有限元 杆系结构
2-杆系结构有限元分析报告
得，正因为形状函数反映了单元的位移分布状态，矩阵 Ν 及其
Ni , N j 也由此而得名为形状函数矩阵和形状函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
从式(2.4)还可以看出：通过形状函数把两孤立的常值位移
ui ， u j 化为连续函数 u(x) ，数学上讲，就是已知函数在闭区间 两个端点上的值 ui ， u j ，构成一个连续函数 u(x) ，它在端点应 保证等于 ui ，u j ，这样的计算步骤就是内插，形状函数 Ni ， N j 就是实现内插的两个函数，所以 Ni ， N j 又叫内插函数，形状函 数矩阵 Ν 又叫内插函数矩阵，而式 u(x) Ni (x)ui N j (x)u j 又叫
1. 本点为 1，它点为 0； 2. 任意一点总各为 1。
杆单元形状函数 Ni ， N j 如图 3.3 所示。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
当结构变形之后， i，j 结点的位移通常都不为零，这时单
元内位移按式(2.4)由结点位移和相应的形状函数线性组合求
一个元素都是坐标的函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
分析式(2.4)：当 ui 1 ， u j 0 时，杆单元的位移 u(x) 就 是 Ni ，当 ui 0 ，u j 1时，杆单元的位移分布就是 N j ，所以
形状函数的力学含义是当单元的一个结点位移为单位值，其他 结点的位移为零时，单元内位移的分布规律。可以发现形状函 数的两个重要性质为：
3杆系结构的有限元法
3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。
其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。
本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。
有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。
它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。
有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。
杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。
在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。
杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。
线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。
线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。
非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。
这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。
非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。
杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。
力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。
位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。
杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。
2 杆系结构有限元法
{F } = [K ]{δ }
[K ]
称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵。
问题： 1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？ 系统的整体刚度矩阵－求出所受外力作 用下各杆件节点处的位移－计算各杆件的 受力和应力
2-2 弹簧系统的刚度矩阵
一、单个弹簧的刚度矩阵
0 u1 = 0 − kb u 2 k b u3
从而可得到定解。通过解上述方程可得到各个节点的位移，利用已求得的位 移就可计算出每个弹簧所受力的大小。
弹簧1－2受力 pa＝ka×（弹簧1－2长度的变化量） pa＝ka×（u2-u1）
有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤： ①形成每个单元的刚度矩阵
(b) F1c
u1＝0
2-3 有压力kbu2 F2b = (k a + kb )u2 分别对两弹簧求静力平衡，有 F1b = −k a u 2 , F3b = − kbu2
ka
F2c
u2＝0
kb
u3,F3c
3) 只允许节点3有位移u3，类似于情况1），有
F3c = kb u3 , F2 c = − F3c = −kbu3
0 0 0 k 2 22 2 0 k32
0 2 k 23 2 k33
三、方程求解（约束条件的引入）
