2020高等数学B(上)复习资料
《高等数学》(上)期末复习知识要点
1、 四则运算法则与复合运算法则（换元法）；2、 初等函数的连续性（代入法）： 00lim ()()x x f x f x →=；3、 两个重要极限：1）0sin lim1x x x→=，【特征：0sin lim 1→=】2）1lim(1)x x e x →∞+=（或1lim(1)n n e n→∞+=，10lim(1)x x x e →+=）；【特征：1lim(1)e →∞+= 】4、 存在准则：1）夹逼准则，2）单调有界准则；5、 洛必达法则：未定式00或∞∞（其它类型未定式：000,,,1,0∞⋅∞∞−∞∞必须转化）； 6、 等价无穷小量替换：只适用于乘除，加减不适用.（当0x →时，21cos 2x x −∼, sin (tan ,arctan ,arcsin ,1,ln(1)),x x x x x e x x −+∼(1)1a x x α+−∼(α为常数)等等)7、 无穷小的性质：有界量与无穷小的乘积、有限个无穷小的和与乘积均为无穷小等 8、 泰勒公式(麦克劳林公式)； 9、 微分中值定理；10、 定积分或导数定义*: 1）*【定积分定义】、设()f x 在[,]a b 上可积，则1lim ()()nb a n i b a b af a i f x dx n n→∞=−−+⋅=∑∫； 2）【导数定义】设()f x 在点a 处可导，则0()()()()lim()lim ()x ah f x f a f a h f a f a f a x a h→→−+−′′==−或.1、 函数()f x 在点0x 处连续000lim ()()lim ()lim ()()x x x x x x f x f x f x f x f x +−→→→⇔=⇔==；2、 间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间断点：无穷，振荡等.3、 连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数 4、 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处连续 5、 闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】；4）介值定理及其推论一、 极限及其求法：二、 函数的连续性《高等数学》(上)期末复习要点1、 定义： 1）0000000()()()()()limlimx x x f x f x f x x f x f x x x x →∆→−+∆−′==−∆； 2）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→−+∆−′==−∆3）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x−−−→∆→−+∆−′==−∆4）000()()()f x f x A f x A +−′′′==⇔= 2、 求导法则：【必须牢记18个基本导数公式】 1） 显函数()y f x =：I、四则运算法则： ()[()()],[()()],[],[()]()u x u x v x u x v x ku x v x ′′′′±⋅； II、复合函数的求导法则：设(),()y f u u g x ==都可导，则[()]y f g x =的导数为(){[()]}()()[()]()u g x d f g x f u g x f g x g x dx =′′′′=⋅=⋅，或dy dy du dx du dx=⋅ III、反函数的求导法则：1dy dx dxdy= IV、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：()y f x =，ln ||ln |()|y f x == （化简），y y′⇒= 2） 参数方程：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，()dy dydxg t dtdt dx == ，22()()d y dg t dg t dxdt dtdx dx=== ， 其它阶同理可求.3） 隐函数：(,)0F x y =（方程两边对x 求导，注意y 为x 的函数）10x y dyF F dx′′⇒⋅+⋅= 3、 高阶导数：234(4)()234(),(),(),,()n n n d y d y d y d y f x f x f x f x dx dx dx dx′′′′′==== 等4、 微分()dy f x dx ′=5、 关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必.三、 导数与微分1、 曲线的切线与法线方程：00()y y k x x −=−，0()k f x ′=切，01/()k f x ′=−法；2、 微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后根据定理下结论！1）Rolle 定理：()0()f a b ξξ′=<<；2）Lagrange 中值定理：()()()()()f b f a f b a a b ξξ′−=−<<；估计函数值之差3）Cauchy 中值定理：()()()()()()()f b f a f a bg b g a g ξξξ′−=<<′−；4）Taylor 中值定理：()(1)100000()()()()()()!(1)!k n nkn k f x f f x x x x x x x k n ξξ++==−+−+∑在与之间 3、 洛必达法则：00()()limlim ()()f x f x org x g x ∞∞′′，其它型未定式必须转化 4、 泰勒公式：熟悉5个常见带Peano 型余项的Maclaurin 公式5、 函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线 6、 不等式的证明：1）单调性；2）中值定理；3）凹凸性；4）最值 7、 方程根的存在性及唯一性：1）零点定理；2）Rolle 定理；3）单调性；4）极值最值等等 8、 恒等式的证明：若在区间I 上()0f x ′≡，则在区间I 上()f x C ≡2π1、 基本性质：线性，对积分区间的可加性，保号性（特别课后Ex.7：用连续性与不恒等于去等号），定积分中值定理【()()()()baf x dx f b a a b ξξ=−<<∫】，定积分的奇偶对称性、周期性.2、()()f x dx F x C =+∫与Newton-Leibniz 公式：()()bba af x dx F x =∫，（()()F x f x ′=）3、 换元法：1）第一类（凑微分法）；2）第二类：三角代换，倒代换等4、 分部积分法:1）三指动，幂不动；2）幂动，反对不动；3）凑同类所求便再现.5、 积分上限函数的导数：()()x a d f t dt f x dx =∫， ()()[()]()g x a d f t dt f g x g x dx′=⋅∫， 其中()f x 连续，()g x 可导，a 为常数，积分中的表达式()f t 必须与x 无关6、 有理函数的积分【假分式用除法化为多项式加真分式，真分式因式分解化为部分分式】以及可化为有理函数的积分【①三角函数有理式的积分：万能代换tan()2xt = ()x ππ−<<；②简单根式：线性函数或分式函数的根式讨厌要换之，开方不同最小公倍数】7、 反常积分：无穷限的反常积分或瑕积分，广义Newton－Leibniz 公式，特别注意瑕点在积分区间内部的瑕积分四、 导数的应用sin n xdx 】五、积分：不定积分，定积分，反常积分【必须牢记24个基本积分公式以及I n =∫1、 平面图形的面积：1） 直角坐标,x y ：a、 曲边梯形1{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：()baA f x dx =∫；b、 上、下型{(,)|,()()}D x y a x b g x y f x =≤≤≤≤：[()()]baA f x g x dx =−∫；c、 左、右型{(,)|,()()}D x y c y d g y x f y =≤≤≤≤：[()()]dcA f y g y dy =−∫；d、 设曲边梯形1D 的曲边由参数方程：(),()x x t y y t ==给出，则()()()b aA f x dx y t x t dt βα′==⋅∫∫【先代公式后换元】2） 极坐标,ρθ（极坐标变换cos ,sin x y ρθρθ==）： 设曲边扇形{(,)|,0()}D ρθαθβρρθ=≤≤≤≤，则21()2A d βαρθθ=∫ 