2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期中数学试卷

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湖北省华东师大附中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷(理科)Word版含解斩

湖北省华东师大附中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式成立的是（）A ．a+d ＞b+cB ．ac ＞bdC ．D ．d ﹣a ＜c ﹣b2．等差数列{a n }满足a n ＞0，，则其前10项之和为（）A ．﹣9B ．15C ．﹣15D ．±153．已知等比数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，a+4，则a n =（）A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=x 2+bx+1，且f （﹣1）=f （3），则f （x ）＞0的解集是（） A ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B ．RC ．{x ∈R|x ≠1}D ．{x ∈R|x=1}5．设S n 为数列{a n }的n 前项和，a n =2n ﹣49，则S n 取最小值时，n 的值为（） A ．12 B ．13 C ．24 D ．256．设x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为（）A ．5B ．3C ．7D ．﹣87．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1=1，则S 4=（） A ．15 B ．7 C ．8 D ．168．若，则sin2θ=（）A ．B ．C ．D ．9．在△ABC 中，若，则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形10．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积S △ABC =，则边BC 的长为（）A ．B ．3C ．D ．711．已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和为S n ，且点P （a n ，a n+1）在直线y=x+1上，则=（）A ．B ．C ．D ．12．已知非零实数a ，b 满足关系式，则的值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：已知x=1是不等式k 2x 2﹣6kx+8≥0的解，则k 的取值范围是．14．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{a n }是等积数列且a 1=2，公积为10，那么这个数列前21项和S 21的值为．15．在钝角△ABC 中，已知a=1，b=2，则最大边的取值范围是． 16．下表是一个有i 行j 列的表格．已知每行每列都成等差数列，其中a i ，j 表示表格中第i 行第j 列的数，则a 4，5= ，a i ，j = ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）若不等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是，（1）求实数a 的值；（2）求不等式ax 2﹣5x+a 2﹣1＞0的解集．18．（12分）△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c ﹣b=1，求a 的值．19．（12分）数列{a n } 中，a 1=2，a n+1=a n +cn （c 是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a 1，a 2，a 3成等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{a n } 的通项公式；（Ⅲ）证明数列是等差数列．20．（12分）已知函数f （x ）=sin 2（）+sin （）cos （）﹣．（Ⅰ）求f （x ）的值域；（Ⅱ）若f （x ）（x ＞0）的图象与直线y=交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2…，x n ，求数列{x n }的前2n 项的和．21．（12分）7月份，有一款新服装投入某市场销售．7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，尔后，每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大（只有1天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到7月31日刚好售出3件．（1）问7月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由．22．（12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n log a n ，S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ，对任意正整数n ，S n +（n+m ）a n+1＜0恒成立，试求m 的取值范围．湖北省华东师大附中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式成立的是（）A ．a+d ＞b+cB ．ac ＞bdC ．D ．d ﹣a ＜c ﹣b【考点】71：不等关系与不等式；72：不等式比较大小．【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．【解答】解：∵a ＞b ，c ＞d ∴设a=1，b=﹣1，c=﹣2，d=﹣5选项A ，1+（﹣5）＞﹣1+（﹣2），不成立选项B ，1×（﹣2）＞（﹣1）×（﹣5），不成立取选项C ，，不成立故选D【点评】本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C 级要求，本题属于基础题．2．等差数列{a n }满足a n ＞0，，则其前10项之和为（）A ．﹣9B ．15C ．﹣15D ．±15【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】等差数列{a n }满足a n ＞0，，∴=9，解得a 4+a 7=3=a 1+a 10．再利用求和公式即可得出．【解答】解：∵等差数列{a n }满足a n ＞0，，∴=9，解得a 4+a 7=3=a 1+a 10．则其前10项之和==5×3=15．故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的求和公式与通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知等比数列{an }的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则an=（）A．B．C．D．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】由题意可得（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，由此可得首项和公比，从而得到通项公式．【解答】解：∵已知等比数列{an}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，故此等比数列的首项为4，公比为=，故通项公式为，故选C．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．4．设f（x）=x2+bx+1，且f（﹣1）=f（3），则f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．R C．{x∈R|x≠1} D．{x∈R|x=1}【考点】74：一元二次不等式的解法；3W：二次函数的性质．【分析】由f（x）=x2+bx+1，且f（﹣1）=f（3），解得b=﹣2．故f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，由此能求出f（x）＞0的解集．【解答】解：∵f（x）=x2+bx+1，且f（﹣1）=f（3），∴，解得b=﹣2．∴f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴f（x）＞0的解集为{x|x≠1}．故选C．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．设Sn 为数列{an}的n前项和，an=2n﹣49，则Sn取最小值时，n的值为（）A．12 B．13 C．24 D．25【考点】85：等差数列的前n项和；82：数列的函数特性．【分析】由an =2n﹣49可得数列{an}为等差数列，然后根据等差数列的求和公式求出Sn，最后结合二次函数的性质求出最值时的n即可．【解答】解：由an =2n﹣49可得数列{an}为等差数列∴a1=2﹣49=﹣47=（n﹣24）2﹣242结合二次函数的性质可得当n=24时和有最小值故选C．【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，以及利用二次函数的性质求解数列的和的最值，属于中档题．6．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣8【考点】7C：简单线性规划．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选C．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．7．等比数列{an }的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．16【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A【点评】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．8．若，则sin2θ=（）A． B． C． D．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】根据﹣θ++θ=，利用两角和的余弦函数公式以特殊角的三角函数值得到sin（﹣θ）sin（+θ）和cos（﹣θ）cos（+θ）相等都等于，然后利用正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数求出sin（θ﹣）sin（+θ）和cos（θ﹣）cos（+θ）的值，然后根据2θ=[（θ﹣）+（θ+）]，利用两角和的余弦函数公式化简后将相应的值代入即可求出cos2θ的值，然后根据角的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sin2θ的值．【解答】解：由于cos（﹣θ）•cos（+θ）﹣sin（﹣θ）sin（+θ）=cos（﹣θ+θ）=cos=0则sin（﹣θ）sin（+θ）=cos（﹣θ）•cos（+θ）=所以sin（θ﹣）sin（+θ）=﹣， =cos（θ﹣）cos（）=则cos2θ=cos[（θ﹣）+（θ+）]=cos（θ﹣）cos（θ）﹣sin（θ﹣）sin（θ+）=所以sin2θ===故选B．【点评】此题要求学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式、同角三角函数间的基本关系化简求值，会利用三角函数的奇偶性解决实际问题，是一道中档题．做题时注意灵活变换角度．9．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】把已知等式的左边利用同角三角函数间的基本关系切化弦，右边利用正弦定理变形，然后根据二倍角的正弦函数公式化简，由A和B为三角形的内角，根据正弦函数图象与性质得到A与B角度之间的关系，根据角度之间的关系即可得到三角形ABC的形状．【解答】解：由正弦定理得： ==2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴变形为： =，化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，由A 和B 为三角形的内角，得到2A=2B 或2A+2B=180°，即A=B 或A+B=90°，则△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形．故选B【点评】此题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换及正弦函数图象与性质．根据正弦定理及同角三角函数公式化简已知的等式是本题的突破点．10．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积S △ABC =，则边BC 的长为（）A ．B ．3C ．D ．7【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】由△ABC 的面积，求出AC=1，由余弦定理可得BC=，计算可得答案．【解答】解：∵ =sin60°=，∴AC=1，△ABC 中，由余弦定理可得BC==，故选A ．【点评】本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出 AC=1，是解题的关键．11．已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和为S n ，且点P （a n ，a n+1）在直线y=x+1上，则=（）A ．B ．C ．D ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】通过将点P （a n ，a n+1）代入直线y=x+1，进而可知数列{a n }是首项、公差均为1的等差数列，从而裂项可知=2（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】解：因为点P （a n ，a n+1）在直线y=x+1上，所以a n+1=a n +1，又因为a 1=1，所以数列{a}是首项、公差均为1的等差数列，n=， ==2（﹣），所以Sn所以=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，故选：A．