高中数学阿波罗尼斯圆
「高中数学」阿波罗尼斯圆在高考中的应用
「高中数学」阿波罗尼斯圆在高考中的应用阿波罗尼斯圆在高考中的应用我们在学习解析几何的时候，总会碰到一些关于圆的定点和定值类的问题，我们反复的联立求解，其实这些问题中有一种情形就是著名的阿波罗尼斯圆问题。
下面我们来了解一下阿波罗尼斯圆：一、我们给出阿波罗尼斯圆的定义：在平面上给定相异的两点A、B。
设p点在同一平面上且满足p点的轨迹就是个圆，这个圆我们就称作阿波罗尼斯圆。
设M，N 分别为线段AB按定比入分隔的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且二、我们给出阿波罗尼斯圆的证明：以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系设AB=2c 则Ａ（－ｃ，０），Ｂ（ｃ，０），Ｐ（ｘ，ｙ）三、了解阿波罗尼斯圆的性质：定理：A，B为两已知点，M，N分别为线段AB的定比为入，（入》0，入≠1）的内，外分点，则以MN为直径的圆o上任意点到A,B两点的距离之比等于常数入证明：以入>1为例，设AB=a，过点B做圆O的直径MN垂直的弦PQ通过以上的证明，我们可以得到如下的结论：1、当入>1时，点B在圆O内，点A在圆O外. 当0<><>２、因ＡＰ^2=AM.AQ,故AP为圆O的一条切线，若已知圆Ｏ及圆Ｏ外一点A，则可做出点Ａ对应的点B。
只要过点Ａ做圆O两条切线切点分别为P，Q，连接PQ与AN交于点B，反之，可作出与点Ｂ对应的点A3、过点Ａ做圆Ｏ的切线AP（P为切点）后，PM，PN分别为∠APB的内、外角平分线。
四、阿波罗尼斯圆在高考中的应用一、常见解法：二、阿波罗尼斯圆解决：例题选讲一：例题选讲二：从2018年高考大纲中提出加入数学文化，各个模拟卷中都适当的加入数学史中的一些典故。
阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻的研究，其主要的成果集中于他的代表作《圆锥曲线》一书，他与阿基米德、欧几里得成为亚历山大时期的“数学三巨匠”。
(完整版)阿波罗尼斯圆问题
APB阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】苏教版《数学必修2》P.112第12题：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线．二、【阿波罗尼斯圆】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB PA λ=，则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆．证：设PB PA m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -），（0m B ． 又设），（y x C ，则由PB PA λ=得2222)()(y m x y m x +-=++λ，两边平方并化简整理得）（）（）（）（222222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当1>λ时，22222222)1(4)11(-=-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，122-λλm 长为半径的圆．上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．三、【范例】例1 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是 ．解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ，设），（y x C ，由BC AC 2=得2222121y x y x +-⋅=++）（）（，平方化简整理得88316222≤+--=-+-=）（x x x y ，∴22≤y ，则 22221≤⋅⨯=∆y S ABC ，∴ABC S ∆的最大值是22． 变式 在ABC ∆中，边BC 的中点为D ，若AD BC AB 2,2==，则ABC ∆的面积的最大值是 ．解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ， 由AD BC CD BD 2,==知，BD AD 2=，D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为8322=+-y x ）（，设),(y x C ，BC 的中点为D 得)2,21(yx D +，所以点C 的轨迹方程为 8)2(32122=+-+y x ）（，即32522=+-y x ）（， ∴2432221=≤=⋅⨯=∆y y S ABC ，故ABC S ∆的最大值是24．例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．解：设(,)P x y =，整理得22(5)8x y -+=，即动点P 在以(5,0)为圆心，为半径的圆上运动． 另一方面，由PC PD =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1y a =+上运动，因而问题就转化为直线1y a =+与圆22(5)8x y -+=有交点，所以1a +≤a 的取值范围是[1,1]-．例3 在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1 ，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解： 设(),24C a a -，则圆方程为()()22241x a y a -+-+= 又设00(,)M x y ，2MA MO = ()22220000344x y x y ∴+-=+， 即()220014x y ++=这说明M 既在圆()()22241x a y a -+-+=上，又在圆()2214x y ++=上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，2121∴-≤≤+，解得1205a ≤≤，即a 的取值范围是12[0,]5． 例4 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M . （1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.解：（1）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得11|24|2=+-k k ，解得815k ±=，∴切线l 方程为24)y x -=-． （2）圆心到直线12-=x y r ，则9)5(2222=+=r∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x（3）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，根据题意可得122-+=y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1b y a x y x ，即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得：[])11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ，解得310,51,522,1,2======λλb a b a 或，∴可以找到这样的定点R ，使得PRPQ为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2； 点R 的坐标为)51,52(时，比值为310． 四、【练习】1．如图，在等腰ABC ∆中，已知AC AB =，)0,1(-B ，AC 边的中点为)0,2(D ，点C 的轨迹所包围的图形的面积等于 ．解：∵AD AB 2=，所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其 方程为4)3(22=+-y x ，设),(y x C ，由AC 边的中点为)0,2(D 知),4(y x A --，所以C 的轨迹方程为4)()34(22=-+--y x ，即4)1(22=+-y x ，面积为π4．2．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与 平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，求PAB ∆的面积的最大值． 解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化 为平面内点P 所满足的几何条件．DA α⊥ DA PA ∴⊥,∴在PAD Rt ∆中, APAP AD APD 4tan ==∠， 同理8tan BC BPC BP BP∠==， APD BPC ∠=∠AP BP 2=∴ ，这样就转化为题3的题型．在平面α上,以线段AB 的中点为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系，则)0,3(),0,3(B A -，设),(y x P 0)y =≠ 化简得:16)5(22=++y x ，2216(5)16y x ∴=-+≤，||4y ∴≤， PAB ∆的面积为1||||3||122PAB S y AB y ∆=⋅=≤，当且仅当5,4x y =-=±等号取得，则PAB ∆的面积的最大值是12．AP BDCβα3．圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PN PM ,（N M ,分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.解：以1O ，2O 的中点O 为原点，1O ，2O 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则)0,2(1-O ，,2(2O ，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x,y ），则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，此即P 的轨迹方程.4．已知定点)0,0(O ，点M 是圆4)1(22=++y x 上任意一点，请问是否存在不同于O 的定点A 使都为MAMO常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标,若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的点),(n m A ，设),(y x M ，0>=λMAMO． 则λ=-+-+2222)()(n y m x y x ， 又),(y x M 满足4)1(22=++y x ，联立两式得0)3(32)222(222222=++-++-+n m y x m λλλλ ，由M 的任意性知⎪⎩⎪⎨⎧=++-==-+0)3(3020222222222n m y m λλλλ，解得)0,3(A ，21=λ．。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。
