梁的有限元分析
有限元受力分析--结构梁-力-计算
有限元受力分析–结构梁-力-计算1. 前言受力分析是工程设计中至关重要的一环，能够帮助工程师完善设计并避免安全事故的发生。
在此，我们将介绍有限元受力分析在结构梁设计中的应用。
本文将重点讲解有限元受力分析的相关理论和计算方法。
2. 有限元受力分析有限元分析是数值计算的一种方法，可用于解决工程中的受力分析问题。
它把结构离散为有限个单元，然后对每个单元进行分析。
有限元分析可分为线性有限元分析和非线性有限元分析两种类型。
本文我们只讨论线性有限元分析。
在有限元分析中，结构被分解为离散的单元，每个单元都是基于解析解的一部分。
有限元的形状、尺寸和材料属性可以通过计算机程序进行定义。
使用数学模型和有限元方法，可以计算单元的应力、变形和应变，从而进行结构的受力分析。
3. 结构梁结构梁相信大家应该都知道，它是工程中最为常用的结构之一。
它具有一定的强度和刚度，可以支撑和传递载荷。
一般来说，结构梁通常由简单的杆件单元组成。
在进行结构梁受力分析时，我们需要考虑弯曲、剪切和挤压等不同形式的载荷，以及结构在工作条件下的应变和应力分布情况。
有限元受力分析对于这些问题的研究提供了很好的解决方案。
4.力的分析在受力分析中，载荷是非常关键的参数。
载荷可以是点载荷、均布载荷、集中荷载等。
在本文中，我们将分别介绍这些载荷类型的有限元分析方法。
4.1 点载荷分析点载荷通常是一个单点受到的载荷。
对于点载荷的有限元分析，我们可以通过构建一个网格模型，然后将点载荷作用在网格的节点上。
此外，还需要设定材料的弹性模量和截面的截面面积，以计算结构的应力和变形。
需要注意的是，点载荷分析过程中的网格划分应当尽量精细，以达到更为优秀的数值精度。
4.2 均布载荷分析均布载荷是沿着梁的长度方向均匀分布的载荷，例如一根梁的自重、荷载等。
在进行均布载荷的有限元分析时，我们可以在网格的中央位置放置均布载荷，然后将梁的边缘节点设置为固定的约束条件。
同样，需要设定材料的弹性模量和截面的截面面积以计算结构的应力和变形。
第9章 桁架和梁的有限元分析
第9章桁架和梁的有限元分析第1节基本知识一、桁架和梁的有限元分析概要1．桁架杆系的有限元分析概要桁架杆系系统的有限元分析问题是工程中最常见的结构形式之一，常用在建筑的屋顶、机械的机架及各类空间网架结构等多种场合。
桁架结构的特点是，所有杆件仅承受轴向力，所有载荷集中作用于节点上。
由于桁架结构具有自然离散的特点，因此可以将其每一根杆件视为一个单元，各杆件之间的交点视为一个节点。
2．梁的有限元分析概要梁的有限元分析问题也是是工程中最常见的结构形式之一，常用在建筑、机械、汽车、工程机械、冶金等多种场合。
梁结构的特点是，梁的横截面均一致，可承受轴向、切向、弯矩等载荷。
根据梁的特点，等截面的梁在进行有限元分析时，需要定义梁的截面形状和尺寸，用创建的直线代替梁，在划分网格结束后，可以显示其实际形状。
二、桁架和梁的常用单元桁架和梁常用的单元类型和用途见表９-1。
通过对桁架和梁进行有限元分析，可得到其在各个方向的位移、应力并可得到应力、位移动画等结果。
第2节 桁架的有限元分析实例一、案例1——2D 桁架的有限元分析图9-1 人字形屋架的示意图 问题人字形屋架的几何尺寸如图9-1所示。
杆件截面尺寸为0.01m 2，试进行静力分析，对人字形屋架进行静力分析，给出变形图和各点的位移及轴向力、轴力图。
条件人字形屋架两端固定，弹性模量为2.0×1011 N/m 2，泊松比为0.3。
解题过程制定分析方案。
材料弹性材料，结构静力分析，属2D 桁架的静力分析问题，选用Link1单元。
建立坐标系及各节点定义如图9-1所示，边界条件为1点和5点固定，6、7、8点各受1000 N 的力作用。
1．ANSYS 分析开始准备工作（1）清空数据库并开始一个新的分析 选取Utility>Menu>File>Clear & Start New ，弹出Clears database and Start New 对话框，单击OK 按钮，弹出Verify 对话框，单击OK 按钮完成清空数据库。
用有限元法对悬臂梁分析的算例算例
用有限元法对悬臂梁分析的算例算例：如下图所示的悬臂梁，受均布载荷q ＝1N ／mm 2作用。
E ＝2．1×105N ／mm 2,μ＝0.3厚度h ＝10mm 。
现用有限元法分析其位移及应力。
梁可视为平面应力状态，先按图示尺寸划分为均匀的三角形网格，共有8×10＝80个单元，5×ll ＝55个节点，坐标轴以及单元与节点的编号如图。
将均布载荷分配到各相应节点上，把有约束的节点5l 、52、53、54、55视作固定铰链，建立如图所示的离散化计算模型。
程序计算框图：（续左）程序中的函数功能介绍及源代码1.LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)――该函数用于计算平面应力情况下弹性模量为E、泊松比为NU、厚度为t、第一个节点坐标为(xi,yi)、第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节点坐标为(xm，ym)时的线性三角形元的单元刚度矩阵.该函数返回6×6的单位刚度矩阵k.2.LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m)――该函数将连接节点i,j,m的线性三角形元的单元刚度矩阵k集成到整体刚度矩阵K。
