高中数学阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯（Apollonius）圆

法二：

设平面上有不同的两点A,B ，那么该平面上使得

k PB

PA

= 为定值k （1≠k ）的P 的轨迹是一个圆。

这个定理的证明方法很多。下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。

如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA：PB＝ m：n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且AM：MB＝AN：NB＝m：n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。

下面先证明两个定理：

一、如图一，已知M是BC上一点，且AB：AC＝BM：MC，

求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）

证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB：AD＝BM：MC

∵AB：AC＝BM：MC，

∴AB：AD ＝AB：AC，

∴AC＝AD，∴∠D＝∠3，

∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。

二、如图二，N是BC延长线上一点，BN：CN＝AB：AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC. 证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN：CN＝AB：AD.

∵BN：CN＝AB：AC

∴AB：AD＝AB：AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4.

∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4

∴∠1＝∠2

∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC

有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下：

连结PM、PN，∵M为AB的内分点

PA：PB＝AM：MB ＝m：n，∴PM平分∠APB

∵N为AB的外分点，AN：BN＝PA：PB ＝m：n

∴PN平分∠BPE

∵∠APB＋∠BPE＝180º，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2

∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2即∠MPN＝90º

∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆

阿波罗尼斯圆

一、适用题型

1、已知两个线段长度之比为定值；

2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；

3、向量的定比分点公式结合角平分线；

4、线段的倍数转化；

二、基本理论

（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）

设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则：

2

2222

222222222

1221221c

b a m

c b a m b c a m a c b +=++=++=

+

（二）阿波罗尼斯圆

一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”

()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ

()()2222y a x y a x +-=++λ

化简得：2

22

2

22

1211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+λλλλ，半径为，的圆 （三）阿波罗尼斯圆的性质

1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点；

2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角；

3、BN AN

BM AM = 4、CN CM ⊥

5、内在圆点内；

在圆时，点O A O B ,101<<>λλ；

6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ；

7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠；

三、补充说明

1、关于性质1的证明

定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比等于常数λ。 证明：不妨设1>λ

1

,1,1,1,-=

-=+=+==λλλλλλa

BQ a AQ a BP a AP CD PQ O B a AB ，则

垂直的弦的与直径作圆过点设 由相交弦定理及勾股定理得：

λλλλλλλλ=-=-=-=-+=+=-=⋅=BC AC

a AC a BC a a a BC AB AC a BQ BP BC 则于是,1

,11

11

2222

2222

2

2

2

2

2

2

从而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此圆O 上任意点到B A ,两点距离之比等于常数。 2、关于性质6的补充

若已知圆O 及圆O 外一点A ，则可作出与点A 对应的点B ，只要过点A 作圆O 两条切线，切点分别为D C ,，连结CD 与AQ 即交于点B 。反之，可作出与点B 对应的点A

四、典型例题

例1 （教材例题）已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为12

的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。 解：设点(,)M x y 是曲线上任意一点，则2222

1

2

(3)x y x y +=

-+，整理即得到该曲线的方程为：22(1)4x y ++=。