初三数学三角形知识点总结归纳
初三数学三角形知识点总结归纳
初三数学三角形知识点总结归纳三角形是初中数学中的重要内容，掌握三角形的相关知识是理解和解决相关问题的基础。
在初三数学学习中，我们需要对三角形的性质、分类、定理等内容进行总结和归纳，以便更好地应对考试和日常学习中的问题。
一、三角形的基本概念三角形是由三条边和三个内角组成的图形。
常见的表示方法有三个顶点的大写字母或者使用线段AB、BC、CA表示。
三角形的顶点分别为A、B、C，三边分别为a、b、c，对应的内角为∠A、∠B、∠C。
二、三角形的分类1. 根据边的长度分类：- 等边三角形：三条边的长度相等，对应的内角也相等，记作∆ABC。
- 等腰三角形：两条边的长度相等，对应的两个内角也相等，记作∆ABC。
- 普通三角形：三条边的长度均不相等，对应的内角也均不相等，记作∆ABC。
2. 根据角度的大小分类：- 直角三角形：一个内角为直角（90度角），记作∆ABC。
- 钝角三角形：一个内角大于90度，记作∆ABC。
- 锐角三角形：三个内角均小于90度，记作∆ABC。
三、三角形的性质1. 三角形内角和定理：一个三角形的内角和等于180度。
∠A + ∠B + ∠C = 180度2. 三角形的外角和定理：一个三角形的外角和等于无关角的内角和或补角。
∠D = ∠A + ∠B 或∠D = 180度 - ∠C3. 三角形的边与角关系：- 三角形两边之和大于第三边。
- 三角形两边之差小于第三边。
- 三角形内角的关系：最大的内角对应最长的边，最小的内角对应最短的边。
四、常见的三角形定理1. 直角三角形的性质：- 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
c^2 = a^2 + b^2- 余弦定理：直角三角形中，直角边的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方。
a^2 = c^2 - b^2 或 b^2 = c^2 - a^22. 等腰三角形的性质：- 等腰三角形的底角相等。
∠A = ∠C- 等腰三角形的高度和斜边关系：等腰三角形的高度是斜边平分线的垂直平分线。
初三数学解直角三角形专题复习
第五讲解直角三角形一、【知识梳理】知识点 1、 解直角三角形定义： 由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。
知识点 2、解直角三角形的工具：1、直角三角形边、角之间的关系：sinA=cosB=a b a bsinB=cosA=ctanA=cotB=cotA=tanB=cba2、直角三角形三边之间的关系 ： a 2 b 2 c 2 （勾股定理）3、直角三角形锐角之间的关系：AB 90 。
（两锐角互为余角）知识点3、解直角三角形的种类：能够概括为以下2 种，（1）、已知一边和一锐角解直角三角形；知识点 4、解直角三角形应用题的几个名词和素语1、方向角：（ 2）、已知两边解直角三角形。
在航海的某些问题中，描绘船的航向，或目标对观察点的地点，常用方向角.画方向角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观察点.2、仰角和俯角在利用测角仪察看目标时，视野在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视野在水平线下方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在丈量距离、高度时，仰角和俯角常是不行缺乏的数据.3、坡度和坡角：在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫作坡度（或坡比），用字母i 表示（如图（ 1）），则有 ih, 坡面和水平面的夹角叫作坡角.明显有： ih tan，l. l这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大二、【典型题例】考点 1、解直角三角形例 1．、 1、在 ABC 中，C 为直角， A 、B 、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ．（ 1）已知 b3 ， A30 ，求 a 和 c ．（ 2）已知 a20 ， b 20 ，求A ．2、如图，已知△ ABC 中∠ B=45 °，∠ C=30°， BC=10 ， AD 是 BC 边上的高，求 AD 的长3、已知，如图，△ABC 中，∠ A=30 °， AB=6 ， CD ⊥ AB 交C AAB 延伸线于 D ，∠ CBD=60 °。
初三数学直角三角形性质、相关定理和推论
第2次课：直角三角形性质、相关定理和推论一、考点、热点回顾1、基本知识点：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
应用：由边的关系判定三角形是直角三角形定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（HL ） 应用：判定直角三角形全等的方法 2、互逆定理如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
全等三角形中相等的边所对的角相等。
全等三角形中相等的角所对的边相等。
逆命题： 互逆命题： 逆定理： 互逆定理：三角形三边长与三角形形状之间的关系设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边的长（1）若222+=a b c ，则三角形为直角三角形； （2）若222+<a b c ，则三角形为钝角三角形； （3）若222+>a b c ，则三角形为锐角三角形；二、典型例题例如图，在△ABC 中，∠ACB=900，AB=5，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长。
DABC例如图,在△ABC 中,D 是BC 上的一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD 的长.例右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m,∠A ＝30 °, 立柱BC 、DE 要多长？例将下面的空补充完整。
如图所示，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A=30°.求证：AB=4BD解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°∴ BC= AB ∠B=又∵△BCD 中,CD ⊥AB ∴∠BCD= ∴BD= BC ∴BD= AB 即例：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补； (3)如果ab ＝0，那么a ＝0， b ＝0AB CD1.如图,CD ⊥AD,CB ⊥AB,AB=AD. 求证:CD=CB.2.如图，一架2.5m 长的梯子AB ，斜靠在一坚直的墙上AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯足将向外移动多少米？3.如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交高AD 于点F ，且BF=AC ，FD=CD 。
数学初三必考知识点归纳