由式（2－6）和式（2－8）可知，刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列 式的值为零，矩阵的逆不存在。 对应线性代数方程组式（2－7）和式（2－9）无定解。 物理概念解释：对整个系统的位移u1、 u2和 u3，没有加以限制，从而在 任何外力的作用下系统会发生刚体运动。
− ka k a + kb − kb
杆系结构有限元
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P-4
1.4.1 坐标转换矩阵
在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向
量可分别表示成
de d dije e ui vi i uj vj
k42② k52② k62②
0
k46①k13② k56①k23② k66①k33②
k43② k53② k63②
0
k14② k24② k34② k44②k44③ k54②k54③ k64② k64③
k15② k25② k35② k45②k45③ k55②k55③ k65② k65③
k16② k26② k36② k46② k56② k66②
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P-27
1.5 按单元定位向量形成总刚度方程
按单元定位向量形成总刚度方程
前面介绍“对号入座”形成总刚的方法，是讲子 块的对号入座，而在计算机程序中必须是将单刚的 每个元素，用赋值语句送给总刚的相应位置，这比 子块对号入座复杂，加上结构各种不同的约束情况， 使其更难处理。因此，在先处理法中，常引进单元 定位向量的概念。利用单元定位向量则可灵活地处 理各种约束情况。
单元② i 端的杆端力 与2，3节点位移相关
根据杆端位移与结点位移之间的谐调关系 ── 代 入几何条件
d 2 ① d 2 ② D 2 d 1 ① D 1 d 3 ② D 3 则 P 2 K 2① 1 D 1 (K 2① 2 K 2② 2 )D 2 K 2② 3 D 3
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0
0
2杆系结构的有限元
2杆系结构的有限元有限元法是一种常用的数值计算方法，用于求解连续介质力学问题。
它将连续结构简化为有限个节点和单元，通过在这些节点上建立适当的位移函数，进而得到结构的应力、应变和位移分布。
有限元法的应用非常广泛，特别是在结构力学领域。
本文将重点介绍2杆系结构的有限元方法。
2杆系结构是指由两个杆件组成的简单结构，它们一端固定，另一端可以自由位移。
2杆系结构的分析问题可以用一维线弹性力学理论来描述。
首先，我们需要对2杆系结构进行离散化，将其简化为有限个节点和单元。
节点是结构的关键点，单元是相邻节点之间的连接。
我们可以选择线性单元，即每个单元内部的位移是线性分布的，也可以选择非线性单元，进行更为精确的计算。
然后，在每个节点上引入适当的位移函数，用来描述结构的变形情况。
接下来，我们需要确定2杆系结构的刚度矩阵和荷载向量。
刚度矩阵描述了杆件的刚度关系，荷载向量描述了外部施加的荷载。
通过求解结构的平衡方程，我们可以得到结构的位移。
这个过程可以通过线性代数方法来实现，也可以使用迭代方法求解非线性方程组。
最后，我们可以通过计算得到的位移来计算结构的应力和应变分布。
这些信息可以用来评估结构的稳定性和耐久性。
此外，我们还可以通过有限元法来模拟结构在不同工况下的响应，进一步优化设计。
总结来说，2杆系结构的有限元方法是一种有效的工具，用于分析和设计各种类型的结构。
它可以提供结构的应力、应变和位移分布，帮助工程师评估结构的性能和安全性。
这种方法的应用范围非常广泛，可以用于建筑、桥梁、机械等领域。
在实际工程中，我们可以使用专业的有限元软件，例如ANSYS、ABAQUS等，来进行2杆系结构的有限元分析。
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
上海交大计算结构力学课件ppt杆系结构有限元01
第5章 杆系结构有限元(1)有限元方法是在结构力学中的结构矩阵位移法的基础上发展起来的。
杆系结构：几何形状简单 杆系结构矩阵位移法：（直接有限元法）： 杆的力与位移的关系容易求得 几乎包含了有限元的主要思想 （没有位移插值的问题）(2)基于最小势能原理的杆系结构FEM 分析5．1 直杆受轴向力杆的有限元受力特点： 只有轴向力的作用主要的控制方程：几何关系： x ux ε∂=∂应力应变关系： x x uE E xσε∂==∂边界条件： u u = （给定位移）uA E P x ∂⋅=∂ （给定载荷）平衡方程： 22()()x A uAE f x x x σ∂∂==∂∂最小势能原理的描述：200()2LLp EA u dx uf x dx x ∂⎛⎫∏=- ⎪∂⎝⎭⎰⎰直杆的解u 满足上述控制方程等价于u 使得势能p ∏取最小值。
同样的划分单元，并且单元和节点编号 单元编号：1,2,.....e N =节点编号：1,2,...i n =节点的位移和力向量[][][][]i ii i u p P δ==单元节点位移和节点力向量（总体编号）[][]i i e e j j u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单元节点位移和节点力向量（局部编号）[][]1122e e u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦以下讨论基于变分原理的有限元。
