2-杆梁结构的有限元分析原理1
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杆梁结构的有限元分析原理
§2.1 一维单元 －轴向受力杆
Step 1 离散 Discretization 将杆划分为几个单元，用标准化的分段小单元来逼近结 构
14
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Step 2 选择单元的位移模式 寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 对于如图杆单元，该单元位移场为u(x)，那么它 的两个节点条件为：
27
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求解支反力： 系统方程重组，分块：
＝> 未知节点位移 ＝> 求得支反力
28
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Trivial expression 修改对角元素, α为一个非常大的数 ,1015
Advantage is 1) easy to be programmed 2) the properties of [K] are kept.
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Step 2 选择单元的位移模式
根据节点条件，可以确定出待定系数：则
则u(x)表达称为节点位移（u1，u2）的关系，即
矩阵表达形式
N为形函数矩阵
q为节点位移列阵
17
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Step 3 应变和应力Strain Field and Stress Field 由一维问题的几何方程和物理方程，可以得到位移与 应变的关系，则： where [B] is （应变矩阵）strain matrix which is given as
Chapter 1 About Finite Element Method
37
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有限元分析的基本步骤
⑤引入边界条件 Impose the boundary conditions 修改系统方程 ⑥解方程 Solve the system equations 得到未知问题的节点值 ⑦后处理 Make additional computations if desired 例如节点位移 → 应变与应力
33
福州大学研究生课程－有限元Байду номын сангаас序设计
Step 8. 求解方程 Solving equations. Assume EA=const. L i = l0/ 3 = L , q(x)=q0 In the example
8
34
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Step 9. 其他计算 Additional calculation
在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系中的任意 一个位置，因此需要将原来局部坐标系中所得到的单 元表达等价地变换到整体坐标系中，这样不同位置的 单元才有公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成 的和装配。
41
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局部坐标系中的节点 位移：
整体坐标系中 的节点位移：
42
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建立立单元的平衡方方程
{F}e = ∫ [ B] E[ B] Adx{u}Δ[k ]{u}
0
Li
T
其中K为杆单 元的刚度矩阵： P为节点力力列阵：
二二结点一一维单元
单元势能的表达
＝Ue-We
运用最小势能原理对位移求极值 建立单元的平衡方程
K e ⋅ qe = Pe
其中K为杆单 元的刚度矩阵： P为节点力列阵：
• 有限单元法的概念
• 通过材料力学求解和有限元求解进行比较 • 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸图(a) • 单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A， 弹性模数为E
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• 等截面直杆在自重作用下的有限元法解答 • 1、离散化
单元的势能是一个标量，不会由于坐标系 的不同而改变，将变换后的参数带入，则
43
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由最小势能原理，则得到整体坐标系中的刚度 方程为：
44
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Chapter 1 About Finite Element Method
38
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39
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杆单元及其坐标变换
(1)
(2)
杆单元扩展用于桁架构件，对于平面桁架构件， 一个节点为两个自由度 如果是桁架构件，需要坐标变换
40
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未知场函数(导数)在各结点上数值——自由度
Chapter 1 About Finite Element Method
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Ø 杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离 散成杆元和梁元。
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
梁 拱 框架 桁架
○
○
○
○ ○
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10
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有限元如何实现?