数学初三必考知识点归纳这里按照五个大类把初三的全部知识点都整理一遍，一共二十八个知识点，如下所示：一、相似三角形（7个考点）考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：（1）理解相似形的概念；（2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。
考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。
考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。
考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理（包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理）和性质，并能较好地应用。
考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用。
考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比（2个考点）考点8：锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念，30度、45度、60度角的三角比值。
考点9：解直角三角形及其应用考核要求：（1）理解解直角三角形的意义；（2）会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。
三、二次函数（4个考点）考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：（1）通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念；（2）知道常值函数；（3）知道函数的表示方法，知道符号的意义。
考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：（1）掌握求函数解析式的方法；（2）在求函数解析式中熟练运用待定系数法。
注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。
解直角三角形知识点总结
解直⾓三⾓形知识点总结 解直⾓三⾓形是中考数学的⼀⼤考点，但相关的知识点其实并不是⼗分的难，下⾯解直⾓三⾓形知识点总结是⼩编为⼤家带来的，希望对⼤家有所帮助。
解直⾓三⾓形知识点总结 【知识梳理】 1.解直⾓三⾓形的依据(1)⾓的关系:两个锐⾓互余;(2)边的关系:勾股定理;(3)边⾓关系:锐⾓三⾓函数 2.解直⾓三⾓形的基本类型及解法：(1)已知斜边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(2)已知⼀条直⾓边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(3)已知两边解直⾓三⾓形. 3.解直⾓三⾓形的应⽤：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 【课前预习】 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量： a b c ∠A ∠B 6 30° 10 45° 2、所⽰，在△ABC中，∠A=30°，，AC= ，则AB= . 变式：若已知AB，如何求AC? 3、在离⼤楼15m的地⾯上看⼤楼顶部仰⾓65°，则⼤楼⾼约 m. (精确到1m， ) 4、铁路路基横断⾯为⼀个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3⽶，路基⾼为4⽶， 则坡⾓= °，腰AD= ,路基的下底CD= . 5、王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100m到B地，再从B地向正南⽅向⾛200m到C地，此时王英同学离A地 m. 【解题指导】 例1 在Rt△ ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB. (1)求tanB;(2)若DE=1，求CE的长. 例2 34-4所⽰，某居民⼩区有⼀朝向为正南⽅向的居民楼，该居民楼的⼀楼是⾼6m的⼩区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前⾯15m处要盖⼀栋⾼20m的新楼.当冬季正午的阳光与⽔平线的夹⾓为32°时. (1)问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么? (2)若新楼的影⼦刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少⽶? (结果保留整数，参考数据： ) 例3某校初三课外活动⼩组，在测量树⾼的⼀次活动中，34-6所⽰，测得树底部中⼼A到斜坡底C的⽔平距离为8.8m.在阳光下某⼀时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡⽐，求树⾼AB.(结果保留整数，参考数据 ) 例4 ⼀副直⾓三⾓板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长. 【巩固练习】 1、某坡⾯的坡度为1: ，则坡⾓是_______度. 2、已知⼀斜坡的坡度为1:4，⽔平距离为20m，则该斜坡的垂直⾼度为 . 3、河堤的横断⾯1所⽰，堤⾼BC是5m，迎⽔斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于 . 4、菱形在平⾯直⾓坐标系中的位置2所⽰, ,则点的坐标为 . 5、先锋村准备在坡⾓为的⼭坡上栽树，要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶，那么这两树在坡⾯上的距离AB为 . 6、⼀巡逻艇航⾏⾄海⾯处时,得知其正北⽅向上处⼀渔船发⽣故障.已知港⼝处在处的北偏西⽅向上,距处20海⾥; 处在A处的北偏东⽅向上,求之间的距离(结果精确到0.1海⾥) 【课后作业】 ⼀、必做题： 1、4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm. 2、某⼈沿着有⼀定坡度的坡⾯前进了10⽶,此时他与⽔平地⾯的垂直距离为⽶,则这个坡⾯的坡度为__________. 3、已知5,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,BC= ,则AB的长为__ ___. 4、6,将以A为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 . 