平面问题有限元解法(公式推导讲解)

通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是 为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。
弹性力学中的几个基本概念
作用于物体的外力可以分为体积力和表面力。 体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性
力。
为了表明物体在某一点P所受体力的大小和方 向，在这一点取物体的一小部分，它包含P点，
的体力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
弹性力学中的几个基本概念
面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和 接触力。
为了表明物体在某一点P所受面力的大小和方 向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含
P点，而它的面积为△S，作用于其上的面力为 △F，则面力的平均集度为△F/ △S。当△S不 断减小，假定体力为连续分布，则△F/ △S将
求解方法
经典解析 半解析 传统数值解法 现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）
有限元单元模型中几个重要概念
单元
网格划分中每一个小的块体
节点
单元
确定单元形状、单元之间相互联结的 点
节点力
单元上节点处的结构内力
载荷
作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力）
载荷
约束
分析单元力学性质 根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元 节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位 移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。
计算等效节点力 作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到 节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。
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有限元单元法分析步骤（三）
各向同性——假定物体的弹性在所有各个方向都相同。 小变形——假定位移和形变是微小的，物体受力之后，整
个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，因而 应变和转角都远小于1。
平面问题的基本理论
任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但是如 果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的 是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为 近似的平面问题。
趋于一定的极限 f ，即:
lim S 0
F S
＝f
这个极限矢量 f 就是该物体在P点所受面力在集度。 f 的方向就是
△F的方向，矢量 f 在坐标轴x,y,z上的投影 f x , f y , f z 称为该物体
在P点的面力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为
负。
弹性力学中应力的方向规定
每一个面上的应力可以分解为一个正应力和两个切应力。 正应力用σ表示，加上一个下标字母，表示作用面和作用方向。 切应力用τ表示，并加上两个下标字母，表示作用面和作用方向。前
平面问题的有限单元解法
有限元单元法基本思想
有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一 定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从 而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解 的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元 分析，最终得到对整个物体的分析。
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
单元 节 点
节点力
平面问题有限单元法基本概念
有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广泛应用而发展起 来的一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。
平面问题的有限单元法求解
将连续体变换成为离散化结构。即将连续体划分为有限多个有限大小的单元， 这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散化结构。（对于平面问 题，常用的单元是三角形单元）
节点编码。
注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材 料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。所以，用有限元分析计 算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。
有限元单元法分析步骤（二）
单元特性分析
选择未知量模式 选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法； 选节点力作为基本未知量时，称为力法； 取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。
整体分析
集成整体节点载荷矢量 F 。结构离散化后，单元之间通过节点传递 力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移 到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编 码顺序组集成整体节点载荷矢量。
组成整体刚度矩阵K ，得到总体平衡方程：
K＝F
引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。
有限单元法的分析步骤如下：
物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
物体变形及受力情况的描述
基本变量
u
εσ
σ =E ε
（位移） （应变） （应力）
E 弹性模量
基本方程
力的平衡方程 几何方程 物理方程
即： 三大方面
三大方程
而它的体积为△V，作用于其上的体力为△F， 则体力的平均集度为△F/ △V。当△V不断减 小，假定体力为连续分布，则△F/ △V将趋于
一定的极限f，即:
lim V 0
F V
＝
f
这个极限矢量f就是该物体在P点所受体力在集度。 f的方向就是
△F的方向，矢量f在坐标轴x,y,z上的投影fx,fy,fz称为该物体在P点
一个字母表示作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表示作用方 向沿着哪一个坐标轴。
弹性力学中的基本假定
连续性——假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质 所填满，不留任何空隙。
完全弹性——假定物体在引起形变的外力被除去之后能恢 复原形，而没有任何剩余形变。
均匀性——假定整个物体有同一材料组成的，物体的所有 各部分具有相同的弹性。
用结构力学方法进行求解
有限元单元法分析步骤（一）
结构离散化
将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。 结构的离散化是有限元法分析地第一步，关系到计算精度和效率，包括以下 三个方面：
单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、 节点自由度数等。
单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算 量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应 力变化平缓区域不必要细分网格。