(完整版)第4章杆梁结构的有限元分析原理
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有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
15
第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
[工学]第四章-杆单元和梁单元
![[工学]第四章-杆单元和梁单元](https://img.taocdn.com/s3/m/9641e3285bcfa1c7aa00b52acfc789eb172d9e36.png)
坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图4-2为任取的一
个杆单元。
P1, u1
P2 , u2
E，A，l
1
2
图 4-2 杆单元
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关系
式
P1 P2
k
e
u1 u2
(4.1)
其中， k称e 为单元刚度矩阵
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（2）确定位移模式
6
2
4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析
将悬臂梁的右端受载荷W处的横坐标x=l代入以上两式，得 右端受载荷截面的转角和挠度分别为
B
v'B
WL2 2EI
fB
vB
WL3 3EI
（2）平面悬臂梁的弹性力学求解
（4.25）
末端受集中载荷作用的平面悬臂梁的位移场可以用以下多项
式表示
x方向：
u(x, y) Wy 6Lx 3x2 y2 6EI
对于图4.1所示结构
第一个单元：
δ(1)
uu12
K (1)
E(1) A(1) l (1)
1 1
1
1
P (1)
R1 R2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
第二个单元：
δ(2)
uu23
K (2)
E(2) A(2) l (2)
1 1
1
1
P (2)
FR32
整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即
4.1 杆件系统的有限元分析方法
杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采 用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆 单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。
第四讲结构力学有限元分析
z q x y
1/3
1/3
1/3
几何模型
有限元分析
微分方程描述： 板单元： 采用adini板单元，adini矩形板单元是基于经典薄板理论的板单元，其广义内力和广义应变的定义是
M x M M y M xy
其广义应力应变关系是： 其中：
M Dκ
y 2w 2 x x x 2w x κ y 2 y y xy y 2 w x 2 x y x y
d d du du d 2v d 2v d 2w d 2w 0 [ EA dx dx EI z dx2 dx2 EI y dx2 dx2 GI x dxx dxx ]dx
l
单元刚度矩阵对应 微分方程弱形式中 的左端项
单元载荷向量：
LOAD = +[u]*dfx +[v]*dfy +[w]*dfz +[v/x]*rmz +[w/x]*rmy +[anx]*rmx
如下图所示，空间1m*1m*0.02m的方板，y方向有两根加强梁，四边固支，板受向下的均布力q的 作用，板的材料参数为E=210GPa；v=0.3；thick=0.02m；q=-1000N；梁的材料参数为E=210GPa； v=0.3；A=7.5e-3m2；Ix=15.62e-6m4；Iy=14.06e-6m4；Iz=15.6e-7m4分析板的变形情况。
0 0 0 0 0
l
l
l
l
l
l dv dw dx m y ( x) dx 0 dx dx
梁结构ELAB1.0软件实现 工程建模
1/3
1/3
1/3
几何模型
有限元分析
微分方程描述： 板单元： 采用adini板单元，adini矩形板单元是基于经典薄板理论的板单元，其广义内力和广义应变的定义是
M x M M y M xy
其广义应力应变关系是： 其中：
M Dκ
y 2w 2 x x x 2w x κ y 2 y y xy y 2 w x 2 x y x y
d d du du d 2v d 2v d 2w d 2w 0 [ EA dx dx EI z dx2 dx2 EI y dx2 dx2 GI x dxx dxx ]dx
l
单元刚度矩阵对应 微分方程弱形式中 的左端项
单元载荷向量：
