杆件结构的有限元法
第六章杆系结构
第六章杆件系统结构有限元法杆件系统是由几何特征为长度比横梁面的两个尺寸大很多的杆件连接而成的结构体系。
起重机械和运输机械的动臂、汽车的车架、钢结构等，都是由金属的杆件组成的。
杆件系统的有限元法在机械、建筑、航空、造船等各个工程领域得到了广泛的应用。
若杆件之间由铰相连，并且外载荷都作用在铰节点上，则该体系称为桁架。
有限元中将桁架的单元称为杆单元，即桁架是由仅承受轴向拉压的杆单元的集合。
如果杆件之间是由刚性连接，则该体系是刚架，刚架的单元称为梁单元。
梁单元可以承受轴力、弯矩、剪力及扭矩的作用。
第一节等截面梁单元平面刚架结构——所有杆件的轴线以及所有外力作用线都位于同一平面内，并且各杆件都能在此平面内产生平面弯曲，从而结构的各个节点位移都将发生在这个平面内。
一、结构离散化原则：杆件的交叉点、边界点、集中力作用点、位移约束点、分布力突变的位置都要布置成节点，而不同横截面的分界面和不同材料的分界面都要成为单元的分界面。
平面桁架对于桁架结构，因每个杆件都是一个二力杆，故每个杆件可设置成一个单元。
平面桁架结构每个节点有2个自由度，分别是u 和v ，每个单元有4个自由度。
最大半带宽B=(2+1)×2=6。
一维单元和二维单元的混合应用：左边部分是平面问题的二维板件结构（黑线部分），右面框架部分是一维杆件结构（红线部分）。
xy采用平面4节点四边形单元模拟二维板件，用平面杆单元单元模拟一维杆件结构。
离散化后，共有37个节点，32个单元，其中4节点四边形单元16个，杆单元单元16个。
因为平面4节点四边形单元和平面杆单元单元每个节点都有2个自由度，4节点四边形单元的刚度矩阵是8×8，平面杆单元的刚度矩阵是4×4。
整体刚度矩阵刚[]k 的维数是227474n n ⨯=⨯。
其中部分总刚子块为[](1)(2)(3)(4)777777777722k k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4)(6)(19)11,1111,1111,1111,1122k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦最大半带宽B=［(8-2) +1］×2=14。
龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(矩阵位移法)【圣才出品】
第9章 矩阵位移法9.1 复习笔记一、矩阵位移法的基本思路矩阵位移法又称为杆件结构的有限元法。
分析的两个基本步骤：（1）单元分析；（2）整体分析。
单元分析：建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵。
整体分析：将单元合成整体，按照刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立位移基本方程。
二、单元刚度矩阵（局部坐标系）进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。
单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力的一组方程，可以用“”表示，由位移求力称为“正问题”。
相应的由力求位移称为“反问题”。
正问题的解是唯一的确定的，但是反问题则可能无解，如果有解也非唯一解。
当外部荷载为不平衡力系时，反问题无解；当外荷载为平衡力系时，反问题有解但是因为杆件除本身变形外还可有任意刚体位移，此时反问题的解不唯一。
本书暂不考虑反问题的求解。
1．一般单元图9-1所示为平面刚架中的一个等截面直杆单元.单元的两个端点采用局部编码1和2，由端点1到端点2的方向规定为杆轴的正方向，在图中用箭头标明。
F →∆e图9-1图中采用坐标系，其中轴与杆轴重合。
这坐标系称为单元坐标系或者局部坐标系。
字母、的上面都画了一横，作为局部坐标系的标志。
推导单元刚度方程时，有以下几点需要注意：重新规定正负号规则、讨论杆件单元的一般情况、采用矩阵表示形式。
在局部坐标系中，图9-2所示的位移、力分量方向为正方向。
图9-2杆件性质：长度l ，截面面积A ，截面惯性矩I ，弹性模量E ；杆端位移u 、v 、θ。
根据杆端位移可以推导出下面两组刚度方程：（9-1）x y x x y（9-2）将上述六个刚度方程列成矩阵形式：（9-3）其中就是局部坐标系下单元刚度矩阵，即为（9-4）2．单元刚度矩阵的性质 （1）单元刚度系数的意义e e ek F∆=eK代表单元杆端第j 个位移分量等于1时所引起的第i 个杆端力分量。
（2）是对称矩阵，即。
（3）一般单元的是奇异矩阵，即，因此不存在逆矩阵。
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
有限元(第二章-杆单元部分)tg
−
1 2 1 2 1 2 1 − 2
−
1 2 1 2 1 2 1 − 2
1 2 1 − 2 1 − 2 1 2
按节点号叠加得6×6阶总刚度矩阵
−1 1 0 0 1 0 1 − 1 0 1 + 2 2 [K ] = 0 0 − 1 2 2 0 0 − 1 2 2 1 0 −1 2 2 0 0 1 − 2 2 1 2 2 1 2 2 1 − 2 2 0 0 0 −1 1 1 − 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 − 2 2 2 2 1 1 − 1+ 2 2 2 2
2-10 刚度矩阵元素的带状分布
【例】对图（a）中结构分别采用图（b）、图 （c）两种编号方式以观察其刚度矩阵的带宽。
对于图(b)、(c) 编号方式的结构，总刚度矩阵 的非零元素分布分别如下图(a)、(b) 所示。
[K ]
e
λ2 AE λµ = L − λ2 − λµ
λµ µ2 − λµ − µ2
Fx1 1 Fy1 AE 0 = L − 1 F x2 Fy 2 0
即：
0 − 1 0 u1 0 0 0 v1 0 1 0 u 2 0 0 0 v 2
{F }= [K e ]{δ }
求各杆单元的λ和μ的值。Φ角是按 逆时针从x轴正向转到单元ij方向的
三杆受力桁架
单元⑴ 单元⑵ 单元⑶
ϕ = 0 o , λ = 1, µ = 0 ϕ = 90 o , λ = 0 , µ = 1 ϕ = 135 o , λ = −
1 1 ,µ = 2 2
单元刚度矩阵分别为
第3章杆件结构的有限元法_虚功原理
( { })
* x
u = ∫ ε σdV = ∫ [B ] V V u
T
* 1 * 2
E [B ] δ x dV = ∫ δ
