平面问题的有限元法
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弹性力学平面问题的有限元法实例
分析与决策
(1)何种类型？
平面问题中的结构问题，且为静力问题；
平面问题中具有对称性，为减少[K]，简化模型取
1/4；
简化后加约束，（1）在ox面上，位移u是对称的，
位移v是反对称的；在oy面上，位移u是反对称的， 位移v是对称的； （2）在ox面上，载荷对称，在oy 面上，载荷对称；
(1)何种类型？
4.5剖分面（续）
以垂线剖分面。依次单击preprocessor-modelingoperate-booleans-divide-area by line，弹出对话框， 选择对话框中的box单选，用窗口选择两个面元素， 后单击apply,在窗口中选L6-ok,完成面元素剖分。 单击plotctrls菜单中的numbering命令，关闭line numbers –ok; 单击plot菜单中的area命令，用面元素显示模型， 剖分的模型如图所示，由2个面变为4个面，面元素 的编号同时发生变化。
Preprocessor-material
props-material models-弹出define material model behavior 对话框-列表框material models available中， 依次单击structural-linear-elastic-isotropic， 添加弹性模量2.1e+11，泊松比0.3-ok;
操作过程
一、建立新文件
二、类型的选择 Structural-ok；
二、前处理
1、添加单元类型 选择：Quad 4node 42(单元库编号)； 具有厚度：选择 option-plane str w/thk(平面应力有厚度)；
2、设置实常数（Real constants）
有限元分析——平面问题
Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
技术中心 5 /33
根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1
第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则
1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 9 11 13
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序 在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的 面积 不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时 针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排 的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可 得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元 分析软件的使用要求。 五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵 的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位 移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最 多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。 例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点 总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行 编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号 方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三 个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当 节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生 应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力 ，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起 单元刚体位移的能力。 例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就 是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变 一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标 位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位 置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序 在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的 面积 不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时 针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排 的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可 得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元 分析软件的使用要求。 五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵 的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位 移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最 多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。 例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点 总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行 编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号 方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三 个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当 节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生 应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力 ，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起 单元刚体位移的能力。 例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就 是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变 一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标 位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位 置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，
第七章 平面问题的有限单元法(Q4)
b y3 y2 y y1 4 2 2
8
4节点四边形单元
y, v
u1 v 1 u2 u de 2 u3 u3 u4 u 4 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
1 N (1 )(1 ) 1 4 N 1 (1 )(1 ) 2 4 1 N (1 )(1 ) 3 4 N 1 (1 )(1 ) 4 4
1 4
Nj 1 4 (1 j )(1 j )
4 ( 1, +1) ( u4, v4)
1
N3 1 4 (1 )(1 ) N4 1 4 (1 )(1 )
N 3 at node 1 1 4 (1 )(1 ) 1 0 N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