它以古希腊数学家阿波罗尼斯的名字命名，展现了几何图形与数学原理之间的精妙联系。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义入手。
阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹。
也就是说，如果有两个定点 A 和 B，点 P 满足｜PA|／｜PB| ＝ k（k 为非 1 的常数），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。
为了更直观地感受阿波罗尼斯圆，我们不妨通过一个简单的例子来看看它是如何形成的。
假设定点 A 的坐标为(－1, 0)，定点 B 的坐标为(1, 0)，且比值 k ＝ 2。
我们可以通过距离公式和等式｜PA|／｜PB| ＝2 来列出方程，经过一番计算和化简，就能得到点 P 的轨迹方程，从而描绘出这个阿波罗尼斯圆的图形。
那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？一个常见的应用是在物理学中的带电粒子在电场和磁场中的运动问题。
比如，当带电粒子在特定的电场和磁场中运动时，其轨迹可能会符合阿波罗尼斯圆的特征。
通过对阿波罗尼斯圆性质的深入理解，我们可以更好地分析带电粒子的运动路径、速度变化等关键信息，从而为相关的物理研究和实际应用提供有力的理论支持。
在工程领域，阿波罗尼斯圆也有着不可小觑的作用。
比如在建筑设计中，当需要规划一些具有特定比例关系的布局时，阿波罗尼斯圆的概念可以帮助设计师巧妙地安排空间，实现美观与实用的完美结合。
又比如在道路规划中，为了使车辆行驶更加流畅和安全，有时需要根据不同地点之间的距离比例关系来设计路线，阿波罗尼斯圆的原理就能在其中发挥指导作用。
在数学解题中，阿波罗尼斯圆更是常常成为巧妙解题的关键。
例如，在一些涉及到距离比值的几何问题中，如果能够敏锐地发现其隐藏的阿波罗尼斯圆结构，往往能够化繁为简，迅速找到解题的突破口。
我们来看一个具体的数学问题。
已知三角形 ABC 中，AB ＝ 4，AC ＝ 2，且点 P 满足｜PA| ＝ 2|PB|，求点 P 的轨迹。
阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题 解析版
阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题一、知识点梳理一、阿波罗尼斯圆1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点A ,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ=1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的证明设P x ,y ,A 1-a ,0 ,B a ,0 ．若PA PB =λ(λ>0且λ≠1)，则点P 的轨迹方程是x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，其轨迹是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．证明：由PA =λPB 及两点间距离公式，可得x +a 2+y 2=λ2x -a 2+y 2 ，化简可得1-λ2 x 2+1-λ2 y 2+21+λ2 ax +1-λ2 a 2=0①，(1)当λ=1时，得x =0，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；(2)当λ≠1时，方程①两边都除以1-λ2得x 2+y 2+2a 1+λ2 x 1-λ2+a 2=0，化为标准形式即为：x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，∴点P 的轨迹方程是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．图① 图② 图③【定理】A ,B 为两已知点，M ,N 分别为线段AB 的定比为λλ≠1 的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到A ,B 两点的距离之比为λ．证明：以λ>1为例．如图②，设AB =2a ，AM MB =AN NB =λ，则AM =2aλ1+λ,BM =2a -2aλ1+λ=2a1+λ，AN =2aλλ-1,BN =2aλλ-1-2a =2aλ-1．过B 作AB 的垂线圆C 交于Q ,R 两点，由相交弦定理及勾股定理得QB 2=MB ⋅BN =4a 2λ2-1,QA 2=AB 2+QB 2=4a 2λ2λ2-1，于是QB =2aλ2-1,QA =2aλ2-1,∴QA QB =λ．∵M ,Q ,N 同时在到A ,B 两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C 上任意一点P 到A ,B 两点的距离之比恒为λ．同理可证0<λ<1的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关结论【结论1】当λ>1时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当0<λ<1时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．【结论2】因AQ 2=AM ⋅AN ，故AQ 是圆C 的一条切线．若已知圆C 及圆C 外一点A ，可以作出与之对应的点B ，反之亦然．【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN =4aλλ2-1 ，面积为4πa 2λ2λ2-12．【结论4】过点A 作圆C 的切线AQ (Q 为切点)，则QM ,QN 分别为∠AQB 的内、外角平分线．【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB 和外分AB 所得的两个分点，如图所示，M 是AB 的内分点，N 是AB 的外分点，此时必有PM 平分∠APB ，PN 平分∠APB 的外角．证明：如图①，由已知可得PA PB =MA MB =NA NB =λ(λ>0且λ≠1)，∵S ΔPAM S ΔPBM =MA MB=λ，又S ΔPAM =12PA ⋅PM sin ∠APM ,S ΔPBM =12PB ⋅PM sin ∠BPM ,∴PA ⋅PM sin ∠APMPB ⋅PM sin ∠BPM=λ，∴sin ∠APM =sin ∠BPM ,∴∠APM =∠BPM ,∴PM 平分∠APB ．由等角的余角相等可得∠BPN =∠DPN ，∴PN 平分∠APB 的外角．【结论6】过点B 作圆C 不与QR 重合的弦EF ，则AB 平分∠EAF ．证明：如图③，连结ME ,MF ，由已知FA FB =EA EB =λ,∴EB FB =EA FA.∵S ΔABE S ΔABF =EBFB (λ>0且λ≠1)，又S ΔABE=12AB ⋅AE sin ∠BAE ,S ΔABF =12AB ⋅AF sin ∠BAF ,∴AB ⋅AE sin ∠BAE AB ⋅AF sin ∠BAF =EB FB =AEAF，∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．二、蒙日圆1.蒙日圆的定义在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．证明：设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，则椭圆两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．①当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 斜率均存在且不为0时，可设P x 0,y 0 (x 0≠±a 且y 0≠±b )，过P 的椭圆的切线方程为y -y 0=k x -x 0 k ≠0 ，由y -y 0=k x -x 0 ,x 2a2+y 2b2=1,得a 2k 2+b 2 x 2-2ka 2kx 0-y 0 x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式值为0，得x 20-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ,k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b2x 20-a2，由已知PA ⊥PB ,∴k PA ⋅k PB =-1,∴y 20-b 2x 20-a2=-1,∴x 20+y 20=a 2+b 2,∴点P 的坐标满足方程x 2+y 2=a 2+b 2．②当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为±a ,b 或a ,±b ，此时点P 也在圆x 2+y 2=a 2+b 2上．综上所述：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．