每集成一个单元，该函数都将返回2N×2N的整体刚度矩阵K.3.LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)-- 该函数计算在平面应力情况下弹性模量为E、泊松比为NU、厚度为t、第一个节点坐标为(xi, yi)第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节点坐标为(xm，ym)以及单元位移矢量为u时的单元应力。
该函数返回单元应力矢量。
函数源代码：function y = LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;%三角形单元面积，单元节点应该按逆时针排序，保证每个三角形单元的面积都为正值（也可作为一个小函数：LinearTriangleElementArea）betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);%B为应变矩阵，其中betai=yi-ym,betaj=ym-yi,betam=yi-yj.gammai=xm-xj, gammaj=xi-xm, gammam=xj-xi.D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];%D为弹性矩阵，分为平面应力问题和平面应变问题对于平面应力问题D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];对于平面应变问题E1=E/（1-NU*NU），NU1=NU/（1-NU）y = t*A*B'*D*B;%单元刚度矩阵function y = LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m)K(2*i-1,2*i-1) = K(2*i-1,2*i-1) + k(1,1); K(2*i-1,2*i) = K(2*i-1,2*i) + k(1,2);K(2*i-1,2*j-1) = K(2*i-1,2*j-1) + k(1,3); K(2*i-1,2*j) = K(2*i-1,2*j) + k(1,4);K(2*i-1,2*m-1) = K(2*i-1,2*m-1) + k(1,5); K(2*i-1,2*m) = K(2*i-1,2*m) + k(1,6);K(2*i,2*i-1) = K(2*i,2*i-1) + k(2,1); K(2*i,2*i) = K(2*i,2*i) + k(2,2);K(2*i,2*j-1) = K(2*i,2*j-1) + k(2,3); K(2*i,2*j) = K(2*i,2*j) + k(2,4);K(2*i,2*m-1) = K(2*i,2*m-1) + k(2,5); K(2*i,2*m) = K(2*i,2*m) + k(2,6);K(2*j-1,2*i-1) = K(2*j-1,2*i-1) + k(3,1); K(2*j-1,2*i) = K(2*j-1,2*i) + k(3,2);K(2*j-1,2*j-1) = K(2*j-1,2*j-1) + k(3,3); K(2*j-1,2*j) = K(2*j-1,2*j) + k(3,4);K(2*j-1,2*m-1) = K(2*j-1,2*m-1) + k(3,5); K(2*j-1,2*m) = K(2*j-1,2*m) + k(3,6);K(2*j,2*i-1) = K(2*j,2*i-1) + k(4,1); K(2*j,2*i) = K(2*j,2*i) + k(4,2);K(2*j,2*j-1) = K(2*j,2*j-1) + k(4,3); K(2*j,2*j) = K(2*j,2*j) + k(4,4);K(2*j,2*m-1) = K(2*j,2*m-1) + k(4,5); K(2*j,2*m) = K(2*j,2*m) + k(4,6);K(2*m-1,2*i-1) = K(2*m-1,2*i-1) + k(5,1); K(2*m-1,2*i) = K(2*m-1,2*i) + k(5,2);K(2*m-1,2*j-1) = K(2*m-1,2*j-1) + k(5,3); K(2*m-1,2*j) = K(2*m-1,2*j) + k(5,4);K(2*m-1,2*m-1) = K(2*m-1,2*m-1) + k(5,5); K(2*m-1,2*m) = K(2*m-1,2*m) + k(5,6);K(2*m,2*i-1) = K(2*m,2*i-1) + k(6,1); K(2*m,2*i) = K(2*m,2*i) + k(6,2);K(2*m,2*j-1) = K(2*m,2*j-1) + k(6,3); K(2*m,2*j) = K(2*m,2*j) + k(6,4);K(2*m,2*m-1) = K(2*m,2*m-1) + k(6,5); K(2*m,2*m) = K(2*m,2*m) + k(6,6);K;%对号入座，如前所述，每集成一次都将返回2N×2N的整体刚度矩阵K.