、流体密度、代表流体自由面 的坐标系。壳体则需要指定顶面/底面。
四 连接关系
接触类型
对于理想无限大的Knormal , 零穿透. 但对于罚函数法， 这在数值计算中是不可能，但是只要Xpenetration 足够 小或可忽略，求解的结果就是精确的。
四 连接关系
接触类型
Pure Penalty 和Augmented Lagrange 公式使用积分点探测，Normal Lagrange 和MPC 公式 使用节点探测(目标法向)。节点探测在处理边接触时会稍好一些，但是，通过局部网格细化， 积分点探测也会达到同样的效果。
四 连接关系
信息检查
四 连接关系
连接矩阵图
信息检查
颜色标签
五 载荷与边界条件
梁的有限元分析原理
y
j
·
x
i·
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
z
27
福州大学研究生课程－有限元程序设计
平面桁架杆单元（2D LINK1）
空间杆单元（3D
LINK8）
平面刚架，BEAM3 空间梁单元(BEAM4)
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
28
福州大学研究生课程－有限元程序设计
举例说明
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
18
福州大学研究生课程－有限元程序设计
这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确 积分所需要阶数的积分方案称之为减缩积分。 实际计算表明：采用缩减积分往往可以取得较 完全积分更好的精度。这是由于： 精确积分常常是由插值函数中非完全项的 最高方次要求，而决定有限元精度的是完全多 项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不 能提高精度，反而可能带来不好的影响。取较 低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多 项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多 项式的要求，其实质是相当用一种新的插值函 数替代原来的插值函数，从而一定情况下改善 19 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 了单元的精度。
福州大学研究生课程－有限元程序设计
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
1
福州大学研究生课程－有限元程序设计
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
j
·
x
i·
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
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27
福州大学研究生课程－有限元程序设计
平面桁架杆单元（2D LINK1）
空间杆单元（3D
LINK8）
平面刚架，BEAM3 空间梁单元(BEAM4)
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
28
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举例说明
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
18
福州大学研究生课程－有限元程序设计
这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确 积分所需要阶数的积分方案称之为减缩积分。 实际计算表明：采用缩减积分往往可以取得较 完全积分更好的精度。这是由于： 精确积分常常是由插值函数中非完全项的 最高方次要求，而决定有限元精度的是完全多 项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不 能提高精度，反而可能带来不好的影响。取较 低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多 项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多 项式的要求，其实质是相当用一种新的插值函 数替代原来的插值函数，从而一定情况下改善 19 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 了单元的精度。
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有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
1
福州大学研究生课程－有限元程序设计
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
局部坐标系中的单元述
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆梁结构的有限元分析原理
杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构是工程中常用的一种结构形式，它由多个杆件或梁组成，用于承担载荷和传递力量。
有限元分析是一种通过将结构离散为许多小单元，利用数学方法对结构进行分析的技术。
下面将详细介绍杆梁结构的有限元分析原理。
一、杆件离散化在有限元分析中，首先需要将杆梁结构离散化为一组子结构，即离散化为一组离散的杆件。
离散后的每个杆件可以看作是一个子系统，每个子系统由两个节点组成，节点之间以杆件连接。
通过节点与杆件的连接方式，能够模拟出整个杆梁结构的受力特点。
离散化的过程中，需要确定杆件的几何形状、截面以及材料特性等参数，并根据实际情况设置合适的杆件单元数目。
通常，单元数目越多，离散程度越高，结果越接近真实情况，但计算成本也会增加。
二、有限元法的基本原理有限元方法的基本原理是将结构分成许多小的单元，每个单元内的行为可以用简单的数学函数来表示。
对于杆梁结构，常用的单元有梁单元和杆单元。
梁单元适用于承受弯曲强度较大的杆件，而杆单元适用于承受轴向载荷的杆件。
通过将结构分成小单元后，可以建立一个与原结构相似的离散模型，并在每个单元上建立相应的方程。
三、应力应变关系在进行有限元分析时，需要获得每个杆件的应变和应力。