分段近似 近似函数 联接简单函数 在小段区域内定义 (element) 利用每个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域 上待求的未知场函数
有限元法的基本思路
将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一 个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系 统近似的系统。
有限元程序设计方法简介
程序基本框图
1、输入基本数据（结构描述）： （1）控制数据：如结点总数、单 元总数、约束条件总数等； （2）结点数据：如结点编号、结 点坐标、约束条件等； （3）单元数据：如单元编号、单 元结点序号、单元的材料特性、 几何特性等； （4）载荷数据：包括集中载荷、 分布载荷等。
开始 输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量 引入约束条件 求解方程组，输出结点位移 计算单元应力，输出结果 结束
则设该单元的位移场具有线性模式 （考虑两个待定系数）
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u =[ N
i
( x) i
N
( x) 2
⎧ u1 ⎫ ⎧ u1 ⎫ ] ⎨ ⎬ = [N ] ⎨ ⎬ ⎩u2 ⎭ ⎩u2 ⎭
i
i
i
= [1 − x / Li
⎧ u1 ⎫ x / L] ⎨ ⎬ ⎩u2 ⎭
在大多数情况中，外力并不直接作用于节点，例如： 沿单元轴向施加的剪切力。因此，要将外力转换为 节点等效荷载，
F : concentrated axial loads;
24
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Step 6 单元集成或组装Assemblage of Elements
该系统的组装程序是基于单元节点的相容性条件和平 衡条件。相容性：通过节点连接的单元的未知节点变 量是相同的。平衡条件：某一方向上的节点力之和要 等于作用在该节点上的外力合力。 离散单元进行装配，整体刚度矩阵由两个单元的 刚度叠加而成 K=K(1)+K(2)+… 与整体节点位移向量相互对应 {δ }T=[u1 u2 u3 u4]
• 2 把外载荷集中到节点上 • 把第i 单元和第i+1 单元重量的一半 • 集中到第i+1 结点上
6
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• 3、假设线单元上的位移为线性函数 • 用单元节点位移表示单元内部位移 • 第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，
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有限元程序设计
谷 音 福州大学土木工程学院
2015
1
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有限元法
n n n n
直接法（一维杆单元） 虚功原理 变分法 加权余量（残值）法
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杆梁结构的有限元分析原理
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应变矩阵（几何函数矩阵）[B]是一个与x无关的常矩 阵。 E 为杨氏弹性模量
18
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Step 4 单元的平衡 Element Equilibrium Relation 节点力Fi作用在单元节点 虚位移
列向量表示单元节点位移
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由虚功原理
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有限元法的一般概念
n
n
加权余量方法和变分法通过对未知场函数进行 试函数近似，能把连续问题化为离散问题，但 求解能力有限，一个主要障碍就是试函数是在 全场范围内定义的。 有限元法的思想是把整个求解区域分成一些既 不重叠也没有裂缝的子区域（单元）－瑞利里 兹法。以未知函数在节点上的值作为基本未知 参数，运用各种方法得到单元的刚度方程，这 样就可以用离散的方法求解。
35
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结果
补救方法: 增加自由度 increase the dof
36
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有限元分析的基本步骤
① 离散连续体Discretize the continuum （前处理 preprocessing）划分单元 ②选择插值函数 Select interpolation functions 定义节点 Assign nodes 选择插值函数Choose the interpolation function ③单元分析Find element properties 平衡方程，应力应变描述Equilibrium, expression of strains, stresses ④ 组合集成单元Assemble the element properties 获得整体系统方程to obtain the system equations The expression of the behaviour of the system
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杆梁结构的有限元分析原理
§2.1 一维单元 －轴向受力杆
Step 1 离散 Discretization 将杆划分为几个单元，用标准化的分段小单元来逼近结 构
14
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Step 2 选择单元的位移模式 寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 对于如图杆单元，该单元位移场为u(x)，那么它 的两个节点条件为：
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求解支反力： 系统方程重组，分块：
＝> 未知节点位移 ＝> 求得支反力
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Trivial expression 修改对角元素, α为一个非常大的数 ,1015
Advantage is 1) easy to be programmed 2) the properties of [K] are kept.
