第二章__杆系结构的有限元法分析详解
3杆系结构的有限元法
3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。
其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。
本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。
有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。
它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。
有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。
杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。
在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。
杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。
线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。
线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。
非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。
这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。
非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。
杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。
力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。
位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。
杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。
杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
2杆系结构的有限元
2杆系结构的有限元有限元法是一种常用的数值计算方法，用于求解连续介质力学问题。
它将连续结构简化为有限个节点和单元，通过在这些节点上建立适当的位移函数，进而得到结构的应力、应变和位移分布。
有限元法的应用非常广泛，特别是在结构力学领域。
本文将重点介绍2杆系结构的有限元方法。
2杆系结构是指由两个杆件组成的简单结构，它们一端固定，另一端可以自由位移。
2杆系结构的分析问题可以用一维线弹性力学理论来描述。
首先，我们需要对2杆系结构进行离散化，将其简化为有限个节点和单元。
节点是结构的关键点，单元是相邻节点之间的连接。
我们可以选择线性单元，即每个单元内部的位移是线性分布的，也可以选择非线性单元，进行更为精确的计算。
然后，在每个节点上引入适当的位移函数，用来描述结构的变形情况。
接下来，我们需要确定2杆系结构的刚度矩阵和荷载向量。
刚度矩阵描述了杆件的刚度关系，荷载向量描述了外部施加的荷载。
通过求解结构的平衡方程，我们可以得到结构的位移。
这个过程可以通过线性代数方法来实现，也可以使用迭代方法求解非线性方程组。
最后，我们可以通过计算得到的位移来计算结构的应力和应变分布。
这些信息可以用来评估结构的稳定性和耐久性。
此外，我们还可以通过有限元法来模拟结构在不同工况下的响应，进一步优化设计。
总结来说，2杆系结构的有限元方法是一种有效的工具，用于分析和设计各种类型的结构。
它可以提供结构的应力、应变和位移分布，帮助工程师评估结构的性能和安全性。
这种方法的应用范围非常广泛，可以用于建筑、桥梁、机械等领域。
在实际工程中，我们可以使用专业的有限元软件，例如ANSYS、ABAQUS等，来进行2杆系结构的有限元分析。
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
有限元(第二章-杆单元部分)tg
−
1 2 1 2 1 2 1 − 2
−
1 2 1 2 1 2 1 − 2
1 2 1 − 2 1 − 2 1 2
按节点号叠加得6×6阶总刚度矩阵
−1 1 0 0 1 0 1 − 1 0 1 + 2 2 [K ] = 0 0 − 1 2 2 0 0 − 1 2 2 1 0 −1 2 2 0 0 1 − 2 2 1 2 2 1 2 2 1 − 2 2 0 0 0 −1 1 1 − 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 − 2 2 2 2 1 1 − 1+ 2 2 2 2
2-10 刚度矩阵元素的带状分布
【例】对图（a）中结构分别采用图（b）、图 （c）两种编号方式以观察其刚度矩阵的带宽。
对于图(b)、(c) 编号方式的结构，总刚度矩阵 的非零元素分布分别如下图(a)、(b) 所示。
[K ]
e
λ2 AE λµ = L − λ2 − λµ
λµ µ2 − λµ − µ2
Fx1 1 Fy1 AE 0 = L − 1 F x2 Fy 2 0
即：
0 − 1 0 u1 0 0 0 v1 0 1 0 u 2 0 0 0 v 2
{F }= [K e ]{δ }
求各杆单元的λ和μ的值。Φ角是按 逆时针从x轴正向转到单元ij方向的
三杆受力桁架
单元⑴ 单元⑵ 单元⑶
ϕ = 0 o , λ = 1, µ = 0 ϕ = 90 o , λ = 0 , µ = 1 ϕ = 135 o , λ = −
1 1 ,µ = 2 2
单元刚度矩阵分别为
第二章 有限元分析基本理论
第二章 有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。
这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。
根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。
如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。
如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。
如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。
将结构离散为三个节点，两个单元。
结构中的节点编号为1、2、32.1.1单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。
单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。
从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。
将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、ej θ，顺时针转动为正。
独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。
记：{}e j i eu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θθ为单元e 的节点位移向量；{}ej i em m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=为单元e 的杆端力向量。