2、 体积：CaseA、旋转体的体积：1） X－型或上下型{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：I、绕x 轴 2()bx aV f x dx π=∫；II、绕y 轴 2()(0)by aV xf x dx a π=≥∫2） Y－型或左右型{(,)|,0()}D x y c y d x g y =≤≤≤≤： I、绕y 轴 2()dy cV g y dy π=∫；II、绕x 轴 2()(0)dx cV yg y dy c π=≥∫CaseB、平行截面面积为已知的立体{(,,)|,(,)}x x y z a x b y z D Ω=≤≤∈，若()x AreaD A x =，则()baV A x dx =∫3、 弧长：由不同方程，代不同公式 1)():()()x x t C t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩，()s βααβ=<∫；2）:(),C y f x a x b =≤≤，()as a b =<∫；3）:(),C ρρθαθβ=≤≤，()s βαθαβ=<∫六、 定积分的应用【有公式代就代公式，否则用元素法】 （一） 一阶微分方程：(,,)0F x y y ′=，(,)y f x y ′=或(.)(,)0M x y dx N x y dy +=1、 可分离变量：()()f x dx g y dy =，积分之可得通解2、 齐次：()dy ydx xϕ=，令y u x =，可将原方程化为关于,x u 的可分离变量3、 线性：()()dyP x y Q x dx+=，通解为()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx C −∫∫=+∫；或利用常数变易法或利用积分因之法：()()P x dxx e µ∫=4、 伯努利：()()(0,1)n dyP x y Q x y n dx+=≠，令1n z y −=，可将原方程化为关于,x z 的线性． （二） 可降阶的高阶微分方程： I 、()()n yf x =【右端只含x 】：连续积分之；II 、(,)y f x y ′′′=【不显含y 】：令,y p ′=则dpy dx′′=，可将原方程化为关于,x p 的一阶． III 、(,)y f y y ′′′=【不显含x 】：令y p ′=，则dpy p dy′′=，可将原方程化为关于,y p 的一阶 （三） 概念与理论1、 概念：阶，解（特解，通解），初始条件，初值问题，积分曲线2、 线性微分方程的解的结构：1）齐次：()()0y P x y Q x y ′′′++=，通解：1122()()y C y x C y x =+，其中12(),()y x y x 为该方程线性无关的两个解． 2）非齐次：()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 通解：()*()y Y x y x =+，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解． 3）设12*(),*()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 与2()()()y P x y Q x y f x ′′′++=的特解，则12**()*()y y x y x =+为12()()()()y P x y Q x y f x f x ′′′++=＋的特解．七、 微分方程附录I——基本求导公式：1221(1)()0(2)();(3)();(4)(ln ||);1(5)()ln ;(6)(log );(01)ln (7)(sin )cos ;(8)(cos )sin ;(9)(tan )sec ;(10)(cot )csc ;(11)(sec )sec tan ;(12)x x x x a C C x x e e x xa a a x a a x ax x x x x x x x x x x αααα−′′′′====′′==>≠′′′′==−==−′=，为常数；，为常数常数且(csc )csc cot ;(13)(arcsin )(14)(arccos )(17)(sh )ch ;(18)(ch )sh .x x x x x x x x x ′′=−=′=′′==附录II——基本积分公式：122(1)1(2)1;(3)ln ||;1(4);(5)01;ln (6)sin cos ;(7)cos sin ;(8)sec tan ;(9)csc cot ;(10)sec tan sec x x x xkdx kx C k x x dx C dx x C x a e dx e C a dx C a a a xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C αααα+=+=+≠−=++=+=+>≠=−+=+=+=−+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫，为常数；，常数，常数且;(11)csccot csc;(12)tan ln |cos |;(13)cot ln |sin |;(14)sec ln |sec tan |;(15)csc ln |csc cot |;(16);(18)x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C C =−+=−+=+=++=−+∫∫∫∫∫2200;(20)(21)ln(;(22)ln ||;(23)sh ch ;(24)ch sh .1331,2422sin cos n n n C x C x C xdx x C xdx x C n n n nI xdx xdx πππ=+=++=+=+−−⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎞−===⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫ 1342,253n n n n n n ⎧⎪⎪⎨−−⎪⋅⋅⋅⋅⎪−⎩ 为正偶数；为大于1的正奇数.。
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华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导一、 求函数值 例题：1、若2()f x x =，()x x e ϕ=，则(())f x ϕ= ． 解：()22(())()xx x f x f e ee ϕ===2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+即 ()23f x x =+二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、320sin 3lim x xx →=？ 解：当0sin3~3x x x →，， 原式=3200(3)lim lim270x x x x x→→==2、0sin3limx xx→=？解：原式=03lim 3x xx →=3、201-cos limx xx→=？ 解：当210cos ~2x x x →，1-原式=220112lim 2x xx →=4、0ln(13)lim x x x →+=？解：当03)~3x x x →，ln(1+原式=.03lim 3x x x →=.5、201lim x x e x→-=？解：当201~2x x e x →-，原式=.02lim 2x x x →=.三、 多项式之比的极限2lim 03x xx x →∞=+，2211lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x→∞+=∞四、 导数的几何意义（填空题）0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为： 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为： 例题：1、曲线44xy x +=-在点(2,3)M 的切线的斜率．解：222(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='+--+-'=- 2、曲线cos x xy e =在点(0,1)M 处的切线方程．解：2(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='-'= 所以曲线cos x xy e=在点(0,1)M 处的切线方程为：1(0)y x -=--，即10x y +-=3、曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程． 