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．12．已知非零实数a，b满足关系式，则的值是（）A． B．C．D．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】已知等式左边分子分母利用辅助角公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，右边角度变形，确定出θ，所求式子即为tanθ，即可求出解．【解答】解： =tan（+θ）=tan=tan（+）（其中sinθ=，cosθ=），∴θ=kπ+，k∈Z，∴=tanθ=tan（kπ+）=tan=．故选：C．【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．二、填空题：（2017春•黄梅县校级期中）已知x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0的解，则k的取值范围是k≥4或k≤2 ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】根据题意，把x=1代入不等式k2x2﹣6kx+8≥0中，求关于x的不等式解集即可．【解答】解：x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0的解，∴k2•12﹣6k•1+8≥0，即k2﹣6k+8≥0，解得k≥4或k≤2，∴k的取值范围是k≥4或k≤2．故答案为：k≥4或k≤2．【点评】本题考查了一元二次不等式的解集问题，是基础题．14．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{an }是等积数列且a1=2，公积为10，那么这个数列前21项和S21的值为72 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由等积数列的定义，可得a1=2，a2=5，a3=2，a4=5，…，即为周期为2的数列，即可得到数列前21项和．【解答】解：数列{an }是等积数列且a1=2，公积为10，可得a2=5，a3=2，a4=5，…，则前21项和S21=2+5+2+5+…+2=7×10+2=72．故答案为：72．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和，注意运用周期性，考查运算能力，属于基础题．15．在钝角△ABC中，已知a=1，b=2，则最大边的取值范围是＜x＜3 ．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据三角形三边关系求出c的范围，当∠C为直角时，利用勾股定理确定c的值，故当∠C为钝角时，确定出c的范围即可．【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得到c的范围为1＜c ＜3，当∠C为直角时，c==，当∠C为钝角时，得到c＞，当∠C为锐角时，B为钝角，此时b为最大边，1＜b＜3，则最大边的范围为＜x＜3．故答案为：＜x＜3【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16．下表是一个有i行j列的表格．已知每行每列都成等差数列，其中ai，j 表示表格中第i行第j列的数，则a4，5= 49 ，ai，j= 2ij+i+j ．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j =4+3（j﹣1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j﹣1），第i行是首项为4+3（i﹣1），公差为2i+1的等差数列，即可得出．【解答】解：根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j﹣1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j﹣1），第i行是首项为4+3（i﹣1），公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3（i﹣1）+（2i+1）（j﹣1），=2ij+i+j=i（2j+1）+j=2ij+i+j．可得a4，5=2×4×5+4+5=49．故答案为：49，2ij+i+j．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2013•宁阳县校级模拟）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，（1）求实数a的值；（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【考点】77：一元二次不等式与一元二次方程；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）由二次不等式的解集形式，判断出，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值．（2）由（1）我们易得a的值，代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：（1）∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，，2是ax2+5x﹣2=0的两根解得 a=﹣2；（2）则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为﹣2x2﹣5x+3＞0解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．18．（12分）（2010•安徽）△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．【考点】HS：余弦定理的应用；9R：平面向量数量积的运算；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知△ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值．第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可．根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc=156；直接求数量积•．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入已知条件c﹣b=1，及bc=156求a的值．【解答】解：由cosA=，得sinA==．又sinA=30，∴bc=156．（Ⅰ）•=bccosA=156×=144．（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA）=1+2•156•（1﹣）=25，∴a=5．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．19．（12分）（2009•杭州一模）数列{an } 中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{an} 的通项公式；（Ⅲ）证明数列是等差数列．【考点】8H：数列递推式；8C：等差关系的确定；8G：等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）先利用递推关系式求出a1，a2，a3关于c的表达式，再结合a1，a2，a3成等比数列即可求c的值；（Ⅱ）先利用递推关系式求出an ﹣an﹣1=（n﹣1）c，再利用叠加法得；把（Ⅰ）的结论代入整理后即可求得{an} 的通项公式；（Ⅲ）把前两问的结论相结合求出数列的表达式，再利用等差数列的定义证明即可．【解答】解：（Ⅰ）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．故c=2；（II）当n≥2时，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，an﹣an﹣1=（n﹣1）c，所以．又a1=2，c=2，故an=2+n（n﹣1）=n2﹣n+2（n=2，3，）．当n=1时，上式也成立，所以an=n2﹣n+2（n=1，2，）；（Ⅲ）；bn+1=n．bn+1﹣bn=1，∴数列是等差数列．【点评】本题主要考查数列递推式以及等差关系的确定问题．是对等差数列和等比数列知识的综合考查，属于中档题目．解决第二问的关键在于求数列通项中叠加法的应用．20．（12分）（2011•广东校级模拟）已知函数f （x ）=sin 2（）+sin （）cos（）﹣．（Ⅰ）求f （x ）的值域；（Ⅱ）若f （x ）（x ＞0）的图象与直线y=交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2…，x n ，求数列{x n }的前2n 项的和．【考点】H4：正弦函数的定义域和值域；8N ：数列与三角函数的综合．【分析】（I ）利用辅助角公式对函数化简可得f （x ）=sinx ，结合正弦函数的性质可求．（II ）由正弦曲线的对称性、周期性可知，，，代入等差数列的前n 项和公式可求．【解答】解：（Ⅰ） ==sinx所以f （x ）的值域为[﹣1，1]（Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知，，∴x 1+x 2+…+x 2n ﹣1+x 2n =π+5π+…（4n ﹣3）π =（2n 2﹣n ）π【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的值域的求解，正弦函数的对称性及周期性的应用，还考查了数列的求和公式的运用．21．（12分）（2017春•黄梅县校级期中）7月份，有一款新服装投入某市场销售．7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，尔后，每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大（只有1天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到7月31日刚好售出3件．（1）问7月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由．【考点】8I ：数列与函数的综合；8E ：数列的求和．【分析】（1）设7月n 日售出的服装件数为，利用最大项求出K ，然后求出最大值．（2）求出数列的通项公式，数列的前n 项和，推出不等关系式，得到结果即可．【解答】解：（1）设7月n 日售出的服装件数为，为最大．，∴k=13，a k =39，∴7月13日该款服装销售件数最多，最大值为39件．…（6分）（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，∵，（n ∈N *）∴∵S 13=273＞200，∴由1≤n ≤13时，S n ＞200得n ≥12，由14≤n ≤31时，a n ＜20得n ≥23，∴从7月12日到7月22日共11天该款服装在社会上流行．…（13分）【点评】本题考查数列与函数结合问题，数列前n 项和的应用，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．22．（12分）（2014•合肥校级模拟）已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n log a n ，S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ，对任意正整数n ，S n +（n+m ）a n+1＜0恒成立，试求m 的取值范围．【考点】8G ：等比数列的性质；8B ：数列的应用；8H ：数列递推式．【分析】（1）设等比数列{an }的首项为a1，公比为q，根据2（a3+2）=a2+a4，可求得a3．进而求得a2+a4=20．两式联立方程即可求得a1和q的值，最后根据等比数列的通项公式求得an．（2）把（1）中的an 代入bn，再利用错位相减法求得Sn，再由Sn+（n+m）an+1＜0恒成立进而求得m的范围．【解答】解：（1）设等比数列{an }的首项为a1，公比为q．依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，得a3=8．∴a2+a4=20．∴解之得，或又{an}单调递增，∴q=2，a1=2，∴an=2n，（2）bn=2n•log2n=﹣n•2n，∴﹣Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①﹣2Sn=1×22+2×23++（n﹣1）2n+n•2n+1②①﹣②得，Sn=2+22+23++2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1由Sn +（n+m）an+1＜0，即2n+1﹣2﹣n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，∴m•2n+1＜2﹣2n+1．对任意正整数n，m＜﹣1恒成立．∵﹣1＞﹣1，∴m≤﹣1．即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查等比数列的性质．本题考查了学生综合运算的能力．。

2021-2022学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一下学期期中数学试题(原卷版)

A. B. C. D.
7.在中，角A，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A的取值范围为（）
A. B.
C. D.
8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）
13.已知复数z满足，则 _____．
14.如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为____________.
15.在中，角A，，所对边分别为，，，面积为S，若，则 ____________.
16.如图正四棱柱中，，，以为球心，为半径的球与侧面的交线为，点为交线上一动点，则从运动到时，所形成的曲面面积为____________.
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.复数满足，且，则下列正确的有（）
A. B.
C. D.
10.设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（）
