有限元(平面问题)2014版
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[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
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* 1 1 * 2 * 3 3
* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16） 式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应 变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5
* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16） 式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应 变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5
有限元分析——平面问题
Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
技术中心 5 /33
根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1
平面单元的有限元法
u
1
5
3
2
y
2x
3
5
2
y
则单元刚体位移为
v
4
5
2
3
x
6
y
3
2
5
u
1
5
3
2
y
v
4
5
2
3
x
记为
u v
1 4
0 y 0x
显然，位移函数包含 了单元的刚体位移 （平动和转动）
u v
j j
um
vm
[I]是单位矩阵，
[N]称为形函数矩阵，
Ni只与单元节点坐标有关，称为 单元的形状函数
4-2 平面问题的常应变(三角形)单元
据弹性力学几何方程得单元的应变分量
u
x y
xy
x
4-1 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单元分
析 4、整体分析与求解 5、结果分析
图 3-1
4-2 平面问题的常应变(三角形)单元
有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合 体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为 由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简 单，因而最常用的单元是三角形单元。因平面问题 的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可 视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单 元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到 节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量 可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相 应的连杆支座。如图3-1
有限元例题
【1】图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格划分及单元、节点编号如图1所示。
试求：(1) 计算系统刚度矩阵的最大带宽；(2) 根据图中结构的边界约束状态，给出约束节点位移值。
【解】(1) 相邻节点号的最大差为d = 4；所以，半带宽为B = 2 ⨯ (4 + 1) = 10。
(2) u1 = 0，v1 = 0，u4 = 0，v4 = 0。
【2】弹性力学平面问题4节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚度矩阵是多少阶的？单元刚度矩阵有多少个元素？【解】平面问题4节点等参元，其单元自由度是4 ⨯2 = 8个；单元刚度矩阵是8 ⨯ 8 阶的，单元刚度矩阵有64个元素。
【3】平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度是多少？单元刚度矩阵是多少阶的？单元刚度矩阵有多少个元素？【解】平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度是2 ⨯ 3 = 6个；单元刚度矩阵是6 ⨯ 6阶的；单元刚度矩阵有36个元素。
【4】已知一等截面直杆中某一微段的起始点坐标为0.5m，终点坐标为0.6m，起始点的位移为0.2mm，终点的位移为0.3mm。
假定直杆内的位移是线性分布的。
求该微段等截面直杆的位移表达式f(x)。
【解】已知：x i = 0.5m, x j= 0.6m, u i = 0.2mm = 0.2⨯10-3m, u j= 0.3mm = 0.3⨯10-3m。
即【5】已知4节点一维问题中单元①(1, 2)的应力矩阵为结构总体位移列阵为求单元①的应力（用矩阵计算）。
【解】由总体结构位移列阵知，单元①的位移列阵为由{σ} = [C] {∆}e可求得单元①的应力【6】某结构中单元③的单元应力矩阵，节点位移列阵为，求单元3的应力{σ }。
【解】由{σ} = [C] {∆}e可求得单元③的应力【7】已知某结构中三角形常应变单元的单元③的应力矩阵与应变矩阵分别为，单元厚度t = 1，单元面积A = 0.5，求单元③的刚度矩阵[K]3。
4.5.14.5平面问题有限元分析步骤及计算实例
K
88
K 12 11 K21 1
K 12 31
K41 2
K22 1 K32 1
K 12 33
K43 2
K
44
2
由于[Krs]=[Ksr]T，又单元1和单元2的节点号按1、2、
3对应3、4、1，则可得：
K11 1
K33 2
3E 16
3 0
0 1
K21 1 K43 2
K12 1
3E 8
3 1 0
0 0 1
3 1 1
1 3 1
0 0 1
013
q/E 0
q/E 0
3E 8
8q
0 /(3E) 0
0 q1
0
0
单元应力可看作是单元形心处的应力值。
7）引入约束条件，修改刚度方程并求解
根据约束条件：u1 =v1=0；v2=0；u4=0和等效节点力列
阵：F 0 0 0 0 0 q / 2 0 q / 2T
五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 整体刚度矩阵的奇异性可以通过引入边界约束条件来排除弹性体的
刚体位移，以达到求解的目的。
（两种）方法 “化1置0法”
“乘大数法”
⑴修改后的总刚为非奇异，对应的总体平衡方程可求解； ⑵如果已知位移不等于0，采用第二种方法，固定约束用 第一种方法。 ※求解可以采用解方程组的任何一种方法。（高斯消去法 常用），可借用一些计算机软件：如Matlab，Excel等。
所以 q / E0 0 1/ 3 0 1/ 3 1 0 1T
习题和思考题
• 4.1三角形常应变单元的特点？ • 4.2平面问题有限元法的基本思想和解题步骤。 • 4.3简述形函数的概念和性质。 • 4.4平面问题整体刚度矩阵的推导过程。 • 4.5矩形单元的特点？ • 4.6有限元方法解的收敛准则。