LOAD = +[u]*dfx +[v]*dfy +[w]*dfz +[v/x]*rmz +[w/x]*rmy +[anx]*rmx
如下图所示，空间1m*1m*0.02m的方板，y方向有两根加强梁，四边固支，板受向下的均布力q的 作用，板的材料参数为E=210GPa；v=0.3；thick=0.02m；q=-1000N；梁的材料参数为E=210GPa； v=0.3；A=7.5e-3m2；Ix=15.62e-6m4；Iy=14.06e-6m4；Iz=15.6e-7m4分析板的变形情况。
0 0 0 0 0
l
l
l
l
l
l dv dw dx m y ( x) dx 0 dx dx
梁结构ELAB1.0软件实现 工程建模
杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
杆梁结构的有限元法
l
[K]e l[B]T EA[B]dx 0
[K ]e
AE l
1 1
1
1
3-2 杆单元刚度矩阵
如图为只受扭转的杆单
y
元。同上分析，只需将
相应的变量和符号进行
xi
替换，可得扭力杆的刚
度矩阵：
M xi
xj
M xj
x
Fe Mix
T
M jx
假设杆只承受扭矩，只有绕轴线扭转变
M j , j
x
Fjy ,v j
F e Fiy
Mi
Fjy
T
M j
e vi
i
vj
T
j
1、位移函数
v 1 2x 3x2 4x3
据材料力学可知，转角与扰度存在如下关系：
dv dx
2
23x
3 4 x2
3-3 纯弯曲梁单元刚度矩阵
刚度矩阵为：
杆单元扩大刚度矩阵
K e K e K e
1
2
弯曲梁单元扩大刚度矩阵
1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
12 6l
0 12
6l
=
EA l
0
0 1
0 0
0 0
EI z l3
4l2 0 6l 2l2
载荷突变点必须设置节点
3
1
2
截面变化点必须设置节点
4
5
3-2 杆单元刚度矩阵
由于杆梁问题有解析解，所以杆梁单元无需假设近似函数作为 位移函数，其刚度矩阵可直接按材料力学的基本公式，建立平 衡推得，如绪论介绍的实例所示。但为了统一有限元分析的格 式，这里仍按有限元的基本格式推导，其结果是相同的，亦即 杆梁单元的有限元解是精确解。
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
杆梁结构的有限元分析原理
对剪切变形的影响
3.1 理论
只考虑剪切变形
变形后轴线切向与变形前轴角 γxz 其中 ψ (x) 为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角. 假设 : 截面上均匀分布剪应变
弯曲产生的位移：
9
内部力
其中假设
10
实际上τxz采用以下形式：
其中变量与z相关。 为了确定截面的不均匀剪应力分布，引入因素k修正剪应 力：
BEAM44 3-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam
除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则， dw/dx-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 shear-locking
17
几种方法避免产生剪切闭锁
减缩积分
数值积分采用比精确积分要求少的积分点数
假设剪切应变 替代插值函数
举例说明
18
19
Timoshenko 梁 （采用精确积分）
20
采用缩减积分
形成总体刚度矩阵
点坐标、约束条件等；
形成结点荷载向量
（3）单元数据：如单元编号、单 元结点序号、单元的材料特性、
引入约束条件
几何特性等；
求解方程组，输出结点位移
（4）载荷数据：包括集中载荷、 计算单元应力，输出结果 分布载荷等。
结束
37
2、单元分析
（1）各单元的bi,ci(i,j,m) ， 面积A；
30
杆梁的有限元分析
(e)
由虚位移原理得： 由虚位移原理得：
[q *(e) ]T F (e) = ∫∫∫ ε *T σdV
V
将应力矩阵和应变矩阵带入上式得： 将应力矩阵和应变矩阵带入上式得：
[q *(e) ]T F (e) = ∫∫∫[q *(e) ]T [ B (e) ]T S (e) q (e) dV
V
[q *(e) ]T F (e) = [q *(e) ]T ( ∫∫∫[ B (e) ]T S (e) dV )q (e)
(1)
K=[K](1)+[K](2)
( 2)
k13 k 23 k33
1.2 杆系结构的有限元分析
(1) 杆 单 元 的 坐 标 变 化
θ
在工程实际中， 在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系中任意一个位 如图所示。 置，如图所示。这需要将原来在局部坐标系中所得到的单元表 达等价的变化到整体坐标系中， 达等价的变化到整体坐标系中，这样不同位置的单元才有公共 的坐标基准，以便对各个单元进行组集。 的坐标基准，以便对各个单元进行组集。