2.蒙日圆的几何性质【结论1】过圆x 2+y 2=a 2+b 2上的动点P 作椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两条切线PA ,PB ，则PA ⊥PB ．证明：设P 点坐标x 0,y 0 ，由x 2a 2+y 2b 2=1y -y 0=k x -x 0，得a 2k 2+b 2x 2-2ka 2kx 0-y 0x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式的值为0，得x 20-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ，k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a 2，x 20+y 20=a 2+b 2，k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a2=-1，PA ⊥PB ．【结论2】设P 为蒙日圆O ：x 2+y 2=a 2+b 2上任一点，过点P 作椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线，交椭圆于点A ,B,O为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值k OP⋅k AB=-b2a2．【结论3】设P为蒙日圆O：x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,PA的斜率乘积为定值k OA⋅k PA=-b2a2，且OB,PB的斜率乘积为定值k OB⋅k PB=-b2a2(垂径定理的推广)．【结论4】过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，O为原点，则PO平分椭圆的切点弦AB．证明：P点坐标x0,y0，直线OP斜率k OP=y0x0，由切点弦公式得到AB方程x0xa2+y0yb2=1，k AB=-b2x0a2y0，k OP⋅k AB=-b2a2，由点差法可知，OP平分AB，如图M是中点．【结论5】设P为蒙日圆O:x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则OP,CD的斜率乘积为定值k OP⋅k CD=-b2a2．【结论6】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,OB的斜率乘积为定值：k OP⋅k CD=-b4a4．【结论7】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则SΔAOB的最大值为ab2，SΔAOB的最小值为a2b2a2+b2．【结论8】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B，则SΔAPB的最大值为a4a2+b2,SΔAPB的最小值为b4a2+b2．二、题型精讲精练1设A ，B 是平面上两点，则满足PA PB=k (其中k 为常数，k ≠0且k ≠1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知A 6,0 ，B 62,0，且k =2.(1)求点P 所在圆M 的方程.(2)已知圆Ω:x +2 2+y -2 2=5与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左边)，斜率不为0的直线l 过点D 且与圆M 交于E ，F 两点，证明：∠ECD =∠FCD .【详解】(1)解：由题意可得，PA PB=2，即PA =2PB ，则x -6 2+y 2=2x -622+y 2，整理得x 2+y 2=3，即圆M 的方程为x 2+y 2=3.(2)证明：对于圆Ω，令y =0，得x =-1或x =-3，所以C -3,0 ，D -1,0 .设直线l 的方程为x =ty -1，E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 .由x =ty -1,x 2+y 2=3,得1+t 2 y 2-2ty -2=0，则y 1+y 2=2t 1+t 2，y 1y 2=-21+t 2.k CE +k CF =y 1x 1+3+y 2x 2+3=y 1x 2+3 +y 2x 1+3 x 1+3 x 2+3=y 1y 2t +2 +y 2ty 1+2 x 1+3 x 2+3 =2×ty 1y 2+y 1+y 2x 1+3 x 2+3 =2×-2t 1+t 2+2t 1+t 2x 1+3 x 2+3 =0则直线EC 与FC 关于x 轴对称，即∠ECD =∠FCD .2已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的一个焦点为5,0 ，离心率为53．(I )求椭圆C 的标准方程；(II )若动点P x 0,y 0 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【详解】(I )可知c =5，又e =c a =5a =53,∴a =3,b 2=a 2-c 2=9-5=4，故椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1．(II )设两切线为l 1,l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时，对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴，可知P ±3,2 或P 3,±2 ．②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3，设l 1的斜率为k ，则k ≠0,l 2的斜率为-1k，l 1的方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立x 29+y 24=1，得9k 2+4 x 2+18k y 0-kx 0 x +9y 0-kx 0 2-4 =0，∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，得18k 2y 0-kx 02-36y 0-kx 0 2-4 9k 2+4 =0,∴4y 0-kx 0 2-49k 2+4 =0，整理得x 20-9 k 2-2x 0y 0k +y 02-4=0(*)，∴k 是方程(*)的一个根，同理-1k是方程(*)的另一个根，其中x 0≠±3，∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13x ≠±3 ，又P ±3,2 或P 3,±2 满足上式．综上知：点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13．【题型训练-刷模拟】1.阿波罗尼斯圆一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A -1,0 和B 2,1 ，且该平面内的点P 满足|PA |=2|PB |，若点P 的轨迹关于直线mx +ny -2=0(m ,n >0)对称，则2m +5n的最小值是()A.10B.20C.30D.40【答案】B【分析】点P 的轨迹为圆，直线mx +ny -2=0过圆心，得5m +2n =2，利用基本不等式求2m +5n的最小值.【详解】设点P 的坐标为x ,y ，因为PA =2PB ，则PA 2=2PB 2，即x +1 2+y 2=2x -2 2+y -1 2 ，所以点P 的轨迹方程为(x -5)2+(y -2)2=20，因为P 点的轨迹关于直线mx +ny -2=0m >0,n >0 对称，所以圆心5,2 在此直线上，即5m +2n =2，所以2m +5n =125m +2n 2m +5n =1220+4n m +25m n ≥10+12×24n m ⋅25m n=20，当且仅当4n m =25m n ，即m =15,n =12时，等号成立，所以2m +5n的最小值是20.故选：B .2.(2023·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆T :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b>0),A ,B 为椭圆T 长轴的端点，C ,D 为椭圆T 短轴的端点，E ，F 分别为椭圆T 的左右焦点，动点M 满足ME MF=2,△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，则椭圆T 的离心率为()A.63B.33C.22D.32【答案】A【分析】由题可得动点M 的轨迹方程x -5c 3 2+y 2=16c 29，可得12×2a ×43c =46，12×2b ×13c =2，即求.【详解】设M x ,y ，E -c ,0 ,F c ,0 ，由ME MF=2，可得x +c2+y 2=2x -c 2+y 2=2，化简得x -5c 3 2+y 2=16c 29.∵△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，∴12×2a ×43c =46，12×2b ×13c =2，∴b 2=13a 2=a 2-c 2，即c 2=23a 2，∴e =63．故选：A ．3.(2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=1，定点Q 为x 轴上一点，P -12,0 且λ=2，若点B 1,1 ，则2MP +MB 的最小值为()A.6B.7C.10D.11【答案】C【分析】根据点M 的轨迹方程可得Q -2,0 ，结合条件可得2MP +MB =MQ +MB ≥QB ，即得.【详解】设Q a ,0 ，M x ,y ，所以MQ =x -a2+y 2，又P -12,0 ，所以MP =x +122+y 2．因为MQ MP=λ且λ=2，所以x -a2+y 2x +122+y 2=2，整理可得x 2+y 2+4+2a 3x =a 2-13，又动点M 的轨迹是x 2+y 2=1，所以4+2a3=0a 2-13=1，解得a =-2，所以Q -2,0 ，又MQ =2MP ，所以2MP +MB =MQ +MB ，因为B 1,1 ，所以2MP +MB 的最小值为BQ =1+22+1-0 2=10．