解：53112233x x y x =='=-=-所以曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程为：21(1)3y x -=--，即2350x y +-=五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则： 微分：()dy f x dx '= 例题：1、设y =，则'y =？解：()()1'2221112y x x -'=+⋅+=2、设2sin y x =，则'y =？ 解：()''222cos 2cos y x xx x =⋅=3、设sin 2x y =，则dy =？解：()''sin sin 2ln 2sin 2cos ln 2x x y x x =⋅= 则dy =sin 2cos ln 2x x dx 4、设sin x y e =，则dy =？ 解：()''cos cos xx xx y e eee =⋅=所以cos x x dy e e dx = 5、设2x y e-=，则dy =？（答案：22x xedx --）六、 运用导数判定单调性、求极值 例题：1、求ln y x x =的单调区间和极值． 解：定义域(0,)x ∈+∞令ln 10y x '=+=，求出驻点1x e -=函数的单调递减区间为1(0,]e -，单调递增区间为1(,)e -+∞极小值为11()y e e =-．2、求x y xe -=的单调区间和极值． 解：定义域(,)x ∈-∞+∞令(1)0x x x y e xe x e --'=-=-=，求出驻点1x =函数的单调递减区间为[1,)+∞，单调递增区间为(,1)-∞，极大值为1(1)y e -=． 3、求函数.2()x f x e-=.的单调区间和极值．解：定义域(,)x ∈-∞+∞ 令2()2x f x xe-'=-，得0x =极大值为(0)1f =．4、求函数31()3f x x x =-的极值．答案：极小值为2(1)3y =-，极大值为2(1)3y -=七、 隐函数求导 例题：1、求由方程2sin 0x e y xy +-=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 解：方程两边关于x 求导，得：即 2cos 2xy e y y xy-'=-2、求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx． 解：方程两边同时关于x 求导，得： 即3、求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： cos()1cos()dy x y dx x y +=-+4、求由方程ln ln 0xy x y ++=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： dy y dx x =-八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：1、求极限011lim 1sin x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 解：原式0sin (1)lim (1)sin x x x x e e x→--=-20sin (1)lim x x x e x→--=.()0sin ~,1~xx x x e x →- 当时，. 2、求极限30sin lim tan x x x x →-00⎛⎫⎪⎝⎭ 解：原式=3sin limx x xx→-()0tan ~x x x → 当时， =22012lim 3x xx → 2101cos ~2x x x ⎛⎫→- ⎪⎝⎭ 当时， 3、求201lim x x e x x →--00⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案：12） 九、 原函数、不定积分的概念及其性质 知识点：设()()F x f x '=，则称()F x 是()f x 的一个原函数，()F x C +是()f x 的全体原函数，且有：例题：1、( )是函数33x x +的原函数．A ．233x + B ．421342x x + C ．42x x + D ．421142x x +解：因为42313342x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以421342x x +是33x x +的原函数．2、( )是函数2cos x x 的原函数． A ．22sin x -B ．22sin xC ．21sin 2x -D ．21sin 2x解：因为22211sin (cos )2cos 22x x x x x '⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭g所以21sin 2x 是2cos x x 的原函数．3是( )的原函数A ．12xBC ．ln xD解：因为'=的原函数．4、( )是函数1x的原函数．A ．21xB ．21x -C ．ln x -D ．ln ||x解：因为()1ln ||x x'=所以ln ||x 是1x的原函数．十、 凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：2x e dx ⎰，sin 4xdx ⎰，cos5xdx ⎰,ln ln xd x ⎰ 一般的凑微分问题：⎰，⎰，sin 1cos x dx x +⎰，ln x dx x ⎰例题： 1、⎰解：注意到2(1)2x x '-=-原式=()2112x --⎰C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭参考公式 2、⎰解：注意到2(23)6x x '-=-原式21=(23)6x --3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=319C -+ 3、sin 1cos x dx x+⎰解：注意到(1cos )sin x x '+=-原式1=(1cos )1cos d x x -++⎰1ln ||dx x C x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=ln |1cos x |C -++ 4、5x e dx +⎰解：原式=5(5)x e d x ++⎰()x x e dx e C =+⎰参考公式=5x e C ++5、cos5xdx ⎰ 解：原式1cos5(5)5xd x =⎰()cos sin xdx x C =+⎰参考公式 6、sin 3xdx ⎰ 解：原式1sin3(3)3xd x =⎰()sin cos xdx x C =-+⎰参考公式 十一、 不定积分的第二类换元法——去根号（或定积分）等 例题： 1、求不定积分t =，则221ln(1)x e t x t =-⇒=-原式=22121211t dt dt t t t ⋅=--⎰⎰2、4⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒= 当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+tt tdt dt +-⋅=⎰⎰3、1⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅ 十二、 不定积分的分部积分法（或定积分）诸如sin x xdx ⎰，cos x xdx ⎰，x xe dx ⎰，x xe dx -⎰，ln x xdx ⎰，可采用分部积分法分部积分公式：()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰ 例题：1、求不定积分sin x xdx ⎰． 解 sin (cos )x xdx xd x =-⎰⎰2、求不定积分x xe dx -⎰ 解 x x xe dx xde --=-⎰⎰3、求不定积分ln x xdx ⎰解 21ln ln ()2x xdx xd x =⎰⎰十三、 定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等 例题：1、定积分23ax a x e dx -⎰等于 ．解： 因为23x x e 是x 的奇函数，所以原式=0 2、定积分23sin aa x xdx -⎰等于 ．解： 因为23sin x x 是x 的奇函数，所以原式=0 3、定积分22sin 1x xdx x π-π+⎰等于 ． 