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Step 2 选择单元的位移模式
根据节点条件，可以确定出待定系数：则
则u(x)表达称为节点位移（u1，u2）的关系，即
矩阵表达形式
N为形函数矩阵
q为节点位移列阵
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Step 3 应变和应力Strain Field and Stress Field 由一维问题的几何方程和物理方程，可以得到位移与 应变的关系，则： where [B] is （应变矩阵）strain matrix which is given as
Chapter 1 About Finite Element Method
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有限元分析的基本步骤
⑤引入边界条件 Impose the boundary conditions 修改系统方程 ⑥解方程 Solve the system equations 得到未知问题的节点值 ⑦后处理 Make additional computations if desired 例如节点位移 → 应变与应力
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Step 8. 求解方程 Solving equations. Assume EA=const. L i = l0/ 3 = L , q(x)=q0 In the example
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Step 9. 其他计算 Additional calculation
在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系中的任意 一个位置，因此需要将原来局部坐标系中所得到的单 元表达等价地变换到整体坐标系中，这样不同位置的 单元才有公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成 的和装配。
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局部坐标系中的节点 位移：
整体坐标系中 的节点位移：
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建立立单元的平衡方方程
{F}e = ∫ [ B] E[ B] Adx{u}Δ[k ]{u}
0
Li
T
其中K为杆单 元的刚度矩阵： P为节点力力列阵：
二二结点一一维单元
单元势能的表达
＝Ue-We
运用最小势能原理对位移求极值 建立单元的平衡方程
K e ⋅ qe = Pe
其中K为杆单 元的刚度矩阵： P为节点力列阵：
• 有限单元法的概念
• 通过材料力学求解和有限元求解进行比较 • 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸图(a) • 单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A， 弹性模数为E
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• 等截面直杆在自重作用下的有限元法解答 • 1、离散化
单元的势能是一个标量，不会由于坐标系 的不同而改变，将变换后的参数带入，则
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由最小势能原理，则得到整体坐标系中的刚度 方程为：
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杆单元及其坐标变换
(1)
(2)
杆单元扩展用于桁架构件，对于平面桁架构件， 一个节点为两个自由度 如果是桁架构件，需要坐标变换
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未知场函数(导数)在各结点上数值——自由度
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Ø 杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离 散成杆元和梁元。
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
梁 拱 框架 桁架
○
○
○
○ ○
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有限元如何实现?
分段近似 近似函数 联接简单函数 在小段区域内定义 (element) 利用每个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域 上待求的未知场函数
有限元法的基本思路
将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一 个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系 统近似的系统。
有限元程序设计方法简介
程序基本框图
1、输入基本数据（结构描述）： （1）控制数据：如结点总数、单 元总数、约束条件总数等； （2）结点数据：如结点编号、结 点坐标、约束条件等； （3）单元数据：如单元编号、单 元结点序号、单元的材料特性、 几何特性等； （4）载荷数据：包括集中载荷、 分布载荷等。
开始 输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量 引入约束条件 求解方程组，输出结点位移 计算单元应力，输出结果 结束
则设该单元的位移场具有线性模式 （考虑两个待定系数）
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u =[ N
i
( x) i
N
( x) 2
⎧ u1 ⎫ ⎧ u1 ⎫ ] ⎨ ⎬ = [N ] ⎨ ⎬ ⎩u2 ⎭ ⎩u2 ⎭
i
i
i
= [1 − x / Li
⎧ u1 ⎫ x / L] ⎨ ⎬ ⎩u2 ⎭
在大多数情况中，外力并不直接作用于节点，例如： 沿单元轴向施加的剪切力。因此，要将外力转换为 节点等效荷载，