故选：C ．4.(2023·广西·统考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)，那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P 到A 2,0 ，B -2,0 的距离比为3，则点P 到直线l ：22x -y -2=0的距离的最大值是()A.32+23B.2+23C.43D.63【答案】A【分析】先由题意求出点P 的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.【详解】由题意，设点P x ,y ，则PA PB=x -22+y 2x +2 2+y2=3，∴x -22+y 2x +2 2+y 2=3，化简得点P 的轨迹方程为x +4 2+y 2=12，∴点P 的轨迹是以-4,0 为圆心，半径r =23的圆.圆心-4,0 到直线l ：22x -y -2=0的距离d =-82-222 2+-12=32，∴点P 到直线l 最大距离为d +r =32+2 3.故选：A .5.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，动点M 满足MA =2MO ，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l :y =k x -1 +b 与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是()A.-133,133B.-143,143C.-153,153D.-43,43【答案】C【分析】设点M x ,y ，求出动点M 的轨迹圆C 的方程，再求出直线l 过定点坐标，依题意点1,b 在圆C 的内部，即可得到不等式，解得即可.【详解】设点M x ,y ，∵MA =2MO ，∴(x +2)2+y 2=4x 2+4y 2，所以动点M 的轨迹为阿氏圆C ：3x 2+3y 2-4x -4=0，又直线l :y =k x -1 +b 恒过点1,b ，若对任意实数k 直线l :y =k x -1 +b 与圆C 恒有公共点，∴1,b 在圆C 的内部或圆上，所以3+3b 2-8≤0，所以3b 2≤5，解得-153≤b ≤153，即b 的取值范围为-153,153.故选：C6.(2023·全国·校联考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ,B 4,0 ，点P 满足PA PB=12.设点P 的轨迹为曲线C ，则下列说法错误的是()A.C 的方程为(x +4)2+y 2=16B.当A ,B ,P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得|MO |=2|MA |D.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为45【答案】C【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.【详解】设P x ,y ，由PAPB =12，得x +2 2+y 2x -42+y 2=12，化简得(x +4)2+y 2=16，故A 正确；当A ,B ,P 三点不共线时，OA OB =12=PA PB，所以PO 是∠APB 的角平分线，所以∠APO =∠BPO ，故B 正确；设M x ,y ,则x 2+y 2=2x +2 2+y 2，化简得x +832+y 2=169，因为-4+832+0-02=43<4-43，所以C 上不存在点M ，使得|MO |=2|MA |，故C 错误；因为PA PB=12，所以PB =2PA ，所以PB +2PD =2PA +2PD ≥2AD =45，当且仅当P 在线段AD 上时，等号成立，故D 正确.故选：C .7.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知平面上两定点A ，B ，则所有满足PA PB=λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P 在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一个侧面ABB 1A 1上运动，且满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为()A.8π3B.4π3C.3πD.15π2【答案】B【分析】根据阿氏圆的定义分析得P 点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可【详解】在图1中，以B 为原点建立平面直角坐标系xBy ，如图2所示，设阿氏圆圆心为O a ,0 ，半径为r .因为PA =2PB ，所以PA PB=2，所以r =21-22⋅AB =23×6=4.设圆O 与AB 交于点M .由阿氏圆性质，知MA MB=λ=2.又MB =4-BO =4-a ，所以MA =2MB =8-2a .又MA +MB =6，所以8-2a +4-a =6，解得a =2，所以O 2,0 ，所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为4的球.当点P 在侧面ABB 1A 1内部时，如图2所示，截面圆与AB ，BB 1分别交于点M ，R ，所以点P 在侧面ABB 1A 1内的轨迹为MR.因为在Rt △RBO 中，RO =4，BO =2，所以∠ROB =π3，所以MR=π3×4=4π3，所以点P 在侧面ABB 1A 1内部的轨迹长为4π3.故选：B.二、多选题8.(2023秋·云南保山·高三统考期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A-1,0,B2,0，点P满足PAPB=12，设点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()A.曲线C的方程为(x+2)2+y2=4B.曲线C与圆C :x2+(y-2)2=4外切C.曲线C被直线l:x+y=0截得的弦长为22D.曲线C上恰有三个点到直线m:x+3y=0的距离为1【答案】ACD【分析】对于A，设点P x,y，由两点间距离公式代入化简判断；对于B，根据圆心距与两半径和的关系进行判断；对于C，先求出点到直线的距离，再结合勾股定理求出弦长；对于D，结合点到直线的距离以及圆C 的半径分析判断.【详解】对于A，设P x,y，由定义PAPB=12，得(x+1)2+y2(x-2)2+y2=12，化简整理得(x+2)2+y2=4，故A正确；对于B，C的圆心为-2,0，半径r1=2；C 的圆心为0,2，半径r2=2；圆心距CC =22≠r1+r2，故B错误；对于C，圆心C-2,0到直线l:x+y=0的距离d=22=2，所以弦长为2r12-d2=22，故C正确；对于D，圆心C-2,0到直线m:x+3y=0的距离d=22=1，半径r=2，所以圆C上恰有三个点到直线m的距离为1,故D正确.故选：ACD.9.(2024·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(3,0)，点P满足PAPB=2，点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()A.曲线C的方程为x2+y2-10x+17=0B.直线3x+4y=0与曲线C有公共点C.曲线C被x轴截得的弦长为42D.△ABP面积的最大值为22【答案】ACD【分析】通过阿氏圆的定义结合PAPB=2，设P x,y，从而可以得到曲线C的方程；通过计算圆心到直线3x+4y=0的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；计算圆心到x轴的距离d，结合d2+l22=r2，得到曲线C被x轴截得的弦长l，从而判断C的正确性；AB的长度确定，所以△ABP面积的最大值即为点P到AB距离的最大值，从而判断C的正确性.【详解】设P x,y，对于选项A，因为PAPB=2，所以x-12+y2x-32+y2=2，化简得x2+y2-10x+17=0，故A正确；对于选项B，因为曲线C为x2+y2-10x+17=0，所以圆心为5,0，半径为22，计算圆心5,0到直线3x +4y=0的距离为d=3>22，所以直线3x+4y=0与曲线C没有公共点，故B错误；对于选项C，曲线C的圆心在x轴上，所以被x轴截得的弦即为直径，所以曲线C被x轴截得的弦长为42，故C正确；对于选项D，因为A(1,0)，B(3,0)，所以AB=2,故S△ABP=12⋅AB⋅y p =y p ，而曲线C为x2+y2-10x+17=0，所以y p∈-22,22，即S△ABP的最大值为22，故D正确.故选：ACD10.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A-2,0，B4,0，点P满足PAPB=12．设点P的轨迹为C，则( )．A.轨迹C的方程为x+42+y2=9B.在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得PDPE=12C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线D.在C上存在点M，使得MO=2MA【答案】BC【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹C的方程可判断A；设D m，0，E n，0，由两点间的距离公式结合轨迹C的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设M x，y，由MO=2MA求出点M的轨迹方程与x2+y2+8x=0联立，可判断D.