此题为110×110 function y = LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];%平面应力和平面应变问题两种情况y = D*B*u;%单元应力计算主程序源代码E=21e7;NU=0.3;t=0.01;stifflike5=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.08,0.36,0.06,1) %选取2个基本单元，调用M文件stifflike1=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.06,0.4,0.06,1) K=sparse(110,110); %creat a xishu matrix for total stiff创建一个稀疏矩阵for i=1:49if rem(i,5)%模取余，bool型变量，非零即为真j=i;K=LinearTriangleAssemble(K,stifflike5,j,j+5,j+6);%节点编号K=LinearTriangleAssemble(K,stifflike1,j,j+6,j+1);endend%将每个单元刚度矩阵集成到总刚中K=full(K);%转化稀疏矩阵 k=K(1:100,1:100);k=[K,zeros(100,10);zeros(10,100),eye(10)];k=sparse(k);%利用边界条件简化基本方程Q=sparse(2:10:92,1,[-200,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,],110,1);%外部荷载，此处不包括约束条件，通过形函数确定，是不是可以理解为梁的两端为中间的一半呢？d=k\Q;%高斯消元法，比克莱姆法则在计算速度上有绝对的优势！x=0:0.04:0.4;plot(x,d(106:-10:6))%基本绘图命令grid%带网格y=zeros(80,3);q=0;for i=1:49switch rem(i,5)case 1j=2*i;u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)];u=u';xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.4;yn=0.06;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)';xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 2j=2*i;u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)];xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.04;xn=0.4;yn=0.04;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 3j=2*i;u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)];u=u';xl=0.4;yl=0.04;xm=0.36;ym=0.02;xn=0.4;yn=0.02;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 4j=2*i;u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)];u=u';xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0;xn=0.4;yn=0;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;otherwiseq=q+3;endendq=4;for i=1:49switch rem(i,5)case 1j=2*i;u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)];u=u';xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.08;xn=0.36;yn=0.06;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 2j=2*i;u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)];u=u';xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.36;yn=0.04;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 3j=2*i;u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)];u=u';xl=0.4;yl=0.04;xm=0.36;ym=0.04;xn=0.36;yn=0.02;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 4j=2*i;u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)];u=u';xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0.02;xn=0.36;yn=0;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)';xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;otherwiseq=q+3;endend %y(i+q,:)这是实现什么的？