A. B.
C. D.
（1）证明：点在直线上；
（2）求多面体的体积.
21.如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2.
（1）设，求值；
（2）若点在边上运动（包括端点），则求的最大值.
22.如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北60°方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在，上分别设置两个出口A，，在A的东偏北的方向（A，两点之间的高速路可近似看成直线段），由于A，之间相距较远，计划在A，之间设置一个服务区 .

湖北省武汉市华师一附中2019-2020 学年度下学期高一期中数学检测

华师一附中2019-2020学年度下学期高一期中诚信检测数学试题时限：120分钟满分：150分命题人：张巧巧韩文晶王艺璇审题人：钟涛I 卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、已知向量)3,(),1,1(x b a =-= 且b a⊥，则||b a +的值为（）A ．2B ．7C ．22D ．522．已知R a ∈,)3)(1(),2(2-+=-=a a N a a M ，则N M ,的大小关系是（）A ．NM >B ．NM ≥C ．NM <D ．NM ≤3.如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形'''O B A ,若1=O'A'，那么原三角形ABO 的面积是()A.21 B.22C.2D ．224．已知等比数列}{n a 中，81153a a a =，数列}{n b 是等差数列，且86a b =，则=+84b b ()A ．3B ．6C ．9D ．125．已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且CcA bB a cos 23cos cos =+，1=a ，3=b ，则=c ()A ．B ．1C ．D ．6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为10％，若A 分得奖金1000元，则B ,C 所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为()A ．20％，12800元B ．10％，12800元C ．20％，10240元D ．10％，10240元第3题图7.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A ．2:1B ．3:1 C.2:3D ．5:18．在ABC ∆中，E D ,分别为AC BC ,边上的点，且DC BD 2=，若AD AB BE 43+=λ，则=λ()A ．45-B ．34-C.54-D ．43-9、若正数b a ,满足2=+b a ,则1411+++b a 的最小值是()A ．1B ．49C ．9D ．1610．对于实数x ，][x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列}{n a 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121，*N n ∈,其中n S 为数列}{n a 的前n 项和，则=+++][][][4021S S S ()A ．135B ．141C ．149D ．15511.已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为线段PC上一点，满足)0>+=λλAP AC BA BI104==-，BA BI ()A ．2B ．3C ．4D ．512.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(32*1N n n a a n n ∈+=++且1300=n S ，若32<a ，则n 的最大值为()A ．49B ．50C ．51D ．52二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期末数学试卷(含精品解析)

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）1.已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）⃗a ⃗b |⃗a +⃗b |A. 3B. 2C. 4D. 32.函数y =的最小正周期为（）cotx +cosx1+sinx A.B. C.D. π2π3π22π3.已知a =，b =（），c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）1+tan16°1‒tan 16∘3221+cos58°2A. B. C. D. c >a >bc >b >a a >c >b b >a >c4.若在[0，]内有两个不同的实数x 满足cos2x +sin2x =m ，则实数m 的取值范围是（）π23A. B. C. D. l <m ≤21≤m <2‒2≤m ≤2m ≤25.已知函数f （x ）=A cos （ωx +φ）的一部分图象如图所示，f （）=，则f （0）π223=（）A.B.C.D.23‒23223‒2236.已知α+sin （α-1）=3，β+sin （β-1）=1，α，β∈[1-，1+]，=（sin ，cos ），=（cos ，sin ），则π2π2⃗m α2α2⃗n β2β2下面结论正确的是（）A. B. C. D. ⃗m ⋅⃗n=0⃗m ⋅⃗n=sin 1⃗m ⋅⃗n=sin 2⃗m//⃗n7.cos960°=（）A. B. C. D.1232‒12‒32二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）8.已知=（-2，3），=（λ，1），若与的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．⃗a ⃗b ⃗a ⃗b 9.计算=______．tan40°+tan80°+tan240°tan 40∘tan 80∘三、解答题（本大题共4小题，共55.0分）10.如图，已知OPQ 是半径为，圆心角为的扇形，C 是该扇形弧上的动点，5π3ABCD 是形的内接矩形，其中D 在线段OQ 上，A 、B 在线段OP 上，记∠BOC 为θ．（1）若Rt △CBO 的周长为，求cos2θ的值；5(30+5)5（2）求OA •AB 的最大值，并求此时θ的值．11.如图，A ，B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且∠AOB =θ（θ为锐角）．点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M ．（1）求（结果用θ表示）；⃗OA ⋅⃗AB （2）若θ=60°①求的取值范围；⃗CA ⋅⃗CB ②设（0＜t ＜1），记=f （t ），求函数f （t ）的值域．⃗OM=t ⃗OB S △COMS △BMA 12.计算：（1）+(19)‒326423（2）．2log 32‒log 3329+log 38‒5log 5313.已知函数f （x ）=2sin （2x -）+1，x ∈[，]．π6π23π4（1）求f （x ）的最大值和最小值；（2）若不等式|f （x ）-m |＜2在[，]上恒成立，求实数m 的取值范围．π23π4答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵、均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=||=1，•=∴===3∴=故选：D．由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．2.【答案】B【解析】解：函数y====cotx，故函数的周期为π，故选：B．由题意利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余切函数的周期性，得出结论．本题主要考查同角三角函数的基本关系，余切函数的周期性，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由a==tan（45°+16°）＞tan45°=1，b=（）＜，1＞c===cos29°＞cos30°=，则a、b、c的大小关系为：a＞c＞b．故选：C．由a==tan（45°+16°）＞tan45°，b=（）＜，1＞c===cos29°＞cos30°，即可判断出大小关系．本题考查了和差倍角公式、三角函数单调性与求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：令y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内，那么2x+，∴y的值域为[-1，2]．那么cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象：可得1≤m＜2．故选：B．辅助角公式化简y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内求解y的值域范围，结合三角函数图象可得m的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：由图象可得最小正周期为π．所以f（0）=f（π），注意到x=π与x=π关于x=π对称，故f（π）=-f（π）=．故选：B．根据图象求出周期，注意x=π与x=π关于x=π对称，求出f（π），就是f（0）的值本题考查由y=Acos（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题6.【答案】C【解析】解：根据题意得，sin（α-1）=3-α=2-（α-1）∈[-1，1]∴-1≤2-（α-1）≤1∴2≤α≤2∴α=2，同理β=2•=sin×cos+cos×sin=sin（）=sin（）=sin2故选：C．由题知，α+sin（α-1）=3即sin（α-1）=3-α=2-（α-1），利用sin（α-1）的有界性得α的范围从而求得•的值．本题涉及平面向量数量积的运算和三角函数的运算．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．．【解答】解：cos960°=cos（720°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-．故选C ．8.【答案】{λ|λ＜且λ≠-6 }32【解析】解：∵已知=（-2，3），=（λ，1），若与的夹角为锐角，∴=-2λ+3＞0，即λ＜；且、不共线，即≠，∴λ≠-6．综上可得，λ的范围为{λ|λ＜且λ≠-6 }，故答案为：{λ|λ＜且λ≠-6 }．根据题意可得＞0，且、不共线，由此求得λ的取值范围．本题主要考查两个向量的数量积、两个向量共线的条件，属于基础题．9.【答案】3【解析】解：∵tan40°+tan80°=tan120°（1-tan40°tan80°），∴====．故答案为：．利用两角和的正切函数的变形式，tan40°+tan80°=tan120°（1-tan40°tan80°），化简即可求出表达式的值．本题考查三角函数的求值与化简，两角和公式的应用，弦切互化，考查计算能力，是中档题．10.【答案】解：（1）∠BOC 为θ，可得BC =OC sinθ=sinθ，5OB =OC cosθ=cosθ，5由题意可得+sinθ+sinθ=，5555(30+5)化为sinθ+cosθ=，0＜θ＜，305π3两边平方可得2sinθcosθ=＞0，15即sin2θ=，cos2θ=±=±；151‒125265（2）在直角三角形OBC 中，BC =sinθ，5即有AD =sinθ，5OA =AD tan =sinθ，π6153由AB =OB -OA =cosθ-sinθ，5153则OA •AB =sinθcosθ-sin 2θ53353=sin2θ-（1-cos2θ）53656=（sin2θ+cos2θ）-，53321256=sin （2θ+）-，53π656当2θ+=，即θ=时，OA •AB取得最大值．π6π2π656【解析】（1）由题意可得BC=sinθ，OB=cosθ，由条件可得sinθ+cosθ=，0＜θ＜，两边平方，结合二倍角的正弦公式和两角平方关系可得所求值；（2）分别求得OA ，AB ，结合二倍角的正弦公式和余弦公式，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得最大值以及相应的角．本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的值域的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．11.【答案】解：（1）=；⃗OA⋅⃗AB =|⃗OA ||⃗AB|cos(π‒∠OAB)‒|⃗AB|cos∠OAB =‒2sin 2θ2（2）当θ=60°时，⃗OA ⋅⃗OB=12①=．⃗CA ⋅⃗CB=(⃗OA‒⃗OC)⋅(⃗OB‒⃗OC)⃗OA⋅⃗OB ‒⃗OA ⋅⃗OC ‒⃗OC ⋅⃗OB+1设∠BOC =α，由条件知，，α∈[0，2π3]∴⃗CA⋅⃗CB=32‒cos(π3+α)‒cosα=32‒12cosα+32sinα‒cosα==．32‒32cosα+32sinα=32‒3(32cosα‒12sinα)32‒3cos(α+π6)∵，∴，α∈[0，2π3]cos(α+π6)∈[‒32，32]∴∈[0，3]；⃗CA ⋅⃗CB ②设，则，⃗AM=λ⃗AC (0＜λ＜1)⃗OM=⃗OA+⃗AM=⃗OA+λ⃗AC=(1‒λ)⃗OA+λ⃗OC=t ⃗OB ∴，⃗OC=tλ⃗OB‒1‒λλ⃗OA由可得，，⃗OC=1|tλ⃗OB‒1‒λλ⃗OA |=1即，整理得，(tλ)2+(1‒λλ)2‒2×tλ×1‒λλ×⃗OA ⋅⃗OB=1λ=t 2‒t +12‒t ∴，CM AM=1‒λλ=1‒t 2t 2‒t +1∴．S △COMS △COM=⃗OM ⋅⃗CM ⃗MB ⋅⃗AM=t 1‒t×1‒t 2t 2‒t +1=t 2+t t 2‒t +1即．f(t)=t 2+t t 2‒t +1(0＜t ＜1)而．f(t)=t 2+t t 2‒t +1=1+2t ‒1t 2‒t +1令，2t ‒1=a(‒1＜a ＜1)，g(a)=1+a(a +12)2‒a +12+1=1+4a a 2+3当a =0时，g （0）=1；当a ≠0时，，利用单调性定义可证明函数在（-1，0）和（0，1）都是递减的，g(a)=14a +3ay =a +3a 因此，或，a +3a ＞4a +3a ＜‒4∴函数值域是（0，2）．f(t)=t 2+t t 2‒t +1(0＜t ＜1)【解析】（1）直接利用平面向量的数量积把用θ表示；（2）①利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把用∠BOC 表示，化简整理后由∠BOC 得范围求得的取值范围；②设，则，∴，由可得，，整理得，然后把转化为含有t 的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数f （t ）的值域．本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数值域的求法，训练了利用配方法和函数单调性求函数的值域，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，难度较大．12.【答案】解：（1）+(19)‒326423=27+16=43．（2）2log 32‒log 3329+log 38‒5log 53=log 34‒log 3329+log 38‒3=-3log 3(4×932×8)=log 39-3=2-3=-1．【解析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.【答案】解：（1）由函数f （x ）=2sin （2x -）+1，π6∵x ∈[，]，π23π4∴2x -∈[，]，π65π64π3∴当2x -=时，f （x ）取得最大值为：2；π65π6当2x -=时，f （x ）取得最小值为：1-；π64π33（2）不等式|f （x ）-m |＜2在[，]上恒成立，即m -2＜f （x ）＜2+m在[，]上恒成立，π23π4π23π4由（1）可得，{m ‒2＜1‒32+m ＞2∴．0＜m ＜3‒3故实数m 的取值范围为（0，）．3‒3【解析】（1）根据x∈[，]．求内层函数的范围，结合正弦函数的性质可得f（x）的最大值和最小值；（2）不等式|f（x）-m|＜2在[，]上恒成立，即m-2＜f（x）＜2+m在[，]上恒成立，利用（1）的结果即可求解实数m的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，转化思想求解参数范围问题．属于基础题．。