5、7所⽰，在⼀次夏令营活动中，⼩亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°⽅向⾛了5km到达B 地，然后再沿北偏西30°⽅向⾛了若⼲千⽶到达C地，测得A地在C地南偏西30°⽅向，则A、C两地的距离为( ) (A) (B) (C) (D) 6、8，⼩明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，⽶，则岛B到公路l的距离为( )⽶. (A)25 (B) (C) (D) 7、9所⽰，⼀艘轮船由海平⾯上A地出发向南偏西40°的⽅向⾏驶40海⾥到达B地，再由B地向北偏西10°的⽅向⾏驶40海⾥到达C地，则A、C两地相距( ). (A)30海⾥ (B)40海⾥ (C)50海⾥ (D)60海⾥ 8、是⼀⽔库⼤坝横断⾯的⼀部分，坝⾼h=6m，迎⽔斜坡AB=10m，斜坡的坡⾓为α，则tanα的值为( ) (A) (B) (C) (D) 9、11，A，B是公路l(l为东西⾛向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°⽅向上. (1)求出A，B两村之间的距离; (2)为⽅便村民出⾏，计划在公路边新建⼀个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请⽤尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法). 10、是⼀个半圆形桥洞截⾯⽰意图,圆⼼为O,直径AB是河底线,弦CD是⽔位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .(1)求半径OD;(2)根据需要,⽔⾯要以每⼩时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将⽔排⼲? 11、所⽰，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑⼀条⾼速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中⼼P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的⽅向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆⼼，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条⾼速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据：， ) 12、，斜坡AC的坡度(坡⽐)为1: ，AC=10⽶.坡顶有⼀旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有⼀条彩带AB 相连，AB=14⽶.试求旗杆BC的⾼度. ⼆、选做题： 13、,某货船以每⼩时20海⾥的速度将⼀批重要物资由A处运往正西⽅向的B处,经过16⼩时的航⾏到达.此时,接到⽓象部门的通知,⼀台风中⼼正以40海⾥每⼩时的速度由A向北偏西60o⽅向移动,距台风中⼼200海⾥的圆形区域(包括边界)均会受到影响.⑴ B处是否会受到台风的影响?请说明理由.⑵为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少⼩时内卸完货物? 14、所⽰，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. (1)当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长; (2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值; (3)若tan∠BPD= ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.。
初三数学三角形知识点总结归纳
三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种;它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形;三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在;另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的;三角形中有三条边,三个角,三个顶点;三角形中的主要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线;这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握;并且对这三条线段必须明确三点：1三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线;2三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部;而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边;3在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点;在以后我们可以给出具体证明;今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心;三角形的按边分类三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等;所以三角形按的相等关系分类如下：等边三角形是等腰三角形的一种特例;判定三条边能否构成三角形的依据△ ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”;可知：△③a+b＞c,①a+c＞b,②b+c＞a△定理：三角形任意两边的和大于第三边;△由②、③得b―a＜c,且b―a＞―c△故|a―b|＜c,同理可得|b―c|＜a,|a―c|＜b;从而得到推论：三角形任意两边的差小于第三边;上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法,定理包含了推论,推论也可以代替定理;另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据;如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形;判定三条边能否构成三角形对于某一条边来说,如一边a,只要满足|b-c|＜a＜b+c,则可构成三角形;这是因为|b-c|＜a,即b-c＜a,且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c,再加上b+c＞a,便满足任意两边之和大于第三边的条件;反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|＜a＜b+c;在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形;同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c|＜a,就能判定三条线段a、b、c构成三角形;证明三角形的内角和定理除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路：方法1 如图,过顶点A作DE‖BC,运用平行线的性质,可得∠B＝∠2,∠C＝∠1,从而证得三角形的内角和等于平角∠DAE;方法2 如图,在△ABC的边BC上任取一点D,过D作DE‖AB,DF‖AC,分别交AC、AB于E、F,再运用平行线的性质可证得△ABC的内角和等于平角∠BDC;三角形按角分类根据三角形的内角和定理可知,三角形的任一个内角都小于180°,其内角可能都是锐角,也可能有一个直角或一个钝角;三角形按角可分类如下：根据三角形的内角和定理可有如下推论：推论1 