没见过这种用法，算法上应该就是通过节点位移实现指定单元的内力，这部分本人看的也晕晕的，望高人指点N=y(73:80,1)结果图及数据输出悬臂梁轴线挠度图：一单元的单元刚阵1.0e+006 *0.8077 0 0 -0.4038 -0.8077 0.40380 2.3077 -0.3462 0 0.3462 -2.30770 -0.3462 0.5769 0 -0.5769 0.3462-0.4038 0 0 0.2019 0.4038 -0.2019-0.8077 0.3462 -0.5769 0.4038 1.3846 -0.75000.4038 -2.3077 0.3462 -0.2019 -0.7500 2.5096五单元的单元刚阵1.0e+006 *00.050.10.150.20.250.30.350.4x/m w /m0.5769 0 -0.5769 0.3462 0 -0.34620 0.2019 0.4038 -0.2019 -0.4038 0-0.5769 0.4038 1.3846 -0.7500 -0.8077 0.34620.3462 -0.2019 -0.7500 2.5096 0.4038 -2.30770 -0.4038 -0.8077 0.4038 0.8077 0-0.3462 0 0.3462 -2.3077 0 2.3077根部73-80各单元应力计算结果如下（n/m2）：1.0e+007 *2.1119 -0.0621 -2.2816 -4.8824 5.0479 2.4065 0.0352 -2.3753。
梁的有限元分析原理
梁的有限元分析原理梁的有限元分析原理是一种工程结构分析方法，广泛应用于建筑、桥梁、航空航天、汽车等领域。
它通过将连续的结构离散化为有限数量的小单元，通过数学模型进行计算，得出结构的力学性能和响应情况。
梁的有限元分析原理是有限元分析的基础，下面将对其进行详细介绍。
首先，梁的有限元分析原理基于梁理论，即在横向较小、纵向较长的情况下，结构可以近似为一维梁。
梁的有限元分析原理通过将梁划分为多个单元，每个单元内部可以看作两个节点之间的一段杆件，通过建立节点之间的力学关系方程，得到整个结构的力学性能。
其次，梁的有限元分析原理利用了变分原理，即将结构的势能取极小值，建立了结构的力学方程。
通过对于梁的弯曲、剪切和轴向力等方面的力学模型进行合理的假设与简化，可以得到结构的位移与力的关系，从而解决结构的力学问题。
在梁的有限元分析中，需要进行以下几个步骤：1.几何离散化：将梁结构划分为多个单元，每个单元具有相同的形状与尺寸，通常为矩形或三角形。
2.模型建立：根据梁理论以及力学方程的简化假设，建立节点的力学关系方程，包括位移、应力、应变等参数。
3.材料性能定义：确定梁材料的力学性能参数，如弹性模量、截面惯性矩等。
这些参数对梁结构的力学性能具有重要影响。
4.边界条件施加：根据实际问题设定边界条件，包括固定支座、约束条件等。
这些条件对于解决梁结构的位移、应力等问题至关重要。
5.方程求解：通过数学方法求解得到节点之间的力学关系方程，利用数值计算技术进行迭代求解，得到梁结构的位移、应力等参数。
6.结果分析：根据求解得到的结果，进行力学性能分析，如最大应力、挠度、模态分析等。
根据分析结果评估结构的强度与稳定性。
总结起来，梁的有限元分析原理是一种基于梁理论的工程结构分析方法，通过将结构离散化为多个小单元，利用力学关系方程和数值计算技术求解得到结构的力学性能。
通过梁的有限元分析原理，工程师可以更加准确地评估结构的强度与稳定性，对结构进行优化设计。
梁的有限元分析原理 - 考虑剪切变形影响的梁单元
代人
比较：弯曲梁 单元中的单刚
得到：
等截面梁单元有限元分析
8
长沙理工大学
小结
剪切变形的影响通过系数b反映在刚度矩阵中，使刚度减弱。 对矩形截面：
，当l >>h，b趋于0，可以忽略剪力变形的影响。
等截面梁单元有限元分析
9
长沙理工大学
Timoshenko梁单元
铁木辛柯梁单元——采用两个独立变量 挠度 w
几何关系，曲率
对比
等截面梁单元有限元分析
3
最小势能原理
长沙理工大学
k为截面剪切校正因子
1.经典梁单元 2.铁木辛柯梁单元
——C1型单元 ——C0型单元
等截面梁单元有限元分析
4
长沙理工大学
在经典梁单元基础上引入剪切变形的影响. 挠度叠加
结点位移
其中
采用不考虑剪切变形梁单元的w相同的Hermite插值； 采用2结点的Lagrange插值，即线性插值。
解决方法
假设剪切应变
代替插值函数
计算泛函的剪切应变能时，θ采用低一 阶，和dw/dx同阶插值函数代替原插值 函数
18
等截面梁单元有限元分析
长沙理工大学
等截面梁单元有限元分析
——考虑剪切变形的梁单元
2014.4.13
1
长沙理工大学
介绍.