华中师大一附中2018-2019学年度高一下学期期末考试数学试题参考答案

高一年级下学期期末检测数学试题参考答案二、填空题 13．7214．②③15 16．10011-132（）三、解答题17．解：（1）由已知，根据正弦定理得：22(2)(2)a b c b c b c =-+-…（2分）222a b c bc ⇒=+-，由余弦定理：2222cos a b c bcA =+-1cos 2A∴=，又0,3A A ππ<<∴=………………………………………（5分）（2）在ABC ∆中：,34A aB ππ===∴由正弦定理得到：sin sin a Bb A==6分）A B C π++=sin sin()sincos cos sin 34344C A B ππππ∴=+=+=…………（8分） 11sin3224S ab c ∴==⨯⨯⨯=10分）18．解：（1）证明：连结11B D,E F 分别是正方体1AC 的棱1111,B C C D 的中点EF ∴ 1112B D ，11B D BD ，EF ∴ 12BD ∴四边形BDFE 是一个梯形…………………………………………………（4分）（2）由（1）设DF BE P =，则P ∈面1BC 且P ∈面1DC而面1BC 面111,DC CC P CC =∴∈，∴几何体1BCD EC F -为台体…………（5分）= ∥ =∥ = ∥正方体1AC 的棱长为a，,BD EF ∴==。

∴梯形BEFD的高4h a == ∴几何体1BCD EC F -的表面积222111113)()2242284S a a a a a a a =+⨯++++=表………………（8分）几何体1BCD EC F -的体积222311117()324824V a a a a a =⨯⨯++=…………（10分） 19．解：（1）当[200,300]x ∈时，设该项目获利为S 元，则由已知：2211200(20080000)(400)22S x x x x =--+=--∴当[200,300]x ∈时，0S <，因此该项目不能获利,当300x =时，S 取得最大值5000-， ∴政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏.………………………………（5分）（2）由题意可知：生活垃圾每吨的平均处理成本为：21805040,[120,144)3180000200,[144,500)2x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩当[120,144)x ∈时，21(120)2403y x x =-+ ∴当120x =时，yx取得最小值240………………………………………………（7分）当[144,500)x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥= 当且仅当180000([144,500))2x x x=∈，即400x =时，等号成立. ∴此时当400x =时，yx取得最小值200…………………………………………（10分）200<240。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题含解析

华中师大一附中2018—2019学年度下学期期中检测高二年级文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（）A. “，”B. “，”C. “，”D. “，”【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题可得命题“，”的否定为“，”，故选C.2.在复平面内，复数(为虚数单位)对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先化简复数，再根据实部和虚部的符号确定所在象限.【详解】.所以在第三象限，故选C.【点睛】本题主要考查复数的除法.复数除法运算一般是使其分母实数化.题目较为容易.3.“”是“函数有零点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需，故选A．考点：充分必要条件．4.函数的定义域为开区间(a, b)，其导函数在(a, b)内的图象如图所示，则函数在开区间(a, b)内极大值点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】利用导数图像推演出函数单调性的变化情况，从而可得极大点的个数.【详解】根据导数图像可知，函数在区间上单调性的变化是：先增后减，再增又减，故极大点有2个. 【点睛】本题主要考查利用导数图像判断函数的单调性问题，导数值为正则函数为增，导数值为负则函数为减.5.i是虚数单位，A. i B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】利用虚数单位的周期性，可求.【详解】因为，所以.故选D.【点睛】本题主要考查复数的乘方运算.注意到，，，能简化运算.6.已知命题p ：方程有实数根，命题，，则，，，这四个命题中，真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：先根据指数的性质判定命题，根据二次函数的性质判断命题的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出.详解：∵，∴是方程的根，故命题：方程有实数根为真命题；又∵恒成立，所以命题：，为假命题，根据复合命题真假性的判断可得为假，为真，为假命题，为真命题，即真命题的个数为2个，故选B.点睛：本题考查了指数的性质、一元二次不等式成立问题、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知函数，为的导函数，则A. 1B.C. 0D.【答案】D【解析】【分析】先求出，代入1可求出.【详解】，代入可得，所以.【点睛】本题主要考查导数的运算.熟悉导数的运算规则，明确为常数是求解关键.8.已知函数的图像在点处的切线的斜率为3，设数列的前n项和为，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义求出b，再利用裂项求和求得.【详解】,由题意可得，即.，所以.故选C.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及数列求和.函数在某点处的导数值即为该点处切线的斜率.裂项相消求和是注意剩余项.9.设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出导数，结合导数的几何意义，可得斜率的范围，从而可求倾斜角的范围.【详解】，由于，所以，所以，结合正切函数的图像可得.故选B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义.题目相对简单，但是要注意倾斜角的求解时，要关注正切函数的图像.10.下列命题正确的是（1）命题“，”的否定是“，”；（2）l为直线，，为两个不同的平面，若，，则；（3）给定命题p，q，若“为真命题”，则是假命题；（4）“”是“”的充分不必要条件．A. （1）（4）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（3）【答案】D【解析】【分析】逐个命题进行判定，对于（1）结合全称命题的否定方法可以判定；对于（2）要考虑全面直线与平面的位置关系；对于（3）根据复合命题的真假进行判断；对于（4）利用可以判定.【详解】对于（1）“，”的否定就是“，”，正确；对于（2）直线可能在平面内，所以不能得出，故不正确；对于（3）若“为真命题”则均为真命题，故是假命题，正确；对于（4）因为时可得，反之不能得出，故“”是“”的必要不充分条件,故不正确.故选D.【点睛】本题主要考查简易逻辑，涉及知识点较多，要逐一判定，最后得出结论.题目属于知识拼盘.11.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，令，由可得，即函数为减函数，利用单调性结合选项，分析即可得结论.详解：构造函数，则其导数，由，且恒有，可得，所以函数为减函数，又由，则有，即，可得，又由，则有，即，分析可得，故选C.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数..12.已知直线，若与直线和曲线分别交于A，B两点，则的最小值为A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数求出与直线平行的曲线的切线的切点，利用点到直线的距离可得.【详解】,令可得，所以切点为.根据题意可知且，所以，此时.故选B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义.已知切线的斜率，结合导数可得切点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数在[2, 6]内的平均变化率为________．【答案】24【解析】【分析】利用平均变化率的求解方法求解. 【详解】，所以平均变化率为.【点睛】本题主要考查平均变化率的求解，题目较为简单，明确求解步骤是解题关键.14.复数,，则的最大值是___________．【答案】. 【解析】【分析】设，且，求出，再由三角换元可求出最大值。

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高二上学期期中数学试卷与解析(文科)

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）2．（5分）圆（x﹣1）2+y2=1的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或﹣3 D．1或33．（5分）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》里就有记载，如”米谷粒分“题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．268石C．338石D．1500石4．（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．y=±5．（5分）如图所示的程序框图的运行结果为（）A．﹣1 B．C．D．26．（5分）某班有50名学生，男女人数不等．随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下：则下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这5名男生成绩的中位数大于5名女生成绩的中位数C．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数D．这5名男生成绩的标准差大于5名女生成绩的标准差7．（5分）给出下列说法：①方程x2+y2﹣2x+4y+6=0表示一个圆；②若m＞n＞0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆；③已知点M（﹣1，0）、N（1，0），若|PM|﹣|PN|=2，则动点P的轨迹是双曲线的右支；④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）我国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为1，3，5，则输出的s值为（）A．17 B．12 C．15 D．59．（5分）两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣2by+b2﹣1=0相外切，且ab≠0，则的最大值为（）A．B．1 C．D．910．（5分）直线与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，且OD⊥AB，垂足为点D（1，2），则抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．11．（5分）已知直线l过椭圆C：的右焦点F，与椭圆C交于M，N两点，点P，Q是椭圆C上关于坐标原点O对称的两点，且PQ∥MN，则=（）A．B．C．D．12．（5分）双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P是双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，PI交x轴于Q点，若|F1Q|=|PF2|，且PI：IQ=2：1，则双曲线的离心率e的值为（）A．