直角三角形的两个锐角互余;推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;同时我们还很容易得到如下几条结论：1一个三角形最多有一个直角或钝角;2一个三角形至少有两个内角是锐角;3一个三角形至少有一个角等于或小于60°否则,若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°,这与定理矛盾;4 三角形有六个外角,其中两两是对顶角相等,所以三角形的三个外角和等于360°;全等三角形的性质全等三角形的两个基本性质1全等三角形的对应边相等;2全等三角形的对应角相等;确定两个全等三角形的对应边和对应角怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角其方法主要可归结为：1若两个角相等,这两个角就是对应角,对应角的对边是对应边;2若两条边相等,这两条边就是对应边,对应边的对角是对应角;3两个对应角所夹的边是对应边;4两个对应边所夹的角是对应角;由全等三角形的定义判定三角形全等由全等三角形的定义知,要判定两个三角形全等,需要知道三条边,三个角对应相等,但在应用中,利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的,因而需要找到能完全确定一个三角形的条件,以便用较少的条件,简便的方法来判定两个三角形的全等;判定两个三角形全等的边、角、边公理内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即SAS;这个判定方法是以公理形式给出的,我们可以通过实践操作去验证它,但验证不等于证明,这点要区分开来;公理中的题设条件是三个元素：边、角、边,意指两条边和这两条边所夹的角对应相等;不能理解成两边和其中一个角相等;否则,这两个三角形就不一定全等;例如在△ABC和△A′B′C′中,如右图,AB=A′B′,∠A=∠A′,BC=A′C′,但是△ABC不全等于△A′B′C′;又如,右图,在△ABC和△A′B′C′中,AB＝A′B′,∠B=∠B′,AC＝A′C′,但△ABC和△A′B′C′不全等;原因就在于两边和一角对应相等不是公理中所要求的两边和这两条边的夹角对应相等的条件;说明：从以上两例可以看出,SAS≠SSA;判定两个三角形全等的第二个公理内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等即ASA;这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它;公理强调了两角和这两角的夹边对应相等,这里实质上包含了一个顺序关系;千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边,而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边;如右图,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB＝A′C′,但这两个三角形显然不全等;原因就是没有注意公理中“对应”二字;公理一中的边、角、边,其顺序是不能改变的,即SAS不能改为SSA或ASS;而ASA 公理却能改变其顺序,可改变为AAS或SAA,但两个三角形之间的“对应”二字不能变;同时这个公理反映出有两个角对应相等,实质上是在两个三角形中有三个角对应相等,故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了;由公理二可知,有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等判定两个三角形全等的边、边、边公理公理：三条边对应相等的两个三角形全等即边、边、边公理;边、边、边公理在判定两个三角形全等时,其对应边就是相等的两条边;这个公理告诉我们,只要一个三角形的三边长度确定了,则这个三角形的形状就完全确定了;这就是三角形的稳定性;判定两个三角形全等通过以上三个公理的学习,可以知道,在判定两个三角形全等时,无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等,而只需要其中三对条件;三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合;无非有如下情况：1三边对应相等;2两边和一角对应相等;3一边和两角对应相等;4三角对应相等;HL公理我们知道,满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等;但是,对于两个直角三角形来说,这个结论却一定成立;斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等简写为HL;这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等,其本身包含了一个直角相等;这种边、边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件;由于直角三角形是一种特殊的三角形,所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用;角平分线的性质定理和逆定理性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;逆定理：到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上;点在角平分线上点到这个角的两边距离相等;用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理性质定理：∵P在∠AOB的平分线上PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE逆定理：∵PD＝PE,PD⊥OA,PE⊥OB∴点P在∠AOB的平分线上;角平分线定义如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做这个角的平分线; 角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合;三角形角平分线性质三角形三条平分线交于一点,并且交点到三边距离相等;互逆命题在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题;原命题和逆命题的真假性每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,而它的逆命题不一定是真命题,原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真;互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理;每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理尺规作图限定用直尺没有刻度和圆规的作图方法叫尺规作图;基本作图最基本最常见的尺规作图称之为基本作图,主要有以下几种：1作一个角等于已知角；2平分已知角；3过一点作已知直线的垂线；4作已知线段的垂直平分线；5过直线外一点作已知直线的平行线;有关概念有两边相等的三角形称为等腰三角形;三边都相等的三