轴力构件 axial elements 杆单元
受弯构件 flexural elements 梁单元
考虑剪切变形的梁单元
等截面梁单元有限元分析
2
长沙理工大学 假设：梁内的横向剪切力Q所产生的剪切变形将引起梁的附加挠度， 并使原来垂直于中面的截面变形后不再和中面垂直，而且发生翘曲。 考虑剪切变形的梁单元 但在这里，假设原来垂直于中面的截面变形后仍保持为平面。 几何描述
有限元分析梁单元内力计算
1.385 0 3.462 1.385 0 3.462 0 0 0
0 252 0 0 252 0 0 0 0
3.462 0 11.541 3.462 0 5.711 0 0 0
K
103
1.385 0
0 252
3.462 0
253.385 0 0 253.385
3.462 3.462
py3 m3
px3
6.25
5.208
py3 m3
6. 引入约束条件, 构成总体方程
2 px1 p y1
2.5 m1 3
4.25
1.385
0
3.462
103
1.385 0
0 252 0 0 252
3.462 0
11.541 3.462
0
1.385 0
0
0 1.385 3.462 0 1.385 3.462
[
K112
]
[
K
2 23
]
103
0 252
3.462 0
11.542 0
0 252
3.462 0
5.771 0
0 1.385 3.462 0 1.385 3.462
0 3.462 5.771 0 3.462 11.542
3. 单元刚度矩阵的座标变换
求：每根梁的内力。
P2 1kN P1 4kN
2.5m
解：
1.建座标系，对梁单元各节点编号 如图所示。
2.5m
2单元，三节点系统(即自然划分。也可以在集中 力作用处设一节点)。由于每一节点有3个自由度 ，故系统有9个自由度。总刚度矩阵[K]为9×9阶
y 2
5m
②3
梁的有限元分析原理
j
·
x
i·
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
z
27
福州大学研究生课程－有限元程序设计
平面桁架杆单元（2D LINK1）
空间杆单元（3D
LINK8）
平面刚架，BEAM3 空间梁单元(BEAM4)
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
28
福州大学研究生课程－有限元程序设计
举例说明
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
18
福州大学研究生课程－有限元程序设计
这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确 积分所需要阶数的积分方案称之为减缩积分。 实际计算表明：采用缩减积分往往可以取得较 完全积分更好的精度。这是由于： 精确积分常常是由插值函数中非完全项的 最高方次要求，而决定有限元精度的是完全多 项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不 能提高精度，反而可能带来不好的影响。取较 低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多 项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多 项式的要求，其实质是相当用一种新的插值函 数替代原来的插值函数，从而一定情况下改善 19 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 了单元的精度。
福州大学研究生课程－有限元程序设计
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
1
福州大学研究生课程－有限元程序设计
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
杆梁结构的有限元分析原理
杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构是工程中常用的一种结构形式，它由多个杆件或梁组成，用于承担载荷和传递力量。
有限元分析是一种通过将结构离散为许多小单元，利用数学方法对结构进行分析的技术。
下面将详细介绍杆梁结构的有限元分析原理。
一、杆件离散化在有限元分析中，首先需要将杆梁结构离散化为一组子结构，即离散化为一组离散的杆件。
离散后的每个杆件可以看作是一个子系统，每个子系统由两个节点组成，节点之间以杆件连接。