【详解】对于A，在平面直角坐标系xOy中，A-2，0，B4，0，点P满足PAPB=12，设P x，y，则x+22+y2x-42+y2=12，化简得x2+y2+8x=0，即x+42+y2=16，所以A错误；对于B，假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得PDPE=12，设D m，0，E n，0，则x-n2+y2=2x-m2+y2，化简得3x2+3y2-8m-2nx+4m2-n2=0，由轨迹C的方程为x2+y2+8x=0，可得8m-2n=-24，4m2-n2=0，解得m=-6，n=-12或m=-2，n=4(舍去)，所以B正确；对于C，当A，B，P三点不共线时，OAOB =12=PAPB，可得射线PO是∠APB的角平分线，所以C正确；对于D，若在C上存在点M，使得MO=2MA，可设M x，y，则x2+y2=2x+22+y2，化简得x2+y2+163x+163=0，与x2+y2+8x=0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．故选：BC．11.(2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A-2,0，B4,0，点P满足PAPB=12.设点P的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是()A.C 的方程为x +4 2+y 2=16B.当A ，B ，P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得MO =2MAD.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为45【答案】ABD【分析】对于A ，通过直接法求出点P 的轨迹方程即可判断；对于B ，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；对于C ，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点M 轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；对于D ，将PB +2PD 转化为2PA +2PD 进行判断即可.【详解】设P x ,y ，(P 不与A ，B 重合)∵A -2,0 ，B 4,0 ，∴PA =x +22+y 2，PB =x -42+y 2，∴PAPB=12，得x +2 2+y 2x -42+y 2=12，化简得x +4 2+y 2=16，∴点P 的轨迹曲线C 是以C -4,0 为圆心，半径r =4的圆，对于A ，曲线C 的方程为x +4 2+y 2=16，故选项A 正确；对于B ，由已知，OA =2，OB =4，∴OA OB=12=PA PB，∴当A ，B ，P 三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，PO 是△APB 内角∠APB 的角平分线，∴∠APO =∠BPO ，故选项B 正确；对于C ，若MO =2MA ，则MO MA=2，由题意，M 点轨迹是圆，设M x ,y ，由MO MA=2得x 2+y 2x +22+y 2=2，化简得点M 轨迹方程为x +832+y 2=169，即点M 的轨迹是圆心为C -83,0 ，半径r =43的圆，圆C 与圆C 的圆心距CC =-4+832+0-0 2=43<r -r =83，∴圆C 与圆C 的位置关系为内含，圆C 与圆C 无公共点，∴C 上不存在点M ，使得MO =2MA ，故选项C 错误；对于D ，∵PA PB=12，∴PB =2PA ，∴PB +2PD =2PA +2PD =2PA +PD ≥2AD =2×-2-22+0-2 2=45，当且仅当P 在线段AD 上时，等号成立，故选项D 正确.故选：ABD .三、填空题12.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯(约前262-前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k k >0,k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点O 0,0 ，A 3,0 ，动点P 满足PO PA=12，则点P 的轨迹方程是．【答案】x +1 2+y 2=4【分析】直接设点P 的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P 的轨迹方程．【详解】设P x ,y ，PO PA=12即x 2+y 2x -32+y 2=12，整理得：x 2+y 2+2x -3=0即x +1 2+y 2=4．故答案为：x +1 2+y 2=4．13.(2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试)阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足PA PB=2，则PA ⋅PB的范围为.【答案】-2,18【分析】以AB 中点为原点O ，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A -32,0 ，B 32,0 .设P x ,y ，由题可得点P 轨迹方程，后可得答案.【详解】以AB 中点为原点O ，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，因为AB =3，所以A -32,0 ，B 32,0 .设P x ,y ，因为PA PB=2，所以x +322+y 2=2⋅x -322+y 2，整理得x 2+y 2-5x +94=0，即x -522+y 2=4.y 2=4-x -522≥0⇒x ∈12,92.又PA =-32-x ,-y ，PB =32-x ,-y ，则PA ⋅PB =x 2+y 2-94=x 2+4-x -52 2-94=5x -92，则PA ⋅PB ∈-2,18 .故答案为：-2,1814.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC ，BC =6,sin B =12sin C ，当△ABC 的面积最大时，则AC 的长为.【答案】25【分析】利用正弦定理将角化边，即可求得点A 的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点A 的坐标，最后求解AC 的长度即可．【详解】解：因为sin B =12sin C ，由正弦定理可得b =12c ，即c =2b ，因为BC =6，不妨令B (-3,0)，C (3,0)，建立如图所示的平面直角坐标系，设点A 的坐标为A x ,y y ≠0 ，点A 的轨迹方程满足：(x +3)2+y 2=2(x -3)2+y 2，整理可得：(x -5)2+y 2=16，y ≠0 ，即点A 的轨迹是以(5,0)为圆心，4为半径的圆(除与x 轴两交点外)，当点A 的坐标A (5,4)或A (5,-4)时三角形的面积最大，其最大值为S =12×6×4=12，由勾股定理可得AC =22+42=25．故答案为：25．15.(2023·河北衡水·校联考二模)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -3,1 ,B -3,6 ，点P 是满足λ=63的阿氏圆上的任一点，若抛物线y =16x 2的焦点为F ，过点F 的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为.【答案】106+123【分析】由阿氏圆的定义得到点P 的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.【详解】设P x ,y ，由阿氏圆的定义可得PA PB=63，即(x +3)2+(y -1)2(x +3)2+(y -6)2=23，化简得x 2+y 2+6x +18y -60=0.所以(x +3)2+(y +9)2=150，所以点P 在圆心为-3,-9 ，半径为56的圆上，因为抛物线C :y =16x 2的焦点为F .所以F 0,32，因为(0+3)2+32+92=4774<150.所以点F 在圆(x +3)2+(y +9)2=150内，因为点F 到与圆心的距离为4774=4772，所以过点F 的最短弦长为2150-4774=123，过点F 的最长弦长为2150=106，所以过点F 的最长弦与最短弦的和为106+123.故答案为：106+12316.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA PB=λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1表面上动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为．【答案】43π+32π【分析】以B 为原点建立平面直角坐标系xBy ，结合题意可得点P 在空间内的轨迹为以O 1,0 为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可.【详解】在图1中，以B 为原点建立平面直角坐标系xBy 如图2所示，设阿氏圆圆心为O a ,0 ，半径为r ，因为PA =2PB ，所以PA PB=2，所以r =21-22⋅AB =23×3=2，设圆O 与AB 交于点M ，由阿氏圆性质，知MA MB=λ=2，又MB =2-BO =2-a ，所以MA =2MB =4-2a ，又MA +MB =3，所以4-2a +2-a =3，解得a =1，所以O 1,0 ，所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为2的球，当点P 在面ABB 1A 1内部时，如图2所示，截面圆与AB ,BB 1分别交于点M ,R ，所以点P 在面ABB 1A 1内的轨迹为MR，因为在Rt △RBO 中，RO =2,BO =1，所以∠ROB =π3，所以MR=π3×2=2π3，所以点P 在面ABB 1A 1内部的轨迹长为2π3，同理，点P 在面ABCD 内部的轨迹长为2π3，当点P 在面BCC 1B 1内部时，如图3所示，因为OB ⊥平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1截球所得小圆是以B 为圆心，以BP 长为半径的圆，截面圆与BB 1,BC 分别交于点R ,Q ，且BP =OP 2-OB 2=4-1=3，所以点P 在面BCC 1B 1内的轨迹为RQ，且RQ=π2×3=32π，综上，点P 的轨迹长度为2π3+2π3+32π=43π+32π.