解： 因为22sin 1x xx+是x 的奇函数，所以原式=0十四、 变上限积分函数求导 例题：1、 设函数()f x 在[,]a b 上连续，3()()x aF x f t dt =⎰，则()F x '=（ C ）．A ．()f xB ．3()f xC ．233()x f xD ．23()x f x2、设21()arctan x f x tdt =⎰，则()f x '=22arctan x x ．3、设30()sin xf x t dt =⎰，则()f x '=3sin x ．十五、 凑微分法求定积分（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：1、10x ⎰解：注意到32(1)3x x '+=原式301(1)3x =+⎰3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=13029 十六、 定积分的第二类换元法——去根号（或不定积分， 思想与不定积分类似 例题：1、4⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒= 当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+tt tdt dt +-⋅=⎰⎰2、1⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅ 十七、 定积分的分部积分法（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：1、求定积分20sin x xdx π⎰． 解220sin (cos )x xdx xd x ππ=-⎰⎰2、求定积分10x xe dx -⎰ 解11xx xe dx xde --=-⎰⎰十八、 求平面图形面积知识点：X 型积分区域的面积求法 Y 型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个X 型或Y 型积分区域的面积求法 例题：1、求由ln y x =、0x =，ln 2y =及ln 7y =所围成的封闭图形的面积．解：由ln y x =得y x e =面积为ln 7ln 2(0)y S e dy =-⎰2、计算由曲线y =1y =及0x =所围成的图形的面积．解：由1y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩A 为(1,1)面积为1(1S dx =-⎰3、求由曲线1y x =与直线y x =及2x =所围成的平面图形的面积．解：由2y xx =⎧⎨=⎩得交点A 为(2,2)由1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得交点B 为(1,1)面积为211()S x dx x =-⎰。
高等数学B上
华南理工大学高等数学B上（随堂练习）第一章函数与极限1.函数的定义域是( )A． B． C． D．参考答案：A2.函数的定义域是 ( )A． B．C． D．参考答案：C3.函数的定义域是( )A． B．C． D．参考答案：A4.函数的定义域为( )A． B．C． D．参考答案：B5.函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：C6.函数的定义域是( ) A． B． C． D．参考答案：C7.函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：A8.若，则( )A． B．C． D．参考答案：A9.若，，则( ) A． B． C． D．参考答案：D10.设，则( ) A． B． C． D．参考答案：A11. ( ) A． B． C． D．参考答案：B12.( ) A． B．不存在 C． D．参考答案：D13. ( ) A．不存在 B． C． D．参考答案：C14.( ) A． B．不存在 C． D．参考答案：D15.( ) A． B． C． D．参考答案：A16.( ) A． B． C．不存在 D．参考答案：B17.当时，下列变量是无穷小的是( ) A． B． C． D．参考答案：C18.当时，与等价的无穷小是( ) A． B． C． D．参考答案：A19. ( )A．0 B． C． D．1参考答案：B20.( )A．8 B．2 C． D．0参考答案：D21.( )A．0 B．1 C． D．2参考答案：D22.下列等式成立的是( )A． B．C． D．参考答案：C问题解析：23.( )A． B．1 C．不存在 D．参考答案：A24.( )A．1 B． C．不存在 D．参考答案：D25.( )A．0 B．1 C． D．参考答案：C26.设函数在点处极限存在，则( ) A．2 B．4 C．1 D．0参考答案：A27.设，则 ( )A．0 B．-1 C．1 D．2参考答案：C28.设，则( )A．1 B．2 C．0 D．不存在参考答案：A29.设在处连续，则=( ) A．1 B．2 C．0 D．不存在参考答案：A第一章函数与极限·第二节数列的极限1.曲线在点处的切线的斜率为( ) A．－2 B．2 C．－1 D．1参考答案：B2.曲线在点处的切线方程为( )A． B．C． D．参考答案：B3.曲线在点处的切线方程为( )A． B．C． D．参考答案：C4.曲线在点(1,1)处的切线方程为( )A． B．C． D．参考答案：B5.设直线是曲线的一条切线，则常数( ) A． -5 B． 1 C．-1 D．5参考答案：D6.设函数，则( )A． B． C． D．参考答案：C7.设函数，则 ( )A． B．C． D．参考答案：A8.设函数，则( )A． B．C． D．参考答案：A9.设函数，则 ( )A． B．C． D．参考答案：D10.设函数，则( )A． B．C． D．参考答案：B11.设函数，在( )A． B．C． D．参考答案：C12.设函数，则( ) A． B．C． D．参考答案：A13.设函数，则( )A． B． C． D．参考答案：C14.设函数，则( )A． B． C． D．参考答案：D15.设函数，则 ( )A． B．C． D．参考答案：C16.设函数，则( )A． B． C． D．参考答案：A17.设函数，则( )A． B． C． D．参考答案：B18.设确定隐函数，则( )A． B． C． D．参考答案：B19.设函数，则( )A．4 B．-4 C．1 D．-1参考答案：C20.设方程所确定的隐函数为，则( )A． B． C． D．参考答案：B21.设函数由方程所确定，则( ) A．0 B． C． D．参考答案：B22.设方程所确定的隐函数为，则( ) A． B． C． D．参考答案：A23.设方程所确定的隐函数为，则( ) A． B．0 C． D．参考答案：D问题解析：24.设，则( )A． B．C． D．参考答案：A25.设函数，则( )A． B．C． D．参考答案：B26.设函数，则( )A． B．C． D．参考答案：B27.设，则( )A． B．C． D．参考答案：A第一章函数与极限·第三节函数的极限1.( )A． B．0 C． D．1参考答案：C2.( )A． B．0 C． D．13.( )A． B． C． D．不存在参考答案：B4.( )A． B． C．1 D．不存在参考答案：A5.( )A． B． C．1 D．不存在参考答案：A6.( )A． B． C．1 D．0参考答案：A7.函数的单调减少区间是 ( ) A． B． C． D．参考答案：A8.函数的单调区间是 ( ) A． B． C． D．9.函数的单调增加区间是( )A． B． C． D．参考答案：A10.函数的单调增加区间为 ( ) ．A． B． C． D．参考答案：C11.函数的单调减区间为( ) A． B． C． D．参考答案：B12.函数的单调增加区间为( )A． B． C． D．参考答案：D13.函数的极值等于( )A．1 B．0 C． D．参考答案：C14.函数的极值为( )A． B． C．0 D．1参考答案：A15.函数的极值为( )A．1 B．0 C． D．参考答案：A16.函数的极大值为( )A．-16 B．0 C．16 D．-7参考答案：B问题解析：17.函数的极大值为( )A．3 B．1 C．-1 D．0参考答案：A18.有一张长方形不锈钢薄板，长为，宽为长的．现在它的四个角上各裁去一个大小相同的小正方形块，再把四边折起来焊成一个无盖的长方盒．问裁去小正方形的边长为( )时，才能使盒子的容积最大．A． B． C． D．参考答案：B19.设有一根长为的铁丝，分别构成圆形和正方形．为使圆形和正方形面积之和最小，则其中一段铁丝的长为( )A． B． C． D．参考答案：A20.欲围一个面积为150m2的矩形场地，围墙高3米．