0 cos θ
下面推导整体坐标系下的刚度方程。 下面推导整体坐标系下的刚度方程。其表达式同前面一维 的表述，将位移、力表述为整体坐标系下的形式， 的表述，将位移、力表述为整体坐标系下的形式，有
A( e ) E ( e ) L( e )
(e) (e) 1 − 1 δ i Fi − 1 1 δ ( e ) = F ( e ) j j
− 2 u2 0 4 6 10 = 10 × − 2 2 u 3 u2 = 0.2 × 10 −3 m, u3 = 0.75 ×10 −3 m
求节点1的支反力： 求节点 的支反力： 的支反力 由单元1的方程，代入节点 、 的位移 的位移， 由单元 的方程，代入节点1、2的位移， 的方程
由虚位移原理得： 由虚位移原理得：
[q *(e) ]T F (e) = ∫∫∫ ε *T σdV
V
将应力矩阵和应变矩阵带入上式得： 将应力矩阵和应变矩阵带入上式得：
[q *(e) ]T F (e) = ∫∫∫[q *(e) ]T [ B (e) ]T S (e) q (e) dV
V
[q *(e) ]T F (e) = [q *(e) ]T ( ∫∫∫[ B (e) ]T S (e) dV )q (e)
(1)
K=[K](1)+[K](2)
( 2)
k13 k 23 k33
1.2 杆系结构的有限元分析
(1) 杆 单 元 的 坐 标 变 化
θ
在工程实际中， 在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系中任意一个位 如图所示。 置，如图所示。这需要将原来在局部坐标系中所得到的单元表 达等价的变化到整体坐标系中， 达等价的变化到整体坐标系中，这样不同位置的单元才有公共 的坐标基准，以便对各个单元进行组集。 的坐标基准，以便对各个单元进行组集。
0 cos θ
下面推导整体坐标系下的刚度方程。 下面推导整体坐标系下的刚度方程。其表达式同前面一维 的表述，将位移、力表述为整体坐标系下的形式， 的表述，将位移、力表述为整体坐标系下的形式，有
A( e ) E ( e ) L( e )
(e) (e) 1 − 1 δ i Fi − 1 1 δ ( e ) = F ( e ) j j
− 2 u2 0 4 6 10 = 10 × − 2 2 u 3 u2 = 0.2 × 10 −3 m, u3 = 0.75 ×10 −3 m
求节点1的支反力： 求节点 的支反力： 的支反力 由单元1的方程，代入节点 、 的位移 的位移， 由单元 的方程，代入节点1、2的位移， 的方程
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讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各个单元的刚 度矩阵按照节点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边 界条件之前，先形成整体刚度矩阵。
Kq P
其物理意义是，表示在未处理边界条件前的基于节点描述 的总体平衡关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就 可以求解，这样与先处理边界条件再求系统势能的最小值所 获得的方程完全相同。
1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
写成矩阵形式为
e 1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
1 2
u1
u2
1 le
1
1
EAel e
1 le
1
1
u1 u2
P1
P2
u1 u2
1 2
u1
EAe
u2
le EAe
le
EAe
le
基本变量为：
节点 位移
(1)
内部各
点位移
(2)
(3)
应变
应力
完整的求解过程
1）离散化 该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。
假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散 单元给出节点编号和单元编号。
单元1：i=1，j=2 单元2：i=2，j=3
2）单元分析
单元位移模式：u(x)=a0+a1x
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
EA2
u3
l2 EA2
l2
EA2
l2
EA2
u2 u3
0
l 2
1 2
u1
u2
EA1
l1
u3
EA1 l1
0
EA1 l1
EA1 l1
EA2 l2
EA2 l2
E le
1
1
ui u j
简记为 Sqe 应力矩阵或者是应力转换矩阵
势能的表达