假定直杆单元内任意一点的位移可以表示为两个节点位移的线性插值。
取单元的局部坐标 11ξ-≤≤ 1212()[(),()][,]Tu N N u u ξξξ= 多个节点参数eu N u ]][[=)1(21)(1ξξ-=N)1(21)(2ξξ+=N)(2c x x l-=ξN 的将单元节点位移和单元内任意一点的位移建立了联系。
这个联系（线性插值）是我们假定的，因此不同的单元，可以采用不同插值模式，也就形成了不同精度的单元。
由势能极小 0pe u ∂∏=∂并注意到 2ld dx ξ=1012()()()()l eT T dN dN EA dN dN K EA dx d dx dx l d d ξξξ+-==⎰⎰101()()2leTTlP N f x dx N f d ξξ+-==⎰⎰可以直接给出刚度矩阵的积分以及等效载荷（均布轴向载荷）列阵的计算类似的三节点单元以及其他更高级的单元。
第二章 杆系结构的有限元法分析
F ⓔ Fxi
Fyi
Fzi
M xi
M yi
M zi
Fxj
Fyj
Fz j
M xj
M yj
T
M zj
EA
EA
l
0
0
0
0
0
0
l
0
0
0
0
Fxi
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
12EI l3
z
0
0
0
6 EI z l2
ui
Fyi
0
0
12EI y l3
0
6EI y l2
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结
构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆 件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。但由于 在实际工程结构中，同一构件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便 起见，本书都称之为杆单元。并且，本书所讨论的杆单元均是指等截面直杆单元， 对于变截面杆和弯曲杆件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面杆单 元。因此本书的分析方法仍然对其适应。
在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常
见的一类结构。如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于 此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。
首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。
第一步：对结构物进行离散化，划分为有限个单元
3 2
4 5
1
6
1
2
3
4
5
第八步：引入边界条件
有限元第三章杆系结构单元分析
对应的虚应变为：
B δe
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 FdeT δ e
l 0
q(
x)
N
δ
edx
W变
l
0 Adx
l δ eT BT EAB δ edx 0
将上式整理得：
（3-23）
Fde
dx
（3-5）
虚曲率
k d 2 v
dx2
（3-6）
若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为 u (x)、v (x)，
则由材料力学可得与位移对应的截面内力为
FN
EA du dx
（3-7）
M
EI
d 2v dx2
（3-8）
式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。
有限单元法
在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元， 则单元的虚功方程为
类型单元刚度矩阵相同。
Y
x
y
局部坐标
○
○
X
○○
○
整体坐标
P
大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号，以及整体 坐标和局部坐标。
有限单元法
2 1
3
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
图2.1 弯曲杆件系统
1
有限单元法
2
3
4
5
图2.2 截面连续变化杆件系统
结点编号
单元编号
5 (8 9 10) 6
4
3
(2 3 4)
3
1
1 (0 0 0)
设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其 中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移 原理虚功方程，则整个杆系结构的虚功方程可由对各杆求 和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的 虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向 量）：
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有限单元法
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第三个黄金时代： 有限单元法的广泛应用。自1970年代开始,有限 元法被迅速应用到各领域。