角形称为等边三角形,又称为正三角形;有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形;等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例;等腰三角形的有关概念等腰三角形中,相等的两边称为腰,另一边称为底边,两腰的夹角称为顶角,底边上的两个角称为底角;等腰三角形的主要性质两底角相等;如图,ΔABC中AB＝AC,取BC中点D,连结AD,容易证明：ΔABD≌ΔACD,∴∠B＝∠C;如图,ΔABC中为等边三角形,那么,由AB＝AC,得∠B＝∠C,由CA＝CB,得∠A＝∠B,于是∠A＝∠B＝∠C,但∠A＋∠B＋∠C＝180°,∴∠A＝∠B＝∠C＝60°如图,ΔABC中AB＝AC,且AD平分∠BAC,那么由ΔABD≌ΔACD,可得BD＝CD,∠ADB＝∠ADC,但∠ADB＋∠ADC＝180°,∴∠ADB＝90°,从而AD⊥BC,由此又可得到另外两个重要推论;两个重要推论等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边；等边三角形各内角相等,且都等于60°;等腰三角形性质及其推论的另一种论述方法三角形中,相等的边所对的角相等;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高三线合而为一;等腰三角形的判定定理及其两个推论的核心都可概括为等角对等边;它们都是证明两条线段相等的重要方法;推论3在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半; 容易证明：这个推论的逆命题也是正确的;即：在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°;运用利用等腰三角形的判定定理和性质定理容易证明结论：“在一个三角形内,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角也较大；反过来,在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大;”对称轴及中心线段的垂直平分线把线段分为相等的两部分;线段的中点就是它的中心,今后要学习“线段是关于中点对称的中心图形”;线段是以它的中垂线为对称轴的图形;三线合一的定理的逆定理如图所示,线段中垂线的性质定理的几何语言为：,于是可以用来判定等腰三角形,其定理实质上是三线合一定理的逆定理;“距离”不同,“心”也不同“线段垂直平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“两点间的距离”,而角平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“点到直线的距离”;三角形三条角平分线相交于一点,这点到三边的距离相等这点称为三角形的内心;三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三个顶点的距离相等这点称为三角形的外心;重要的轨迹图A所示;到角的两边OA、OB的距离相等的点P1、P2,P3…组成一条射线OP,即点的集合;如图B所示,到线段AB的两端点的距离相等的所有点P1、P2、P3…组成一条直线P1P2,因此这条直线可以看成动点形成的“轨迹”;第十三节轴线称和轴对称图形轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形叫做关于这条直线对称,也称轴对称;根据定义,两个图形和如果关于直线l轴对称,则：1和这两个图形的大小及形状完全相同;2把其中一个图形沿l翻折后,和应完全重合,自然两个图形中的有关对应点也应重合;事实上,直线l是两个轴对称图形中对应点连线的垂直平分线;所以容易得到如下性质：性质1 关于某条直线对称的两个图形是全等形;性质2 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线; 性质3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点必在对称轴上;不难看出,如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称;轴对称图形如果一个图形沿着一条直线翻折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形;轴对称和轴对称图形的区别和联系区别①轴对称是指两个图形关于某条直线对称,而轴对称图形是一个图形关于某条直线对称;②轴对称的对应点分别在两个图形上,而轴对称图形中的对应点都在这一个图形上;③轴对称中的对称轴可能在两个图形的外边,而轴对称图形中的对称轴一定过这个图形;联系①都是沿着某一条直线翻折后两边能够完全重合;②如果把轴对称的两个图形看成是一个整体,那么这个整体反映出的图形便是一个轴对称图形；反过来,如果把一个轴对称图形中关于对称轴的两边部分看成是两个图形,那么这两部分对应的两个图形则关于这条对称轴而成轴对称;第十四节勾股定理直角三角形直角三角形中,两锐角互余,夹直角的两边叫直角边,直角的对边叫斜边,斜边最长;等腰直角三角形等腰直角三角形是直角三角形中的特例;也是等腰三角形中的特例;等腰直角三角形的两个底角都等于45°,顶角等于90°,相等的两条直角边是腰;勾股定理直角三角形中,两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即,这就是勾股定理; 判定直角三角形如果ΔABC的三边长为a、b、c,且满足,那么ΔABC是直角三角形,其中∠C＝90°;第十五节勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理;即：在△ABC中,若a2＋b2＝c2,则△ABC为Rt△;如何判定一个三角形是否是直角三角形首先求出最大边如c;验证c2与a2＋b2是否具有相等关系;若c2＝a2＋b2,则△ABC是以∠C＝90°的直角三角形;若c2≠a2＋b2,则△ABC不是直角三角形;攻关秘技方法1：证明“文字叙述的几何命题”的方法这类题目证明起来较一般几何题要难,但还是有一定的思路和方法,一般先对题目进行总体分析,分析内容大致分为以下四点,然后逐步解决;1分析命题的题设和结论；2结合题设和结论画出图形；3综合题设结论和图形写出已知、求证；4进行证题分析;方法2：等腰三角形的边角求值法在解等腰三角形的边角求值题时,应考虑到各种可能的情况,还要排除不能构成三角形的情形;特别在解决线段或角的和差倍半关系时,常利用合成法或分解法,借助添加辅助线来完成;方法3：判定一个三角形是直角三角形的方法判定一个直角三角形可利用勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线性质或直角三角形的定义等,这些方法都要求掌握并能灵活运用;方法4：作图题几何作图题的每一步都必须有根有据,所以就要求我们掌握好已学过的公理、定理等;要掌握好尺规作图,还要多画多练;知识点：全等三角形的判定与性质方法：分析法能力：分析与解决问题的能力难度：中等知识点：全等三角形；角平分线方法：合成法；分解法能力：分析与解决问题的能力；逻辑推理能力难度：中等偏难知识点：等腰直角三角形的性质；线段的垂直平分线性质；勾股定理方法：综合法能力：分析与解决问题的能力难度：中等偏难知识点：线段的性质方法：数形结合法能力：空间想象能力；分析与解决问题的能力难度：中等偏难专题1：一题多问、一题多图和多题一解提高分析问题和解决问题能力的方法是多种多样的,而认真的设计课本中例题、习题的变式,挖掘其潜能也是方法之一;课本中的例题、习题为中考命题提供了丰富的源泉,它们具有丰富的内涵,在由知识转化为能力上具有示范性和启发性,在解题思路和方法上具有典型性和代表性;如果我们不以得到解答为满足,而是在解完之后,深入其中作进一步的挖掘和多方位探索,不仅可得到一系列的新命题,也可从“题海”中解脱出来,达到事半功倍的效果;而且通过不同角度、不同方位去思考问题,探索不同的解答方案,从而拓宽了思路,培养了思维的灵活性和应变能力;专题2：利用扩、剖、串、改提高解题能力学习几何时,感到例题好学易懂,但对稍加变化拓宽引申的问题束手无策,原因是把例题的学习看成是孤立的学一道题,学完就了事,致使解题时缺乏应变能力,但如果平时能重视对题目的扩充、剖解、串联和改编,就能较好地解决这一问题; 1．