四面围墙所用材料的选价不同，正面6元/ m2，其余三面3元/ m2．试问矩形场地的长为( )时，才能使材料费最省．A．15 B．10 C．5 D．8参考答案：A21.设两个正数之和为8，则其中一个数为( )时，这两个正数的立方和最小．A．4 B．2 C．3 D．5参考答案：A22.要造一个体积为的圆柱形油罐，问底半径为( )时才能使表面积最小．A． B． C． D．参考答案：C23.某车间靠墙壁要盖一间方长形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁．问围成的长方形的长为( )时，才能使这间小屋的面积最大．A．8 B．4 C．5 D．10参考答案：D24.曲线的下凹区间为( )A． B． C． D．参考答案：A25.曲线的拐点坐标为( )A． B． C． D．不存在参考答案：B第一章函数与极限·第六节极限存在准则：两个重要极限1. ( )是的一个原函数．A． B． C． D．参考答案：C2.下列函数中，（）是的原函数A． B． C． D．参考答案：C3.下列函数中，( )是的原函数A． B． C． D．参考答案：D4. ( )是函数的原函数．A． B． C． D．参考答案：D5.下列等式中，( )是正确的A． B．C． D．参考答案：D6.若，则( )A． B． C． D．参考答案：B7.若满足，则（）．A． B． C． D．参考答案：B8.( )A. B．C． D．参考答案：D问题解析：9.( )A． B． C． D．参考答案：B10.( )A． B． C． D．参考答案：A11.( )A． B．C． D．参考答案：B12.( )A． B． C． D．参考答案：B13.( ) A． B．C． D．参考答案：A14.( ) A． B．C． D．参考答案：C15.( ) A． B．C． D．参考答案：A16.( ) A． B．C． D．参考答案：A问题解析：17.( ) A． B．C． D．参考答案：A18.( )A． B．C． D．参考答案：D19.( )A． B．C． D．参考答案：A20.( )A． B．C． D．参考答案：B21.( )A． B．C． D．参考答案：C22.( )A． B．C． D．参考答案：A第二章导数与微分·第一节导数概念1.( )A． B．C． D．参考答案：B2.曲线，直线，及轴所围成的图形的面积是( ) A． B． C． D．参考答案：A3.定积分等于( )A．2 B．1 C．0 D．-1参考答案：C4.( )A．2 B．1 C．0 D．-1参考答案：C5.( )A．2 B．0 C．1 D．-1参考答案：B6.设函数在上连续，，则( ) A． B． C． D．参考答案：C7.设，则等于( )A． B． C． D．参考答案：D8.( )A． B． C． D．参考答案：C9.A．0 B． C．1 D．参考答案：B10.A．1 B．0 C． D．-1参考答案：D11.A． B． C． D．1 参考答案：C12.( )A．4 B．9 C．6 D．5参考答案：A13.( )A．1 B．2 C． D．参考答案：B14.( )A．2 B．C． D．参考答案：D15.( )A． B． C．1 D．参考答案：A16. ( )A． B． C．1 D．参考答案：B17.( )A． B．1 C． D．参考答案：D18.( )A． B．0 C．1 D．参考答案：A19.( )A．0 B． C．1 D．参考答案：B20.( )A．1 B． C． D．参考答案：B21.( )A． B． C． D．1参考答案：A22.( )A． B．1 C． D．2 参考答案：C23.( )A． B． C． D．1 参考答案：A24.( )参考答案：A25.( )A． B．C． D．参考答案：C26.( ) A． B．1 C． D．参考答案：A27.( ) A． B．1 C． D．参考答案：B问题解析：28. ( )A．1 B． C．0 D．参考答案：A29.( )A． B．C． D．参考答案：B30. ( )A． B．C．1 D．参考答案：A31.( )A． B． C． D．1 参考答案：C32.广义积分( )A． B．不存在 C．0 D．1参考答案：A33.广义积分( )A．1 B．不存在 C．0 D．参考答案：A34.广义积分( )A．1 B．不存在 C．0 D．参考答案：B35.由抛物线，直线，及所围成的平面图形的面积等于( )A．2 B．1 C． D．参考答案：A36.由直线，，及曲线所围成的平面图形的面积等于( ) A． B．1 C． D．参考答案：A37.由抛物线与直线及所围成的封闭图形的面积等于( ) A． B． C．2 D．1参考答案：A38.由曲线与直线及所围成的平面图形的面积等于( )A． B．2 C．1 D．参考答案：A39.由曲线与所围图形的面积等于( )A．1 B． C．3 D．参考答案：B40.由，，所围成的封闭图形的面积等于( )A． B．1 C．3 D．2参考答案：A41.由及在点（1，0）处的切线和y轴所围成的图形的面积等于( ) A．1 B． C．2 D．3参考答案：B问题解析：42.由曲线与所围图形的面积等于( )A． B．1 C． D．参考答案：A问题解析：43.设由抛物线；，及所围成的平面图形为D，则D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．参考答案：D44.设由直线，，及曲线所围成的平面图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．参考答案：A45.设由曲线与直线及所围成的平面图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．参考答案：B46.设由抛物线与直线及所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )参考答案：D47.设由曲线与直线，及所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．参考答案：C48.设由曲线与直线及所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B．C． D．参考答案：A。
广工环境B类高数上册总复习
0 , i 不是特征根 , k 1 , i 是特征方程的单根 .
Qm ( x ) 是与 Pm ( x )同次的多项式，系数待定.
（3）定积分的换元法和分部积分法
例1：设 f (x) 有一个原函数 sin x ，求
2
2
x
x f '( x) d x
解： f ( x ) ( sin x ) ' x cos x sin x 2
x
x
x f '( x ) d x
2
x d f ( x ) x f ( x )
2.定积分的几何应用：平面图形的面积和 旋转体的体积
四、微分方程：一阶线性微分方程，可降阶微分 方程，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系 数非齐次线性微分方程的特解形式.
1. 求积分：原函数与不定积分的概念，换元法 和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分.
重点： （1）对称区间上奇函数和偶函数积分性质
1
3 2
1 |xx |
2
dx
1
1 2
1 xx
2
dx
1
3 2
1 x2 x
dx
2
1
1 2
1 1 1 2 (x ) 4 2
1 d (x ) 2
1
3 2
1 1 d (x ) 2 1 2 1 (x ) 2 4
1
3 2
1 |xx |
2
1 1 2 (x ) 2 4 2 3 2 1 1 d (x ) 1 2 1 2 1 (x ) 2 4 3 1 1 1 1 2 1 2 arcsin 2 ( x ) ln ( x ( x ) ) 2 1 2 2 4 1 2 3 ) lim arcsin ( 2 x 1 ) ln ( 1 2 x1 1 1 2 1 1 1 2 3 ) 2x lim ln ( x ( x ) )ln | ln ( 2 d x x x a | c d x arcsin 2 x 2 2 2 x 1 2 a a 2 42
高等数学b学习资料-2-6微分中值定理ren
设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域U ( x0 , )内
有定义并且在 x0 处可导，如果对任意 y 的 x U ( x0, )，有
f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 ))
则
f ( x0 ) 0 .
o x0 x
若f ( x0 ) 0 , 则称 x0 为函数 f ( x) 的驻点 .