V
{ }
u1 E [B ] dV u 2
T
{ } [B]
* x T
T
E [B ] δ x dV
{ }
[K ]
(e)
1 0 AE = L − 1 0
0 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
小结： （1）本章从设置位移函数（也称为位移插值函 数或试探函数）出发，利用虚功原理导出了局 部坐标系下的杆单元的有限元计算格式，利用 前一章的坐标变换矩阵[T]，就可以将它转换到 整体坐标系下，然后将各单元的刚度矩阵按照 节点力平衡的原理，经过叠加，即可得到总体 刚度矩阵。 （2）本章的方法具有一般性。 （3）位移插值函数的选择与单元节点的数目有 关。一般不可能精确描述单元内各点真实的位 移情况。
Fy(1e ) 0 0 v 1 = (e) Fy 2 0 0 v 2
下面建立 x 方向位移的插值函数。 设杆件内任意一点沿 x 的位移向量为
δ x = u = α1 + α 2 x
第三步：求单元内任意一点的位移与节点位移的 关系 由 x1 = 0, u = u1 ; x 2 = L, u = u 2 可写出
3 杆件结构的有限元法—虚功原理 直接刚度法：已知杆件刚度，利用位移和 力的关系，建立单元刚度矩阵。 不知道力——位移的关系，怎样求解？ 本章介绍一种更为一般的有限元求解力学 问题的方法：虚功原理推导杆单元刚度 矩阵。
这一方法分为6步。 第一步：建立局部坐标系，写出单元的位移向量 和节点力向量。
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
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3
2012/5/24
杆件结构的有限元法—组合弹簧
矩阵扩大 按节点编号将相应单元的刚度矩阵元素叠加 刚度矩阵和节点编号、自由度关系
杆件结构的有限元法—组合弹簧
刚度矩阵奇异性的物理意义 刚度矩阵求解
F1 K11 K12 X 1 F2 K 21 K 22 X 2
弹簧的节点力向量和节点位移向量
F
F1 F 2
u
u1 u 2
1
2012/5/24
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力的刚度（矩阵形式表示）
1 2
k11 k12 k 21 k22
1
2
单个弹簧力和位移关系（矩阵形式）
杆件结构的单元划分、节点定义
节点定义 单元划分 节点力和位移
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件的力与变形关系
等效刚度
F
A E u L
杆件的单元刚度矩阵（均质等截面铰支杆）
F1 A E 1 1 u1 u F 1 1 L 2 2
杆件结构的有限元法—组合弹簧
F1 ka F2 ka F 0 3
ka k a kb kb
0 u1 kb u2 kb u3
节点自由度和总体刚度矩阵阶数的关系 引入约束条件求解方程
F1 k11 k12 u1 u F k k 2 21 22 2
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧的力—位移关系
F1 k F2 k
k u1 k u2
Fx1 cos Fy1 sin Fx2 0 Fy2 0
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
节点位移变换
坐标变换矩阵
T
杆件的单元刚度矩阵在整体坐标下的表达式
F T T K e T K e
单元刚度 刚度矩阵的对称性 刚度矩阵的奇异性
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2012/5/24
杆件结构的有限元法—组合弹簧
组合弹簧中节点和单元
单元刚度矩阵 单元刚度组合成系统刚度矩阵
F1 ka F2 ka F 0 3
ka k a kb kb
0 u1 kb u2 kb u3
节点 自由度
0 1 0 0 0 1 0 0
0 u1 v1 0 0 u2 0 v2
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2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
节点力坐标变换
F T F
sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 Fx1 0 Fy1 sin Fx2 F cos y2
局部坐标下 单元刚度矩阵 整体坐标下 单元刚度矩阵
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2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
刚度矩阵重要性质
对称性—关于主对角线对称 稀疏性—矩阵中有大量的零元素 带状性—非零元素在主对角线两侧呈带状分布
杆件结构的有限元法—例题
三杆受力桁架有限元建模
节点自由度 单元划分 单元类型选择 边界条件
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2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
节点排列和编号 刚度矩阵的特点源自 对称性 稀疏性 带状分布
刚度矩阵的存储
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已知力和位移 未知力和位移
F1 K11 X 1 K12 X 2 F2 K 21 X 1 K 22 X 2 X 2 K 22 1 F2 K 21 X 1
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2012/5/24
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考虑横向力情况下的杆件单元刚度矩阵
Fx1 1 Fy1 A E 0 F 1 L x 2 F y 0 2
2012/5/24
杆件结构的有限元法
杆件结构的有限元法
单个弹簧的刚度矩阵 组合弹簧的刚度矩阵 铰支杆系的有限元计算格式 单元坐标系统（局部坐标系）、整体坐标系 刚度、单元刚度矩阵、整体刚度矩阵 自由度
基本概念
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力和位移关系（线弹性）
F k