平面问题的有限元分析
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义
Ai Apjm Aj Apmi Ak Apij
恒等关系：
A Ai Aj Am Aijm
P点位置可由3个比值来确定：
p(Li , Lj , Lm )
其中面积坐标：
Li Ai / A Lj Aj / A Lm Am / A
4)：单元推导。 对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中
包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元 各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或 柔度阵)。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约
束。 5)总装集成。 将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似
0
Nm
Ni
I22
单元内任意一点的位移可由节点位移表示为：
N j I22
d
u
v
Nδe
e ui vi u j v j um
Nm I22
T
vm
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
2）单元应变和单元应力
d
u
v
Nδe
代入
ε
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
其中
K rs
BrT DBshA
Eh
4(1 2 ) A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
4.1 三角形常应变单元
有限元第五讲 平面问题(二)——离散化、三角形单元分析
N i x Bi 0 N i y 0 N i y N i x
该式建立了用单元节点位移表 达单元上应变分布的关系。
B 称为应变矩阵，其一个子块的计算式为：
(i l , m, n)
•
对简单三角形单元，应变矩阵为：
上面求出的待定系数 a1
~ a6 代回位移多项式，得到：
al 1 y bl 2 cl am bm cm a n ul bn um u cn n
u 1 x
ul 1 al bl x cl y am bm x cm y an bn x cn y um 2 u n ul N l N m N n um N l ul N mum N nun N i ui i l , m , n u n
xl xn yl ym yn
am bm cm
an ul bn um u cn n
2 1 xm
为三角形面积
节点坐标行列式
ak , bk , ck 分别是节点坐标行列式 的第k (k l，m，n)行第1， 2， 3个 元素的代数余子式，均为常数。
~ a3 : yl a1 ym a2 a yn 3
1
a1 1 xl a2 1 xm a 1 x n 3
其中：
yl ym yn
1 1
ul al 1 bl um u 2 c n l
yl ym yn
1
vl al 1 bl vm v 2 c n l
该式建立了用单元节点位移表 达单元上应变分布的关系。
B 称为应变矩阵，其一个子块的计算式为：
(i l , m, n)
•
对简单三角形单元，应变矩阵为：
上面求出的待定系数 a1
~ a6 代回位移多项式，得到：
al 1 y bl 2 cl am bm cm a n ul bn um u cn n
u 1 x
ul 1 al bl x cl y am bm x cm y an bn x cn y um 2 u n ul N l N m N n um N l ul N mum N nun N i ui i l , m , n u n
xl xn yl ym yn
am bm cm
an ul bn um u cn n
2 1 xm
为三角形面积
节点坐标行列式
ak , bk , ck 分别是节点坐标行列式 的第k (k l，m，n)行第1， 2， 3个 元素的代数余子式，均为常数。
~ a3 : yl a1 ym a2 a yn 3
1
a1 1 xl a2 1 xm a 1 x n 3
其中：
yl ym yn
1 1
ul al 1 bl um u 2 c n l
yl ym yn
1
vl al 1 bl vm v 2 c n l
有限元分析第4章 平面问题有限单元法1
1
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等 节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element） 节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v
N
e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j
(am
bmx
cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)ui
(a j
bj x
cj
y)u j
(am
bm x
cm
y)um ]
v x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)vi
(a j
插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等 节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element） 节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v
N
e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j
(am
bmx
cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)ui
(a j
bj x
cj
y)u j
(am
bm x
cm
y)um ]
v x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)vi
(a j
插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
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第四章 平面问题的有限元法
平面问题的基本概念与基本方程 平衡的普适表达方法—虚功原理 平面问题有限元位移插值函数 单元刚度矩阵 约束处理 载荷处理
1
平面问题基本概念与基本方程
平面问题的分类：平面应力问题和平面应变问题。
1、平面应力问题 一个例子：薄板平行板中面
均匀承受载荷 特点：只有与板中面平行的
14
平面问题有限元位移插值函数 单元位移插值函数一般可以用多项式表示:
u a1 + a2 x + a3 y + a4 x2 + a5 xy + a6 y2 + ...
v b1 + b2 x + b3 y + b4 x2 + b5 xy + b6 y 2 + ...