F : concentrated axial loads;
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Step 6 单元集成或组装Assemblage of Elements
该系统的组装程序是基于单元节点的相容性条件和平 衡条件。相容性：通过节点连接的单元的未知节点变 量是相同的。平衡条件：某一方向上的节点力之和要 等于作用在该节点上的外力合力。 离散单元进行装配，整体刚度矩阵由两个单元的 刚度叠加而成 K=K(1)+K(2)+… 与整体节点位移向量相互对应 {δ }T=[u1 u2 u3 u4]
• 2 把外载荷集中到节点上 • 把第i 单元和第i+1 单元重量的一半 • 集中到第i+1 结点上
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• 3、假设线单元上的位移为线性函数 • 用单元节点位移表示单元内部位移 • 第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，
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有限元法
n n n n
直接法（一维杆单元） 虚功原理 变分法 加权余量（残值）法
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杆梁结构的有限元分析原理
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应变矩阵（几何函数矩阵）[B]是一个与x无关的常矩 阵。 E 为杨氏弹性模量
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Step 4 单元的平衡 Element Equilibrium Relation 节点力Fi作用在单元节点 虚位移
列向量表示单元节点位移
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由虚功原理
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有限元法的一般概念
n
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加权余量方法和变分法通过对未知场函数进行 试函数近似，能把连续问题化为离散问题，但 求解能力有限，一个主要障碍就是试函数是在 全场范围内定义的。 有限元法的思想是把整个求解区域分成一些既 不重叠也没有裂缝的子区域（单元）－瑞利里 兹法。以未知函数在节点上的值作为基本未知 参数，运用各种方法得到单元的刚度方程，这 样就可以用离散的方法求解。
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结果
补救方法: 增加自由度 increase the dof
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有限元分析的基本步骤
① 离散连续体Discretize the continuum （前处理 preprocessing）划分单元 ②选择插值函数 Select interpolation functions 定义节点 Assign nodes 选择插值函数Choose the interpolation function ③单元分析Find element properties 平衡方程，应力应变描述Equilibrium, expression of strains, stresses ④ 组合集成单元Assemble the element properties 获得整体系统方程to obtain the system equations The expression of the behaviour of the system
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杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
2_杆系结构有限元分析1
( x) Nii N j j
x x N 1 , N 其中 i 为形函数。 j l l
由材料力学扭转可知
d dN e e M GI p GI p θ GI p B θ dx dx
其中 B
dN 1 1 dx l l
§1-2 扭转杆单元
e
外力势能 V u
e
e T
fe
e
1 e T e e e T 总势能 U V u K u u f e 2
e e
§1-1 拉(压)杆单元
1 e T e e e T U V u K u u f e 2
e e e
根据最小势能原理，势能泛函取驻值的必要条件
空间杆单元坐标变换矩阵
0 T 0
单元在两个坐标系中刚度矩阵转换关系同样有
K e T T K ' T
e
矩阵中仅仅包含有坐标的倾角，仅平行移动坐标轴，刚度矩阵 中元素值不变，矩阵的阶数也不改变。
§1-2 扭转杆单元
结点位移向量θe i , j
T
结点力向量
平衡关系
杆单元结点力向量
f U i
e
Uj
T
单元在外力和内力作用下处于平衡状态，反映单元平衡状态 的关系式就是刚度方程。下面利用最小势能原理推导单元的 刚度方程。 最小势能原理：在满足连续条件和边界条件的位移中，满足 平衡条件的位移其总势能最小，反之亦然。 单元总势能
e U e V e
M e Mi , M j
T
杆件发生自由扭转时，待求位移是截面的扭转角 ( x) 在局部坐标系中，每一个点将具有一个基本未知位移，最简单 的单元位移函数可以设为
杆梁结构的有限元分析原理[详细]
![杆梁结构的有限元分析原理[详细]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/a4e2b56776eeaeaad1f330d6.webp)
le
EAe
le
EAe
u1 u2
P1
le
P2
u1 u2
1 qeTK eqe PeTqe 2
刚度矩阵
节点力列阵
3）离散单元的装配
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以
求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
第4章 杆系结构的有限元分析原理