同理：
1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 4 3 y3 1 1 1 1 y4 4
K e B DBtd
e
T
11
等参单元
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通 过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形 单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（ 包括高次曲边四边形单元）。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实
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4节点四边形单元
y, v
u1 v 1 u2 u de 2 u3 u3 u4 u 4 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
1 N (1 )(1 ) 1 4 N 1 (1 )(1 ) 2 4 1 N (1 )(1 ) 3 4 N 1 (1 )(1 ) 4 4
1 4
Nj 1 4 (1 j )(1 j )
4 ( 1, +1) ( u4, v4)
1
N3 1 4 (1 )(1 ) N4 1 4 (1 )(1 )
N 3 at node 1 1 4 (1 )(1 ) 1 0 N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
同理：
1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 4 3 y3 1 1 1 1 y4 4
K e B DBtd
e
T
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等参单元
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通 过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形 单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（ 包括高次曲边四边形单元）。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实
有限元分析第四章
19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )
4.5.14.5平面问题有限元分析步骤及计算实例
K
88
K 12 11 K21 1
K 12 31
K41 2
K22 1 K32 1
K 12 33
K43 2
K
44
2
由于[Krs]=[Ksr]T，又单元1和单元2的节点号按1、2、
3对应3、4、1，则可得：
K11 1
K33 2
3E 16
3 0
0 1
K21 1 K43 2
K12 1
3E 8
3 1 0
0 0 1
3 1 1
1 3 1
0 0 1
013
q/E 0
q/E 0
3E 8
8q
0 /(3E) 0
0 q1
0
0
单元应力可看作是单元形心处的应力值。
7）引入约束条件，修改刚度方程并求解
根据约束条件：u1 =v1=0；v2=0；u4=0和等效节点力列
阵：F 0 0 0 0 0 q / 2 0 q / 2T
五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 整体刚度矩阵的奇异性可以通过引入边界约束条件来排除弹性体的
刚体位移，以达到求解的目的。
（两种）方法 “化1置0法”
“乘大数法”
⑴修改后的总刚为非奇异，对应的总体平衡方程可求解； ⑵如果已知位移不等于0，采用第二种方法，固定约束用 第一种方法。 ※求解可以采用解方程组的任何一种方法。（高斯消去法 常用），可借用一些计算机软件：如Matlab，Excel等。
所以 q / E0 0 1/ 3 0 1/ 3 1 0 1T
习题和思考题
• 4.1三角形常应变单元的特点？ • 4.2平面问题有限元法的基本思想和解题步骤。 • 4.3简述形函数的概念和性质。 • 4.4平面问题整体刚度矩阵的推导过程。 • 4.5矩形单元的特点？ • 4.6有限元方法解的收敛准则。
平面问题的有限元分析
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义
Ai Apjm Aj Apmi Ak Apij
恒等关系：
A Ai Aj Am Aijm
P点位置可由3个比值来确定：
p(Li , Lj , Lm )
其中面积坐标：
Li Ai / A Lj Aj / A Lm Am / A
4)：单元推导。 对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中
包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元 各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或 柔度阵)。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约
束。 5)总装集成。 将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似
0
Nm
Ni
I22
单元内任意一点的位移可由节点位移表示为：
N j I22
d
u
v
Nδe
e ui vi u j v j um
Nm I22
T
vm
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
2）单元应变和单元应力
d
u
v
Nδe
代入
ε
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
其中
K rs
BrT DBshA
Eh
4(1 2 ) A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
4.1 三角形常应变单元
有限元分析 第二章 平面问题的有限元方法
当采用有限元方法求解时，第一步是将平板离散成有 限个小单元。
A：
梁结构的离散：取一段梁为一单元 单元类型：简单直线段 离散原则：几何上真实模拟原结构及其变形
平板的离散：取一小面积板为一单元 单元类型：由最基本的平面图形构成 三角形、四边形（如正方形、长方形、梯形） 而五边形、圆、扇形不宜作为单元。 离散原则：几何上真实模拟原结构（无缺陷、重叠） 模拟变形状态
(2.3)
对于平面问题：
u x x v y y u v xy y x
(2.4)
x x y 0 z y
0 u y v x
简记，
u H ( x, y)a v
u H a v
（2.14）
e e Ⅱ、单元节点位移 与 a 之关系
u l 1 xl v 0 0 l u m 1 x m v m 0 0 u n 1 x n vn 0 0
第2章 平面问题的有限元方法
2.1 弹性理论基础
Ⅰ、基本假设： • 连续性－物质连续。相应的应力应变，位移等连续变量可 以用坐标的连续函数表示； • 均质各向同性——物体内部各点，各方向上物理性质相同， 材料常数（弹性模量，泊松比）不随坐标方向而变； • 完全弹性——材料服从Hooke定律； • 小变形（几何假设）——略去二阶小量，所有微分方程为 线性的； • 无初应力——加载前物体内无初应力。
yl 0 ym 0 yn 0
0 1
0 xl
0 0 1 xm 0 1 0 xn
0 a1 a yl 2 0 a3 y m a 4 0 a 5 yn a 6
A：
梁结构的离散：取一段梁为一单元 单元类型：简单直线段 离散原则：几何上真实模拟原结构及其变形
平板的离散：取一小面积板为一单元 单元类型：由最基本的平面图形构成 三角形、四边形（如正方形、长方形、梯形） 而五边形、圆、扇形不宜作为单元。 离散原则：几何上真实模拟原结构（无缺陷、重叠） 模拟变形状态
(2.3)
对于平面问题：
u x x v y y u v xy y x
(2.4)
x x y 0 z y
0 u y v x
简记，
u H ( x, y)a v
u H a v
（2.14）
e e Ⅱ、单元节点位移 与 a 之关系
u l 1 xl v 0 0 l u m 1 x m v m 0 0 u n 1 x n vn 0 0
第2章 平面问题的有限元方法
2.1 弹性理论基础
Ⅰ、基本假设： • 连续性－物质连续。相应的应力应变，位移等连续变量可 以用坐标的连续函数表示； • 均质各向同性——物体内部各点，各方向上物理性质相同， 材料常数（弹性模量，泊松比）不随坐标方向而变； • 完全弹性——材料服从Hooke定律； • 小变形（几何假设）——略去二阶小量，所有微分方程为 线性的； • 无初应力——加载前物体内无初应力。
yl 0 ym 0 yn 0
0 1
0 xl
0 0 1 xm 0 1 0 xn
0 a1 a yl 2 0 a3 y m a 4 0 a 5 yn a 6