则有 F ( x) C[a,b] , F( x) D[a,b] ,
F(a) b f (a) a f (b) F(b) , ba
即 F ( x) 在 [a,b] 上满足罗尔定理的条件,
在 (a,b)内至少存在一点 , 使得 F ( ) 0 .
即 f ( ) f (b) f (a) 0 ,
例6 设 f ( x) C[a,b] D(a,b) , f (a) f (b) 0,
证明: 至少存在一点 (a,b) 使 f ( ) f ( ) 0 .
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
Lagrange 中值定理： 设函数 f (x) 满足条件： 1) 在闭区间 [a,b]上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导.
则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f (b) f (a) = f '()(ba) ((a,b)) .
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f ( ).
ba
证明：作辅助函数 F ( x) f ( x) f (b) f (a) x , ba
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b) g(b) g(a) g( )(b a), (a , b)
上面两式相比即得结论.
2019-2020人教版B版高一数学第一学期期末复习
2019-2020学年度高一第一学期期末复习一、考试范围与复习指导思想指导思想：通过复习，第一，帮助学生准确掌握基础知识，并能灵活运用；第二，促进学生在头脑中把学习的内容形成知识网络；第三，提升学生的思维能力，提高分析和解决问题的能力；第四，进一步培养学生刻苦钻研的精神与仔细计算、书写整洁和自我检查的良好习惯。
二、学生在学习过程中存在的问题及解决策略存在问题：（1）基本功不过关，“乱用”符号语言表达；（2）概念、公式理解存在偏差，分析问题不全面；（3）“抓不准”知识的思维特征，分析问题的方法选择不当.解决策略：（1）运用符号及图形语言梳理核心概念，让学生再次夯实基础概念和基础知识；（2）精选精炼课上的例题，以此促进学生深入理解所学知识的本质及其系统性；（3）整体把握复习内容，建立知识之间的联系，帮助学生不断地概括思维方法；（4）加强数学运算能力的培养：梳理此阶段的运算，从运算对象、运算法则、运算过程及运算结果等方面再次理解运算的作用；同时规范学生运算过程的完整性，形成良好的运算习惯；（5）练习、测试要有针对性，找准学生操作、思维层面上的“真”问题，通过针对性的练习或测试加以解决，达到优化复习的目的，提升复习效果.三、复习建议（至精至简）1.在梳理各部分核心知识、核心问题、核心方法的基础上，促进学生构建自己的认知体系.2.依托各部分的核心，引导学生把握数学本质，启发思考，关注学科核心素养的形成和发展. 《函数》核心知识：函数的概念与表示、函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、对称性、零点、值域等）、基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）核心问题：如何研究函数的定义域、对应关系、值域？如何研究一个函数的性质？如何利用图象变换研究函数的性质？如何构造函数模型，借助函数的零点解决方程与不等式的问题？核心思想、方法：文字、符号、图形三种语言的相互转换；数形结合；特殊与一般；函数与方程；构造与转化等思想方法核心技能：作图技能、运算技能、推理技能例1：列表、图象、解析式（研究函数的三种方法）●已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：（1） 求(f g （2） 求不等式(())(())f g x g f x >的解集●如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A . 若函数x y a =（0a >，且1a ≠）及 log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ， 且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足 A. 1a b << B. 1b a << C. 1b a >> D. 1a b >>●已知函数2()1f x x =-，求(1)f 的值；(1)f x -的表达式；已知函数2(1)f x x +=，求(1)f 的值；(1)f x -的表达式；已知函数1()2()f x f x x+=，求()f x 的表达式例2：逐步帮助学生树立研究函数性质的意识，能主动地去分析所研究的函数是否具有奇偶性、单调性、对称性等性质；关注函数图象的特征：性质的直观体现，定点、渐近线等（1） 如果已知条件中给出了函数的解析式，要会通过函数的解析式去分析函数的有关性质，并画出能够直观反应函数性质的示意图，进而解决问题；●函数1(),0()33,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩ 若[()]9f f m =，m 的值；若2(2)()f a f a ->，a 的范围（2）如果没有直接给出函数的解析式，要善于根据题目条件去构造函数的解析式； ●若关于x 的方程|1|2(0,1)xa a a a -=>≠有两个不等实根，求实数a 的取值范围（3）如果题目中提供了函数的图象，要通过分析函数图象中所体现出来的函数的性质作为解决问题的主要途径.●如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()2()1f x x +≥log 的解集是例3： ●变换作图1()1g x x x =+-（关注平移变换，左加右减，上加下减的理解） 1()11(1)11g x x f x x =-++=-+- (),(1)y f x y f x ==-两个函数图象的关系 ●求函数2()(2)f x x -=+的定义域，并指出其单调区间 ●函数()lg 21f x x =-的对称轴例4：已知函数22,2,()3,2,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩ 若关于x 的方程()f x k =有三个不等的实根，则实数k 的取值范围是 ，不等式1()2f x ≥的解集为《平面向量》 核心知识：平面向量的基本概念（定义、表示方法、向量的模、常用向量）平面向量的线性运算（加法、减法、数乘运算）平面向量基本定理平面向量的坐标运算（平面向量的坐标表示、运算的坐标表示、向量平行的坐标表示）核心问题：如何运用向量的线性运算解决问题？（数形结合）如何运用向量的基本定理解决问题？（分解、坐标化）核心思想、方法：数形结合（灵活使用平行四边形和三角形法则）；向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现，解决向量问题的基本思维模式：数——坐标运算；形——非坐标运算（线性运算及几何意义）核心技能：利用三角形和平行四边形法则理解向量、线性运算、坐标运算例1：●已知向量b a ,是两个单位向量，则“b a =”是“2=+b a ”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 ●设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是<>a,b 为锐角的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 例2：分解式—基底，唯一确定；大小、方向两个维度的直观表达 ●在ABC ∆中，点D 满足2AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上D C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上●如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点， 且2BD DC =.若(,)AC mAB nAD m n =+∈R ，则____m n -=.●已知AB ，AC 是不共线的两个向量，12BE AC AB =-，则||||AE AC =____.四、参考练习《函数》1.函数y ____________.2.请写出一个既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的函数3.给定条件：①0x ∃∈R ,00()()f x f x -=-； ②x ∀∈R ,(1)(1)f x f x -=+请写出一个满足给定条件的函数4.()x f x a =和()x g x b =是指数函数，则“(2)(2)f g >”是“a b >”的 条件5. 1.30.33111(),(),log ,,,332a b c a b c ===则从小到大的关系是 6.已知函数,log a b y x y x ==的图象如图所示，则,a b 的大小关系7.函数()22x f x x =-的零点个数是 8.函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可以为( )A. 21()f x x x =- B. 31()f x x x =- C. 1()e x f x x =- D. 1()ln f x x x =- 9. 若函数()22()123f x k x x =-+- 在(),2-∞ 上单调递增，求k 的取值范围 10.已知函数1, 1(), 111, 1x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+. 若函数()()y f x g x =-恰有2个 不同零点，则实数a 的取值范围是11.某商场全年中一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①()x f x p q =⋅，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)xp f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++. 能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为 _________（填写相应函数的y O x序号），若所选函数满足(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________. 《平面向量》1.已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，若//a b ，实数m 是 ；若⊥a b ，=b2.已知向量(1,2),(1,0)==-a b ，则+2=a b3.5.6.AB ⊥，则实数7.是两个不共线的向量，1.B =2.若105,lg 2a b ==，则a b +=________；若2log 3,log 2,m n a b m n a+=== 3.已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ）2211. . . .11c c A B ab b C a ab D a b a b ><-<-<--4.求下列不等式的解集（1）220x x -++> （2）2210x x +-> （3）2112x x +≥- （4）2(1)0x a a -++≤ C。