钢结构接头的应力分析
汽车碰撞分析
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三、有限单元法的现状与发展趋势
1． 变分原理与数值方法 针对有限元发展需要而提出的变分原理的新形式，例如 分区势能、余能、混合能量变分原理，分区变分原理的退化 形式及其应用，含参数变分原理及其应用，压电复合材料结 构变分原理，基于应变梯度理论的细观力学变分原理。 2． 新型单元构造方法 对单元构造的现有模式作进一步开拓，如杂交元、混 合元、拟协调元、应变元、样条元、无限元、 高精度单元 （带转角元）、大单元、超（巨型）单元 ,子结构、土壤→ 结构→流体的相互作用等。 发展新的构造模式，如基于广义协调理论的广义协调元、 基于分区混合变分原理的分区混合元，理性有限元，基于四 边形面积坐标的四边形元，基于解析试函数的有限元等。
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连续问题一般都是通过数学方程式的运算和求 解获得精确解。但在实际工程中，可用的数学方法 通常使得能用连续化处理的问题极为有限，或者使 其过于简化。 相反，由于计算机的出现，使得求解离散问题 比较容易。 计算力学：是根据力学中的理论，利用现代电子计 算机和各种数值方法，解决力学中的实际问题的一 门新兴学科。它横贯力学的各个分支，不断扩大各 个领域中力学的研究和应用范围，同时也逐渐发展 自己的理论和方法。 包括：有限元单元法、有限差分法、边界元法等
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4．复杂深层问题 材料非线性和几何非线性有限元分析； 壳体结构屈曲稳定性分析； 塑性成型有限元分析； 撞击破坏过程数值模拟； 基于应变梯度理论的有限元法。 解的精度的研究：数值方法的误差估计、收敛 性、可靠性、自适应性和优化； 自适应有限元方法 。
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有限单元法
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P-19/62
在学术界影响广泛的国内著作 钱伟长，变分法与有限元. 北京: 科学出版社, 1980 胡海昌，弹性力学的变分原理及其应用. 北京: 科学出版 社, 1981 朱伯芳，有限单元法原理与应用. 北京: 中国水利水电出 版社, 第1版1979, 第2版1998）是兼备科学性和实用性 的巨著。 龙驭球，有限元法概论. 北京: 高等教育出版社, 第1版, 1978, 第2版, 1991, 龙驭球，新型有限元引论. 北京: 清华大学出版社, 1992 等
2) 1943年，柯兰特（Courant）第一次假设饶曲函数在 一个划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单 线性函数。由于计算机尚未出现，这篇论文没有引 起应有的注意。 (1945年，世界上出现了第一台电子 数字计算机“ ENIAC” ，用于计算弹道。 1956 年， 晶体管电子计算机。1959年，集成电路计算机。）
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P-17/62
各种变分原理以及其对应的有限元
不同性质的单元对应于不同的变分原理。 （1）协调位移元（采用的位移插值函数在单元间精确协 调）——最小势能原理。 （2）非协调位移元（采用的位移插值函数在单元间不精 确协调）——分区势能原理。 （3）广义协调位移元（采用的位移插值函数在单元间广 义协调）——分区势能原理的退化形式。 （4）应力杂交元（采用应力试函数，满足平衡微分方 程）——最小余能原理。 （5）混合元（采用混合试函数，含位移、应力和应 变）——广义变分原理。 （6）分区混合元（部分单元采用位移试函数，其余单元 采用应力试函数）——分区混合能量原理。
矩阵位移法，并 利用计算机求解
1956年，Turner， Clough，Martin和Toop ， 刚架的矩阵位移法推广 用于弹性力学平面问题 作近似分析 有限单元法的刚度法
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有限单元法的刚度法
单元，结点
分析各单元的特性，得到物理 条件（节点力与节点位移关系） 利用在结点相交的平衡条件、 变形协调条件
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二、 三个黄金时代
第一个黄金时代： 1960年起。最重要的工作来自结构工程师，第 一次解决了诸如汽车、飞机、水坝等复杂结构的力 学分析。尽管当时有限元法的数学基础尚未完全建 立（尽管与今天相比,当时的成就十分有限），但该 方法获得了巨大成功。论文统计：1961年10篇、 1965年67篇、1968年303篇。
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常用的数值解法有下列几类： （1）有限差分法——将微分方程化为差分形式， 求近似解。 （2）加权残值法——将微分方程化为加权积分 形式，求近似解（加权残值法的五种常用做法是配 点法，子域法，加辽金法，最小二乘法，矩法）。 （3）有限单元法——将微分方程问题化为能量 驻值问题，采用插值函数，求近似解。 （4）边界元法——只在边界上进行离散。 常用的半解析法主要有：有限条法和有限元线 法、薄层法等方法。 其中应用最广泛的方法就是有限单元法。几乎可以 说，一切弹性力学问题都可以利用有限元法求解。