应变与杆件的变形有关，而应力与应变之间的关系则与材料的本构关系有关。
对于线弹性材料，应力与应变之间可以通过胡克定律来描述。
胡克定律表明，应力与应变之间成线性关系，材料的弹性模量E、泊松比ν以及应变关系能够决定应力。
应根据结构中不同材料的应变特性来选择相应的材料模型。
四、施加边界条件在进行有限元分析前，需要施加适当的边界条件。
边界条件用于模拟实际情况中的约束和限制。
常见的边界条件有固定边界、弹性边界和施工阶段边界。
五、求解位移和应力当离散化杆梁结构、建立了位移和应变关系、施加了边界条件之后，可以通过数值求解方法，例如有限元法中的坐标变形法，计算得到结构的位移和应力。
坐标变形法能够基于得到的位移结果，进一步计算应力。
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l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
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u3
l2 EA2
l2
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0
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F3
u2 u3
EA1
l1
1 2
u1
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0
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EA1 l1
EA2 l2
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0
EA2 l2
EA2
u1 u2 u3
R1
0
u1
F3
u2
u3
l2
4）边界条件的处理
处理边界条件是获取可能位移场，将左端的约束条件，即u1=0代入 上式可以得到简化的势能表达式
本章主要内容
4.1有限元分析的完整过程 4.2有限元分析的基本步骤及表达式 4.3杆单元及其坐标变换 4.4梁单元及其坐标变换
4.1有限元分析的完整过程
E1=E2=2E7Pa A1=A2=2cm2 l1=l2=10cm
P3为10N作用下二杆结构的变形。
问题的解题思路： 1）用标准化的分段小单元来逼近原结构 2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 3）基于位移场的最小势能原理来求解
节点位移列阵
应力矩阵或者是应力转换矩阵
势能的表达
e U e W e
1 2
e ij ij d
P1u1 P2u2
1 2
le 0
Bq e
T
Sqe
Aedx
P1u1
P2u2
1 2
le qeT BT EBqe Aedx
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
1 2
u2
u3
EA1 l1
EA2 l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
0
l 2
F3
u2 u3
P1
P2
u1 u2
1 2
u1
EAe
u2
le EAe
le
EAe
le
EAe
u1 u2
P1
le
P2
u1 u2
1 qeTK eqe PeTqe 2
刚度矩阵
节点力列阵
3）离散单元的装配
第4章 杆系结构的有限元分析原理
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统. 从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件成为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 变截面杆和弯曲杆件
q Niu Nqe
N
ju
ui u j
形函数矩阵
根据几何方程可得应变的表达
x
du dx
a1
1 le
u j ui
写成矩阵形式为
Niu
简记为
N ju
ui u j
1 le
1
1
ui u j
单元节点条件：u(0)=u1， u(l)=u2
从而得
a0 ui ,
a1
uj
le
ui
i
1,
j
2
回代得
u(x) a0 a1x
ui
u j ui le
x
1
x le
ui
x le
u
j
Niui N ju j
其中Ni，Nj是形函数。
写成矩阵形式为
0
P1u1 P2u2
1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
写成矩阵形式为
e 1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
1 2
u1
u2
1 le
1
1 Βιβλιοθήκη EAel e1 le
1
1
u1 u2
Bqe
几何函数矩阵或者是应变转换矩阵
根据物理方程可得应力的表达
x
E
du dx
E le
u j ui
写成矩阵形式为
E Niu
简记为
N
ju
ui u j
E le
1
1
ui u j
Sqe
0
F3
l2
6）求解节点位移 将结构参数和外载荷代入上式有
3EA2
l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
0
F3
l2
2E4
3 1
1
1
u2 u3
0 10
5）建立刚度方程 由于上式是基于许可位移场的表达的系统势能，这是由全部节点位
移分段所插值出的位移场为全场许位移场，且基本未知量为节点位 移，根据最小势能原理（即针对未知位移求一阶导数）有
EA1 l1
EA2 l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以
求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
基本变量为：
节点 位移
(1)
内部各 点位移
(2)
应变
(3)
应力
完整的求解过程
1）离散化 该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。
假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散单元给出 节点编号和单元编号。
单元1：i=1，j=2 单元2：i=2，j=3
2）单元分析
单元位移模式：u(x)=a0+a1x
求解得（单位m）
u2 u3
2.5E 7.5E
4 4
7）计算单元应变
1 Niu
N
ju
ui u j
1
1 l1
1
1
uu12
2.5E 3