15
平面三角形单元及其位移插值函数 1、三节点三角形单元
y k
为三角形面积
注意：为保证Ａ＞０，在右手系中ｉ，ｊ，ｋ编号 按逆时针方向．
同理可以推导出其他三个系数．
18
平面三角形单元及其位移插值函数
将系数带入式（4-3）得单元任一点位移u，v的表达式 ：
u
1 2A
[(ai
+
bi
x
+
ci
y)ui
+
(a
j
+
bj
x
+
c
j
y)u j
+
(ak
+
bk
x
+
ck
y)uk
Xu + Yv dxdy + pxu + pyv ds
x
x
+
xy
xy
+
y
y
dxdy
此即虚功原理的数学表述（外力虚功等于内力虚功 ）
12
平面问题有限元位移插值函数
结构离散、单元和节点 对于连续体问题，它不像杆（梁）系结构 有自然的节点将结构直观地离散为单元。必 须人为地用假想的线或面将连续体分割成有 限个部分，每一部分称为单元。各单元用有 限个节点连接。
因此有，外力虚功等于内力虚功。
8
普适平衡表达方法—虚功原理
2、从平衡方程和力边界条件出发证明 (a)对于域内处处成立的平衡方程和给定外
力边界上处处成立的力边界条件，分别配置任 意给定的虚位移，并在域内和边界上积分，给 出积分形式的等效平衡方程和力边界条件；
(b)利用Green公式对积分进行域内和封闭 边界之间的变换；进一步利用几何方程，并假 定全部边界为给定力边界，可以建立与平衡方 程和力边界条件等效的虚功原理。
应力分量 2、平面应变问题 一个例子：长柱状体，端面受刚性约束，沿柱体长度 方向承载方式和支撑条件不变化。 特点：只有与柱体截面平行的应变分量
2
平面问题基本概念与基本方程
弹性力学的基本假定：
1）均匀连续、各向同性—物体各处连续，且性质不随空间 位置以及取向改变；
2）小变形、线弹性—位移、变形均为小量，应力—应变关 系符合虎克定律，且各量均可叠加；
u
u x
(v + v dy) v
y
y dy
v y
xy
a
+
b
v x
+
u y
4
平面问题基本概念与基本方程
平面应力问题的应力—应变关系 物理方程
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
xy xy / G
x
E
1 2
( x
+
y )
y
E
1 2
( x
+y)
xy
E 2(1 +
)
xy
且有： z 0
自由度数 ＝结点位移数 ＝６
三结点三角形单元
i
j
T
k ui
vi
uj
vj
uk
T
vk
16
平面三角形单元及其位移插值函数
2、位移插值函数
u
a
1
+a 2x
+a 3y
va 4 +a 5x +a 6 y
(4 3)
用三个结点的6个位移来表示６个待定系数 ai
aa aa aa uuji
a a a uk
]
1 2A
(ai
i, j,k
+ bi x
+
ci
y)ui
+
1
+
1
+
1
x+
2i
x+
2j
x+
2k
y3 i y3 j
y3 k
a1
1
2A
ui uj
xi xj
y i
y j
uk
xk
y k
a
2
1
2A
1 1
ui uj
y i
y j
1
uk
y k
1
a3 1
1
xi ui xj uj xk uk
17
平面三角形单元及其位移插值函数
其中：
A
1 2
1 1
1
xi xj xk
y i
y j
9
普适平衡表达方法—虚功原理
Green公式（二维情况）
dy nxds
dx nyds
P x
+
Q y
dxdy
Pdy
Qdx
Pnx + Qnyds
式中 nx 和 n y 分别为边界外法线在x轴和
y轴的分量。
10
普适平衡表达方法—虚功原理
如物体内部和边界上处处平衡，则对于任意给 定的虚位移，均有
z
E
x
+ y
5
平面应力物理方程以矩阵形式可表示为：
x y
xy
E
1 2
1
0
对 1 0
称
1
xxyy
2
6
平面问题基本概念与基本方程
微元体平衡关系 平衡方程
y
yx
+
yx
y
y
dy
+
y dy
y
xy +
xy
x
dx
x xy
yx
y
x
+
x
x
dx
x
x + yx + X 0
x y
13
平面问题有限元位移插值函数
有限元位移插值的收敛准则
当位移函数满足下列准则时，解一定是收敛的， 即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。
单元的位移函数能反映单元的刚体位移。
单元的位移函数能反映单元的常应变。
单元的位移函数在单元内部连续，在单元边 界上协调(单元之间位移一致)
前两个条件是必要条件，第三个条件是充分条件。
x
x
+
xy
y