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3 ） 1955 年，德国斯图加特大学的 J.H. Argyris 教授 发表了一组能量原理与矩阵分析的论文，奠定了 有限元方法的理论基础。 4 ）第一个尝试： 1956 年，特纳（ Turner ）、克拉夫 （ Clough ）等将刚架分析中的位移法扩展到弹性 力学平面问题，并用于飞机的结构分析和设计， 系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达 式，并求得了平面应力问题的正确解答。
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有限单元法(Finite Element Method)(FEM)是计算 力学的重要分支，是一种将连续体离散化，以求解 各种力学问题的数值方法。 有限元方法的基本思想：将结构物看成由有限个人 为划分的单元组成的整体，以单元结点上的解代表 整体的解。它是一种化整为零、集零为整、化未知 为已知的方法。不同的学科，所求解的参数不同。 在计算力学中，主要有以下三种： ● 位移型：以结点位移为未知量。 ● 力型：以结点力为未知量。 ● 混合型：某些地方以结点位移为未知量，另 外一些以结点力为未知量。 我们主要就‚位移型‛有限元进行讲解。
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结构力学位移法
单跨超静定梁
利用已知的单跨超静定梁的内 力计算公式的成果（固定求固 端力，放松求单元的杆端力） 结点的平衡条件─附加约束上 的反力=0
建立求解未 知位移的平 衡方程组
w, x , y
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结构力学位移法
位移法：建立求 解未知位移的平 衡方程组
• 第一次命名： 1960 年，克拉夫（ Clough ），建立 在虚位移原理或最小势能原理的基础上。在处理 剖面弹性问题时，第一次提出并使用‚有限元方 法‛的名称
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O.C.Zienkiewize在他的“The Finite Element Method”一书中（参考书6），一开头便称： ‚人类大脑是有限的，以致不能一次就弄清周 围许多（自然存在的和创造出的）复杂事物的特性。 因此，我们先把整个系统分成特性容易了解的单个 元件或‘单元’，然后由这些元件重建原来的系统 以研究其特性，这是工程师、科学家甚至经济学家 都采用的一种自然的方法。许多经典的数学近似方 法以及工程师们用的直接近似法都属于这一范畴。‛ 因此，从这一意义上说确定有限单元法的准确 起源时间是困难的。尽管如此, 有限单元法从应用 意义上讲，它的发展始于20世纪60年代。
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3．疑难现象及破解对策 有限元学科发展中，还遗留一些疑难现象和问题，有的 长期未得到破解。这些尚待破解的疑难问题自然就成为关注 的焦点。例如 多种闭锁现象（剪切闭锁、薄膜闭锁、不可压缩闭锁）； 网格畸变敏感现象； 有的非协调元不收敛现象； 虚假零能模式现象； 解的晃动现象； 精度损失现象（位移元的应力，层合板的层间应力）； 应力奇点现象； 数值计算病态现象。
第1章 概论
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 有限单元法及其发展概况 有限元方法及解题步骤 单元分析 整体分析 按单元定位向量形成总刚度方程 约束处理及求解
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1.1.1 力学问题的解法
力学问题的求解方法可分为：解析法、数值 法、半解析法 解析法（连续、精确）：问题的求解可以得 到具体的数学表达式，可以计算任意位置的问题 的精确解答。如悬臂梁求挠度等。 数值法（离散、近似）：得不到具体表达式 ，只能得到某些离散点处的近似值。 半解析法：是将解析法和数值法结合起来形 成的一种方法。
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我国学者对有限单元法的贡献
我国数学家冯康等人从1960年前后开始，也创造了 系统化的有限元算法（1965年文“基于变分原理的差分 格式”）编写了程序，解决了当时国防和经济建设中的 一些重大课题，并奠定了数学理论基础。因此可以说， 有限元法是在欧、美和中国被独立发展的。 有限元及变分原理的研究领域是我国学者的研究强 项。胡海昌于1954年提出的弹性力学广义变分原理为有 限元法的发展提供了理论基础。冯康提出的基于变分原 理的差分格式实质上就是今天的有限元法。龙驭球提出 的分区和分项能量原理(1980)，分区混合有限元 (1982)， 样条有限元(1984)，广义协调元(1987)和四边形面积坐 标理论(1997)等，使有限元方法的分析能力和应用领域 得到很大提升。
建立求解各 结点位移(ui、 vi)的联立方 程
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