e U e W e
1 2
e ij ij d
P1u1 P2u2
1 2
le 0
Bq e
T
Sqe
Aedx
P1u1
P2u2
1 2
le qeT BT EBqe Aedx
0
P1u1 P2u2
1 2
u2
u3
EA1
l1
EA2 l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
0
l 2
F3
u2 u3
5）建立刚度方程
由于上式是基于许可位移场的表达的系统势能，这是由全
部节点位移分段所插值出的位移场为全场许位移场，且基本
未知量为节点位移，根据最小势能原理（即针对未知位移求
一阶导数）有
本章主要内容
4.1有限元分析的完整过程 4.2有限元分析的基本步骤及表达式 4.3杆单元及其坐标变换 4.4梁单元及其坐标变换
4.1有限元分析的完整过程
E1=E2=2E7Pa A1=A2=2cm2 l1=l2=10cm
P3为10N作用下二杆结构的变形。
问题的解题思路： 1）用标准化的分段小单元来逼近原结构 2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 3）基于位移场的最小势能原理来求解
单元节点条件：u(0)=u1， u(1)=u2
从而得：
a0 ui ,
a1
uj
ui le
i
1,
j
2
回代得
u(x) a0 a1x
ui
u j ui le
x
1
x le
ui
x le
u
j
Niui N ju j
写成矩阵形式为
q Niu Nqe
N
ju
ui u j
形函数矩阵
其中Ni，Nj是形函数。
可得支反力大小。
以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于 复杂结构，其求解过程完全相同，由于每一个步骤都具备 标准化和规范性的特征，所以可以在计算机上编程而自动 实现。
讨论1：对于一个单元的势能取极值，所得到的方程为 节点的位移和节点力之间的关系，也称为单元的平衡关系， 由此可以求出每一个单元所受的节点力。
第4章 杆系结构的有限元分析原理
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统. 从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件称为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 变截面杆和弯曲杆件
EA1 EA2
l1
l2
EA2
l2
EA2
l2
EA2
u2 u3
0
F3
l2
6）求解节点位移
将结构参数和外载荷代入上式有
3EA2
l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
0
F3
l2
2E4
3 1
1
1
u2 u3
0 10
求解得（单位m）
u2 u3
2.5E 7.5E
根据几何方程可得应变的表达
x
du dx
a1
1 le
u j ui
写成矩阵形式为
Niu
N
ju
ui u j
1 le
1
1
ui u j
简记为 Bqe
几何函数矩阵或者是应变转换矩阵
根据物理方程可得应力的表达
x
E
du dx
E le
u j ui
写成矩阵形式为
E Niu
N
ju
ui u j
N
ju
2
ui u j
2
E l2
1
1
uu32
0.1Mpa
9）计算支反力
对于单元势能的表达，对其取极值有
K eqe Pe
具体地对于单元1，有
EA1 1 l1 1
1
1
u1 u2
R1
ห้องสมุดไป่ตู้
P2
其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即
单元2对该节点的作用力，将前面求得的节点位移代入上式
EAe
u1 u2
P1
le
P2
u1 u2
1 qeTK eqe PeTqe 2
刚度矩阵
节点力列阵
3）离散单元的装配
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以求 出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
4 4
7）计算单元应变
1 Niu
N
ju
ui u j
1
1 l1
1
1
u1 u2
2.5E 3
2 Niu
N
ju
2
ui u j
2
1 l2
1
1
uu32
5E 3
8）计算单元应力
1 E Niu
N
ju
ui u j
1
E l1
1
1
uu12
0.05Mpa
2 E Niu
0
EA2 l2
EA2
u1 u2 u3
R1
0
u1
F3
u2
u3
l2
F3
u2 u3
4）边界条件的处理
处理边界条件是获取可能位移场，将左端的约束条件，
即u1=0代入上式可以得到简化的势能表达式
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2