扩充：将原题条件拓展,使结论更加丰富充分;2．剖解：分析原题,将较复杂的图形肢解为若干个基本图形,使问题化隐为显; 3．串联：由例题的形式条件、结论等,联想与它相似、相近、相反的问题; 4．改编：改变原题的条件形式,探索结论是否成立专题3：分析、综合、辅助线我们研究不等式的有关问题时,会发现很多巧妙的方法,还会不断学习掌握类比的数学思想,形数结合的思想,从未知向已知转化的化归思想,通过研究这些不断变化的问题,全面把握不等式及不等式组的解法,从而提高我们分析问题、解决问题的能力;专题4：不等式的若干应用在平面几何里,证题思路主要有：1分析法,即从结论入手,逐步逆推,直至达到已知事实后为止;2综合法,先从已知条件入手,运用已学过的公式、定理、性质等推出证明的结论;3两头凑,就是将综合法和分析法有机地结合起来思考：一方面“从已知推可知”,从已知看可以推出哪些结论；另一方面“由未知看需知”,从所求结论逆推看需要什么条件,一旦可知与需知沟通,证题思路即有了;添加辅助线是证明几何题的重要手段,也是学习中的难点之一;专题5：几何证题的基本方法有两种：一种是从条件出发,通过一系列已确立的命题逐步向前推演,直到达到证题目的,简言之,这是由因导果的方法,我们称之为直接证法或综合法,综合法证题的程序如下：欲证AB,由于AC,CD,…,x,而xB,故AB.另一种则反过来,先假定命题的结论成立,考虑达到目的需具备什么条件,通过一系列的逆推直到回朔到已知条件为止;简言之,这是执果索因的方法,我们称之为分析法,分析法证题的程序如下：欲证“AB”,也就是BA,若能分析出BC,CD, (x)而xA,则断言BA,也就是AB;在实际操作上,往往把这两种方法结合起来,先分析探求铺路,再综合解题成功,简言之就是“倒着推,顺着走”;—平移、旋转、对称在几何证题中,常需要将一个图形进行适当的变换,常见的几何变换有全等变换,等积变换和相似变换;本章只讲全等变换,也就是不改变图形的形状和大小,只改变图形位置的变换;常见的全等变换的形式有三：1．平移：将图形中的某些线段乃至整个图形平行移动到某一适当位置,作出辅助图形,使问题得到解决;平移的基本特点是：任一线段在平移过程中,其长度保持不变;2．旋转：将平面图形绕平面内一定点M旋转一个定角α得到与原来形状和大小相同的图形,这样的变换叫做旋转变换,M叫旋转中心,α角叫旋转角;旋转变换的主要性质：1变换后的图形与原图形全等；2原图中任一线段与旋转后的对应线段所成的角等于旋转角;3．对称：将一个图形或它的一部分绕着一条直线翻转180°,得一个与原来形状、大小完全相同的图形,这种变换称为轴对称变换,轴对称变换的主要特点是：对称轴是一切翻转前后对应点连线的垂直平分线;除轴对称外,还有中心对称,这一点我们将在下一章四边形中讲到;方法总结：复杂的图形都是由较简单的基本图形组成,故可将复杂的图形分解成几个基本图形这样使问题显而易见;当直接证题有困难时,常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的;综合法是从已知条件出发探索解题途径的方法;分析法是从结论出发,用倒推来寻找证明思路的方法;两头“凑”的方法,也就是综合运用以上两种方法才能找到证明思路;又叫分析――综合法;转化思想就是将复杂问题转化、分解为简单的问题；或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想;。
初三数学直角三角形三角函数
精品文档、一周知识概述(3)三个三角函数之间的关系:① 互余关系 sinA=cos(90 ° — A)、cosA=sin(90 ° — A)② 平方关系：处「= ■sin AtarM = -------③ 商数关系： ■-亠■■-2、注意两个转化(1)把实际问题转化为数学问题：将实际问题图形转化为平面几何图形，依题意，画 出图形•(2)若三角形不是直角三角形，应添加适当的辅助线，将原图形分割成几个直角三角 形，找当0°WaW 90°时，正弦与正切的函数值随角的增大而增大，但 tan90°的值不存在，而余弦的函数值是随角的增大而减小. 5、理解仰角、俯角、坡角、坡度等概念COSJ 4 =—(2)三个锐角三角函数:a c tan .4 = —i ；cot 卫=—Jba■视有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面 AB 与地面BC 的倾斜程度，有时用坡角a 的大小来反映。
当a( 0°<a< 90°)较大时，则倾斜程度就较徒，有时把坡面 AB 的 铅垂高度h 和水平宽度f 的比叫做坡度，用字母i 表示..(2) 0°、90° 的特殊情况：sinO ° =0, cosO ° =1, tan0 ° =0，sin90 ° =1，cos90° =0， tan90 °不存在.(3)已知锐角a ，则可求出sin a ,cos a ,ta n a 的值，当a 是0°〜90°中一般角时,可用科学计算器求出，反过来，若已知某三角函数值时，也可求出 0° ~90°间的角. (4) 利用直角三角形中的边角关系，解决实际冋题 2、难点将一般三角形中所要求的值，转化为直角形求其值，即辅助线要恰当地作出。
一般 来说，辅助线不要破坏所给的特殊角. 一、周知识概述1、从实际问题出发一一梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通 过学习发现：把这一问题tan A =转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比.所以规定山的对起B乙扛的对边BCA人_____________ CC小旳邻边AC显然，梯子的倾斜程度与tanA 的值的大小有关，当0° <A° <90 °，若/ A 逐渐增大，则tanA 的值逐渐增大 ，梯子越陡•..乙4的对边.山的邻边sin A = -------- cos >1= ----------2、相应地规定正弦：斜边料边BBBC'ACCABAB 322 312 1sin atan a2ABM 6(P= — AS^AB2昱~2~60°30°45° 3、关于30°, 45°, 60°的正弦，余弦、正切值，可由直角二角形来确定，与直角二 角形大小无关，而与两锐 角大小有关•当/ A=30°时当/ A=45时 当/ A=60°时则EU ^-AB2AC=^-AB1—击4、为方便学习，应了解一下在直角三角形中，把/ A 的邻边与/ A 的对边之比起名为余 切，即卩则紀=• —2AB ABABBCtaL6(F = —AC ^AB将它们的特殊值列表如下：三角函数 角a 的度数 COSamtA=山的邻边显然cot虫-------- .匕1的对边tan』5、在Rt△ ABC中，由锐角A (0° vA<90°)的特点，可得到0<sinA<1,0<cosA<1，由定义：2 2 2sin A= —r cos =—T(sm 乂〕卞 + (co务妊尸=—y ■—= —— \. 2 2芒芒可得出疋匸' 芒即sin A+ cos A=1.6除特殊角30°, 45°, 60°的三角函数值外，还有0°, 90°的极端情况规定：stnO°= _ = H = o?co s0D= —= - - l r tan 0° = —= - = 0c c e c b b(b^0)，而sin90 ° =1, cos90 ° =0, tan90。