+
X
u
+
yx
x
+
y
y
+
Y
v
dxdy
+ px xnx + xyny u + py yxnx + yny v ds 0
上式是与平衡方程和力边界条件等价的 积分形式（用反证法证明之）
11
普适平衡表达方法—虚功原理
由Green公式对积分进行变换后 再利用几何方程有
y + xy + Y 0
y x
7
普适平衡表达方法—虚功原理
虚功原理的两种证明方法： 1、以梁为例的直观证明
用两种方式计算全部内力和外力所做的总虚功 (a)截面两侧内力（互为作用与反作用力）成组 考虑；因截面两侧内力做功之和为零，总虚功等 于外力在虚位移上所做的功（称为外力虚功）； (b)单元力系（为平衡力系）成组考虑；因平衡 力系在刚体位移上做功之和为零，总虚功等于内 力在虚变形上所做的功（称为内力虚功）。
3）处处平衡—物体整体或任意部分均处于平衡状态。
3
平面问题基本概念与基本方程
平面问题的位移—应变关系 几何 方程
y
u + ?u dy ?y
v + ?v dy ?y
D" b D'
D
C
A' u
C'
B'
a
v + ?v dx
?x
dy
v
A
B
B"u + 来自u dxdx?x
0
x
图 1-5
x
(u
+
u dx) x
dx
平面问题的基本概念与基本方程 平衡的普适表达方法—虚功原理 平面问题有限元位移插值函数 单元刚度矩阵 约束处理 载荷处理
1
平面问题基本概念与基本方程
平面问题的分类：平面应力问题和平面应变问题。
1、平面应力问题 一个例子：薄板平行板中面
均匀承受载荷 特点：只有与板中面平行的
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平面问题有限元位移插值函数 单元位移插值函数一般可以用多项式表示:
u a1 + a2 x + a3 y + a4 x2 + a5 xy + a6 y2 + ...
v b1 + b2 x + b3 y + b4 x2 + b5 xy + b6 y 2 + ...
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平面三角形单元及其位移插值函数 1、三节点三角形单元
y k
为三角形面积
注意：为保证Ａ＞０，在右手系中ｉ，ｊ，ｋ编号 按逆时针方向．
同理可以推导出其他三个系数．
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平面三角形单元及其位移插值函数
将系数带入式（4-3）得单元任一点位移u，v的表达式 ：
u
1 2A
[(ai
+
bi
x
+
ci
y)ui
+
(a
j
+
bj
x
+
c
j
y)u j
+
(ak
+
bk
x
+
ck
y)uk
Xu + Yv dxdy + pxu + pyv ds
x
x
+
xy
xy
+
y
y
dxdy
此即虚功原理的数学表述（外力虚功等于内力虚功 ）
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平面问题有限元位移插值函数
结构离散、单元和节点 对于连续体问题，它不像杆（梁）系结构 有自然的节点将结构直观地离散为单元。必 须人为地用假想的线或面将连续体分割成有 限个部分，每一部分称为单元。各单元用有 限个节点连接。
因此有，外力虚功等于内力虚功。
8
普适平衡表达方法—虚功原理
2、从平衡方程和力边界条件出发证明 (a)对于域内处处成立的平衡方程和给定外
力边界上处处成立的力边界条件，分别配置任 意给定的虚位移，并在域内和边界上积分，给 出积分形式的等效平衡方程和力边界条件；
(b)利用Green公式对积分进行域内和封闭 边界之间的变换；进一步利用几何方程，并假 定全部边界为给定力边界，可以建立与平衡方 程和力边界条件等效的虚功原理。
应力分量 2、平面应变问题 一个例子：长柱状体，端面受刚性约束，沿柱体长度 方向承载方式和支撑条件不变化。 特点：只有与柱体截面平行的应变分量
2
平面问题基本概念与基本方程
弹性力学的基本假定：
1）均匀连续、各向同性—物体各处连续，且性质不随空间 位置以及取向改变；
2）小变形、线弹性—位移、变形均为小量，应力—应变关 系符合虎克定律，且各量均可叠加；
u
u x
(v + v dy) v
y
y dy
v y
xy
a
+
b
v x
+
u y
4
平面问题基本概念与基本方程
平面应力问题的应力—应变关系 物理方程
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