高等数学（上）重要知识点归纳
高等数学（上）重要知识点归纳高等数学（上）重要知识点归纳第一章函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ?>??=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1) )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=?=→，其中)(x α为某一个无穷小。
(2)(保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ，则,0>?δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。
(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具 1、*两个重要极限公式 (1)1sin lim=??→? (2)e =?+?∞→?)11(lim 2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法常用替换：当0→?时（1)??~sin （2）??~tan （3）??~arcsin （4)??~arctan （5）??+~)1ln( （6）?-?~1e （7）221~cos 1??- （8）nn ?-?+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类 1、连续的定义*)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==?=?=??-+→→?2、间断点的分类??其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f Ay A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义*ax a f x f x a f x a f x y dx dy a f y ax x x a x a x --=?-?+=??=='='→→?→?==)()(lim)()(lim lim |)(|002、左右导数左导数ax a f x f x y a f a x x --=??='--→→?-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=??='++→→?+)()(limlim)(0 3、导数的几何意义*k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。
高等数学(上)复习要点
高等数学（上）复习要点（2019-2020第一学期）二、主要知识点第一章函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的概念。
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和两边夹定理），两个重要极限。
函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
考试要求：1.理解函数的概念，掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
2.掌握数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
3.掌握极限存在的两边夹定理，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限的方法。
4.理解无穷小量的概念和基本性质，无穷小量的比较方法，无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
5.掌握函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
6.理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、零点定理，介值定理)，并会应用这些性质。
第二章导数与微分考试内容：导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、隐函数和参数方程确定的函数的导数，高阶导数，一阶微分形式的不变性。
考试要求：1．掌握导数的概念，理解可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义会求平面曲线的切线方程和法线方程。
2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求参数方程确定的函数与隐函数的导数。
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
第三章微分中值定理与导数应用考试内容：微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点，渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值。
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华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导一、 判断两个函数的定义域是否相同1、2()ln f x x =与()2ln f x x =是否表示同一个函数？2、()||f x x =与()f x =二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：0~sin ~tan ~arcsin ~arctan x x x x x x →时,~ln(1)~x x x e +-1211cos ~,2x x-11~2x -无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、320sin 3lim x xx →=？ 解：当0sin3~3x x x →，，原式=3200(3)lim lim270x x x x x→→==2、0sin3limx xx→=？解：原式=03lim 3x xx→=3、201-cos limx xx→=？ 解：当210cos ~2x x x →，1-原式=220112lim 2x xx →=4、0ln(13)limx x x→+=？解：当03)~3x x x →，ln(1+原式=.03lim 3x x x →=.5、201limx x e x→-=？解：当201~2x x e x →-，原式=.02lim 2x xx →=.三、 多项式之比的极限2lim 03x xx x →∞=+，2211lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x→∞+=∞四、 可导与连续等的关系1、若()f x 在0x 点导数存在, 则()f x 在0x 点连续. 、2. 若0x 是()f x 的驻点，则它不一定是()f x 的极小值点.五、 导数的几何意义（填空题）0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为：0001()()()y f x x x f x -=--' 例题：1、曲线44xy x+=-在点(2,3)M 的切线的斜率． 解：222(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='+--+-'=- 2282(4)x x ===-2、曲线cos x xy e=在点(0,1)M 处的切线方程． 解：20(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='-'= 2sin cos 1()x xx x xe xe e =--==-所以曲线cos x xy e=在点(0,1)M 处的切线方程为： 1(0)y x -=--，即10x y +-=3、曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程． 解：53112233x x y x =='=-=-所以曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程为：21(1)3y x -=--，即2350x y +-=六、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则：d d d (),()[()]:d d d y y u y f u u g x y f g x x u x==⇒==⋅()()().y x f u g x '''=⋅或微分：()dy f x dx '= 例题：1、设y ='y =？