2 B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某校老年教师90人，中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的中年教师人数为．14．（5分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为P'（b，a），则圆C：x2+y2﹣4x﹣2y=0关于直线l对称的圆C'的标准方程为．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为的直线l，l与椭圆（a＞b＞0）相交于A，B两点，若AM=MB，则椭圆的离心率为．16．（5分）平面内与两定点A1（0，﹣a），A2（0，a）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，给出以下四个结论：①当m=﹣1时，曲线C是一个圆；②当m=﹣2时，曲线C的离心率为；③当m=2时，曲线C的渐近线方程为y=±x；④当m∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）时，曲线C的焦点坐标分别为（0，﹣）和（0，）．其中全部正确结论的序号为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0上存在两点关于l：x+my+1=0对称．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点M（m，m）作圆C的切线，切点分别为P，Q，试求|PQ|的值．18．（10分）在一次“汉马”（武汉马拉松比赛的简称）全程比赛中，50名参赛选手（24名男选手和26名女选手）的成绩（单位：分钟）分别为数据a1，a2，…，a50（成绩不为0）．（Ⅰ）24名男选手成绩的茎叶图如图（1）所示，若将男选手成绩由好到差编为1～24号，再用系统抽样方法从中抽取6人，求其中成绩在区间[150，170）上的选手人数；（Ⅱ）如图（2）所示的程序用来对50名选手的成绩进行统计，为了便于区别性别，输入时，男选手的成绩数据用正数，女选手的成绩数据用相反数（负数），请完成图（2）中空白的判断框①处的填写，并说明输出数值M和A的统计意义．19．（12分）已知双曲线C的渐近线方程为y=±，右焦点坐标为（2，0），O为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且，试求实数k的取值范围．20．（12分）从参加某次高中英语竞赛的学生中抽出100名，将其成绩整理后，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[39.5，49.5），[49.5，59.5），[59.5，69.5），[69.5，79.5），[79.5，89.5），[89.5，99.5]．（Ⅰ）试求图中a的值，并计算区间[59.5，89.5）上的样本数据的频率和频数；（Ⅱ）试估计这次英语竞赛成绩的众数、中位数及平均成绩（结果精确到0.1）．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点D（1，2）为抛物线C上一定点．（1）直线l过点F交抛物线C于A、B两点，若|AB|=5，求直线l的方程；（2）过点D作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P，Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值．22．（12分）已知A是圆C：x2+y2=4上任意一点，过A作x轴的垂线段AD，D 为垂足，当点A在圆C上运动时，线段AD的中点B的轨迹为曲线r（包括点（﹣2，0）和点（2，0）），O为坐标原点．（Ⅰ）求曲线r的方程；（Ⅱ）直线l与曲线r相切，且l与圆C相交于P，Q两点，当△POQ的面积最大时，试求直线l的方程．2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【解答】解：由题意，抛物线的焦点在y上，开口向下，且2p=，∴．∴抛物线的焦点坐标是（0，﹣）．故选：B．2．（5分）圆（x﹣1）2+y2=1的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或﹣3 D．1或3【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为：（1，0），则：圆心（1，0）到直线x﹣y+a=0的距离d=，解得：a=1或﹣3．故选：C．3．（5分）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》里就有记载，如”米谷粒分“题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．268石C．338石D．1500石【解答】解：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，∴这批米内夹谷约为：≈169（石）．故选：A．4．（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．y=±【解答】解：根据题意，已知双曲线的离心率是，即e==，则有a=c，又由b==c，则=，又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，故选：B．5．（5分）如图所示的程序框图的运行结果为（）A．﹣1 B．C．D．2【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a=2，i=1，i＜2016，a=1﹣=；i=2，i＜2016，a=1﹣=﹣1；i=3，i＜2016，a=1﹣=2；i=4，…所以该程序中a的值是以3为周期的数值，当i=2015=671×3+2时，i＜2017，a=﹣1；当i=2016=672×3时，i＜2017，a=2；当i=2017=672×3+1时，i≥2017，退出循环，输出a=2．故选：D．6．（5分）某班有50名学生，男女人数不等．随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下：则下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这5名男生成绩的中位数大于5名女生成绩的中位数C．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数D．这5名男生成绩的标准差大于5名女生成绩的标准差【解答】解：根据抽样方法的特点，抽样比例不等，不是分层抽样，A错误；这5名男生的中位数是90，小于女生成绩的中位数是93，B错误；无法判断该班男生成绩的平均数与该班女生成绩的平均数大小，∴C错误；根据公式，求得五名男生成绩的方差为=×[（86﹣90）2+（88﹣90）2+（90﹣90）2+（92﹣90）2+（94﹣90）2]=8，标准差为s1=2；五名女生成绩的方差为=×[（88﹣91）2×2+（93﹣91）2×3]=6，标准差为s2=；∴这五名男生成绩的标准差大于这五名女生成绩的标准差，D正确．故选：D．7．（5分）给出下列说法：①方程x2+y2﹣2x+4y+6=0表示一个圆；②若m＞n＞0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆；③已知点M（﹣1，0）、N（1，0），若|PM|﹣|PN|=2，则动点P的轨迹是双曲线的右支；④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意，依次分析4个说法：对于①，方程x2+y2﹣2x+4y+6=0变形可得（x﹣1）2+（y+2）2=﹣1，不是圆的方程，①错误；对于②，方程mx2+ny2=1变形可得+=1，若m＞n＞0，则有＞＞0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆；②正确；对于③，点M（﹣1，0）、N（1，0），则|MN|=2，若|PM|﹣|PN|=2，则动点P的轨迹是一条射线；③错误；对于④，由抛物线的定义，以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，④正确；则②④正确；故选：B．8．（5分）我国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为1，3，5，则输出的s值为（）A．17 B．12 C．15 D．5【解答】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为1时，S=1，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为3时，S=5，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=15，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为15，故选：C．9．（5分）两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣2by+b2﹣1=0相外切，且ab≠0，则的最大值为（）A．B．1 C．D．9【解答】解：两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣2by+b2﹣1=0的圆心分别为（﹣a，0），（0，b），半径分别为：2，1．∵两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣2by+b2﹣1=0相外切，∴∴a2+b2=9⇒（ab）2，则，故选：C．10．（5分）直线与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，且OD⊥AB，垂足为点D（1，2），则抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点D的坐标为（1，2），则k OD=2，又OD⊥AB，且AB过D（1，2），则直线AB的方程：y﹣2=﹣（x﹣1），整理得：2y+x﹣5=0；设点A的坐标（x1，y1），点B的坐标（x2，y2），由OA⊥OB，则•=0，即x1x2+y1y2=0，则AB的直线方程为x=5﹣2y，∴y1y2﹣2（y1+y2）+5=0，①，则，消去x得：y2﹣4py﹣10p=0，y1+y2=4p，y1y2=﹣10p，②把②代入解得p=，在抛物线的准线方程：x=﹣故选：D．11．（5分）已知直线l过椭圆C：的右焦点F，与椭圆C交于M，N两点，点P，Q是椭圆C上关于坐标原点O对称的两点，且PQ∥MN，则=（）A．B．C．D．【解答】解：①当直线斜率不存在时，|PQ|2=（2b）2=4b2，|MN|=，∴则=2a=2，②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），且M（x1，y1），N （x2，y2）．联立，消去y可得（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|=•=．…（10分）由直线y=kx代入椭圆方程，消去y，并整理得：x2=，y2=设P（x 3，y3），Q（﹣x4，﹣y4），则|PQ|2=4（x2+y2）=4×，则=2，∴综上所述，=2，故选A．方法二：根据题意取特殊情况，取直线MN的斜率不存在时，分别求得|PQ|2及|MN|，即可求得=2，故选：A．12．（5分）双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P是双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，PI交x轴于Q点，若|F1Q|=|PF2|，且PI：IQ=2：1，则双曲线的离心率e的值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由I为△PF1F2的内心，可得==2，则|QF1|=m，若|F1Q|=|PF2|=m，又PQ为∠F1PF2的角平分线，可得==，则n=4c﹣m，又m﹣n=2a，n=m，解得m=4a，n=2a，=2，即c=a，则e==．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某校老年教师90人，中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的中年教师人数为36．【解答】解：某校老年教师90人，中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，∴该样本的中年教师人数为：180×=36．故答案为：36．14．（5分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为P'（b，a），则圆C：x2+y2﹣4x﹣2y=0关于直线l对称的圆C'的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【解答】解：点P（a，b）关于直线l的对称点为P'（b，a），则：直线l的方程为：y=x．圆C：x2+y2﹣4x﹣2y=0，转化为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，圆心（2，1）关于直线l的对称点坐标为：（1，2）则圆C关于直线l对称的圆C'的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为的直线l，l与椭圆（a＞b＞0）相交于A，B两点，若AM=MB，则椭圆的离心率为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵AM=MB，则x1+x2=2×1=2，y1+y2=2×1=2，=﹣．由+=1，+=1，相减可得：+=0，可得：+×=0，可得a2=3b2．∴e===．故答案为：．16．（5分）平面内与两定点A1（0，﹣a），A2（0，a）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，给出以下四个结论：①当m=﹣1时，曲线C是一个圆；②当m=﹣2时，曲线C的离心率为；③当m=2时，曲线C的渐近线方程为y=±x；④当m∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）时，曲线C的焦点坐标分别为（0，﹣）和（0，）．其中全部正确结论的序号为①②④．【解答】解：设动点为M（x，y），当x≠0时，由条件可得，即y2﹣mx2=a2（x≠0），又A1（﹣a，0），A2（a，0）的坐标满足y2﹣mx2=a2．