故答案为：43π+32π.【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.四、解答题17.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12.设点P 的轨迹为C 1.(1)求曲线C 1的方程；(2)若曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，求r 的取值范围.【答案】(1)(x +4)2+y 2=16(2)(0,6)∪(14,+∞)【分析】(1)设P (x ,y )，然后根据|PA ||PB |=12列方程化简计算即可得曲线C 1的方程，(2)先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，从而可求出r 的取值范围(1)设P (x ,y )，因为A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，化简得x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以曲线C 1的方程为(x +4)2+y 2=16，(2)曲线C 1的圆心为C 1(-4,0)，半径为4，⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)的圆心为C 2(4,6)，半径为r ，因为曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，所以两圆外离或内含，所以C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，所以(-4-4)2+(0-6)2=10>4+r 或(-4-4)2+(0-6)2=10<r -4，所以0<r <6或r >14，所以r 的取值范围为(0,6)∪(14,+∞)18.(2023·全国·高三专题练习)平面上两点A 、B ，则所有满足PA PB=k 且k 不等于1的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆C 1上的动点P 满足：PO PA=2(其中O 为坐标原点，A 点的坐标为0,3 .(1)直线L ︰y =x 上任取一点Q ，作圆C 1的切线，切点分别为M ，N ，求四边形QMC 1N 面积的最小值；(2)在(1)的条件下，证明：直线MN 恒过一定点并写出该定点坐标.【答案】(1)4；(2)证明见解析，1,3 .【分析】(1)设点P 的坐标为x ,y ，求出点P 的轨迹方程为x 2+(y -4)2=4，求出S QMC 1N =2S △QMC 1=2QM ，QM =|C 1Q |2-4，求出|QM |最小值即得解；(2)设Q a ,a ，两圆方程相减可得MN 的方程为a x +y -4 -4y -12 =0，即得解.【详解】(1)解：设点P 的坐标为x ,y ，根据题设条件有P ∈P PO =2PA ， 所以有x 2+y 2=2x 2+y -3 2，化简得x 2+(y -4)2=4. 所以S QMC 1N =2S △QMC 1=2×12C 1M ⋅QM =2QM QM =C 1Q |2- C 1M |2=|C 1Q |2-4，由题知，当C 1Q ⊥L 时，此时C 1Q =d =0-42=22，|QM |最小，即四边形QMC 1N 面积取得最小值4.(2)解；设Q a ,a ，由几何性质，可知M ，N 两点在以C 1Q 为直径的圆上，此圆的方程为x x -a +y -4 y -a =0，而直线MN 是此圆与圆C 1的相交弦所在直线，相减可得MN 的方程为a x +y -4 -4y -12 =0，所以直线MN 恒过定点1,3 .19.(2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 相交于B ，D (点B 在x 轴上方)，点S ，T 是椭圆C 上异于B ，D 的两点，SF 平分∠BSD ，TF 平分∠BTD ．①求BS DS的取值范围；②将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程．【答案】(1)x 28+y 26=1；(2)①13,1 ；②y =52x -102．【分析】(1)方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得x 2+y 2+2x -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c 2λ2-1=0，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由MF MA为常数，求得系数，得到椭圆方程；(2)①首先由面积比值求得BS DS=BF DF，令BF DF=λ，则BF =λFD，利用坐标表示向量，求得λ=35-2x 0，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，S ，T ，F 在以B ，D 为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得BF DF=2r -BF 2r +DF，求得r ，再根据1BF-1DF=2-2x 0322-12x 0=229，求得x 0,y 0，即可计算直线方程.【详解】(1)方法(1)特殊值法，令M ±2,0 ，c -2a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2∴a 2=8，b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1方法(2)设M x ,y ，由题意MF MA=x -c2+y 2x -a 2+y2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2x -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c 2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22，c =2．∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1．方法(3)设M x ,y ，则x 2+y 2=4．由题意MF MA=x -c 2+y 2x -a2+y2=x -c 2+4-x 2x -a2+4-x2=c 2+4-2cxa 2+4-2ax∵MF MA为常数，∴c 2+4a 2+4=c a ，又c a =12，解得：a 2=8，c 2=2，故b 2=a 2-c 2=6∴椭圆C 的方程为x 28+y 26=1(2)①由S △SBF S △SDF =12SB ⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)。
关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究
!关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究"江苏省通州高级中学!李欣荣阿波罗尼斯圆在高中数学中十分常见!其是古希腊著名数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线深入研究而总结的数学性质规律!探究阿波罗尼斯圆的性质特征有助于深入认识圆的定义!可有效解决相关圆类问题!下面对其加以探究!供读者参考!!问题引出!.!习题回顾在苏教版必修!的教材中有如下一道习题%已知点D)&!%*与两个定点0)"!"*!(),!"*的距离之比为#!!那么点D的坐标应满足什么关系+画出满足条件的点D形成的曲线!解析 对于上述问题!可由题意得&!*%槡!)&",*!*%槡!$#!!化简整理得)&*#*!*%!$&!显然满足条件的点D所形成的曲线是以点)"#!"*为圆心$!为半径的圆!)图略*!."问题一般化将本题进行一般化!思考如下问题%动点D到两定点(和'的距离的比值为一定值!即D($"D'!那么点D的轨迹曲线还是圆吗+基于对上述实例的猜想!显然可知点D的轨迹还是圆!具体证明可采用如下代数几何方法%设('$!B)B&"*!D($"D'!以('的中点为坐标原点!('所在直线为&轴建立平面直角坐标系!则可推知点()"B!"*!')B!"*!再设点D)&!%*!由D($"D'!可得)&*B*!*%槡!$")&"B*!*%槡!!整理可得)"!"#*&!"!B)"!*#*&*)"!"#*%!$B!)#""!*!当"$#时!&$"!此时点D的轨迹为线段('的垂直平分线&当"$#时!有&""!*#"!"#B)*!*%!$&"!B!)"!"#*!!则其轨迹可视为是以点"!*#"!"#B!")*为圆心!以!"B"!"#长为半径的圆!"深入探索".!定义认识实际上!在高中数学中我们将上述所探究的轨迹称之为阿波罗尼斯圆!也称阿氏圆!其是古希腊数学家阿波罗尼斯在著作"圆锥曲线论#中提出的一个著名问题%在平面内给定两点(和'!设点+在同一平面内且满足+(+'$")"&"!"$#*!则点+的轨迹是一个圆!对于上述定义!需要关注阿波罗尼斯圆条件与结论的三个要素%一是两定点&二是线段长之间的定比&三是轨迹为圆的条件!"&"!"$#!对上述证明过程进一步推导!我们可以发现以下几点%)#*阿波罗尼斯圆上的任意一点均满足+(+'$"!)"&"!"$#*&)!*设点)为阿波罗尼斯圆的圆心!则点)始终在直线('上!且半径长为!"B"!"#$""!"#('&),*圆心)虽然在('所在直线上!但不一定位于两点之间!且)(0)'等于半径的平方!"."性质总结阿波罗尼斯圆是一种特殊的几何模型!该圆的一些性质在高中数学解题中十分常用!合理利用可提高解题效率!下面总结三条常用的性质!性质! 设('$7!(+#+#'$(+!+!'$"!则(+#$"7#*"!+#'$7#*"!(+!$"7""#!'+!$7""#!则所作得的阿波罗尼斯圆的直径为+#+!$!7""!"#$!7""#"!圆的面积可表示为'!7""!"#)*!!性质" 当"&#时!点'位于圆0内!点(位于&$备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.!圆0外&当"%"%#时!