通过节点与杆件的连接方式，能够模拟出整个杆梁结构的受力特点。
离散化的过程中，需要确定杆件的几何形状、截面以及材料特性等参数，并根据实际情况设置合适的杆件单元数目。
通常，单元数目越多，离散程度越高，结果越接近真实情况，但计算成本也会增加。
二、有限元法的基本原理有限元方法的基本原理是将结构分成许多小的单元，每个单元内的行为可以用简单的数学函数来表示。
对于杆梁结构，常用的单元有梁单元和杆单元。
梁单元适用于承受弯曲强度较大的杆件，而杆单元适用于承受轴向载荷的杆件。
通过将结构分成小单元后，可以建立一个与原结构相似的离散模型，并在每个单元上建立相应的方程。
三、应力应变关系在进行有限元分析时，需要获得每个杆件的应变和应力。
应变与杆件的变形有关，而应力与应变之间的关系则与材料的本构关系有关。
对于线弹性材料，应力与应变之间可以通过胡克定律来描述。
胡克定律表明，应力与应变之间成线性关系，材料的弹性模量E、泊松比ν以及应变关系能够决定应力。
应根据结构中不同材料的应变特性来选择相应的材料模型。
四、施加边界条件在进行有限元分析前，需要施加适当的边界条件。
边界条件用于模拟实际情况中的约束和限制。
常见的边界条件有固定边界、弹性边界和施工阶段边界。
五、求解位移和应力当离散化杆梁结构、建立了位移和应变关系、施加了边界条件之后，可以通过数值求解方法，例如有限元法中的坐标变形法，计算得到结构的位移和应力。
坐标变形法能够基于得到的位移结果，进一步计算应力。
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梁的有限元分析——2D问题
▪ 1.有一简支梁，载荷和边界条件如图所示， L=6m，梁的截面面积A=0.0072m2，高 H=0.42m，惯性矩=0.00021m4，材料弹性模 量E=2.06e11N/m2，P=10000N。求支反力 和挠度。
▪ 要点 １）实常数 ２）分网密度控制 ３）如何加载：左：UX,UY，右UY ４）后处理结果的观察
直线，“OK”，进行显示控制，标出各节点号。
▪ 显示梁和弹簧的形状
2
1
3
▪ 施加约束：1、12为“DOF” 。
▪ 施加载荷
▪ 求解 ▪ 后处理 １）定性分析：变形，云图，动画 ２）定量分析：支反力，各节点位移
梁——3D问题（型材）
▪ 单元名称 188、189 ▪ 截面定义方法 ▪ 方向点的定义和使用 ▪ 应用举例
▪ 在“Mesh”菜单中按“Mesh”，选择表示梁的二
直线，“OK”，进行显示控制，标出各节点号。
▪ 对弹簧进行网格划分
▪ 在“Mesh”菜单点击“line”,选择表示弹簧的直线， “OK”，在弹出的菜单中的单元等分数输入“1”， （如果二等分表示两弹簧串联）,“OK”。
▪ 在“Mesh”菜单中按“Mesh”，选择表示弹簧的
2．梁的有限元分析概要
▪ 梁的有限元分析问题也是是工程中最常见的 结构形式之一，常用在建筑、机械、汽车、 工程机械、冶金等多种场合。
▪ 梁结构的特点是，梁的横截面均一致，可承 受轴向、切向、弯矩等载荷。根据梁的特点， 等截面的梁在进行有限元分析时，需要定义 梁的截面形状和尺寸，用创建的直线代替梁， 在划分网格结束后，可以显示其实际形状。
▪ 定义单元类型：1）梁单元；2）弹簧单元
▪ 选择弹簧单元后，按“Option”按钮，在K3项 中选择如图所示：
▪ 定义实常数
▪ 定义材料常数（梁）
▪ 创建模型
▪ 划分网格:“Mesh”,“Set”
▪ 在“Mesh”菜单点击“line”,选择表示梁的二直线， “OK”，在弹出的菜单中的单元长度输入0.25,“OK”。
梁和桁架问题的有限元分析
2011年5月
1．桁架杆系的有限元分析概要
▪ 桁架杆系系统的有限元分析问题是工程中最常见的 结构形式之一，常用在建筑的屋顶、机械的机架及 各类空间网架结构等多种场合。
▪ 桁架结构的特点是，所有杆件仅承受轴向力，所有 载荷集中作用于节点上。由于桁架结构具有自然离 散的特点，因此可以将其每一根杆件视为一个单元， 各杆件之间的交点视为一个节点。
２.梁、弹簧——2D问题
▪ 有一水平梁，全长4米，左端固定，右端3米 处有一弹簧悬吊，弹簧刚度为5 000N/m，右 端点受大小为3 000N的向下载荷，梁的截面 尺寸为30mmX20mm，梁的弹性模量为 2X1011 Pa，泊松比为0.3。求梁的变形。
0.5
3
1
▪ 计算分析需要的实常数 面积A=3*10-2*2*10-2=6*10-4m2 截面惯性矩=B*H3/12=4.5*10-8m4 截面高H=3*10-2m 弹簧刚度K=5000N/m E=2e11Pa Pxy=0.3