初三数学三角函数知识点：解直角三角形注意点
初三数学三角函数知识点：解直角三角形注意点
1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．
2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．
3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．
4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．
5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．
7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．
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三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。
它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。
另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。
三角形中有三条边,三个角,三个顶点。
三角形中的主要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。
这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。
并且对这三条线段必须明确三点:(1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。
(2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线，都在三角形内部。
而三角形的高线在当△ＡＢC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。
（3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。
在以后我们可以给出具体证明。
今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形的按边分类三角形的三条边，有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。
所以三角形按的相等关系分类如下：等边三角形是等腰三角形的一种特例。
判定三条边能否构成三角形的依据△AＢC的三边长分别是a、ｂ、ｃ,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。
可知:△③a+b＞c，①a+c>b,②b+c＞a△定理:三角形任意两边的和大于第三边。
△由②、③得b―a<c,且b―ａ＞―c△故|a―b|＜c,同理可得|b―c｜<a,|a―ｃ|＜b。
从而得到推论：三角形任意两边的差小于第三边。
上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。
另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。
如：三条线段的长分别是５、４、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形。
判定三条边能否构成三角形对于某一条边来说，如一边a,只要满足｜ｂ-ｃ|＜ａ＜b＋c,则可构成三角形。
这是因为|b-ｃ|＜ａ,即b－c＜ａ，且b-ｃ＞－a.也就是ａ+c>b且ａ＋b＞ｃ，再加上b+c＞a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。
反过来，只要a、b、ｃ三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|ｂ-c|＜a<b＋c。
在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c＞a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。
同时如果已知线段ａ最小,只要满足|b－c|＜a,就能判定三条线段ａ、b、c构成三角形。
证明三角形的内角和定理除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路：方法1 如图,过顶点Ａ作ＤＥ‖BC,运用平行线的性质,可得∠B=∠２,∠Ｃ=∠1,从而证得三角形的内角和等于平角∠DAE。
方法2 如图,在△ABC的边BC上任取一点D，过D作DＥ‖ＡB，DF‖AC，分别交ＡC、AB于Ｅ、F,再运用平行ﻫ线的性质可证得△AＢC的内角和等于ﻫ平角∠ＢＤＣ。
三角形按角分类ﻫ根据三角形的内角和定理可知，三角形的任一个内角都小于１８0°,其内角可能都是锐角,也可能有一个直角或一个钝角。
三角形按角可分类如下：根据三角形的内角和定理可有如下推论:推论1 直角三角形的两个锐角互余。
ﻫ推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
ﻫ推论３三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
ﻫ同时我们还很容易得到如下几条结论：ﻫ（1）一个三角形最多有一个直角或钝角。
(2）一个三角形至少有两个内角是锐角。
ﻫ(3)一个三角形至少有一个角等于或小于60°（否则,若三个内角都大于６0°;则这个三角形的内角和大于18０°，这与定理矛盾）。
ﻫ(4) 三角形有六个外角,其中两两是对顶角相等,所以三角形的三个外角和等于３60°。
ﻫ全等三角形的性质ﻫ全等三角形的两个基本性质ﻫ(1)全等三角形的对应边相等。
（2）全等三角形的对应角相等。
ﻫ确定两个全等三角形的对应边和对应角ﻫ怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角？其方法主要可归结为：ﻫ(1)若两个角相等,这两个角就是对应角，对应角的对边是对应边。
ﻫ(2)若两条边相等，这两条边就是对应边,对应边的对角是对应角。
（3）两个对应角所夹的边是对应边。
ﻫ（4）两个对应边所夹的角是对应角。
ﻫ由全等三角形的定义判定三角形全等ﻫ由全等三角形的定义知，要判定两个三角形全等,需要知道三条边，三个角对应相等，但在应用中,利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的，因而需要找到能完全确定一个三角形的条件，以便用较少的条件，简便的方法来判定两个三角形的全等。