解：()()1'2221112y x x -'=+⋅+=2、设2sin y x =，则'y =？ 解：()''222cos 2cos y x xx x =⋅=3、设sin 2x y =，则dy =？ 解：()''sin sin 2ln 2sin 2cos ln 2xx y x x =⋅=则dy =sin 2cos ln 2x x dx4、设sin x y e =，则dy =？解：()''cos cos xx xx y e eee =⋅=所以cos x x dy e e dx = 5、设2x y e -=，则dy =？（答案：22x xedx --）七、 运用导数判定单调性、求极值 例题：1、求ln y x x =的单调区间和极值． 解：定义域(0,)x ∈+∞令ln 10y x '=+=，求出驻点1x e -=函数的单调递减区间为1(0,]e -，单调递增区间为1(,)e -+∞极小值为11()y e e =-．2、求x y xe -=的单调区间和极值． 解：定义域(,)x ∈-∞+∞令(1)0x x x y e xe x e --'=-=-=，求出驻点1x =函数的单调递减区间为[1,)+∞，单调递增区间为(,1)-∞，极大值为1(1)y e -=．3、求函数.2()x f x e-=.的单调区间和极值．解：定义域(,)x ∈-∞+∞ 令2()2x f x xe -'=-，得0x =极大值为(0)1f =．4、求函数31()3f x x x =-的极值．答案：极小值为2(1)3y =-，极大值为2(1)3y -=八、 隐函数求导例题：1、求由方程2sin 0x e y xy +-=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 解：方程两边关于x 求导，得：2cos (2)0x e y y y xy y ''+⋅-+=即 2cos 2xy e y y xy-'=-2、求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx． 解：方程两边同时关于x 求导，得：sin()(1)y x y y ''=-++即sin()1sin()x y y x y -+'=++3、求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： cos()1cos()dy x y dx x y +=-+4、求由方程ln ln 0xy x y ++=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： dy y dx x =-九、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：1、求极限011lim 1sin x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 解：原式0sin (1)lim (1)sin x x x x e e x→--=-20sin (1)lim x x x e x →--=.()0sin ~,1~xx x x e x →- 当时，. 0cos lim 2xx x e x→-=0sin lim2xx x e →--= 12=-2、求极限30sin lim tan x x x x →-00⎛⎫⎪⎝⎭解：原式=3sin limx x xx→-()0tan ~x x x → 当时， 201cos lim 3x xx→-= =22012lim 3x xx → 2101cos ~2x x x ⎛⎫→- ⎪⎝⎭ 当时， 16=3、求201lim x x e x x →--00⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案：12）十、 凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：2x e dx ⎰，sin 4xdx ⎰，cos5xdx ⎰,ln ln xd x ⎰ 一般的凑微分问题：，⎰，sin 1cos x dx x +⎰，ln x dx x ⎰例题： 1、⎰解：注意到2(1)2x x '-=-原式=()2112x --⎰C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭参考公式 ()1221x C =--+2、⎰解：注意到2(23)6x x '-=-原式21=(23)6x --3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=319C -+3、sin 1cos xdx x+⎰解：注意到(1cos )sin x x '+=-原式1=(1cos )1cos d x x -++⎰1ln ||dx x C x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=ln |1cos x |C -++ 4、5x e dx +⎰解：原式=5(5)x e d x ++⎰()x x e dx e C =+⎰参考公式=5x e C ++5、cos5xdx ⎰ 解：原式1cos5(5)5xd x =⎰()cos sin xdx x C =+⎰参考公式 1sin55x C =+6、sin 3xdx ⎰解：原式1sin3(3)3xd x =⎰()sin cos xdx x C =-+⎰参考公式1cos33x C =-+十一、 不定积分的分部积分法（或定积分）诸如sin x xdx ⎰，cos x xdx ⎰，x xe dx ⎰，x xe dx -⎰，ln x xdx ⎰，可采用分部积分法分部积分公式：()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰例题：1、求不定积分sin x xdx ⎰． 解 sin (cos )x xdx xd x =-⎰⎰cos (cos )x x x dx =---⎰cos cos x x xdx =-+⎰cos sin x x x C =-++2、求不定积分x xe dx -⎰ 解 x x xe dx xde --=-⎰⎰ x x xe e dx --=-+⎰x x xe e C --=--+3、求不定积分ln x xdx ⎰解 21ln ln ()2x xdx xd x =⎰⎰2211ln ln 22x x x d x =-⎰211ln 22x x xdx =-⎰ 2211ln 24x x x C =-+十二、 定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等 例题：1、定积分23ax ax e dx -⎰等于 ．解： 因为23x x e 是x 的奇函数，所以原式=0 2、定积分23sin aa x xdx -⎰等于 ．解： 因为23sin x x 是x 的奇函数，所以原式=03、定积分22sin 1x xdx x π-π+⎰等于 ．解： 因为22sin 1x xx+是x 的奇函数，所以原式=0十三、 变上限积分函数求导43'()(),()x aF x f t dt F x ==⎰则______解33''()()()F x f x x =233()x f x ＝()C 变上限积分函数的导数公式()[]'()'()()()x af t dt f x x Φ=ΦΦ⎰例题：1、 设函数()f x 在[,]a b 上连续，3()()x aF x f t dt =⎰，则()F x '=（ C ）．A ．()f xB ．3()f xC ．233()x f xD ．23()x f x2、设21()arctan x f x tdt =⎰，则()f x '=22arctan x x ．3、设30()sin xf x t dt =⎰，则()f x '=3sin x ．十四、 凑微分法求定积分（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：1、10x ⎰解：注意到32(1)3x x '+=原式301(1)3x =+⎰3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=1302921)9=- 十五、 定积分的分部积分法（或不定积分） 思想与不定积分类似例题：1、求定积分20sin x xdx π⎰． 解220sin (cos )x xdx xd x ππ=-⎰⎰220cos (cos )x x x dx ππ=---⎰20cos xdx π=⎰ 20sin 1x π==2、求定积分10x xe dx -⎰解11xx xe dx xde --=-⎰⎰11x x xee dx --=-+⎰11(0)x e e --=---121e -=-+十六、 求平面图形面积 知识点：X 型积分区域的面积求法 Y 型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个X 型或Y 型积分区域的面积求法 例题：1、求由ln y x =、0x =，ln 2y =及ln 7y =所围成的封闭图形的面积．解：由ln y x =得y x e =面积为ln 7ln 2(0)y S e dy =-⎰7ln 2lm y e ⎡⎤=⎣⎦5=2、计算由曲线y =1y =及0x =所围成的图形的面积．解：由1y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩A 为(1,1)面积为1(1S dx =-⎰132023x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦13=3、求由曲线1y x=与直线y x =及2x =所围成的平面图形的面积．解：由2y xx =⎧⎨=⎩得交点A 为(2,2)由1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得交点B 为(1,1)面积为211()S x dx x =-⎰2211ln ||2x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 3ln 22=-。