∴当m=﹣1时，曲线C的方程为y2+x2=a2，C是圆心在原点的圆，故①正确；当m=﹣2时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆，，离心率为，故②正确；当m=2时，曲线C的方程为，表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=，故③错误；当m∈（﹣∞，﹣1）时，曲线C的方程为，表示焦点在y轴上的椭圆，由，可知焦点坐标分别为（0，﹣）和（0，）；当m∈（0，+∞）时，C是焦点在y轴上的双曲线，方程为，由，可知焦点坐标分别为（0，﹣）和（0，），故④正确．∴正确结论的序号为①②④．故答案为：①②④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0上存在两点关于l：x+my+1=0对称．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点M（m，m）作圆C的切线，切点分别为P，Q，试求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0，转化为：（x﹣1）2+（y+2）2=4，圆上存在两点关于l：x+my+1=0对称．则：圆心坐标（1，﹣2）在直线x+my+1=0上．即：1﹣2m+1=0，解得：m=1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，m=1，所以：M（1，1）则：|MC|=3，|PC|=2，所以：|PM|=，设点P到直线MC的距离为d，则：，解得：d=，所以：．18．（10分）在一次“汉马”（武汉马拉松比赛的简称）全程比赛中，50名参赛选手（24名男选手和26名女选手）的成绩（单位：分钟）分别为数据a1，a2，…，a50（成绩不为0）．（Ⅰ）24名男选手成绩的茎叶图如图（1）所示，若将男选手成绩由好到差编为1～24号，再用系统抽样方法从中抽取6人，求其中成绩在区间[150，170）上的选手人数；（Ⅱ）如图（2）所示的程序用来对50名选手的成绩进行统计，为了便于区别性别，输入时，男选手的成绩数据用正数，女选手的成绩数据用相反数（负数），请完成图（2）中空白的判断框①处的填写，并说明输出数值M和A的统计意义．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）依题意，男选手分为=6段，每段抽取1人，其中成绩在区间[150，170）上的恰有4段，每段1人，所以成绩在区间[150，170）上的选手人数为4．…4分（Ⅱ）根据题意，男生平均分用变量M表示，女生平均分用变量W表示，∴满足条件①时，表示该分数为男生分数，∵男生的成绩用正数，故条件①为：T＞0，…6分输出数值M的统计意义：24名男选手的平均成绩，…8分输出数值A的统计意义：50名选手的平均成绩，…10分19．（12分）已知双曲线C的渐近线方程为y=±，右焦点坐标为（2，0），O为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且，试求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），由题意可得c=2，=，且c2=a2+b2，解得a=，b=1，则双曲线的方程为﹣y2=1；（Ⅱ）∵直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点，∴方程组恒有两组不同的实数解，∴方程（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9=0有两个不同实根，∴，∴k2＜1且k2≠，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=﹣，∵，∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+2＞0，∴（1+k2）•（﹣）+k•+2=＞0，可得k2＞，∵k2＜1，∴k的范围是（﹣1，﹣）∪（，1）．20．（12分）从参加某次高中英语竞赛的学生中抽出100名，将其成绩整理后，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[39.5，49.5），[49.5，59.5），[59.5，69.5），[69.5，79.5），[79.5，89.5），[89.5，99.5]．（Ⅰ）试求图中a的值，并计算区间[59.5，89.5）上的样本数据的频率和频数；（Ⅱ）试估计这次英语竞赛成绩的众数、中位数及平均成绩（结果精确到0.1）．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.01+0.015×2+0.03+a+0.005）×10=1，解得a=0.025；区间[59.5，89.5）上的样本数据的频率为（0.015+0.03+0.025）×10=0.70，∴频数为0.70×100=70；（Ⅱ）根据众数是最高小矩形底边的中点，试估众数为69.5+5=74.5；根据中位数两边频率相等，根据中位数是69.5+=≈72.8；计算平均成绩为=44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05=70.5．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点D（1，2）为抛物线C上一定点．（1）直线l过点F交抛物线C于A、B两点，若|AB|=5，求直线l的方程；（2）过点D作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P，Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值．【解答】解：（1）依题意，点F的坐标为（1，0），设直线l的方程为x=my+1，联立方程组，消去x并整理得：y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则|AB|=•=4（m2+1）=5，解得：m=±，∴直线l的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y﹣2=0；（2）设直线DP的斜率为k，（k≠0），则直线DQ的斜率为﹣k，令t=，联立，消去x并整理得：y2﹣4ty+8t﹣4=0，设P（x P，y P），由D的坐标为（1，2），∴2y P=8t﹣4，故y P=4t﹣2，从而点P的坐标为（4t2﹣4t+1，4t﹣2），Q（4t2+4t+1，﹣4t﹣2），则直线PQ的斜率为：=﹣1，∴直线PQ的斜率为定值﹣1．22．（12分）已知A是圆C：x2+y2=4上任意一点，过A作x轴的垂线段AD，D 为垂足，当点A在圆C上运动时，线段AD的中点B的轨迹为曲线r（包括点（﹣2，0）和点（2，0）），O为坐标原点．（Ⅰ）求曲线r的方程；（Ⅱ）直线l与曲线r相切，且l与圆C相交于P，Q两点，当△POQ的面积最大时，试求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设线段AD的中点B（x，y），A（x′，y′），则：，即：，代入x′2+y′2=4，得到曲线r的方程为：．（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，不合题意．故设直线的方程为：y=kx+m．得到：，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，解得：m2=4k2+1．点O到直线l的距离d=，且|PQ|=2，则：=≤2，当：d=时，三角形的面积的最大值为2．所以：d=，解得：k=．此时直线l的直线由4条，即：或．。

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2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）两个平面重合的条件是（）A.有两个公共点B.有能组成三角形的三个公共点C.有三个公共点D.有无穷多个公共点2.（单选题，5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1= 1，S4=20，则S6=（）2A.16B.24C.36D.483.（单选题，5分）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（）A. m11B. m1212 -1C. √m11 -1D. √m4.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的投影可能是（）A. ① ②B. ① ③C. ② ④D. ② ③5.（单选题，5分）数列1，12，22，13，23，33，…，1n，2n，3n，…，nn，…的前25项和为（）A. 20714B. 20914C. 21114D. 10676.（单选题，5分）若三角形ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，cosB=（）A. 34B. 1116C. √154D. 3√15167.（单选题，5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得√a m a n =4a1，则1m + 4n的最小值为（）A. 32B. 53C. 94D. 2568.（单选题，5分）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A. d＞83B. 83≤d≤3C. 83≤d＜3D. 83＜d≤39.（单选题，5分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1•a5•a9=-8，b2+b5+b8=6π，则sin b4+b61−a3a7的值是（）A. 12B. −12C. √32D. −√3210.（单选题，5分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC=a，点M 在线段AB上，且∠ACM=∠BCM．若b=6CM=6，则cos∠BCM=（）A. √104B. 34C. √74D. √6411.（单选题，5分）给出下列命题：① 若b＜a＜0，则|a|＞|b|；② 若b＜a＜0，则a+b＜ab；③ 若b＜a＜0，则ba + ab＞2；④ 若b＜a＜0，则a2b＜2a-b；⑤ 若b＜a＜0，则2a+ba+2b ＞ab；⑥ 若a+b=1，则a2+b2≥ 12．其中正确的命题有（）A.2个B.3个C.4个D.5个12.（单选题，5分）已知a，b∈R，且a是2-b与-3b的等差中项，则ab2|a|+|b|的最大值为（）A. 19B. 29C. 23D. 4313.（填空题，5分）若关于x的不等式ax2+3x+a≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是___ ．14.（填空题，5分）有一块多边形的花园，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形ABCD ，其中∠ABC=45°，AB=AD=2米，DC⊥BC ，则这块花园的面积为___ 平方米．15.（填空题，5分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，下列四个论断正确的是___ （把你认为正确论断的序号都写上） ① 若sinA a = cosBb，则B= π4；② 若B= π4 ，b=2，a= √3 ，则满足条件的三角形共有两个；③ 若a ，b ，c 成等差数列，sinA ，sinB ，sinC 成等比数列，则△ABC 为正三角形； ④ 若a=5，c=2，△ABC 的面积S △ABC =4，则cosB= 35．16.（填空题，5分）已知数列{a n }的通项公式为 a n ={(12)n−12，n 为奇数(12)n 2，n 为偶数，则数列{3a n +n-3}的前2n 项和的最小值为___ ．17.（问答题，10分）已知x ，y∈R +，且x 2+y 2=x+y ．（1）求 1x +1y 的最小值；（2）求x+y 的最大值．18.（问答题，12分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、CC 1、C 1D 1的中点．（1）判断直线EF 与GH 的位置关系，并说明理由；（2）求异面直线A 1D 与EF 所成的角的大小．19.（问答题，12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= √3 b．（1）求角A；（2）已知a=2，求△ABC的面积的取值范围．20.（问答题，12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；a n，求数列{b n}的前n项和S n．（Ⅱ）设b n=a n log1221.（问答题，12分）如图，某镇有一块空地△OAB，其中OA=2km，OB=2√3km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．（1）当AM=1km时，求防护网的总长度；（2）为节省资金投入，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=θ，问：当θ多大时△OMN的面积最小？最小面积是多少？22.（问答题，12分）已知常数a≠0，数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n= S nn+a（n-1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3n+（-1）n a n，且数列{b n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若a= 12，c n= a n−1a n+2018，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得c k=c p c q？若存在，试求出p、q的一组值（不论有多少组，只要求出一组即可）；若不存在，请说明理由．2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）两个平面重合的条件是（）A.有两个公共点B.有能组成三角形的三个公共点C.有三个公共点D.有无穷多个公共点【正确答案】：B【解析】：在A中，这两个平面可能相交于过这两个公共点的一条直线；在B中，如果两个平行有有能组成三角形的三个公共点，则这两个平面一定重合；在C中，这两个平面可能相交于过这三个公共点的一条直线；在D中，这两个平面可能相交于过这无穷多个公共点的一条直线．【解答】：解：在A中，如果两个平面有两个公共点，则这两个平面可能相交于过这两个公共点的一条直线，故A不能确定两个平面重合；在B中，如果两个平面有有能组成三角形的三个公共点，则这两个平面一定重合，故B能确定两个平面重合；在C中，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面可能相交于过这三个公共点的一条直线，故C不能确定两个平面重合；在D中，如果两个平面有无穷多个公共点，则这两个平面可能相交于过这无穷多个公共点的一条直线，故D不能确定两个平面重合．