判定两个三角形全等的边、角、边公理内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(即SAS)。
这个判定方法是以公理形式给出的,我们可以通过实践操作去验证它,但验证不等于证明,这点要区分开来。
公理中的题设条件是三个元素:边、角、边，意指两条边和这两条边所夹的角对应相等。
不能理解成两边和其中一个角相等。
否则，这两个三角形就不一定全等。
ﻫ例如在△AＢC 和△A′B′C′中,ﻫ如右图，ＡB=Ａ′B′,∠Ａ＝∠Ａ′,ＢC＝A′C′，但是△ＡBC不全等于ﻫ△Ａ′B′C′。
ﻫ又如，右图，在△AＢC和△A′B′C′中，AB=Ａ′B′，∠B=∠B′，ＡC=A′C′,但△ABC和△Ａ′Ｂ′C′不全等。
原因就在于两边和一角对应相等不是公理中所要求的两边和这两条边的夹角对应相等的条件。
说明:从以上两例可以看出,SAS≠SSA。
ﻫ判定两个三角形全等的第二个公理内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（即ASA）。
ﻫ这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它。
公理强调了两角和这两角的夹边对应相等,这里实质上包含了一个顺序关系。
千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边,而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边。
ﻫ如右图，在△AＢＣ和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B=∠Ｂ′,AB＝A′C′,但这两个三角形显然不全等。
原因就是没有注意公理中“对应”二字。
ﻫ公理一中的边、角、边,其顺序是不能改变的,即ＳＡＳ不能改为SＳA或ASS。
而ASA公理却能改变其顺序，可改变为AAS或SAA，但两个三角形之间的“对应”二字不能变。
同时这个公理反映出有两个角对应相等，实质上是在两个三角形中有三个角对应相等，故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了。
由公理二可知，有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等判定两个三角形全等的边、边、边公理公理:三条边对应相等的两个三角形全等(即边、边、边公理)。
边、边、边公理在判定两个三角形全等时，其对应边就是相等的两条边。
这个公理告诉我们,只要一个三角形的三边长度确定了,则这个三角形的形状就完全确定了。
这就是三角形的稳定性。
ﻫ判定两个三角形全等ﻫ通过以上三个公理的学习，可以知道,在判定两个三角形全等时,无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等，而只需要其中三对条件。
ﻫ三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合。
无非有如下情况：（1）三边对应相等。
(2）两边和一角对应相等。
ﻫ(3)一边和两角对应相等。
（4)三角对应相等。
ﻫHＬ公理ﻫ我们知道，满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等。
ﻫ但是,对于两个直角三角形来说,这个结论却一定成立。
ﻫ斜边、直角边公理:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写为ＨＬ）。
这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等,其本身包含了一个直角相等。
这种边、边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件。
由于直角三角形是一种特殊的三角形,所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用。
角平分线的性质定理和逆定理ﻫ性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
ﻫ逆定理:到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
点在角平分线上点到这个角的两边距离相等。
用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理性质定理:∵P在∠AＯB的平分线上ﻫPD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PEﻫ逆定理：∵PD＝PＥ,ＰＤ⊥OA,ＰE⊥OB∴点P在∠AOB的平分线上。
角平分线定义ﻫ如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。
ﻫ角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合。
三角形角平分线性质三角形三条平分线交于一点，并且交点到三边距离相等。
互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
ﻫ原命题和逆命题的真假性每个命题都有逆命题,但原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题,原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假;真、真;假、假;假、真。
互逆定理ﻫ如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理。
每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理ﻫ尺规作图ﻫ限定用直尺(没有刻度）和圆规的作图方法叫尺规作图。
基本作图最基本最常见的尺规作图称之为基本作图，主要有以下几种：ﻫ(1）作一个角等于已知角；ﻫ(2）平分已知角;(3）过一点作已知直线的垂线;ﻫ(4）作已知线段的垂直平分线;（５）过直线外一点作已知直线的平行线。
ﻫ有关概念有两边相等的三角形称为等腰三角形。
三边都相等的三角形称为等边三角形,又称为正三角形。
有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形。
ﻫ等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。
ﻫ等腰三角形的有关概念等腰三角形中，相等的两边称为腰,另一边称为底边,两腰的夹角称为顶角,底边上的两个角称为底角。
等腰三角形的主要性质ﻫ两底角相等。
ﻫ如图,ΔAＢC中AB＝AＣ,取BC中点D,连结AＤ，ﻫ容易证明：ΔABD≌ΔACＤ,∴∠Ｂ=∠C。
如图，ΔAＢＣ中为等边三角形，那么，由ＡB＝AC，得∠B=∠C，ﻫ由CＡ=ＣＢ,得∠A=∠B，于是∠A=∠B=∠Ｃ,但∠A＋∠B＋∠C=１80°，ﻫ∴∠A＝∠B=∠Ｃ＝60°ﻫ如图,ΔABC中ＡB=AC,且AD平分∠ＢAＣ，那么由ΔAＢＤ≌ΔAＣD，ﻫ可得BD=ＣD,∠ADＢ=∠AＤC，ﻫ但∠AＤB+∠ＡDＣ=１80°，∴∠ADＢ=９０°,从而AD⊥ＢC，由此又可得到另外两个重要推论。
两个重要推论ﻫ等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边;等边三角形各内角相等，且都等于60°。