祖暅原理与球的体积
延边大学研究生教案（案例教学）周次第周，第次课
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祖暅原理与球的体积
教学目的要求①让学生了解“实验数学”的含义，经历“实验、猜测、论证”等有意义的学习数学过程；
②帮助学生理解运用祖暅原理解决问题的过程；
③让学生从直观上把握相关几何体体积之间的关系。
教学重点难点重点：理解运用祖暅原理解决问题
难点：把握相关几何体体积之间的关系
教学方法讲授法（√）谈话法（）讨论法（）演示法（√）实验法（√）练习法（）读书指导法（√）
教学策略事实性（案例）教学策略（√）
直观（活动、情景剧）教学策略（√）
联系实际（体验、诊断）教学策略（√）情感态度（感悟）教学策略（）
教学组织形式课堂教学（√）团队学习（）专题研讨（）现场教学（√）案例分析（√）教育调查（）
学生学习模式科学探究模式（√）自主学习模式（）
合作学习模式（）“读读、议议、讲讲、练练”的模式（√）
案例讨论的课前准备阶段
本教案采用“自测”、“猜想”、“实验”、“证明”等环节的设计方法，旨在让学生对“做数学”的过程有一个完整的认识。本设计的一个主要特点是引入实验。许多数学发现都源于实验——观察、试验、猜测、验证。正如弗赖登塔尔所说：“从事创造性数学的人都知道，在与数学相关的任何问题中直觉比严密的逻辑过程起着更为重要的作用”。而在数学教学中适当引入实验，对思维过程及数学思想的培养都十分有利。它体现出“数学是做出来的——作为活动，数学是动态的可创造的，结论或操作程序未知的。”而学生的数学学习过程是一种“再创造”。
事实上，通过“细沙实验”，学生不但可以对球的体积公式较容易理解，而且可以加深公式的记忆。
①提出问题V球=?
为了计算半径为R的球的体积，可以先计算半球的体积。让学生自测圆柱、半球、圆锥散着体积的大小，得V圆柱>V半球>V圆锥
案例
由于V圆柱=3R
π，V圆锥=3
1
πR3是已知的，便得πR3>V半球>3
1
πR3,可以先引导学生猜想V半球=？（其中，可将πR3的系数1改写为3
3
，得3
3
πR3>V半球>π3
1
R3。）
请学生将此实验结果用式子表达出来：V半球=V圆柱-V圆锥=3R
π-
3
3
1
Rπ
=
3
3
2
Rπ
于是V球=
3
3
4
Rπ
且V圆柱：V半球：V圆锥=3:2:1
③下面验证这个实验结果，即证明图5-2左边充满细沙的半球与右边充满细沙的几何体是等体积的，而右边的几何体体积是已知的
V=3R
π-
3
3
1
Rπ
=
3
3
2
Rπ
如果能证明它又符合祖暅原理中的“条件”，我们就可以将它作
为半球的“参照体”了。
为了运用祖暅原理，引入的几何体必须符合两个条件：一是计算
公式是已知的；二是符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体要
夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面截得
的截面面积总相等。符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参
照体，在前面推导柱、锥的体积时已多次引用此术语。
图5-2中两几何体同高（R ），故可夹在两个平行平面之间，剩下
的问题是证明两个等距截面的面积相等。
用与底面平行的任一平面去截图5-2的两个几何体，截面分别是
圆面和圆环面（图5-3）。如果截面和平面 的距离为l ，那么圆面的半
径r=
22l R -，圆环面的大圆半径为R ，小圆半径为l ，因此
图5-3 l
l O
L P
O'
S 圆=2r π=
)(22l R -π S 圆环=)(2
222l R l R -=-πππ 所以S 圆=S 圆环
根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即
V 半球=3333231
R R R πππ=-
故V 球=3
34R π
到此，“猜想”得到证明，可写成：
定理 如果球的半径是R ，那么它的体积是
V 球=3
34R π
（4）怎么记忆这个结论呢？让学生给出。
事实上：
根据“细沙实验”，
V 半球=V 圆柱-V 圆锥=3R π-331R π=3
32R π
于是V 球=3
34R π
只要记住
V 圆柱：V 半球：V 圆锥=3:2:1即可
采用拟柱体体积公式可得
V 球=61·2R （0+42R π+0）=334R π
还有其他的记忆方法吗？比如，将球体分割成许多小的椎体，
球心是这些小锥体的顶点，锥得底面是球面的一小部分（曲面）（图
5-4）。
于是， 等于许多小锥体体积之和，而这些小锥体的高可视为
球半径R 。又因为所有小锥体底面积之和=球面积= 42R π，从而 V 球=31·（S 1+S 2+…）h=31·42R π·R 2=3
34R π
虽然这不能作为球体积公式的证明，但是拟柱体、小锥体和球
体的这种“默契”，给人们以和谐的感觉。
（5）请同学们自己解答下面的问题：
有一种空心钢球，重142g ，测得外径等于5.0m ，求它的内径（钢
的密度是7.9g/cm 3）这是课本上的例题，可以请一位同学板演。
（6）教师：今天这堂课的关键是构造一个球的参照体，而“细
沙实验”帮助我们解决了这个问题。你能离开实验，经过分析直接构
造这个参照体吗？
案例讨论的问题
案例中引入实验如何设计更能吸引孩子的注意力 课堂讨论 1.本课的教学重心应该放在培养学生经历“实验、猜测、论证”的学
习方法上
2.突破的关键点在哪里？
案例讨论的总结综述 1.探究式教学应用，着重引导学生建构实验、猜测、论证的学习方法 2.设计时要照顾学生的知识起点，地域，环境等差异
3.根据学生不同基础设计差异化的练习