点(位于圆0内!点'位于圆0外!性质# "$0(N $N 0'!"!$0(00'!"越大!则圆越小!上述总结了阿波罗尼斯圆的三条重要性质!其中性质#是关于圆常规属性的描述!可结合问题条件直接构建圆的方程&性质!则是对定义中定点(和'与圆位置关系的描述!显然与线段比值"密切相关!利用该性质可直接确定点(!'与圆轨迹的位置!利于图形绘制&性质,则直接构建了圆半径与线段0(和0'的关系!并基于圆半径7""#"分析了圆大小与"的关系!有利于解析动态圆的大小变化!在实际解题时要充分理解阿波罗尼斯圆的三条性质要点!合理利用性质转化问题条件!构建解题思路!#应用探究阿波罗尼斯圆的性质条件在高中圆锥曲线考题中应用十分广泛!可正向引用圆的性质!也可逆向使用阿波罗尼斯圆的定义!下面结合不同类型考题开展应用探索!例题!如图#所示!在2(')中!已知')$&!@56)$!@56'!则当2(')的面积取得最大值时!')边上的高为!图#图!解析 以')中点为坐标原点0!线段')所在直线为&轴建立平面直角坐标系!如图!所示!由题意可推知点')"!!"*!))!!"*!已知@56)$!@56'!则('$!()!可设点()&!%*!则)&*!*!*%槡!$!)&"!*!*%槡!!整理可得&"#",)*!*%!$+&%!则点(的轨迹是以点>#",!")*为圆心!-,为半径的圆!分析可知!当2(')的面积取得最大值时!高最大!则点(到&轴的距离最远!故点(的坐标为#",!L -,)*!则')边上的高为-,!评析#上述探究三角形取得最大值时')上的高!解析过程分两步进行!第一步!构建坐标系求点(的轨迹方程$第二步!探究2(')面积最大值时点(的坐标!若能把握其中的阿波罗尼斯圆!则可以结合对应公式直接确定圆的方程!本题目中7$&!"$!!则圆的半径为N $7""#"$!!"#!$-,!圆心为"!*#"!"#B !")*!则圆心>的坐标为#",!")*!则圆的方程为&"#",)*!*%!$+&%!$反思总结阿波罗尼斯圆的性质特点在高中数学中十分重要!也是高考的考查重点!掌握阿氏圆的性质特点!对于动点问题的转化求解极为有利!教学中要强化定义!整理性质!引导学生探索问题求解的方向!及阿氏圆知识的利用思路!下面提出两点建议!$.!关注模型题源拓展衍生应用课本并没有将阿波罗尼斯圆作为核心内容进行讲解!但其隐含在教材的习题中!其解析方法和知识背景也是高考模型问题的根本!具有极高的研究价值!教学中要引导学生关注模型题源!深刻理解模型定义!挖掘模型性质!阿氏圆的定义及性质有正向和逆向两种使用思路!教学中笔者建议采用知识拓展的模式!引导学生全面了解其应用思路!提升学生解题的灵活性!$."合理多解探究强化模型认识从上述例题的探究中可发现!对于与阿氏圆相关的圆锥曲线问题!一般有常规和模型两种突破思路!其中常规法的推理过程较为繁复!在推导动点轨迹时计算量大!而利用阿氏圆的定义及性质则可直接求解轨迹方程!有效降低了思维难度!教学中笔者建议对阿波罗尼斯圆相关问题开展一题多解!引导学生采用多种方法解析问题!帮助学生积累简算经验!提升解题能力!同时在多解探究中!可强化学生对模型的认识!培养学生的模型意识!参考文献%#&施德仪!关于+阿氏圆,模型的探究与思考%B &!数学教学通讯!!"!"(!,)!%!&顾旭东!王金忠!探+源,觅+圆,!才能+方圆,***对一道课本习题的再认识%B &!中学数学(上)!!"!"(##)!%,&李慧华!张艳宗!巧用阿氏圆解距离和差的最值问题%B &!高学数学教与学!!"!"(#+)!-'$!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
什么是阿波罗尼斯圆？
什么是阿波罗尼斯圆？
动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现．处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法.
阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.
阿波罗尼斯厉害之处远不是发现阿式圆这么简单，这哥们最厉之处是写了一本叫《圆锥曲线论》传奇的书，书中用纯几何方法，证明了487个圆锥曲线命题。
由于这本书几乎将圆锥曲线的性质都证明了一遍，以致于在该书问世后的 13 个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究基本没有什么进展。
阿氏圆数学模型高中笔记
阿氏圆数学模型高中笔记
在平面几何中，线段和差的最值距离是一类较为经典的问题，一般是利用“两点之间线段最短”或“点到线的距离中垂线段最短”原理进行求解。
关于线段和差的最值距离问题的具体介绍如下：
这里分为三类情况讨论，第一类问题和第二类问题考察将军饮马模型及模型的变式为主。
第三类问题比较复杂，通常情况下大部分问题能够由胡不归和阿氏圆模型解决。
一、阿波罗尼斯圆模型
阿波罗尼斯圆（Apolo circle）简称阿氏圆，定义为：若平面内一动点P，与两定点A和B的距离之比为固定比例k（k不为1），则
点P的轨迹为一个圆。
对于令AP/BP=k，当P点与A、B点处在同一直线，且P点分别位于B两侧时，P的轨迹为一个圆：(1) BP'/AP'=k(2)BP''/AP''=k-->P的轨迹为一个圆，P''P'为圆的直径，半径为k*OB
证明过程如下：证法1.坐标法令B为坐标原点，A的坐标为(a,0)。
则动点P(x,y)满足：
根据方程能看出P的是一个圆的轨迹，证毕。
令y=0，可以求出
阿氏圆的半径：
或
证法2角平分线定理
二、利用阿氏圆模型求解线段和差
对于PA+k*PB类问题，如果P的轨迹是一个圆，并且对应边长之比为k，则称此类为“阿氏圆”问题。
解决阿氏圆问题的常用解法是构造一个母子相似，再利用“两点之间线段最短”原理解决问题。
具体来说，分为以下五步：
*注：构造母子相似的证明条件是：1夹角相等+2邻边成比例
三、实战演练（一）经典例题
（二）答案解析。
(完整版)阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用数学理论1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PB PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为)1(≠λλ的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比为.λ证 （以1>λ为例）设λ===QBAQ PB AP a AB ,，则 1,1,1,1-=-=+=+=λλλλλλa BQ a AQ a PB a AP . 由相交弦定理及勾股定理知,1,1222222222-=+=-=⋅=λλλa BC AB AC a BQ PB BC 于是,1,122-=-=λλλa AC aBC .λ=BCAC 而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A ,两点的距离之比恒为.λ性质1.当1>λ时，点B 在圆O 内，点A 在圆O 外；当10<<λ时，点A 在圆O 内，点B 在圆O 外。
性质2.因AQ AP AC ⋅=2，过AC 是圆O 的一条切线。
若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点,B 反之亦然。
性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122-=λλa PQ ，面积为.122⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλπa 性质4.过点A 作圆O 的切线C AC (为切点），则CQ CP ,分别为ACB ∠的内、外角平分线。
性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦,EF 则AB 平分.EAF ∠数学应用1.（03北京春季）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值),0(>a a 求点P 的轨迹.2.（05江苏）圆1O 和圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 和圆2O 的切线N M PN PM ,(,分别为切点），使得PN PM 2=，试建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程.3.（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.4.(08江苏)满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.5.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积的最大值是___________.6.已知P A ),0,2(-是圆16)4(:22=++y x C 上任意一点，问在平面上是否存在一点B ，使得21=PB PA 若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由.变式：已知圆16)4(:22=++y x C ，问在x 轴上是否存在点A 和点B ，使得对于圆C 上任意一点P ，都有?21=PB PA 若存在，求出B A ,坐标；若不存在，说明理由.7.在ABC ∆中，AD AC AB ,2=是A ∠的平分线，且.kAC AD =（1）求k 的取值范围；（2）若ABC ∆的面积为1，求k 为何值时，BC 最短.。
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阿波罗尼斯（Apollonius）圆法二：设平面上有不同的两点A,B ，那么该平面上使得k PBPA= 为定值k （1≠k ）的P 的轨迹是一个圆。
这个定理的证明方法很多。
下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。
如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA：PB＝ m：n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且AM：MB＝AN：NB＝m：n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。