故选：B．【点评】：本题考查两个平面重合的条件的判断，考查空间中两个平面的位置关系的判定定理、性质定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．，S4=20，则S6=（）2.（单选题，5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1= 12A.16B.24C.36D.48【正确答案】：D【解析】：结合已知条件，利用等差数列的前n项和公式列出关于d的方程，解出d，代入公式，即可求得s6．，S4=20，【解答】：解：∵ a1=12∴S4=2+6d=20，∴d=3，∴S6=3+15d=48．故选：D．【点评】：本题考查了等差数列的前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．3.（单选题，5分）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（）A. m11B. m1212 -1C. √m11 -1D. √m【正确答案】：D【解析】：先假设增长率为p，再根据条件可得（1+p）11=m，从而可解．11−【解答】：解：由题意，该厂去年产值的月平均增长率为p，则（1+p）11=m，∴ p=√m 1，故选：D．【点评】：本题考查函数模型的选择，利用了有关增长率问题的函数模型，属于简单题．4.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的投影可能是（）A. ① ②B. ① ③C. ② ④D. ② ③【正确答案】：A【解析】：分析△PAC在该正方体各个面上的投影图形即可．【解答】：解：由正投影知识知，在四个侧面的正投影为图① ，在上、下底面的投影为② ．所以△PAC在该正方体各个面上的投影可能是① ② ．故选：A．【点评】：本题考查了平行投影及平行投影作图法问题，同一图形在不同投影面上的投影可能不同．5.（单选题，5分）数列1，12，22，13，23，33，…，1n，2n，3n，…，nn，…的前25项和为（）A. 20714B. 20914C. 21114D. 1067【正确答案】：B【解析】：直接利用数列的通项公式的应用求出结果．【解答】：解：数列1，12，22，13，23，33，…，1n，2n，3n，…，nn，…的前25项和为：T25=1+12+22+13+23+33+…+ 16+26+36+46+56+66+ 17+27+37+47，= 20914故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：数列的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6.（单选题，5分）若三角形ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，cosB=（）A. 34B. 1116C. √154D. 3√1516【正确答案】：B【解析】：由正弦定理可得6a=4b=3c，进而可用a表示b，c，代入余弦定理化简可得答案．【解答】：解：∵6sinA=4sinB=3sinC，由正弦定理asinA =bsinB=csinC．∴由正弦定理可得6a=4b=3c．∴b= 32a，c=2a，由余弦定理可得cosB= a 2+c2−b22ac= a2+4a2−94a22a•2a=114a24a2=1116．故选：B．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，是基础题．7.（单选题，5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得√a m a n =4a1，则1m + 4n的最小值为（）A. 32B. 53C. 94D. 256【正确答案】：A【解析】：由 a7=a6+2a5求得q=2，代入√a m a n=4a1求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得a1q6=a1q5+2a1q4，∴q2-q-2=0，∴q=2．∵ √a m a n=4a1，∴q m+n-2=16，∴2m+n-2=24，∴m+n=6，∴ 1 m +4n=16(m+n)(1m+4n)=16(5+nm+4mn)≥16(5+4)=32，当且仅当nm= 4mn时，等号成立．故1m +4n的最小值等于32，故选：A．【点评】：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．8.（单选题，5分）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A. d＞83B. 83≤d≤3C. 83≤d＜3D. 83＜d≤3【正确答案】：D【解析】：先设数列为{a n}公差为d，则a1=-24，根据等差数列的通项公式，分别表示出a10和a9，进而根据a10＞0，a9≤0求得d的范围．【解答】：解：设数列为{a n}公差为d，则a1=-24；a10=a1+9d＞0；即9d＞24，所以d＞83而a9=a1+8d≤0；即d≤3所以83＜d≤3故选：D．【点评】：本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．9.（单选题，5分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1•a5•a9=-8，b2+b5+b8=6π，则sin b4+b61−a3a7的值是（）A. 12B. −12C. √32D. −√32【正确答案】：C【解析】：分别运用等差数列和等比数列的性质，结合三角函数的诱导公式，计算可得所求值．【解答】：解：数列{a n}是等比数列，若a1•a5•a9=-8，由a1a9=a52，即有a53=-8，可得a5=-2，则a3a7=a52=4，数列{b n}是等差数列，若b2+b5+b8=6π，由b2+b8=2b5，即有3b5=6π，即b5=2π，b4+b6=2b5=4π，则sin b4+b61−a3a7 =sin 4π1−4=-sin 4π3=sin π3= √32，故选：C．【点评】：本题主要考查等差数列和等比数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.（单选题，5分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC=a，点M 在线段AB上，且∠ACM=∠BCM．若b=6CM=6，则cos∠BCM=（）A. √104B. 34C. √74D. √64【正确答案】：B【解析】：运用正弦定理可得B= π2，设∠ACM=∠BCM=α，由S△ABC=S△ACM+S△BCM，运用三角形的面积的公式，化简整理，结合a=cosα，解方程即可得到所求值．【解答】：解：bcosC=a，由正弦定理可得sinBcosC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，即有cosBsinC=0，由sinC＞0，可得cosB=0，由0＜B＜π，可得B= π2，设∠ACM=∠BCM=α，由S△ABC=S△ACM+S△BCM，且b=6CM=6，可得12•6asin2α= 12•6•1•sinα+ 12asinα，即为12acosα=6+a，在直角三角形BCM中，a=cosα，则12cos2α-cosα-6=0，解得cosα= 34或- 23（舍去），故选：B．【点评】：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.（单选题，5分）给出下列命题：① 若b＜a＜0，则|a|＞|b|；② 若b＜a＜0，则a+b＜ab；③ 若b＜a＜0，则ba + ab＞2；④ 若b＜a＜0，则a2b＜2a-b；⑤ 若b＜a＜0，则2a+ba+2b ＞ab；⑥ 若a+b=1，则a2+b2≥ 12．其中正确的命题有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【正确答案】：D【解析】：利用不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可．【解答】：解： ① ∵b ＜a ＜0，∴|b|＞|a|，故 ① 不正确； ② ∵b ＜a ＜0，∴ab ＞0，∴a+b ＜ab ，故 ② 正确； ③ ∵b ＜a ＜0，∴ a b＞0，b a＞0 ，∴ b a+ a b＞2，故 ③ 正确； ④ ∵b ＜a ＜0，∴a 2+b 2＞2ab ，∴a 2＞b （2a-b ），∴a 2b＜2a −b ，故 ④ 正确；⑤ ∵b ＜a ＜0，∴b 2+2ab ＞a 2+2ab ，∴b （2a+b ）＞a （a+2b ），∴ 2a+ba+2b ＞ ab ，故 ⑤ 正确； ⑥ ∵ a 2+b 2≥(a+b )22，a+b=1，∴a 2+b 2≥ 12 ，当且仅当a=b= 12时取等号，故 ⑥ 正确．故选：D ．【点评】：本题考查了不等式的基本性质和基本不等式，属中档题．12.（单选题，5分）已知a ，b∈R ，且a 是2-b 与-3b 的等差中项，则 ab2|a|+|b| 的最大值为（） A. 19 B. 29 C. 23 D. 43【正确答案】：A【解析】：若 ab2|a|+|b| 取得最大值，则a ，b 同号，由条件可得 ab2|a|+|b| = ab2a+b = a (1−2a )b2−3b（0＜b ＜ 12 ）然后令t=2-3b ，换元后用基本不等式求出最大值即可．【解答】：解：由a 是2-b 与-3b 的等差中项，得2a=2-b-3b ，即a+2b=1．若 ab 2|a|+|b| 取得最大值，则a ，b 同号，不妨取a ，b 均大于0，∴当 ab2|a|+|b| 取得最大值时， ab2|a|+|b| = ab2a+b = a (1−2a )b 2−3b （0＜b ＜ 12）．令t=2-3b ，则b= 2−t 3 （ 12＜t ＜2）， ∴ ab2|a|+|b| = 19 •−2t 2+5t−2t = 59−29(t +1t ) ≤ 59−29•2√t •1t =19 ．当且仅当t= 1t ，即t=1，也就是a=b= 13 时上式“=”成立． ∴ ab2|a|+|b| 的最大值为 19 ．故选：A ．【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查数学转化思想方法，训练了利用换元法求最值，属中档题．13.（填空题，5分）若关于x 的不等式ax 2+3x+a≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，- 32 ）【解析】：讨论a=0和a≠0时，利用判别式列不等式组求出a 的取值范围．【解答】：解：a=0时，不等式ax 2+3x+a≥0化为3x≥0，解得x≥0，解集不是空集，不满足题意；a≠0时，应满足 {a ＜0△＜0 ，即 {a ＜09−4a 2＜0 ，解得a ＜- 32 ；所以实数a 的取值范围是（-∞，- 32 ）．故答案为：（-∞，- 32 ）．【点评】：本题考查了不等式解集的判断问题、不等式的解法，是基础题．14.（填空题，5分）有一块多边形的花园，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形ABCD ，其中∠ABC=45°，AB=AD=2米，DC⊥BC ，则这块花园的面积为___ 平方米．【正确答案】：[1] 8+2√2【解析】：求出直观图中，DC ，BC ，S 梯形ABCD ，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是2 √2 ，求出平面图形的面积．【解答】：解：DC=ABsin 45°= √2，BC=ABsin 45°+AD= √2 +2，S梯形ABCD= 12（AD+BC）DC= 12（2+ √2+ 2）× √2 =2 √2 +1，这块花园的面积S=√2S梯形ABCD=8+2 √2．故答案为：8+2 √2．【点评】：本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列四个论断正确的是___ （把你认为正确论断的序号都写上）① 若sinAa = cosBb，则B= π4；② 若B= π4，b=2，a= √3，则满足条件的三角形共有两个；③ 若a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC为正三角形；④ 若a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC=4，则cosB= 35．【正确答案】：[1] ① ③【解析】：根据正余弦定理和三角形内角和定理依次判断即可得答案．【解答】：解：对于① ：由正弦定理：asinA =bsinB，可得cosBsinA=sinBsinA，即cosB=sinB，0＜B＜π，∴B= π4．① 对．对于② ：由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB，即c2- √6 c-1=0，可得c= √6+√102，三角形只有1个；∴ ② 不对．对于③ ：a，b，c成等差数列，即2b=a+c，sinA，sinB，sinC成等比数列，即sin2B=sinAsinC．正弦定理，可得b2=ac．∴△ABC为正三角形；∴ ③ 对．对于④ ：a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC= 12 acsinB=4，即sinB= 45，∵ √22＜45＜√32，∴ 2π3＜B ＜3π4或π4＜B＜π3．∴cosB= ±35．④ 不对故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，角的判断．属于中档题．16.（填空题，5分）已知数列{a n }的通项公式为 a n ={(12)n−12，n 为奇数(12)n2，n 为偶数，则数列{3a n +n-3}的前2n 项和的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：由题意可得：a 2k-1= (12)k−1 ，a 2k = (12)k，k∈N *．可得数列{3a n +n-3}的前2n 项和=3[1+ 12 + (12)2 +……+ (12)n−1+ 12 + (12)2 +……+ (12)n]-2-1-0+1+……+（2n-3），利用单调性即可得出．【解答】：解：由题意可得：a 2k-1= (12)k−1 ，a 2k = (12)k，k∈N *．