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统. 从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件成为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 承受轴力或扭矩的杆件称为杆 将承受横向力和弯矩的杆件称为梁 变截面杆和弯曲杆件
单元节点条件：u(0)=u1， u(l)=u2
从而得
a0 ui ,
a1
uj
le
ui
i
1,
j
2
回代得
u(x) a0 a1x
ui
u j ui le
x
1
x le
ui
x le
u
j
Niui N ju j
其中Ni，Nj是形函数。
写成矩阵形式为
q Niu Nqe
N
ju
ui u j
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
EA2
梁的有限元分析原理
梁的有限元分析原理梁的有限元分析原理是一种工程结构分析方法，广泛应用于建筑、桥梁、航空航天、汽车等领域。
它通过将连续的结构离散化为有限数量的小单元，通过数学模型进行计算，得出结构的力学性能和响应情况。
梁的有限元分析原理是有限元分析的基础，下面将对其进行详细介绍。
首先，梁的有限元分析原理基于梁理论，即在横向较小、纵向较长的情况下，结构可以近似为一维梁。
梁的有限元分析原理通过将梁划分为多个单元，每个单元内部可以看作两个节点之间的一段杆件，通过建立节点之间的力学关系方程，得到整个结构的力学性能。
其次，梁的有限元分析原理利用了变分原理，即将结构的势能取极小值，建立了结构的力学方程。
通过对于梁的弯曲、剪切和轴向力等方面的力学模型进行合理的假设与简化，可以得到结构的位移与力的关系，从而解决结构的力学问题。
在梁的有限元分析中，需要进行以下几个步骤：1.几何离散化：将梁结构划分为多个单元，每个单元具有相同的形状与尺寸，通常为矩形或三角形。
2.模型建立：根据梁理论以及力学方程的简化假设，建立节点的力学关系方程，包括位移、应力、应变等参数。
3.材料性能定义：确定梁材料的力学性能参数，如弹性模量、截面惯性矩等。
这些参数对梁结构的力学性能具有重要影响。
4.边界条件施加：根据实际问题设定边界条件，包括固定支座、约束条件等。
这些条件对于解决梁结构的位移、应力等问题至关重要。
5.方程求解：通过数学方法求解得到节点之间的力学关系方程，利用数值计算技术进行迭代求解，得到梁结构的位移、应力等参数。
6.结果分析：根据求解得到的结果，进行力学性能分析，如最大应力、挠度、模态分析等。
根据分析结果评估结构的强度与稳定性。
总结起来，梁的有限元分析原理是一种基于梁理论的工程结构分析方法，通过将结构离散化为多个小单元，利用力学关系方程和数值计算技术求解得到结构的力学性能。
通过梁的有限元分析原理，工程师可以更加准确地评估结构的强度与稳定性，对结构进行优化设计。
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
桥梁结构分析的有限元原理及其程序简介
故
e FEe = K E Rδ e
其中 R 为坐标变换矩阵。 若 e 号单元内还作用有跨间荷载以及给定的温 度分布，它们在局部坐标系下的单元等效结点荷载 分别记为 Pqe 和 PTe ，则
e e FE = ΚE Rδe − Pqe − Pte
以上即杆系结构有限元法的基本计算过程。
1.2 有限元软件简介
1.2有限元软件简介
与通用有限元的区别
ANSYS MIDAS/CIVIL
前处理 单元、材料、边界、荷载
前处理 单元、材料、边界、荷载、施工过程、 预应力、收缩徐变等 求解 静力、动力、稳定等 后处理 显示、列表、时程等 设计验算 基于规范的荷载组合、 设计验算
求解 静力、动力、稳定等
后处理 显示、列表、时程等
1. 桥梁结构分析的内容
• （1）桥梁一般是分阶段逐步施工完成的，结构最终受力 状态往往与施工过程有着很大的关系，因而结构分析必须 按实际的施工过程和结构形成的过程逐阶段进行分析，并 且能够自动累加各阶段的内力和位移等。 （2）计算成桥后在二期恒载，支座不均匀沉降、混凝土 长期收缩、徐变效应、温度变化等作用下的内力和位移。 （3）计算各种活载引起的内力和位移，包括影响线或影 响面的计算以及对它们进行纵向、横向的加载等。 （4）计算各种偶然荷载(加地震)等引起的内力和位移。 （5）按规范对上述各种荷载引起的内力和位移进行组 合，得出最不利的组合情况。 （6）按规范进行强度、刚度、抗裂性、稳定性以及动力 性能验算。
2.2 桥梁结构分析的施工过程及体系转换 • 比如，同为三跨连续梁，在合拢的先后顺 序上，先合拢边跨还是中跨对结构成桥内 力是有影响的； • 有时为了获得良好的成桥线形或内力，可 以在施工中采取一些辅助措施。
有限元-梁系结构的有限元法
4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
拉压杆问题的回顾
1、杆的基本概念：
杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受 拉（压）载荷； 杆模型--平面假设将杆简化为一维问题， 可由杆轴线代表； 杆变形特点--只与轴向位移相关；
拉压杆问题的回顾
2、杆有限元的基本概念
节点位移—轴向位移，每节点1个自由度； 节点力—轴力； 结构离散：轴线划分为若干直线段； 单元分析：建立节点力与节点位移关系； 节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与 外力的平衡关系，得到一线性方程组； 约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解
梁系结构实例
2、平面梁系
1、节点力平衡的需求--单元节点力（在 局部坐标系中）向整体坐标系的变换； 2、单元分析的需求--节点位移（在整体 坐标系中）向局部坐标系的变换； 3、结构对称性的利用（练习，作业3）。
l2 2EI
l
0
Vi
i
u
j
（3-4）
6EI l2
4EI
V
j j
l
（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系
式（3-4）还可写成：
F
e
K e
e
（3-5）
e
F
——称为局部坐标下的节点力列向量
e ——称为局部坐标下的节点位移列向量
e
K
梁的有限元分析原理
y
j
·
x
i·