下面先证明两个定理：一、如图一，已知M是BC上一点，且AB：AC＝BM：MC，求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB：AD＝BM：MC∵AB：AC＝BM：MC，∴AB：AD ＝AB：AC，∴AC＝AD，∴∠D＝∠3，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。
二、如图二，N是BC延长线上一点，BN：CN＝AB：AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC. 证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN：CN＝AB：AD.∵BN：CN＝AB：AC∴AB：AD＝AB：AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4.∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4∴∠1＝∠2∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下：连结PM、PN，∵M为AB的内分点PA：PB＝AM：MB ＝m：n，∴PM平分∠APB∵N为AB的外分点，AN：BN＝PA：PB ＝m：n∴PN平分∠BPE∵∠APB＋∠BPE＝180º，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2即∠MPN＝90º∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆阿波罗尼斯圆一、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则：222222222222221221221cb a mc b a m b c a m a c b +=++=++=+（二）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ()()2222y a x y a x +-=++λ化简得：2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλ，半径为，的圆 （三）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点；2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角；3、BN ANBM AM = 4、CN CM ⊥5、内在圆点内；在圆时，点O A O B ,101<<>λλ；6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ；7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠；三、补充说明1、关于性质1的证明定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比等于常数λ。
证明：不妨设1>λ1,1,1,1,-=-=+=+==λλλλλλaBQ a AQ a BP a AP CD PQ O B a AB ，则垂直的弦的与直径作圆过点设 由相交弦定理及勾股定理得：λλλλλλλλ=-=-=-=-+=+=-=⋅=BC ACa AC a BC a a a BC AB AC a BQ BP BC 则于是,1,111122222222222222从而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此圆O 上任意点到B A ,两点距离之比等于常数。
2、关于性质6的补充若已知圆O 及圆O 外一点A ，则可作出与点A 对应的点B ，只要过点A 作圆O 两条切线，切点分别为D C ,，连结CD 与AQ 即交于点B 。
反之，可作出与点B 对应的点A四、典型例题例1 （教材例题）已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为12的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
解：设点(,)M x y 是曲线上任意一点，则222212(3)x y x y +=-+，整理即得到该曲线的方程为：22(1)4x y ++=。
例2 （2003北京春季文）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹. 解：设动点P 的坐标为（x ，y ）由a yc x y c x a a PB PA =+-++>=2222)()()0(||||，得.化简得.0)1()1()1(2)1(2222222=-+-+++-y a a c x a c x a当01)1(2,122222=++-++≠y c x a a c x a 得时，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x . 当a =1时，化简得x =0.所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，|12|2-a ac为半径的圆； 当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.例3 （2005江苏高考数学）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程解：以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0）， 由已知PN 2PM =，得222PN PM =因为两圆的半径均为1，所以)1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，所以所求轨迹方程为33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）例4 （2006四川高考理）已知两定点(2,0)A -、(1,0)B ，如果动点P 满足2PAPB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） （A ） （B ）4 （C ）8 （D ）9解：B例5 （2008江苏高考）BC AC AB ABC 2,2==∆中，，则ABC S ∆的最大值为________. 答案：34变形：3:5:,4==∆CB CA AB ABC 中，，则ABC S ∆的最大值为________. 答案：215 例6 设点D C B A ,,,依次在同一直线上，2,3,6===CD BC AB ，已知点P 在直线AD 外，满足CPD BPC APB ∠=∠=∠，试确定点P 的几何位置。
解：先作线段AC 关于2:1的阿氏圆1ϖ，再作线段BD 关于3:2的阿氏圆2ϖ，两圆交点即为点P ，同时该点关于直线AD 的对称点也为所求。
例7 （2011年南通一模）已知等腰三角形一腰上的中线长为3，则该三角形面积的最大值为__________.例8 （2013江苏高考）如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．解：（1）联立：，得圆心为：C (3，2)． 设切线为：， d ＝，得：．故所求切线为：．xy A lO（2）设点M (x ，y )，由，知：，化简得：， 即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ． 又因为点在圆上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． 故：1≤|CD |≤3，其中．解之得：0≤a ≤125 ．例9 圆21,O O 圆不等且外离，现有一点P ，它对于1O 圆所张的视角与对于2O 圆所张的视角相等，试确定点P 的几何位置答案：做圆21,O O 圆的内、外公切线，分别交连心线21O O 于点B A ,，以线段AB 为直径的圆 ，就是线段21O O 关于21:r r 的阿氏圆，该圆上任意一点都符合要求。
例10 在x 轴正半轴上是否存在两个定点A 、B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数12？如果存在，求出点A 、B 坐标；如果不存在，请说明理由。
解：假设在x 轴正半轴上是否存在两个定点A 、B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数12，设(,)P x y 、1(,0)A x 、2(,0)B x ，其中210x x >>。
即221222()12()x x y x x y -+=-+对满足224x y +=的任何实数对(,)x y 恒成立， 整理得：222212212(4)43()x x x x x x y -+-=+，将224x y +=代入得： 2212212(4)412x x x x x -+-=，这个式子对任意[2,2]x ∈-恒成立，所以一定有：12222140412x x x x -=⎧⎨-=⎩，因为210x x >>，所以解得：11x =、24x =。
所以，在x 轴正半轴上是否存在两个定点(1,0)A 、(4,0)B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数12。
例11 铁路线上线段100AB =km ，工厂C 到铁路的距离20CA =km 。
现要在A 、B 之间某一点D 处，向C 修一条公路。
已知每吨货物运输1km 的铁路费用与公路费用之比为3:5，为了使原料从供应站B 运到工厂C 的费用最少，点D 应选在何处？解：建立如图所示直角坐标系，先求到定点A 、C 的距离之比为35的动点(,)P x y 的轨迹方程，即：222235(20)x y x y +=+-，整理即得动点(,)P x y 的轨迹方程：2244909000x y y ++-=，令0y =，得15x =±（舍去正值）即得点(15,0)D -15,25DA DC ==。