∴数列{3a n +n-3}的前2n 项和=3[1+ 12 + (12)2 +……+ (12)n−1 + 12 + (12)2 +……+ (12)n]-2-1-0+1+……+（2n-3） =3×[1−(12)n 1−12+12(1−12n )1−12]+2n (−2+2n−3)2=9（1- 12n ）+2 (n−54)2 - 258 =f （2n ）．n∈N *．可知f （2n ）单调递增，∴最小值为f （2）=9× 12 -3= 32 ．故答案为： 32【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知x ，y∈R +，且x 2+y 2=x+y ．（1）求 1x +1y 的最小值；（2）求x+y 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1） 1x+1y =x+y xy=x 2+y 2xy≥2xy xy=2 ；（2）由重要不等式可得2x 2+2y 2≥x 2+2xy+y 2=（x+y ）2，则2（x+y ）≥（x+y ）2，解出即可．【解答】：解：（1）∵x ，y∈R +，x 2+y 2=x+y ∴ 1x +1y =x+y xy=x 2+y 2xy≥2xy xy=2 ，当且仅当x 2+y 2=x+y 且x=y 即x=y=1时取等号， ∴求 1x +1y 的最小值为2；（2）∵x 2+y 2≥2xy∴2x 2+2y 2≥x 2+2xy+y 2=（x+y ）2 又∵x 2+y 2=x+y ∴2（x+y ）≥（x+y ）2 即0≤x+y≤2右边取等条件为 {x ，y ∈R +x 2+y 2=x +y x =y 即x=y=1∴x+y 的最大值为2．【点评】：本题主要考查重要不等式和基本不等式的应用，要注意取等条件，属于基础题． 18.（问答题，12分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、CC 1、C 1D 1的中点．（1）判断直线EF 与GH 的位置关系，并说明理由；（2）求异面直线A 1D 与EF 所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）法一：取CD 的中点I ，推导出CF ∥=12 EI ，在平面ABCD 中，延长EF 与DC必交于C 右侧一点P ，且PC=CI ，同理，在平面CC 1D 1D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q，且QC=CI，由P与Q重合，得到直线EF与GH相交．法二：推导出EBC1H是平行四边形，从而EH ∥= BC1，再由FG ∥=12BC1，得EH || FG，EH≠FG，由此能推导出直线EF与GH相交．（2）推导出ACC1A1是平行四边形，AC || A1C1，EF || AC，从而EF || A1C1，A1D与EF所成的角即为A1D与A1C1所成的角，再由△A1C1D为等边三角形，能求出由直线A1D与EF所成的角的大小．【解答】：解：（1）解法一：取CD的中点I，∵E、F、I分别是正方形ABCD中AB、BC、CD的中点，∴CF ∥=12EI，∴在平面ABCD中，延长EF与DC必交于C右侧一点P，且PC=CI同理，在平面CC1D1D中，延长HG与DC必交于C右侧一点Q，且QC=CI，∴P与Q重合进而，直线EF与GH相交．解法二：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、H分别是AB、C1D1的中点，∴EB ∥=12CD ∥=HC1，∴EBC1H是平行四边形，∴EH ∥=BC1，又∵F、G分别是BC、CC1的中点，∴FG ∥=12BC1，∴EH || FG，EH≠FG，∴EF、GH是梯形EFGH的两腰，∴直线EF与GH相交．（2）解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥=CC1，∴ACC1A1是平行四边形，∴AC || A1C1，又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF || AC，∴EF || A1C1，∴A1D与EF所成的角即为A1D与A1C1所成的角，∴A1D与EF所成的角即为∠DA1C1及其补角中的较小角，又∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1D为等边三角形∴∠DA1C1=60°，∴由直线A1D与EF所成的角为60°．【点评】：本题考查两直线位置关系的判断，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB= √3 b ．（1）求角A ；（2）已知a=2，求△ABC 的面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理进行转化求解即可（2）结合三角形的面积公式求出面积的表达式，求出角的范围结合三角函数的有界性进行求解即可．【解答】：解：（1）由2asinB= √3 b 得2sinAsinB= √3 sinB 又∵sinB ＞0，sinA= √32 ，又∵△ABC 是锐角三角形，∴A= π3 ；（2）由正弦定理得2R= asinA = √3∴S △ABC = 12 bcsinA= 12 （2RsinB ）（2RsinC ）sinA= √3 sinBsinC= √3 cos （2B- 2π3 ）+ √3又∵△ABC 是锐角三角形，A= π3 ， ∴ {0＜B ＜π20＜2π3−B ＜π2 ，即 π6 ＜B ＜ π2 ， ∴2B - 2π3 ∈（- π3 ， π3 ）， ∴cos （2B- 2π3）∈（ 12，1]，△ABC 的面积的取值范围（2√33， √3 ]．【点评】：本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及三角形的面积公式进行化简是解决本题的关键．20.（问答题，12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a n log 12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【正确答案】：【解析】：（I ）根据a 3+2是a 2，a 4的等差中项和a 2+a 3+a 4=28，求出a 3、a 2+a 4的值，进而得出首项和a 1，即可求得通项公式；（II ）先求出数列{b n }的通项公式，然后求出-S n -（-2S n ），即可求得的前n 项和S n ．【解答】：解：（I ）设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项∴2（a 3+2）=a 2+a 4代入a 2+a 3+a 4=28，得a 3=8∴a 2+a 4=20∴ {a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8∴ {q =2a 1=2 或 {q =12a 1=32 ∵数列{a n }单调递增∴a n =2n（II ）∵a n =2n∴b n = 2n •log 122n =-n•2n∴-s n =1×2+2×22+…+n×2n ①∴-2s n =1×22+2×23+…+（n-1）×2n +n2n+1 ②∴ ① - ② 得，s n=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2n+1-n•2n+1-2【点评】：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法．21.（问答题，12分）如图，某镇有一块空地△OAB，其中OA=2km，OB=2√3km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．（1）当AM=1km时，求防护网的总长度；（2）为节省资金投入，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=θ，问：当θ多大时△OMN的面积最小？最小面积是多少？【正确答案】：【解析】：（1）在△OAB中求出∠OAB=60°，在△OAM中，由余弦定理得OM2=22+12-2×2×1×cos60°=3即OM=√3，再求出∠AOM=30°则△OAN为正三角形，其周长为6km（2）在△OAM中求出OM=√3sin(120°−θ)，在△OAN中，求出ON=√3cosθ，写出面积表达式，从而得出θ=15°时，△OMN的面积取最小值为(6−3√3)km2【解答】：解：（1）∵在△OAB中，OA=2，OB= 2√3，∠A0B=90°，∴∠OAB=60°．又∵在△OAM中，OA=2，AM=1，∴由余弦定理得OM2=22+12-2×2×1×cos60°=3，即OM=√3，∴OM2+AM2=OA2即OM⊥AN．∴∠AOM=30°∴△OAN为正三角形，其周长为6km．∴防护网的总长度为6km．……………………………………………………………………（5分）（2）由题得0°＜θ＜60°在△OAM中，OMsin60°=2sin(120°−θ)，即OM=√3sin(120°−θ)；在△OAN中，ONsin60°=2sin[180°−(θ+30°+60°)]即ON=√3cosθ；∴ S△OMN=12•OM•ON•sin∠MON = 12•√3sin(120°−θ)•√3cosθ•sin30° =2sin(120°−2θ)+√3．又∵0°＜θ＜60°，即0°＜120°-2θ＜120°，∴当且仅当120°-2θ=90°，即θ=15°时，△OMN的面积取最小值为(6−3√3)km2．………………………………………………（12分）【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用，以及三角函数求最值．考查了学生的数学建模思想，以及运算能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知常数a≠0，数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n= S nn+a（n-1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3n+（-1）n a n，且数列{b n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若a= 12，c n= a n−1a n+2018，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得c k=c p c q？若存在，试求出p、q的一组值（不论有多少组，只要求出一组即可）；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得：na n=S n+na（n-1）．利用递推关系、等差数列的通项公式．（2）由即（-1）n[1+a（2n-1）]＜3n，对n分类讨论，利用单调性即可得出．（3）由（1）．假设对任意k∈N*，总存在正整数p、q，使c k=c p c q，可得．令q=k+1，或q=2k，即可得出．【解答】：解：（1）∵a n= S nn+a（n-1）．∴na n=S n+an（n-1），∴（n-1）a n-1=S n-1+a （n-1）（n-2），相减得na n -（n-1）a n-1=a n +2a （n-1），即（n-1）a n -（n-1）a n-1=2a （n-1），其中n≥2，∴a n -a n-1=2a 为定值，∴{a n }是以2为首项2a 为公差的等差数列，∴a n =2+（n-1）2a=2a （n-1）+2；方法二：∵a n = S n n +a （n-1）．∴S n -S n-1= Sn n +a （n-1）， ∴ (n−1)S n n -S n-1=a （n-1），其中n≥2，∴ S n n - S n−1n−1 =a 为定值，∴{ S n n }是以2为首项a 为公差的等差数列，∴ S n n =2+（n-1）a∴a n = Sn n +a （n-1）=2a （n-1）+2；（2）由{b n }是单调递增数列，得b n ＜b n+1即3n +（-1）n [2a （n-1）+2]＜3n+1+（-1）n+1（2an+2），即（-1）n a ＜ 3n −(−1)n ×22n−1， 1°若n 为正奇数则-a ＜ 3n +22n−1 在n 为正奇数时恒成立，设f （n ）= 3n +22n−1，则f （n ）-f （n+2）= 3n +22n−1 -3n+2+22n+3 =- 4[(4n−3)•3n −2](2n−1)(2n+3) ＜0， ∴f （1）＜f （3）＜f （5）＜…，∴-a ＜f （1）=5即a ＞-5，方法二：则f （n ）-f （n+1）= 3n +22n−1 -3n+1+22n+1=- 4[(n−1)3n −1](2n−1)(2n+1) ，它在n=1时为正，在n≥2为负，∴f （1）＞f （2）＜f （3）＜f （4）＜f （5）＜…∴-a ＜min{f （1），f （3）}=min{5， 295 }=5即a ＞-5，2°若n 为正偶数，则a ＜ 3n −22n−1 在n 为正偶数时恒成立，设g （n ）= 3n −22n−1 ，∴g （n+2）-g （n ）= 3n+2−22n+3 - 3n −22n−1 = 4[(4n−3)3n +2](2n+1)(2n+3) ＞0， ∴g （2）＜g （4）＜g （6）＜…，∴a ＜g （2）= 73 ，方法二：则g （n+1）-g （n ）= 3n+1−22n+1 - 3n −22n−1 4[(n−1)3n +1](2n−1)(2n+1) ＞0， ∴g （1）＜g （2）＜g （3）＜g （4）＜…，∴a ＜g （2）= 73 ，综合1°2°及a≠0得-5＜a ＜ 73 且a≠0；（3）由（1）得a n =n+1，∴c n = n n+2009 ，∴c k =c p c q 可化为k k+2019 = p p+2019 • q q+2019 ，方法一：即p= k (q+2019)q−k = 1×(kq+2019k )q−k = k (q+2019)q−k，令 {q −k =1p =kq +2019k 得 {p =k 2+2020k q =k +1（或令 {q −k =k p =q +2019 得 {p =2k +2019q =2k，或交换前两组p ，q 的值，能够确定的有四组）， ∴存在满足要求的p ，q ，且有一组值为得 {p =k 2+2020k q =k +1，方法二：即pq-kp-kq=2019k 即（p-k ）（q-k ）=k （k+2019）=1×（k 2+2019k ）=k×（k+2019），令 {p −k =1q −k =k 2+2019k 即 {p =k +1q =k 2+2020k，（或令 {p −k =k q −k =k +2019 即 {p =2k q =2k +2019，或交换前两组p ，q 的值，共能确定四组）， ∴存在满足要求的p ，q ，且有一组值为即 {p =k +1q =k 2+2020k ．【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。