根据结构力学位移法可得如下平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫+=+=e j e e i e e j ej e e i e e i k k m k k m θθθθ22211211 (2-1)式中：ee e e ee i k k i k k 2412212211====，lEIi e =，EI 、l 分别为单元e 的抗弯刚度和长度。
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第六步：进行单元分析
形成单元刚度矩阵。通常运用虚位移原理或最 小势能原理来进行单元分析建立单元刚度矩 阵 k ⓔ 和等效结点荷载矩 FEⓔ 。
第七步：进行整体分析，形成整体刚度矩阵
我们进行单元分析的最终目的是要对结构进行整体分析， 因此必须由单元特性矩阵构成整体特性矩阵。注意的是， 如果局部坐标系与整体坐标系不一致，则需进行坐标变换， 将局部坐标系下的单元特性转换为整体坐标系下的单元特 性。
(8 9 10) 5
6 4
3 (2 3 4) 3
1
6 (11 12 13) 5
4 (5 6 7)
2
(13 14 15) 5
6 4
3 (7 8 9) 3
1
1 (0 0 0)
2 (0 0 1)
1 (1 2 3)
前处理法
后处理法
结点位移进行编码
6 (16 17 18) 5
4 (10 11 12)
2
2 (4 5 6)
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结
构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆 件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。但由于 在实际工程结构中，同一构件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便 起见，本书都称之为杆单元。并且，本书所讨论的杆单元均是指等截面直杆单元， 对于变截面杆和弯曲杆件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面杆单 元。因此本书的分析方法仍然对其适应。
有限元单元法 Finite Element Analysis
第2章 杆系结构的有限元法分析
2.1 概 述
有限单元法的基本思想是从整体到局部，再回到整体，即对我们分析的整
体对象，根据其结构特点，对其进行离散化，得到有限个独立的单元，然后对每个 单元进行单元分析，最后根据单元分析的结果对结构物进行整体分析，求得结构物 的某些参数。
1
2 (0 0 1)
1 (1 2 3)
6 (16 17 18) 5
4 (10 11 12)
2
2 (4 5 6)
整体坐标系和各单元的局部坐标系
第四步：对已知参数进行准备和整理
对于各单元，需要准备的数据包括：
单元截面积: A 单元长度: l
单元弹性模量: E 单元剪切模量: G 单元惯性矩: I
等。
第五步：对结点位移进行编码
则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为： Fdⓔ FEⓔ k ⓔδ ⓔ
k 这里 ⓔ 为局部坐标系下的单元刚度矩阵， FEⓔ 为局部坐标系下等效结点荷载矩阵。
根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为：
k
ⓔ
EA l
1 1
1
1
2.2.2 扭转杆单元
i Mi i y
m (x)
扭转杆单元示意图
Mj j x
第八步：引入边界条件
边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性，否则，我们 的问题就是不适定的。
第九步，求解方程组，计算结构的整体结点位移 列阵 ，并进一步计算各单元的应力分量及主应力、 主向。
第十步，求单元内力，对计算成果进行整理、分 析，用表格、图线示出所需的位移及应力。
2.2 局部坐标系中杆单元分析
单元划分示意图
6 (16 17 18) 5
4 (10 11 12)
2
2 (4 5 6)
第三步：建立整体坐标系和各单元的局部坐标系
(8 9 10) 5
6 4 3 (2 3 4) 3
1
1 (0 0 0)
6 (11 12 13) 5
4 (5 6 7)
2
(13 14 15) 5
6 4
3 (7 8 9) 3
0
W变
l
Adx
0
l
ⓔT
BT
EAB
δ ⓔdx
0
将上式整理得：
Fdⓔ
l q(x)N T dx
0
T
δⓔ δⓔT
l BT EABdx δⓔ
0
式中： Fdⓔ Fi
T
Fj 为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设：
FEⓔ
l q(x)N T dx
0
等效结点荷载
k ⓔ l BT EABdx 0
N
j
ui u j
Nδ
ⓔ
其中
Ni
1
x l
，
N
j
x l
称为形函数；
N Ni Nj 为形函数矩阵；
δⓔ ui uj T 为局部坐标系下的结点位移矩阵。
② 进行应力、应变分析
根据应变的定义，有：
du dx
dN dx
δⓔ
1 l
1 l
δⓔ
Bi
Bj δ ⓔ Bδ ⓔ
由虎克定律，其应力为：
E EBδⓔ
弯曲杆件系统
以直代曲
截面连续变化的杆件系统
若干微小的等截面杆单元
第二步：对各结点和单元进行编码
(8 9 10) 5
6 4 3 (2 3 4) 3
1
1 (0 0 0)
6 (11 12 13) 5
4 (5 6 7)
2
(13 14 15) 5
6 4
3 (7 8 9) 3
1
2 (0 0 1)
1 (1 2 3)
j
l 设扭转杆单元的长度为 ，截面惯性矩为 I ，剪切模量为 G ，杆端扭矩分别为 Mi 、
Mj ，杆端扭转角分别为 i 、 j ，单元上的分布荷载集度为 m(x) ，则任意截面的
扭转角为：
(1
x l
)i
x l
j
Nδ ⓔ
式中： ⓔ i j T 为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。由材料力学
③ 求单元刚度矩阵
利用虚位移原理求单元刚度矩阵：
假设杆端 i 、 j 分别产生虚位移 ui 、 u j ，则由此引起的杆
轴任意截面的虚位移为：u N ui ui T N δⓔ
对应的虚应变为： B δⓔ
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 W变
W外 FdⓔT δ ⓔ
l q(x)N δ ⓔT dx
可知，截面扭矩为： M
GI
d dx
GIBδ ⓔ
式中：
B dN dx
1 l
1 l
在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常
见的一类结构。如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于 此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。
首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。
第一步：对结构物进行离散化，划分为有限个单元
3 2
4 5
1
6
1
2
3
4
5
2.2.1 拉压杆单元
ui Fi i y
q(x)
Fj
uj
x j
拉压杆单元示意图
① 用结点位移表示单元上任意截面的位移u
u(x) a bx
其中 a、b 为待定系数。
由位移的边界条件： u(0) ui
u(l) u j
a ui b u j uil Nhomakorabeau(x)
(1
x l
)ui
x l
u
j
用矩阵表示为： u Niui N ju j Ni