四点共圆基本判断方法超全 ppt课件

• 证明：用反证法
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O
上，则C在圆外或圆内，若C在圆外，
设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆
内接四边形的性质得
∠A+∠DC’B=180°，
∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾，故C不可
能在圆外。类似地可证C不可能在圆
内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点
•20250/.12同/12 斜边的直角三角形的顶点共圆。
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1.若四个点到一个定点的距离相等， 则这四个点共圆 。
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• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
如图2，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.
• 分析指导：可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到 某一定点的距离相等.取斜边的中点O.，再连接A.C,利用斜边
中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD。
A
A
D
C
D
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C
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B
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• 假设四点不在同一圆上， 作△ABC外接圆，则D点不在圆上，
• 因二角共用AB弧，则〈A≠<D， 与实际不符， 所以只有D点在△ABC外接圆上， 故A、B、C、D四点共圆。
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5.同斜边的直角三角形的顶点共圆
如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D 四点共圆.
Key. 四点共圆的证明
五个基本判断方法：
• 1. 若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共 圆。
• 2. 若一个四边形的一组对角互补（和为180°）， 则这个四边形的四个点共圆。
• 3. 若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四 边形的四个点共圆。
• 4. 若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的 两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的 两个端点共圆。
• ∴20∠20B/12F/1E2 = ∠D。 ∴ C、D、E、F 四点共圆
FC
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4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条 线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个 点和这条线段的两个端点共圆。
• 若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四 点共圆
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用反证法： 已知：同侧△ABC和△CBD，共有底边CB， 〈A=〈D， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：
共20圆20/1。2/12
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3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个 四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、 C、D四点共圆证法同上
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例 如图 所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，
过 点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F 点。
求证: C、D、E、 F 四点共圆。 A E
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2.若一个四边形的一组对角互补（和为 180°），则这个四边形的四个点共圆
• 若∠A+∠C=180° 或∠B+∠D=180°， 则点A、B、C、D
四点共圆
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已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B， C，D四点共圆
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
• 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F， G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F， G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上
• 分析指导：利用直 角三角形斜边的中 点等于斜边的一半， 再利用菱形的四边 相等即可证出。
D
B
• 分析: 欲证 C、D、E、F 四点共圆，可证以 该四点构成的四 边形中，一组对角互补或外 角等于内对角即可。
• 由此，连接 EF 构成四边形 EFCD 后，证明 ∠BFE = ∠D 即可。 证明: 连接 EF， ∵ 四边 形 ABFE 是圆内接四边形， ∴ ∠A + ∠BFE = 180°。 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A + ∠D = 180°。