xy xy / G
x
E
1 2
( x
+
y )
y
E
1 2
( x
+y)
xy
E 2(1 +
)
xy
且有： z 0
自由度数 ＝结点位移数 ＝６
三结点三角形单元
i
j
T
k ui
vi
uj
vj
uk
T
vk
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平面三角形单元及其位移插值函数
2、位移插值函数
u
a
1
+a 2x
+a 3y
va 4 +a 5x +a 6 y
(4 3)
用三个结点的6个位移来表示６个待定系数 ai
aa aa aa uuji
a a a uk
]
1 2A
(ai
i, j,k
+ bi x
+
ci
y)ui
+
1
+
1
+
1
x+
2i
x+
2j
x+
2k
y3 i y3 j
y3 k
a1
1
2A
ui uj
xi xj
y i
y j
uk
xk
y k
a
2
1
2A
1 1
ui uj
y i
y j
1
uk
y k
1
a3 1
1
xi ui xj uj xk uk
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平面三角形单元及其位移插值函数
其中：
A
1 2
1 1
1
xi xj xk
y i
y j
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普适平衡表达方法—虚功原理
Green公式（二维情况）
dy nxds
dx nyds
P x
+
Q y
dxdy
Pdy
Qdx
Pnx + Qnyds
式中 nx 和 n y 分别为边界外法线在x轴和
y轴的分量。
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普适平衡表达方法—虚功原理
如物体内部和边界上处处平衡，则对于任意给 定的虚位移，均有
z
E
x
+ y
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平面应力物理方程以矩阵形式可表示为：
x y
xy
E
1 2
1
0
对 1 0
称
1
xxyy
2
6
平面问题基本概念与基本方程
微元体平衡关系 平衡方程
y
yx
+
yx
y
y
dy
+
y dy
y
xy +
xy
x
dx
x xy
yx
y
x
+
x
x
dx
x
x + yx + X 0
x y
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平面问题有限元位移插值函数
有限元位移插值的收敛准则
当位移函数满足下列准则时，解一定是收敛的， 即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。
单元的位移函数能反映单元的刚体位移。
单元的位移函数能反映单元的常应变。
单元的位移函数在单元内部连续，在单元边 界上协调(单元之间位移一致)
前两个条件是必要条件，第三个条件是充分条件。
x
x
+
xy
y
+
X
u
+
yx
x
+
y
y
+
Y
v
dxdy
+ px xnx + xyny u + py yxnx + yny v ds 0
上式是与平衡方程和力边界条件等价的 积分形式（用反证法证明之）
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普适平衡表达方法—虚功原理
由Green公式对积分进行变换后 再利用几何方程有
y + xy + Y 0
y x
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普适平衡表达方法—虚功原理
虚功原理的两种证明方法： 1、以梁为例的直观证明
用两种方式计算全部内力和外力所做的总虚功 (a)截面两侧内力（互为作用与反作用力）成组 考虑；因截面两侧内力做功之和为零，总虚功等 于外力在虚位移上所做的功（称为外力虚功）； (b)单元力系（为平衡力系）成组考虑；因平衡 力系在刚体位移上做功之和为零，总虚功等于内 力在虚变形上所做的功（称为内力虚功）。
3）处处平衡—物体整体或任意部分均处于平衡状态。
3
平面问题基本概念与基本方程
平面问题的位移—应变关系 几何 方程
y
u + ?u dy ?y
v + ?v dy ?y
D" b D'
D
C
A' u
C'
B'
a
v + ?v dx
?x
dy
v
A
B
B"u + 来自u dxdx?x
0
x
图 1-5
x
(u
+
u dx) x
dx