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
z
27
福州大学研究生课程－有限元程序设计
平面桁架杆单元（2D LINK1）
空间杆单元（3D
LINK8）
平面刚架，BEAM3 空间梁单元(BEAM4)
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
28
福州大学研究生课程－有限元程序设计
举例说明
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
18
福州大学研究生课程－有限元程序设计
这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确 积分所需要阶数的积分方案称之为减缩积分。 实际计算表明：采用缩减积分往往可以取得较 完全积分更好的精度。这是由于： 精确积分常常是由插值函数中非完全项的 最高方次要求，而决定有限元精度的是完全多 项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不 能提高精度，反而可能带来不好的影响。取较 低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多 项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多 项式的要求，其实质是相当用一种新的插值函 数替代原来的插值函数，从而一定情况下改善 19 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 了单元的精度。
福州大学研究生课程－有限元程序设计
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
1
福州大学研究生课程－有限元程序设计
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
j
·
x
i·
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
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平面桁架杆单元（2D LINK1）
空间杆单元（3D
LINK8）
平面刚架，BEAM3 空间梁单元(BEAM4)
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
28
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举例说明
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
18
福州大学研究生课程－有限元程序设计
这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确 积分所需要阶数的积分方案称之为减缩积分。 实际计算表明：采用缩减积分往往可以取得较 完全积分更好的精度。这是由于： 精确积分常常是由插值函数中非完全项的 最高方次要求，而决定有限元精度的是完全多 项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不 能提高精度，反而可能带来不好的影响。取较 低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多 项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多 项式的要求，其实质是相当用一种新的插值函 数替代原来的插值函数，从而一定情况下改善 19 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 了单元的精度。
福州大学研究生课程－有限元程序设计
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
1
福州大学研究生课程－有限元程序设计
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
局部坐标系中的单元述
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆梁结构的有限元分析原理
杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构是工程中常用的一种结构形式，它由多个杆件或梁组成，用于承担载荷和传递力量。
有限元分析是一种通过将结构离散为许多小单元，利用数学方法对结构进行分析的技术。
下面将详细介绍杆梁结构的有限元分析原理。
一、杆件离散化在有限元分析中，首先需要将杆梁结构离散化为一组子结构，即离散化为一组离散的杆件。
离散后的每个杆件可以看作是一个子系统，每个子系统由两个节点组成，节点之间以杆件连接。
通过节点与杆件的连接方式，能够模拟出整个杆梁结构的受力特点。
离散化的过程中，需要确定杆件的几何形状、截面以及材料特性等参数，并根据实际情况设置合适的杆件单元数目。
通常，单元数目越多，离散程度越高，结果越接近真实情况，但计算成本也会增加。
二、有限元法的基本原理有限元方法的基本原理是将结构分成许多小的单元，每个单元内的行为可以用简单的数学函数来表示。
对于杆梁结构，常用的单元有梁单元和杆单元。
梁单元适用于承受弯曲强度较大的杆件，而杆单元适用于承受轴向载荷的杆件。
通过将结构分成小单元后，可以建立一个与原结构相似的离散模型，并在每个单元上建立相应的方程。
三、应力应变关系在进行有限元分析时，需要获得每个杆件的应变和应力。
应变与杆件的变形有关，而应力与应变之间的关系则与材料的本构关系有关。
对于线弹性材料，应力与应变之间可以通过胡克定律来描述。
胡克定律表明，应力与应变之间成线性关系，材料的弹性模量E、泊松比ν以及应变关系能够决定应力。
应根据结构中不同材料的应变特性来选择相应的材料模型。
四、施加边界条件在进行有限元分析前，需要施加适当的边界条件。
边界条件用于模拟实际情况中的约束和限制。
常见的边界条件有固定边界、弹性边界和施工阶段边界。
五、求解位移和应力当离散化杆梁结构、建立了位移和应变关系、施加了边界条件之后，可以通过数值求解方法，例如有限元法中的坐标变形法，计算得到结构的位移和应力。
坐标变形法能够基于得到的位移结果，进一步计算应力。